2025年中考數(shù)學(xué)大題與幾何壓軸題：三角形壓軸（解析版）

專題10三角形壓軸

目錄

題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

型

題

01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

型

題

02與三角形有關(guān)的平移問(wèn)題

型

題

03與三角形有關(guān)的翻折問(wèn)題

型

題

04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

型

題

05與三角形有關(guān)的全等/相似問(wèn)題

型

題

06與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題

型

題

07與三角形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

型

題

08與三角形有關(guān)的新定義問(wèn)題

型

題

09與三角形有關(guān)的閱讀理解問(wèn)題

型

題

型與三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題

題10

型

題11三角形與幾何圖形綜合

12三角形與函數(shù)綜合

中考逆襲-高效集訓(xùn)

（時(shí)間：60分鐘）

題型特訓(xùn)-精準(zhǔn)提分

題型01與三角形有關(guān)的多結(jié)論問(wèn)題（選/填）

I.（2023?陜西寶雞?一模）如圖，在△48C中，分別以AC,BC為邊作等邊△4CD和等邊△BCE.設(shè)

22

△ACD,ABCE,△ABC的面積分別是SiS，S3現(xiàn)有如下結(jié)論：?S1：S2=^C:BC；②連接力E,BD,則

ABCD=AECA；③若2CLBC,則弼，其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.①②③D.②③

【答案】C

(CD=AC

【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可證；②根據(jù)N4CE=NDCB,即可求得全等

ICE=BC

(SAS)；③設(shè)47=a,BC=b,根據(jù)面積公式分別計(jì)算出Si、S2,S3即可證.

【詳解】解:①SI：S2=4C2：BC2正確，

???△4DC與△BCE是等邊三角形，

...乙ACD=4BCE=60°,^DAC=^EBC=60°,

.?.△ADCMBCE,

22

.-.S1；S2=AC：BC；

②△SCO三△￡1￡?正確，

???△ADC與△BCE是等邊三角形，

:.Z.ACD^Z.BCE^60°,CD^AC,CE=BC,

：.Z.ACD+Z.ACB=4BCE+Z.ACD,

即A4CE=NDCB,

在△4CE與△DC8中,

CD=AC

Z-ACE=Z.DCB,

CE=BC

△BCD=AECA（SAS）；

③若ac,BC,則Si-S2=1^正確，

設(shè)等邊三角形力DC的邊長(zhǎng)為a,等邊三角形8CE邊長(zhǎng)為b,

則△力DC的高為亨a,△BCE的高為孚b,

22

.■，S1=^a-^a=^a,S2-^-b=^-b,

1224z224

??.S「S2=&2.y^2=4a2b2,

1z4416

,**S3='b,

???S3=^d2b2,

D4

??.SiS.S*

故答案是：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似

比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江湖州?二模）如圖，在RtaABC中，AACB=90°,乙B=3Q°,點(diǎn)、D,E分別是邊4B和BC上的兩

點(diǎn)，連結(jié)DE,將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)M處，BM與。E交于點(diǎn)F.下列三個(gè)結(jié)論：①

DF=EF；②DM1AM；③tanNCME=喏其中正確的是.（寫出正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】③

【分析】①由折疊的性質(zhì)可得ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF,則四邊形BDME為菱形，MB平分N4BC,

由乙4c8=90。，N8=30。，M是2C的中點(diǎn)，得出BM不是乙4BC的平分線，即可判斷，

②由8M不是乙4BC的平分線，可得/LMDA=^DBM+/.DMB30°,在ZkADM中

AMAD+AMDA=60°+^MDA豐90°,即可判斷，

③設(shè)CM=a,ME=x,應(yīng)用勾股定理，表示出CE的長(zhǎng)度，在RtACME中，ME2=CM2+CE2,即可求得:

%=喑，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可判斷，

本題考查了折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握折疊的性質(zhì).

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：EB=EM,DB=DM,

是的垂直平分線，

假設(shè)=則四邊形為菱形，

...乙EBF=LDBF,即：MB平分乙4BC,

■：/.ACB=90°,ZB=30°,M是2C的中點(diǎn)，

.?.BM不是N4BC的平分線，

???假設(shè)DP=EF錯(cuò)誤，故①錯(cuò)誤，

???BM不是乙4BC的平分線，

；/DBM=/-DBM豐15°,

.-.AMDA=4DBM+乙DMB牛30°,

:.Z.MAD+Z.MDA=60°+/.MDA*90°,故②錯(cuò)誤，

設(shè)CM=a,ME=x,則：AM=a,EB=x,AC=2a,AB=2AC=4a,

由勾股定理得：BC=7AB2—〃2=J(4a)2—(2a)2=2ga,

.■.CE-BC—BE=2V3a—x,

在RtzXCME中，ME2-CM2+CE2,即：x2=a2+(2V3a-整理得：久=耳等，

.-.CE=2V3a-x=2V3a-

.?.tanNCME=罟=喈，故③正確，

綜上所述，只有③正確，

故答案為：③.

