2025人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊強化練習(xí)題-立體幾何初步

2025人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

第八章立體幾何初步

全卷滿分150分考試用時120分鐘

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的）

1.下列說法中正確的是（）

A.長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體

B.有2個面平行,其余各面都是梯形的幾何體是棱臺

C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體

D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是平行四邊形

2.如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是底角為45。的等腰梯形07VBe，且

BC=1QC=V^,則該平面圖形的面積為（）

A.yB.2C.2V2D.4V2

3.已知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為60。,底面圓的半徑為8,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.384兀B.392兀C.398JID.404TT

4.已知圓臺的上、下底面半徑分別是10和20,它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180。,則下

面說法不正確的是（）

A.圓臺的母線長是20B.圓臺的表面積是1100兀

C.圓臺的高是10V2D.圓臺的體積是若紇i

5.在直三棱柱ABD-AiBiDi中,AB=AD=AAi,NABD=45o,P為BiDi的中點，則直線PB與

ADi所成的角為（）

A.30°B.450C.60°D.9O0

6.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，點D,E分別在棱AAi,CCi

上,AB=AC=AD=2AiD=CE=2CiE=2,點F滿足前=入麗（0（九＜1）,若BiE〃平面ACF,貝|X的

值為（）

7.已知正方體ABCD-AiBiCiDi的表面積為96,點P為線段AAi的中點，若點DiG平面a,

且CP,平面a,則平面a截正方體ABCD-AiBiCiDi所得的截面圖形的周長為（）

A.4V3+6V5B.6V3+4V5C.4岳6西D.6V2+4V5

8.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)著作，書中記載有幾何體“芻薨”.現(xiàn)有一個芻薨如圖所示,

底面ABCD為正方形,EF〃底面ABCD,四邊形ABFE,CDEF為兩個全等的等腰梯

形,EF=；AB=2,AE=2何則該芻薨的外接球的體積為（）

A.絲回B.32兀c.空回D.64V27T

33

二、多項選擇題（本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.某圓錐的底面半徑為3,母線長為4,則下列關(guān)于該圓錐的說法正確的是（）

A.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為當(dāng)

B.該圓錐的體積為9夕兀

C.過該圓錐的兩條母線所作截面的面積的最大值為8

D.該圓錐軸截面的面積為券

10.如圖，正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,則下列四個命題中正確的是（）

A.直線BC與平面ABCD所成的角所

B.點C到平面ABCiDi的距離為日

C.異面直線DC和BCi所成的角為：

D.二面角C-BCi-D的余弦值為

11.如圖1,在等腰梯形ABCD中,AB〃CD,EF，AB,CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,將四邊形

AEFD沿EF進行折疊，使AD到達AD的位置，且平面ADFE，平面BCFE,連接A'B,D'C,

如圖2,則（）

圖1圖2

A.BEXA'D'

B.平面A，EB〃平面D'FC

C.多面體A'EBCD'F為三棱臺

D.直線ATT與平面BCFE所成的角為工

4

三、填空題（本題共3小題,每小題5分，共15分）

12.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2,高為3,則點A到不經(jīng)過點A的側(cè)面的距離

13.在△ABC中,NACB=9（r,AC=2,BC=5,P為AB上一點，沿CP將^ACP折起形成直二面

角AICP-B,當(dāng)A'B最短時，答=.

14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié),民間有吃粽子的習(xí)慣，一般情況下粽子的形狀是四面體.如圖1,

已知底邊和腰長分別為8cm和12cm的等腰三角形紙片將它沿虛線（中位線）折起來，可以

得到如圖2所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球），則蛋黃的半徑的最

大值為cm（用最簡根式表示）;當(dāng)該四面體的棱所在的直線是異面直線時，其所成

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（13分）現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，由上下兩部分組成，如圖所示，上部分是正四棱錐

P-AiBiCiDi,下部分是正四棱柱ABCD-AiBiCiDi,正四棱柱的高0Q是正四棱錐的高POi

的4倍.

