2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型專練：排列組合數(shù)計(jì)算（解析版）

2025新高考數(shù)學(xué)計(jì)算題型精練

排列組合數(shù)的計(jì)算

i.計(jì)算：

(1)4A：+5A；；⑵端1.

【答案】(1)348(2)1

【詳解】(1)4A；+5A：=4x4x3+5x5x4x3=348

A：0A；10x9x8x7!t

10!10!

2.計(jì)算：

⑴A>(2)2.：」；⑶若3A：=2A2+6A；,求x.

【答案】(1)720(2)1(33=5

【詳解】(1)A：=6x5x4x3x2xl=720；

(2)2J+7卷—出文7二6義5k+7*8二7義此一05個(gè)4+7義5

建一鶯8x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x55x4x3x2xl-9x5

X1,(X+1)!,XIe2(x+l)6r

(3)由題設(shè)3x=2x^——^-+6x，則-----------1-------=3,

(x-3)!(x-1)!(x-2)!(x-l)(x-2)x-2

所以2(x+1)+6(x—1)=3(x—l)(x—2),則3x2—17x+10=(3x—2)(x—5)=0,

又XEN*,故X=5.

3.計(jì)算：

(1)求C+C+…+。的值;(2)若15"=89,求〃的值.

【答案】(1)330(2)?=15

【詳解】(1)C；+C：+…+C：o=C：+C：+…+C

=C；+C"..+C：0=Ci=?臀$=330.

4x3x2xl

A；-A：[(M-5)(M-6)-1]A；,

(2)----------=----------------------------=XV

A：A：

(?-5)(/7-6)=90,解正整數(shù)〃=15.

故正整數(shù)〃的值為15.

A7.A5117

4.解方程：⑴A；“=10A：；(2)^—^=89；(3)—--=7^,求Cf.

A〃yMiu5

【答案】(1)」=8(2)1=15(3)28

【詳角單】(1)；A：="(〃一1)(〃一2)…(〃一加+1),A；"=2"(2〃一l)(2"-2),A：=H(M-1)(M-2),

由A^?=10A^,得到：2〃(2〃一1)(2〃-2)=10]〃(〃-1)(〃一2)],又：?eN+,?>3,

化簡(jiǎn)得到：2(2〃-1)=5(〃-2)

所以力=8.

A7-A5A7

(2)由；"=89,即8=90,，A：=90A：,

A：A,

n\n\

又A；=，所以得到:=90'SP1=(?-5)(n-6)

(I)!(w-5)!

所以〃2—1—60=0，解得：〃=15或〃=一4（舍去），

所以〃=15.

n\

(3).?力；

m\(5-m)\m!(6—m)l_7m!(7-m)!

可化為

5!6!10x7!

A-A-ST,(6-m)(7-m)(6-m).…一八

化ZL間為1-=---------------，即nn冽2-23冽+42=0,所c以冽r=21或加=2

660

XvmGN+,m<5,：.m=2

27

所以C=C=X<=28.

5.求C：；0+2A]

【答案】4974

10X

【詳解】備+2Al=Cj+2A；=f"+2x4x3=4974.

)002x1

6.解不等式：3A二+12A：W11A3；

【答案】{2,3}

[詳解]因?yàn)锳，=(x+2)(x+l),A；=x(xT),A；+]=(x+l)x

則原不等式可化為3(x+2)(x+l)+12x(x-l)<11(r+1>,

即2/-7x+340,解得;VxV3,”?4,尤22,所以x=2,3,故原不等式的解集為{2,3}.

7.(1)計(jì)算:A：+A；；(2)計(jì)算：c；+c：+c；+c；+c]

【答案】(1)84:(2)70

【詳解】(1)A：+A；=4x3x2+5x4x3=84；

+1!

n\n\(幾十1—(?)=Cr

（2）因?yàn)镃：+C7--------------------+-------------------------------------二

r\[n-r)!(r-1)!(n+1-r)!r!(n+l-r)r!(t+l-r)+1，

所以c；+c：+c；+c：+c；=c：+c；+C+c：+c；

=C:+C+C：+C；=C：+C：+C；=C：+C；=C；=70.