3.(2023?遼寧撫順?三模)如圖，在△ABC中，ZBXC=45°,CD148于點(diǎn)。，力E_LBC于點(diǎn)E,AE與CD交

于點(diǎn)尸，連接BF,DE,下列結(jié)論中：①4F=BC；@2cosz￡)FB=|,③AE—CE=&ED,④若N

CAE=30°,則二盧=1,正確的是.(填寫序號(hào)).

c

【答案】①③④

【分析】①②只要證明△4DFmaCDB即可解決問(wèn)題.③如圖1中，作。MJ.4E于M,DNLBC于N,易證

△DMF三ADNB,四邊形DMEN是正方形，想辦法證明2E—CE=BC+EF—EC=EF+BE=2EN=V2

DE,即可.④如圖2中，延長(zhǎng)FE到H,使得FH=FB.連接HC、BH.想辦法證明△BF”是等邊三角形，

=即可解決問(wèn)題.

【詳解】解："AE1BC,CDLAB,

:.Z.AEC=Z.ADC=乙CDB=/.AEB=90°,Z.AFD+Z.DAF=90°,Z.DCB+乙CFE=90°,

*:Z-AFD=乙CFE,

=Z-DCB,

-CD1ABAC=45°f

：./.ACD=90°-45°=45°=Z.CAD,

：.AD=DC,

在△409和△COB中，

(乙DAF=LDCB

]AD=DC,

l乙ADF=4CDB

AADF=ACDB(ASA),

：.AF=BC,DF=DB,故①正確，

:"DFB=乙DBF=45°,

取BF的中點(diǎn)。，連接。。、0E.

c

圖1

,：Z-BDF=乙BEF=90°,

???OE=OF=OB=OD,

:?E、F、D、B四點(diǎn)共圓，

"DEB=乙DFB=45°,

.?.2coszDEB=2cos45°=V2,故②錯(cuò)誤，

如圖1中，作OM1/E于M,DNtBC于N,則四邊形DMEN是矩形，

-Z.DEB=45°,Z.AEB=90°,

：.Z-AED=90°-45°=45°=乙DEB,

:,DM=DN,

,：DF—DB,

.-.RtADMF=RtADNB,

；.MF=BN,EM=EN,

；.EF+EB=EM-FM+EN+NB=2EM=2EN,

cos乙DEB=瞿=cosz.450=—,

DE2

...EN=&E,

2

：.AE-CE=BC+EF-EC=EF+BE=2EN=^DE,故③正確,

如圖2中，延長(zhǎng)FE到H,使得FH=FB.連接HC、BH.

c

圖2

??2C4E=30。,4G4。=45。,^ADF=90°,

??ZO/F=15。，/-AFD=75°,

MDFB=45°,

：.Z.AFB=120°,

,"FH=60°,

,：FH=BF,

???△BF”是等邊三角形，

；.BF=BH,

-BCLFH,

.-.FE=EH,

：.CF=CH,

.?ZCFH=(CHF=Z.AFD=75°,

=75。，

.'.^ACH=AAHC=7S°,

：.AC=AH,

-AF+FB=AF+FH=AH,

：,AF+BF=AC,

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角二角形的判定和性質(zhì)、等邊二角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中

的壓軸題.

題型02與三角形有關(guān)的平移問(wèn)題

4.（2023?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）【問(wèn)題原型】如圖①，在RtZ\48C中，^ACB=90°,CDLAB.若4B=5,

BC=3,貝IJCD的長(zhǎng)為；

【操作一】如圖，②，將圖①中的，△4。。沿4。翻折得至1」44。后，則四邊形2ECD的周長(zhǎng)為；

【操作二】如圖③，將圖②中的△力CE沿射線48方向平移，使點(diǎn)4與點(diǎn)D重合，得到△DGF,點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)、為點(diǎn)、F.

（1）求證：四邊形力DFE是菱形；

（2）直接寫出四邊形4DGF的周長(zhǎng).

【答案】問(wèn)題原型：y；操作一：y;操作二：⑴見(jiàn)解析：⑵罷

【分析】問(wèn)題原型：首先利用勾股定理解得4c的值，再利用面積法解得C。的長(zhǎng)即可；

操作一：首先利用勾股定理解得4。的值，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CE=CD,AE=AD,然后計(jì)算四邊形4ECD

的周長(zhǎng)即可；

操作二：4）首先根據(jù)平移的性質(zhì)可得=4EIIDF,可證明四邊形4DFE為平行四邊形，再結(jié)合=

即可證明四邊形4DFE為菱形；（2）連接DE,交AC于點(diǎn)。，首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得力F，DE,OA=OF=^

AF,利用面積法解得0E的值，再利用勾股定理解得=7AE2—。蟲(chóng)=弟易得4F的長(zhǎng)度，然后利用平移

的性質(zhì)確定FG,DG的值，即可獲得答案.

【詳解】解：?jiǎn)栴}原型：

???乙4cB=90。，AB=5,BC=3,

--AC=7AB2-BC2=452-32=4,

,:CD1AB,

?'△ABC—-CD=^AC-BC,

x5xCD=1x4x3,

解得CD=￡.