⑴若AB=6m,P0i=2m,求倉庫的容積（含上下兩部分）；

⑵若上部分正四棱錐的側(cè)棱長為6m,當(dāng)POi為多少時，下部分正四棱柱的側(cè)面積最大?最

大面積是多少？

16.（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,E為PD的中點,EA=[PD,EF，AC,

垂足為F,且AC=4AF.證明：

（1）PB〃平面ACE;

（2）PA,平面ABCD.

17.（15分）如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中,AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4,點D是AB的

中I占八'、?

⑴求證:ACLBCi；

⑵求證:ACi〃平面CDBi;

⑶求異面直線ACi與BiC所成角的余弦值.

18.（17分）如圖，在四邊形ABCD中,AB，AD,AD〃:BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分別在

BC,AD上,EF〃AB,現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使BE±EC.

⑴若BE=3,在折疊后的線段AD上是否存在一點P,使得CP〃平面ABEF?若存在，求出色的

值;若不存在,請說明理由；

（2）求三棱錐A-CDF的體積的最大值,并求出此時點F到平面ACD的距離.

19.（17分）如圖，已知三棱臺ABC-AiBiCi的體積為等，平面ABBiAi,平面BCCIBI,AABC

是以B為直角頂點的等腰直角三角形，且AB=2AAi=2AiBi=2BBi.

⑴證明:BC,平面ABBiAi；

⑵求點B到平面ACCiAi的距離；

⑶在線段CCi上是否存在點F,使得二面角F-AB-C的大小為J?若存在，求出CF的長;若不

6

存在,請說明理由.

答案全解全析

1.D對于A,長方體是四棱柱,底面不是長方形的直四棱柱不是長方體,A錯誤；

對于B,棱臺側(cè)棱的延長線必須相交于一點,B錯誤；

對于C,各側(cè)面都是正方形，底面不是正方形(如菱形)的四棱柱不是正方體,C錯誤；

對于D,棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面都是平行四邊形,D正確.

故選D.

2.D畫出原來的平面圖形，如圖，則四邊形OABC為直角梯形,OC=2OC=2V^,BC=BC=1,

在等腰梯形O'ABC中,O'A，=V^x/x2+l=3,因此OA=3,

所以S四邊形OABC=：X(1+3)X2/=4魚.故選D.

3.A設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為1,則r=8,

由題意知,2兀L全,解得1=48,

所以圓錐的側(cè)面積為兀rl=8x48;r=384兀

故選A.

4.C圓臺側(cè)面展開圖,如圖.

設(shè)圓臺的上底面周長為C,由扇環(huán)的圓心角為180。,得C=7i-SA,

又C=2TIX10,所以SA=20,同理SB=40,則AB=SB-SA=20,圓臺的高h(yuǎn)=7^B2-(20-10)2=10V3,

表面積S=7i(10+20)x20+10071+40071=1IOO71,

體積V=17rxl0V3x(102+10x20+202)=Z￡y^7i.

故選C.

5.A取BD的中點E,連接EDi,AE,

易得PD1/7BE且PDi=BE,

所以四邊形BEDiP為平行四邊形，所以PB〃DiE,

故NADiE（或其補角）為直線PB與ADi所成的角.

設(shè)AB=AD=AAi=2,因為NABD=45。,所以NDAB=90。,因為E為BD的中點，所以

AE=DE=yAB=V2.

易得ADi=Ja02+叫=2"D1E=JDE2+叫=語

因為AD/=AE2+DIE2,所以AEXD1E.

故cosNADiE=鬻=需=*又0o<NADiE<180。,所以NADiE=30。.故選A.

6.C在BBi上取一點G,使得BiG=2BG,連接CG,AG,如圖所示.

CE=2CiE=2,ACCi=BBi=3,

...在直三棱柱ABC-AiBiCi中,BiG〃CE,且BiG=CE=2,

???四邊形BiGCE為平行四邊形,，BiE〃CG,

：BiEC平面ACG,CGu平面ACGJBiE〃平面ACG,

若BiE〃平面ACF,則F在平面ACG內(nèi)，又F為BD上一點,...F為BD與AG的交點.

易知△BFG<^ADFA,

DFDA2'

：.BF=^BDJ\\X的值為1.