故答案為：?；

操作一：

12

-CDLAB,AC=4,CD=-f

：.AD=7AC2—CD2=142一(92=y,

ACD沿ac翻折得到△ACE,

.-.AAEC=AADC=90°,CE=CD=y,AE=AD=y,

.?.四邊形4EC。的周長(zhǎng)=AE+CE+CD+AD=Y+^+T+T=T-

故答案為：I；

操作二：

(1)???△4CE沿射線4B方向平移得到△DGF,

???由平移的性質(zhì)可得4E=DF,AEWDF,

二.四邊形4DFE為平行四邊形，

'：AE=AD,

.??四邊形4DFE為菱形；

(2)如下圖，連接DE,交4c于點(diǎn)。，

?.?四邊形4DFE為菱形，

.-.AFIDE,OA=OF=^AF,

','S/\ACE=^AE-CE=^AC-OE,

即如藍(lán)x冷=：x4x0E,解得OE=黃，

.?.在Rt△40E中，OA=\AE2—OE2=J?—償丫=弟

.-.AF=2。4=爰，

???△4CE沿射線48方向平移得到△DGF,

12

：.FG=CE=—,DG=AC=4,

???四邊形ZDGF的周長(zhǎng)=”+/6+。6+4。=嘿+5+4+募=鬻.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)和平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.(2023?山東青島?三模)已知：如圖①，AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D、E、尸分別為AB、AC.BC

中點(diǎn)，連接DE、DF、EF.將△BDF向右平移，使點(diǎn)8與點(diǎn)C重合；將△4DE向下平移，使點(diǎn)/與點(diǎn)C重

合，如圖②.

空)

(2)已知：如圖③，/-AOB=/.COD=Z￡OF=60°,4。=CF=BE=2,設(shè)△4B。、AFEO.△CD。的面積

分別為Si、S2、S3；問(wèn)：上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(可利用圖④

進(jìn)行探究)

【答案】(1)<

(2)結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)利用等邊三角形的性質(zhì)，ffiBlAADE-△ABC,ABDF-△ABC,AEFC-AABC,求出aaBC的面積,

即可得到△ADE、△BDF、△EFC的面積，即可得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)。8到H使8H=。&延長(zhǎng)。4到G使AG=。。，連接HG,證明△GH。是等邊三角形，且面積為遍,

再證明aMGA三△COD(SAS),AMHB=AF0E,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：?；D、E、廠分別為4B、AC.BC中點(diǎn)，△4BC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

???DE=BF=CF=4。=4E=BD=GC=DF=EF=1,

△ADE、△BDF、AEFC都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

???△ADE-△ABC,△BDL△ABC,△EFC”△ABC,

DE_BF_CF

而一而一就一了

-1

AADE,△BDF、△EFC的高等于△ABCBi的5,

??.AADE,ABDF.△ETC的面積都等于△ZBC面積的中

如圖，設(shè)的高為

?.?Zi4BC=60W=2,

???h=Z8sin60。=與AB=V3,

?e?S^ABC=%?BC=V3,

???SAADE-S^BDF=^AEFC=^AABC=手，

???Si+S2+S3=S+S^BDF+SAEFC=乎Vg，

AADE4,

故答案為：v;

(2)結(jié)論成立

證明：延長(zhǎng)。B到“使8”=。號(hào)

延長(zhǎng)。4到G使4G=0。，連接HG,

???0A+AG=0A+DO=AD=2

0B+BH=0B+0E=BE=2

^AOB=60°

.??△G”。是等邊三角形

???OG=OH=HG=2

???S&GHO=g

在HG上取點(diǎn)M,使MG=OC

???HM+MG=HG=2

0C+0F=CF=2

??.HM=OF

(MG=CO

在AMGA和△C。。中，］zG=zCOP=60°,

(GA=OD

???△MGA=ACOD(SAS),

同理可證：AMHB三AFOE,

?>,S2=SAMHB，S3=S^MGA

由圖形可知：S^BO++^AMGA<

???Si+S2+S3VS^GHO=V3

即Si+S2+S3<y/3?

【點(diǎn)睛】本題中綜合考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，由于知識(shí)點(diǎn)比較多，本題的難度比較大.

6.(2023?遼寧沈陽(yáng)?三模)在平面直角坐標(biāo)系中，△DOE是等腰直角三角形，^ODE=90°,DO=DE=3,

點(diǎn)。在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限，矩形48C。的頂點(diǎn)8(4,2),點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)4在y軸的正

半軸上.將△DOE沿久軸向右平移，得到△/。石、點(diǎn)D,0,E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。，O',E'.

(1)如圖1,當(dāng)？。，經(jīng)過(guò)點(diǎn)力時(shí)，求直線071的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)。。=3△ZTOE與矩形4BC。重疊部分的面積為S；

①如圖②，當(dāng)△。。'￡與矩形ABC。重疊部分為五邊形時(shí)，DE與4B相交于點(diǎn)M,EO分別與AB,BC交于

點(diǎn)N,P,用含有t的式子表示S；直接寫出t的取值范圍；

②請(qǐng)直接寫出滿足s=（的所有珀勺值—.

【答案】（l）y=—尤+2

（2）?S=-1t2+4t-4,4<t<6；②t的值為9或5

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△4。。'是等腰直角三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得。。'=。4=2,從而得

到力（0,2）,。（2,0）,最后用待定系數(shù)法即可求得答案；

（2）①根據(jù)S=S矩形BCD，M—S^BPN，即可求得5=—京2+曲一4,再結(jié)合題意列不等式組即可求得

4<t<6；②分五種情況討論：當(dāng)0<tW2時(shí)，△。。成與矩形4BC。重疊部分為三角形；當(dāng)2<t<3時(shí)，

△0OE與矩形4BC。重疊部分為四邊形（梯形）；當(dāng)3sts4時(shí)，重疊部分為梯形；當(dāng)4<t<6時(shí)，

斤與矩形4BC。重疊部分為五邊形；當(dāng)6Wt<7時(shí)，重疊部分為矩形BCOF,分別畫出圖形，結(jié)合圖形建立

方程求解即可.

【詳解】（1）解：如圖①，當(dāng)EO經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，

圖①

???矩形4BC0的頂點(diǎn)B（4,2）,

:.OA=BC=2,

由平移的性質(zhì)可得：△。。'尻為等腰直角三角形,

z￡,,O,Z）,=45°,

?-?Z.AOO'=90°,

??.△a。。，是等腰直角三角形，

?1-00'=OA=2,

??.4（0,2）,0,（2,0）,

設(shè)直線。2的解析式為y=kx+b,

將4（0,2）,O'（2,0）代入得：L儲(chǔ)）、0,

解得:[fc1，

???直線。%的解析式為：y=—%+2；

(2)解：①如圖②，當(dāng)△。。缶，與矩形/BC。重疊部分為五邊形時(shí),

圖②

?.,矩形2BC0中，AB=0C=4,BC=OA=2,乙B=ABCO=90°,

■■四邊形BCZTM是矩形，

設(shè)。。，=3則CP=CO，=t—4,

?*.CD'=O'D'—CO'=3—(t—4)=7—t,BP=BC—CP=2—(t—4)=6—t,

???Z-O'PC=ABPN=/.E'O'D'=45°,

△BPN是等腰直角三角形，

BN=BP=6—t,

：?S=S矩形3CD，M—SMPN—BC,CD1—=2(7—t)—1(6—t)2=—+4t—4,

ft>4

?It-4<2J

???4<t<6；

圖③

22

重疊部分的面積為：5-SAO,OF=|o'O=|t,

???|t2=I，解得：t=±V7,

?-?o<t<2,

???t=±V7不符合題意，此時(shí)重疊部分面積不可能為：；

當(dāng)2<t<3時(shí)，△0OE與矩形4BC。重疊部分為四邊形（梯形），如圖④,

圖④

則。。=3—t,00'^t,AL^AG^t-2,

2

S=s△OLO._SAALG=1t--2）2=2t-2,

7

???2t—2-

解得：t=

2<t<3,

符合題意；

當(dāng)3WY4時(shí)，重疊部分為梯形，$="33—"12=4為定值，不能等于1；

當(dāng)4<t<6時(shí)，△ZTOE與矩形4BC0重疊部分為五邊形，

由①知：S=-1t2+4t-4,

■,-—9t之+4t-4=

解得：h=3（舍去），詢=5；

當(dāng)6Wt<7時(shí)，重疊部分為矩形BCZZF,如圖⑤,

圖⑤

CD'=7-t,

S=S矩形BCDF=BC,CD,=2(7—t),

771__

當(dāng)2(7—t)=5時(shí)，t=—<6,不符合題意；

綜上所述，滿足s=9的所有t的值為弓或5.

【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)，三角

形、梯形、矩形面積，代定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論

思想.

題型03與三角形有關(guān)的翻折問(wèn)題

7.(2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))如圖，RtaABC中，zC=90°,Nd=60。，力B=4,點(diǎn)E、F分別在直線AC、

邊BC上，連接EF,將△(?即沿著EF翻折，點(diǎn)C落在邊力B上的點(diǎn)。處.過(guò)點(diǎn)D作交直線4C于M.

(l)i4C=_,BC=_；

(2)當(dāng)CF=CE時(shí)，求證：AEMD34FBD；

(3)當(dāng)徑=9時(shí)，求4。的值；

(4)連接CD交E尸于點(diǎn)P,當(dāng)4P+8P取最小值=_時(shí)，EF的值為

【答案】⑴2；2V3

(2)見(jiàn)解析

⑶4。=3-遙或讓卓

(4)719,手.