故選C.

7.D取AD的中點M,AB的中點N,連接PD,MDI,MN,NBI,BIDI,AICI,AC.

易知M,N,Bi,Di四點共面,DlM，PD,DlM，CD,^.?PDnCD=D,PD,CDu平面PCD,.*.DiM±

平面PCD,又CPu平面PCD,ACP±DiM.

由AAi,平面ABCD,MNu平面ABCD,可得AAiLMN,易知MNXAC,

VACAAAi=A,AC,AAIACCiAi,...MN，平面ACCiAi,

又CPu平面ACCiAi,.\CP±MN,

又DiMCMN=M,DiM,MNu平面MNBiDi,

...CP，平面MNBiDi,即平面a為平面MNBiDi.

由題意可知6AB2=96,故AB=4,，MN=2V^,BIDI=4A②BiN=DiM=2花，，截面圖形的周長

為6魚+4迷.故選D.

8.A取AD,BC的中點N,M,正方形ABCD的中心O,EF的中點。2,連接EN,MN,FM,OO2,

如圖，

由題意知002,平面ABCD,EF〃AB〃MN,點0是MN的中點,MN=AB=4,

在等腰△AED中,AD，EN,EN=VAE2-AN2=2VX同理FM=2/,

因此，等腰梯形EFMN的高002=辰2-（誓］二夕，

由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，芻喘的外接球球心在直線002上，設(shè)外接球球心為01,連接

0iE,0iA,0A,易知0A=2版

則霏-0^+0%易得O1A=O1E>°2E4EF=1'

當(dāng)點01在線段020的延長線（含點0）上時，視001為非負(fù)數(shù);當(dāng)點01在線段020（不含點

0）上時，視001為負(fù)數(shù)，即O2O1=O2O+OO1=V7+OO1,

所以（2e）2+0。*1+（?+0。1）2,解得001=0,

因此芻薨的外接球球心在點0處,半徑為0A=2VI

所以芻薨的外接球的體積為空（2圾3=等故選A.

9.AC對于A,因為圓錐的底面半徑為3,所以圓錐的底面周長為27rx3=6匹又因為圓錐的母

線長為4,所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為野=芋，故A選項正確.

42

對于B,因為圓錐的底面半徑為3,母線長為4,所以圓錐的高h(yuǎn)=回矛=夕,故圓錐的體積

V=gx兀X32X?=3近再故B選項不正確.

對于C,設(shè)圓錐的兩條母線的夾角為0,則過這兩條母線所作截面的面積為*4x4xsin0=8sin

o,易知過圓錐母線的截面中,軸截面三角形對應(yīng)的e最大，此時cos所以0最

2X4X4o

大是鈍角,所以當(dāng)0苫時，截面的面積最大，為8sin5=8,故C選項正確.

對于D,易知圓錐的軸截面的面積為*6x77=3夕，故D選項不正確.

故選AC.

10.AB如圖，取BCi的中點H,連接CH,易證CH,平面ABCiDi,

所以NCiBC是直線BC與平面ABCiDi所成的角，為:，故A正確.

點C到平面ABC1D1的距離即為CH的長，為日，故B正確.

易證BCi〃ADi,所以異面直線DiC和BG所成的角為NADiC（或其補角），連接AC,易知

△ACDi為等邊三角形，所以NADiCg,所以異面直線DiC和BCi所成的角為去故C錯誤.

連接DH,易知BD=DCi,所以DHLBCi,

又CHLBCi,所以NCHD為二面角C-BCi-D的平面角，

易求得DH零

XCD=1,CH=—,

2

所以由余弦定理的推論可得COS/CHD=D5：:"：產(chǎn)=￡故D錯誤.

2DH,CH3

故選AB.

11.ABD對于A,因為平面ADFE，平面BCFE,平面ADFEC平面BCFE=EF,BEu平面

BCFE,BE，EF,所以BE,平面A'D'FE,

又因為ADu平面ADFE,所以BELAD,故A正確.