【分析】本題考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，

(1)解直角三角形力BC求得結(jié)果；

(2)可推出乙4MD=NB,DE=CE=CF=DF,乙EDM=KBDF,從而得出結(jié)論；

(3)分為兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在CE上時(shí)，作FG14B于G,可證得△EMDFBD,從而黑=囂=2,進(jìn)而

DrCIVl

求得DF,BF,解三角形求得BG和DG,進(jìn)而求得結(jié)果；當(dāng)點(diǎn)M在EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作于H,同

樣方法得出結(jié)果；

(4)由CP=DP得出點(diǎn)P在△ABC的一條中位線所在的直線Z上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)X,連接BX,

交，于點(diǎn)P',當(dāng)點(diǎn)P在P'處時(shí)，D在P處，4P+PB最小為BX的值，在Rt2\4CX中求得4X的值，進(jìn)而求得8X,

連接CX,作VS±8C于S,可得△CXP，三△VBP，，從而求得BV=CX=1,依次求出VS,BS,CS,CV,CP',

根據(jù)"S得出言=?進(jìn)而求得CF,根據(jù)△CSVsZXEC尸得出言=,，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)解：Rt△力BC中，zC=90°,NA=60°,AB=4,

?-?AC=4?cos60°=2,BC=4?sin60°=2V3,

故答案為：2,2V3；

(2)證明："DMLAB,44cB=90°,

???^LADM=90°,N4+ZB=90°,

???乙4+/.AMD=90°,

???/,AMD=乙B,

由折疊得：NEO尸=90。，DF=CF,DE=CE,

工乙EDF=^BDM=90。,DE=DF,

???乙EDM=(BDF,

??.△EMD=AFBZ)(AAS)；

(3)解：如圖1,

當(dāng)點(diǎn)M在CE上時(shí)，作FG1ZB于G,

由上知：乙AMD=^B,乙EDM=^BDF,

??△EMD~AFBD,

.DF_DE

**BF-FM,

CLCLCM1

??,DE=CE,—

CE2

DF「

:.—=2,

BF'

■：CF^DF,BC=2小

...BF=竽，DF=竽，

BG=^-sinB=^x^=1,FG匚BF=叵,

33223

...DG=7DF2—FG2=J（竽）2-（空）2=V5,

■■■AD=AB-BG-DG=4-1-=3-V5,

如圖2,

圖2

當(dāng)點(diǎn)M在EC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作FH14B于",

DF_DE_CE2

同理上可知:

~BF~~EM~~EM3J

CF=DF,CF+BF=2通,

???FF-1x2V3=1V3,。?=誓,

...F"=竽，BH=l，

?,。=?竽）2_（￥）2=尊

...40=4--等=氣空

綜上所述：4。=3—遙或工書；

.'?點(diǎn)P在△ABC的一條中位線所在的直線/上運(yùn)動(dòng),

作點(diǎn)/關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)X,連接BX,交，于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在P'處時(shí)，。在P處，”+尸8最小為BX的值,

AX=AC-cosZ-XAC=2cos30°=V3,

?1?BX=7AX2+旃=J（V3）2+42=V19,

連接CX,作VS_LBC于S,

■.■CP'=P'V,^CP'X=Z.VP'B

又CXIIAB,貝此CXP，=NPW,

△CXP'=△VBP',

：.BV=CX=AC-sinzCXX=2sin30°=1,

：.VS=^BV=\,BS=^-BV=

CS=BC-BS=2行一空=竽，

?1.cv=7Vs2+CS2=J（1）2+（竽）2=V7,

??“-2一2'

vLBCA=90°,VSIBC

???VSWEC

???△CFP'CVS,

.CF_CP_

??cv~~csf

CF,

,———ti_

,,?一坦

2

?..CF=竿，

???VSWEC

???ACSV-AECF,

EF_CF

??'CV~~VS9

EF型

-----------------9

??V7-p

；.EF=￥，

故答案為：V19,”爭(zhēng).

8.（2023?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在Rt△力BC中，AABC=90°,過(guò)3點(diǎn)作BE1AC于點(diǎn)E,點(diǎn)。為線段4C的中點(diǎn),

連接BD.

(1)如圖1,AB=2,AC=6,求ED的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,將線段OB繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段OG,此時(shí)DG1AC,連接BG,點(diǎn)尸為BG的中點(diǎn)，連

接EF,求證：BC=2EF-,

(3)如圖3,乙4。8=30。，28=3,點(diǎn)尸是線段8。上一點(diǎn)，連接4P,將△2PB沿4P翻折到同一平面內(nèi)得到

△APB，,連接CB-將線段繞點(diǎn)CB，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得線段CQ,連接BQ,當(dāng)8Q最小時(shí)，直接寫出aBCQ的

面積.

7

【答案】(l)ED=w

(2)見(jiàn)解析

(3)9V3

77

【分析】(1)證明△ABEs/XACB,利用相似三角形的性質(zhì)求出=$則DE=AD—4E=g

(2)過(guò)點(diǎn)。作DH1BC于點(diǎn)打，過(guò)點(diǎn)尸作F/14C于點(diǎn)/連接尸D,則BE||?||GD,先證明FE=DF,進(jìn)

一步證明BD=4。=DC,再證明==22.5。，即可證明△BFD三△DHB,得至l」DF=BF,貝ij

BH=EF,再證明BH=HC,即可證明BC=2EF；

(3)如圖3中，以AC為邊向上作等邊三角形4CK,連接8K,證明△4C夕三aKCQ,得到4夕=QK,則

QK=3,求出BK=3V7,則BQ的最小值為3V7—3,此時(shí)反Q.K共線，作C/1BK于點(diǎn)J,利用等面積法

求出夕=5佚，則此時(shí)△BCQ的面積=：x(3夕一3)*蜉=96一苧.

【詳解】⑴解：--BE1AC,

.-.^AEB=/.CEB=90°,

.?N4=44,/.AEB=Z.ABC=90°f

AABE?AACB,

ABAC26

?,下=而，即Rn罰=5

2

ME,

???點(diǎn)。為線段/C的中點(diǎn)，

.,.AD=DC=^AC=3,

7

：.DE=AD-AE=-^

(2)證明：過(guò)點(diǎn)。作O”1BC于點(diǎn)X,過(guò)點(diǎn)/作F/14C于點(diǎn)/連接尸D.

G

圖2

-BELAC,F]LAC,DGLAC,

??.BE||FJ\\GD,

-BF=FG,

:.EJ=JD,

??.FE=DF,

??2BDG=45。,4ZOG=90。,

；/EDB=45°,

vzXBC=90°,AD=DC,

；.BD=AD=DC,

^^ADB=(DBC+乙DCB=45°,

：,LDBC=LDCB=225。，

???DB=DG,DFLBG,

???乙BDF=4GDF=225。,

DBH=(BDF=22.5°,

?；BD=DB,乙BFD=LBHD=9。。,

???△BFD=△OHB(AAS),

；,DF=BH,

；,BH=EF,

?；DB=DC,DHIBC,

；,BH=HC,

：.BC=2EF-

(3)解：如圖3中，以ZC為邊向上作等邊三角形ZCK,連接BK.

-Z.B'CQ=AACK=60°f

：.Z-ACB'=NKCQ,

-CA=CK,CB'=CQf

△i4C^,=AArCQ(SAS),

-.AB'=QK,

'：AB=AB'—3,

??.QK=3,

vZ^BC=90°,Z.ACB=^°,

.-.AC=CK=2AB=6,BC=^AB=3?NBCK=90°,

■■-BK=TOG+BC2=3V7,

■.■BQ>BK-QK=3V7-3,

??.BQ的最小值為3b一3,此時(shí)反Q.K共線，

作。1BK于點(diǎn)J,

■：YCB-CK=BK-C],

3V3X6_6V21

，。rT一一〒，

此時(shí)△8CQ的面積=：x(3V7—3)x5篝=9舊一早.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直

角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?重慶渝北?二模)等邊△力BC中，點(diǎn)。為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接。C.

F

(1)如圖1,在平面內(nèi)將線段DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,連接BE,若。點(diǎn)在4B邊上，且DC=通,

tanzXCD=|,求BE的長(zhǎng)度.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G為線段DC上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在CB延長(zhǎng)線上，連接FG、AG.在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，若NGAF+N4BF=180。，且FB—BD=4C,猜想線段CG與線段DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

猜想.

(3)如圖3,將△BDC沿直線BC翻折至△2BC所在的平面內(nèi)得到△BD￡,M點(diǎn)在A8邊上，且將

MA繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段AN,點(diǎn)H是直線4C上一動(dòng)點(diǎn)，將△MNH沿直線翻折至△MNH所在

平面內(nèi)得到△MVH,在點(diǎn)￡?、“運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)N7Z最小時(shí)，若4B=4,請(qǐng)直接寫出△DNH的面積.

【答案】(1瞥，

⑵DG=CG,證明見(jiàn)解析

(3喈

【分析】

1

(1)作DFLAC,在RtaOFC中，由tanN4CD=5，求出DF長(zhǎng)度，結(jié)合NB4C=60。，求出4。的長(zhǎng)度，由旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△4C0三△BCE(SAS),即可求解，

(2)作CHIMB,與2G延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,連接DH,由CHII4B,可得乙4BF=N4CH=120。，結(jié)合

NGAF+N4BF=180°,可得NF4B=N/MC,由△F4B三△HAC(ASA),得到F8=CH,結(jié)合

FB-BD=AC,可得CH=4D,可證D4CH為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，即可求

解，

(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)，找到。的軌跡，根據(jù)垂線段最短，確定MV的位置，進(jìn)而求出B。、BD、AN、NH

的長(zhǎng)度，作DEWH,得到SADN，H=SAEMH，CD=BD,依次求出HE、HF的長(zhǎng)度即可求解.

【詳解】⑴解：過(guò)點(diǎn)。，作。尸14C,于點(diǎn)￡

■■■DC=V5,tanZ-ACD=p

設(shè)4F=a,則FC=2a,

在RtzXDFC中，DF2+FC2=DC2,即：a2+(2a)2=(V5)2,解得：a=l,

：-DF=a=1,FC=2a=2,

???△ZBC是等邊三角形，

：.ABAC=Z.ACB=60°,CA=CB,

???DC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段CE,

/.ZDCE=6O°,CD=CE,

工乙ACB—乙DCB=^DCE—乙DCB,BP：Z.ACD=Z.BCE,

A?1C￡)=A^CE(SAS),

：.AD=BE=竽

故答案為：BE的長(zhǎng)度是孚，

(2)解：過(guò)點(diǎn)C作CHII48,與4G延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,連接