對于B,因為A舊〃DRAEC平面DFC,DFu平面DFC,所以AE〃平面DFC,

因為BE〃CF,BEC平面DFC,CFu平面DFC,所以BE〃平面D'FC,

又因為A'EnBE=E,A'E,BEu平面A'EB,

所以平面AEB〃平面DFC,故B正確.

對于C,因為器弓若=衿，則骼唱，所以多面體A'EBCD'F不是三棱臺，故C錯誤.

AE3EB42AEEB

對于D,延長AD；EF,相交于點G,

因為平面ADFE,平面BCFE,平面ADFEA平面BCFE=EF,AEu平面ADFE.AELEF,

所以A舊，平面BCFE,則NACE為直線ATT與平面BCFE所成的角.

解得GF=1,貝I]GE=3,則tanNA'GE="=l,

GE

則NACE=：故D正確.

4

故選ABD.

12.答案蜉

解析設(shè)正方形ABCD的中心為O,BC的中點為E,如圖所示.

易知EO=1,高P0=3,所以斜高PE=V32+l2=V10,

易知點A到側(cè)面PCD的距離與點A到側(cè)面PBC的距離相等,

易知SAPDC=SAPBC=1X2XV10=VT0,

正四棱錐P-ABCD的體積V=g四邊形ABCD-PC)qx2x2x3=4,

設(shè)點A到側(cè)面PBC的距離為d,

貝(JV=VA-PDC+VA-PBC=|SApoc-d+|SAPBC-d=|dx2V10=4,

故答案為粵.

13.答案

解析過點A作ADLCP于點D,連接BD,

設(shè)NACP=a(0<a<貝UNPCB吟a,

所以A*D=2sina,CD=2cosa,

在aBCD中，由余弦定理可得

BD2=CD2+BC2-2CDBCCOS^-aj=4cos2a+25-1Osin2a,

因為A*-CP-B為直二面角，所以ADJ_平面BCP,所以ADJ_BD,

貝！JA,B2=A,D2+BD2=4sin2a+4cos2a+25-10sin2a=29-10sin2a,

當(dāng)AR2最小時,AB最短,2a=q所以a=：,此時CP平分NACB,

24

由角平分線定理可得行4即答

BPBC5BP5

V145

14.答案

解析對題圖1中各點進行標(biāo)記洞時將題圖2置于長方體中如下，其中A,B,C三點重合.

........\E

ADR

設(shè)EP=xcm,ER=ycm,SE=zcm,

xz+yz=36,

2V7,

則1久2+22=36,解得二]，

(y+z2=16,(y=z=2V2,

...四面體ADEF的體積為|v長方體=[xyz=^4cm3),

2

四面體ADEF的表面積S=4SADEF=4x|x4x4V2=32V2(cm).

當(dāng)?shù)包S與四面體各個面相切時，蛋黃的半徑最大,

設(shè)此時蛋黃（近似于球）的半徑為rcm,

長方體16V7V14

貝Uv長方體=[sr,...r=-

s32V24"

設(shè)SQnDF=O,取DQ的中點M,連接OM,

則OQ=3cm,MQ=V2cm,

在RtAOMQ中,sinNQOM=篝=?,

c4A

cosZDOQ=cos(2NQOM)=l-2sin2NQ0M=1--=-,

故長為6cm的兩組對棱所成的角都為銳角,余弦值都是票

易知長為4cm的兩條棱所成的角為直角.

???所求最小的角的余弦值為李

15.解析（l）VPOi=2m,正四棱柱的高010是正四棱錐的高POi的4^,.*.010=8m.（2分）

倉庫的容積為1x62x2+62x8=312(11?).(5分)

(2)連接AiOi,設(shè)POi=xm,0<x<6,

則OiO=4xm,AiOi=A/36—/m,AiBi=V72—2x2m.(7分)