AC

?.^ABC=^BAC=60°,CH\\AB,

.-.Z^F=120°,^.BAC+AACH=180°,即：Z.ABF=Z.ACH120°,

-/.GAF+^ABF=180°,

.-.zGi4F=60°,

：,Z.GAF-^BAG=2LBAC-Z.BAG,即：4FAB=4HAC,

又?.?ZB=/C,

△FAB=△/MC(ASA),

.-.FB=CH,

?：FB-BD=AC,即：FB=AC+BD,

；,CH=FB=AC+BD=AB+BD=AD,

.,?四邊形D4CH為平行四邊形,

；.DG=CG,

(3)解：過(guò)點(diǎn)B作G/IIAC,連接M。、N'D,過(guò)點(diǎn)。作OE||MH,交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)H作HF1DE,交DE

于點(diǎn)尸，

//_7/__A__X.

N/4HCE

■.-GIWAC,△48C是等邊三角形，

：.Z.IBC=乙BCA=乙ABC=60°,

???直線ZB與直線G/關(guān)于直線BC對(duì)稱，即：。的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線G/,

■:N'D'>MD'-MN',MM為定值，

當(dāng)MZT1G/,點(diǎn)M在線段上時(shí)，取得最小值，V。取得最小值，

?.?將M4繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段4V,AM^AB,4B=4,

.-.ANAM=120°,AN=AM=^AB=^x4=1,BM=AB-AM=4-1=3,

.-.MN=MN'=V3,BD=BD'=3MB=1x3=|,

由折疊的性質(zhì)可知，4NMH=^N'MH,

..ZN'MB=30°=4NMA,

;/NMH-4NMA=4N，MH-/.N'MB,即：Z.AMH=乙BMH=90°,

:.乙NMH=乙AMN+^AMH=300+90°=120°,

N'H=NH=yj3MN=73XV3=3,/.MHN=30°,

???NNHN'=2乙MHN=2x30°=60°,

■■DEWN'H,

:.S&DN，H=S&EN，H，乙HEF=4VHM=60。，△是等邊三角形,

：.AD-AB=AE-AC,即BD=CE=],

37

:?HE=AC-AH+CE=AC—(NH—AN)+CE=4—(3—1)

.-.HF=爭(zhēng)E=孚x[=竽，

?'SADN,H=S^EMH=-HF=-x3x竽=當(dāng)用

故答案為：等.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)證明△力CD三△BCE(SAS),解△0/!(?；(2)找到AFAB三△/MC

(ASA)；(3)找到。的運(yùn)動(dòng)軌跡，ND取得最小值時(shí)，點(diǎn)。的位置.

題型04與三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

10.(2023?重慶九龍坡?模擬預(yù)測(cè))在等腰△ABC中，乙48c=90。，AB=BC,將斜邊AC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

一定角度得到線段力D,4。交BC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CF14D于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5。時(shí),若BG=1,求力C的長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30。時(shí)，連接BD,CD,延長(zhǎng)CF交BO于點(diǎn)￡,連接EG,求證：AG=CE+EG；

(3)如圖3,點(diǎn)M是4C邊上一動(dòng)點(diǎn)，在線段8M上存在一點(diǎn)N,使NB+N2+NC的值最小時(shí)，若M4=2,請(qǐng)

直接寫出aCNM的面積.

【答案】⑴2+或

(2)見(jiàn)解析

(3存

【分析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題

(1)過(guò)點(diǎn)G作GH14C于點(diǎn)X,得到HG=BG=1,即可求得CG=VL再由BC=4B=BG+CG,勾股定

理求得4C；

(2)延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)7,連接BT,求得Rt△4GBmRt△CTB,可得AG=CT,BT=BG,由BD||4C,得至【J

△TBEmAGBE,即可得至ijAG=CE+EG

(3)將△BCN繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到△BPQ,連接NQ、AP,當(dāng)點(diǎn)尸、。、N、/四點(diǎn)共線時(shí),

NB+N2+NC的值最小，此時(shí)是等腰直角三角形2BC的一條中線，即可求得aCNM的面積

【詳解】(1)解：如圖1,當(dāng)旋轉(zhuǎn)22.5。時(shí)，則4G=NG4B=22.5。，

過(guò)點(diǎn)G作GH1AC于點(diǎn)77,貝UGH=BG=1,

在等腰RtZkCGH中，/-BCA=45°,

則CG--42GH—V2,

則BC=8G+CG=&+1,

在等腰RtaABC中，

AC=y/2BC=2+y[2；

(2)證明：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作DMJ.AC于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)8作BN1AC于點(diǎn)N,

■：^DAM=30°,

.-.DM=

?/80=90°,AB=AC,

.-.BN=|4C

而ZC=AD,

：.DM=BN

5LDMLAC,BN1AC,

???四邊形BDMN是矩形

：.BD\\AC

延長(zhǎng)CE交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,

-CFLAD,

/.ZCFG=Z^C=9O°,

,：Z-AGB=Z-CGF,

：.Z.TCG=Z.GAB,

圖2

???4ABG=4CBT=90。,BA=BC,

AABG^△CBT(ASA),

；,AG=CT,BG=BT,

-BDWAC,

：ZEBG=乙ACB=45°,

則NEBT=90°-Z,EBG=45°=乙EBG,

?：BT=BG,BE=BE,

???△BEG三△BET(SAS),

??.ET=EG,

,'.AG=CT=CE+ET=CE+EG；

(3)解：如圖3,將△CBN繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△PBQ,

連接QN,AP.

則PQ=CN,△BQN是等邊三角形，

：.BN=NQ,乙BNQ=^BQN=60。，

?.?CN+AN+BN=PQ+QN+NANAP,

???當(dāng)尸，Q,N,Z共線時(shí)，NC+BN+ZN的值最小.

止匕時(shí)4/82=90。+60。=150。，PB=AB,/BAN=15。，

并且aBQN是等邊三角形，乙BNQ=60。,

.??乙48~=60。-15。=45。，

圖3

vzXBC=90°,

...乙ABN=LCBN=45°,

-,■BA=BC,

：.BM1AC,且CM=AM

又乙MAN=45°-15°=30°,

；.NM=%N=1,AM=WMN=W,

：.CM=AM=43,

△CNM的面積="CM.MN=三乂曲X\=當(dāng).

11.2023?貴州貴陽(yáng)?二模)在△ABC中，4(748=90。,在44?！?中，4瓦4。=90°,已知Rt△ABC和Rt△4DE

有公共頂點(diǎn)/,連接BD和CE.

位置關(guān)系是;

(2)如圖②，^AD-.AE=AB-.AC^l-.y/3,當(dāng)Rt△ABC繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)a(0。<a<360。)，(1)中BD和CE的數(shù)量關(guān)

系與位置關(guān)系是否依然成立，判斷并說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若AD=2W，AB=曲,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出CE的

長(zhǎng)度.

【答案】(1)BD=CE,BDLCE

(2)CE=V3B￡),CE1BD,理由見(jiàn)解析

^^3(713-1)^3(713+1)

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)：

(1)根據(jù)SAS證明△BAD=△CAE^BD=CE,再證明=4EHO=90°,可得BD1CE-,

(2)延長(zhǎng)DB交CE于8,與4E交于O,證明△BADC4E可得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出AC,AE,由勾股定理求出DE,在Rt^ECD中，運(yùn)用勾

股定理求出8。，從而可求出CE.

【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)DB交CE于〃，與4E交于O

E

???△4DE和△4BC是等腰直角三角形，

.'.AB=AC,AD—AE,

又NC/E+Z.EAB=^DAB+AEAB=90°,

：.Z-BAD=Z.CAE,

ABi4D=ACi4F(SAS),

,-.BD=CE,Z-BDA=Z-CEA,

-2LDOA=乙HOE,

：^OAD=乙EHO=90°,

：,CE1BD,

故答案為：BD=CE,BD1CE；

(2)解：CE=WBD,CE1BD,理由如下:

延長(zhǎng)。B交CE于〃，與AE交于。，

E

△BADCAE,

Dn1

Z-ADB=Z-AEC,

.,.CE=6BD,

???乙BOA=^EOH,

???4。/0=Z.EHO=90°,

：.BD±CE

綜上BOLCE,CE=WBD

(3)解：①如圖：

由(2)△BAD--ACAE,笑=*=喋=%且801CE,

CEACAEV3

'-'AB=V3,

：.AC=3,

在Rt^ZBC中，由勾股定理得BC=VAB2+4c2=2同

'-'AD=2V3,

.,.AE—6

在RtZk/EO中，由勾股定理得DE='AE2+=4亞

???C,B,。三點(diǎn)共線，且NECO=90。

??.在RtZkECO中，由勾股定理得DE?=CE2+。。2

227

即(4舊)=(V3BD)+(BD+2V3)

1.FDzz739^73

2

..”=途-1);

②如圖:

E

DnAp1

由（2）知—Cc=—AC.=^y/3,且BD1CE,

-■AB=V3,

.'.AC=3,

由勾股定理得BC=AMB2+/C2=2V3,

VTID=2V3,

：.AE=6,

在Rt△力ED中，DE=y/AE2+AD2=4V3,

???C,B,。三點(diǎn)共線，且NEC。=90°,

.?.在Rt△ECD中，由勾股定理得DE?=CE2+CD2,

277

即（4丹=（V3FD）+（BD-2V3）,

2

綜上，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長(zhǎng)度為空萼或空野.

12.（2023?廣東云浮?三模）閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在RtzXABC中，NB4C=90。，AB=AC,點(diǎn)。、E在邊8c上，

^DAE=45°.若BD=3,CE=1,求DE的長(zhǎng).

小明發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點(diǎn)N按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，得到△4CF,連接EF（如圖2）,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和

等腰直角三角形的性質(zhì)以及4口4￡=45。，可證三△D2E,得FE=DE.解△FCE,可求得FE（即

DE）的長(zhǎng).

AD

(2)參考小明思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：

①已知：如圖3,正方形4BCD,BM,DN分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足NM4V=4