二?正四棱柱的側(cè)面積S=4-4x-V72—2x2=16V2x-V36—x2（m2）,（9分）

166736—久2g]6/y2+?；6一支2y二288近,

當(dāng)且僅當(dāng)x=”36—久2,即*=3四時，等號成立，

ASmax=28872.（12分）

所以當(dāng)P0i=3V^m時，正四棱柱的側(cè)面積最大,最大為288am2.（13分）

16.證明⑴連接BD,交AC于點0,連接0E,則0為BD的中點，又E為PD的中點，所以

0E〃PB,（3分）

又OEu平面ACE,PBC平面ACE,所以PB〃平面ACE.（6分）

（2）因為AF=：AC,所以F為A0的中點，

因為EFLAO,所以△AEO為等腰三角形，

-1-1

則AE=OE,又AE=|PD,OE=-PB,

所以PB=PD,連接0P,則P0±BD,（9分）

因為四邊形ABCD為菱形，所以AC±BD,XPOnAC=O,PO,ACu平面PAC,

所以BD，平面PAC,

又PAu平面PAC,所以BD±PA.（11分）

因為AE=|PD,E為PD的中點，所以NPAD=90。,即PA±AD,（13分）

又ADABD=D,AD,BDu平面ABCD,

所以PA,平面ABCD.（15分）

17.解析⑴證明:：AC2+BC2=AB2,AC±BC.

XVCiC±AC,CiCnBC=C,AAC±BCCiBi.（3分）

,.?BCiu平面BCCIBI,/.AC±BCI.（5分）

⑵證明:設(shè)CBi與CiB的交點為E,則E是BCi的中點，連接DE,

是AB的中點，

.,.DE〃ACi.（8分）

：DEu平面CDBi,ACi，平面CDBi,

.?.ACi〃平面CDBi.（10分）

（3）：DE〃ACi,...NCED（或其補角）為ACi與BiC所成的角.

在RtAAA1C1中,ACi=J四+4iC）=5,

1c.

???ED*ACI=2,

22

易得CDWAB=|,CEWCBI=2&,（13分）

.,.cosZCED=^-=—.

35

2

.?.異面直線ACi與BiC所成角的余弦值為手.（15分）

18.解析⑴假設(shè)存在滿足條件的點P.

如圖，過點P作PM〃FD,交AF于點M,連接ME,

A

?.?CE〃FD,...MP〃EC,，M,P,C,E四點共面.（2分）

：CP〃平面ABEF,CPu平面CEMP,平面ABEFC平面CEMP=ME,

...CP〃ME,?..四邊形CEMP為平行四邊形,（4分）

.*.MP=CE=4-BE=1,

易得FD=6-3=3,

由MP〃FD可得M警告.?.黑.（7分）

故存在點P,使得CP〃平面ABEF,止匕時/三.（8分）

（2）由題意得BELEF,又BE，EC,ECnEF=E,EC,EFu平面CEFD,

.?.BE,平面CEFD,

又AF〃:BE,；.AF，平面CEFD.設(shè)BE=x（0<xg4）,則AF=x,FD=6-x,

故VA-CDF=|X|X2X（6-X）-X=-|（X-3）2+3,

...當(dāng)x=3時,VA-CDF取得最大值，最大值為3,（10分）

此時EC=1,AF=3,FD=3,DC=2V2,

AD=VAF2+F￡）2=3V2,AC=V￡T2+EC2+AF2=V14,（12分）

在^ACD中,由余弦定理的推論得c°sNADC=薄造與

.?.sinZADC^,

/.SAACD=|DC-AD-sinZADC=3V3.（15分）

設(shè)F到平面ACD的距離為h,

由VF-ACD=VA-CDF,得|SAACD-1I=3,解得h=V3.

綜上,三棱錐A-CDF的體積的最大值為3,此時點F到平面ACD的距離為次.（17分）

19.解析⑴證明:連接ABi,

在三棱臺ABC-AiBiCi中,AB〃AiBi,

VAB=2AAi=2AiBi=2BBi,.\四邊形ABBjAi為等腰梯形且NABBi=NBAAi=60°,（l分）

設(shè)AB=2x,則BBi=x.

由余弦定理得ABl=AB2+BB^-2ABBBicos60°=3x2,

AB2=ABf+BB^,ABi±BBi,（2分）

?.?平面ABBiAi，平面BCCiBi,平面ABBiAiC平面BCCiB尸BBi,ABiu平面ABBiAi,

...ABi