8.求值：（用數(shù)字作答）

⑴芳-2C；(2)C；+C；+…+C：2

【答案】⑴等（2）715

,、Ap_^12x11x10x9x87x6x5x42678

【詳解】(1)-T-2C44,=---------------2x---------=-----

A；7x6x54x3x2xl7

(2)C"C；+…+C；2=C：+C：+…+&=《+&+…+&=，耀=/=等空半=715.

4XJX/X1

9.求解下列問(wèn)題：

⑴計(jì)算：⑵解方程：A：=7A"

A8-A9

【答案】⑴1⑵7

2x8x7x6x5x4+7x8x7x6x58x7x6x5x(8+7)

r角星](i)=--------------------------------=------------------m.

八8x7x6x5x4x3x2xl—9x8x7x6x58x7x6x5、24—9'

(2)???A：=7A",

1)=7(〃-4)("-5),化簡(jiǎn)整理可得，3/-31"+70=0,解得〃=7或〃=?(舍去)，

故〃=7；

綜上，計(jì)算結(jié)果為（1）1,（2）7.

io.（1）計(jì)算：C一■B；

117

（2）已知方「許7=方二，求仁+。片+。｝2+就"+3+/+4的值（用數(shù)字作答）.

C-rCzz-IUC/7

、4

【答案】（1）（2）462.

__44t+244x8x7x6x5+2x8x7x6x5x4

【詳角星】----—=----------------------------------

4-48x7x6x5x4x3x2xl-9x8x7x6x5

8x7x6x5x(4+2x4)124

8x7x6x5x(4x3x2xl-9)155

117m!(5-m)!m!(6-m)!7xm!x(7-m)!

（，）市-------=-----

、乙，1nm可得

nc?oc5!6!10x7!

即初(5-m)！m!x(6-m)x(5—m)!7xm!x(7——m)!

5!6x5!-10x7x6x5!

可得1-^--------=-----------------,整理可得：m~-23m+42=0,

610x6

解得加=2或機(jī)=21,

因?yàn)榭傻眉?2,

所以C；+C；+C：+C；+*=C；+C；+C；+/=C：+C；+C；。=C；。+/=c[

「511x10x9x8x7g

=G，=--------------------=462.

115x4x3x2xl

11.(I)計(jì)算：c：o+c：o-c：|；

(2)解不等式:A”6A

【答案】⑴0；(2){2,3,4,5,6,7}.

【詳解】(1)C：o+C：。-C*=C；1-c：=c：「c：=o.

(2),圖>6圖V,9x8x…x(10-尤)>6x9x8x…x(12-尤)，即(ll-x)(10-尤)>6,又

24x49,xeN*,.*.x=2,3,4,5,6,7,即不等式解集為{2,3,4,5,6,7}.

12.⑴解不等式:3HV2《1+6/：

117

(2)已知片一37=赤薪，求Cf

【答案】(1){3,4,5}；(2)28

【詳解】(1)因?yàn)槁?X(X-1)(X-2),/2=(X+1)X,/：=X(XT),所以不等式可化為

2

3x(x-l)(x-2)<2x(x+1)+6x(x-1),解得§4x45,又x23,尤eN,所以不等式的解集為

{3,4,5).

5!6!m7!117、

(2)因?yàn)?=m\(6-my.，C1=〃z!(7—⑼!’所以正一正一IOC；"'可化為

m!(5-m)!

]_上”二(7_")(6_7〃)，加2—23加+42=0,解得機(jī)=21(舍去)或2,所以C；=28.

660

13.解方程：CU+CU=：4";

【答案】4

【詳解】由牖+山=5心，即%，即心，

可得3L=3,即=—1—,

5!(x-2)!10-x!120(x-2)!10x(x-l)(x-2)!

可得％2_%_12=0,解得x=4或x=-3,

因?yàn)閤-2>0且X-2EN*,即X〉2且％EN*,

所以％=4.

A；-A；。

14.⑴計(jì)算：F；

(2)已知C；；=C：『(xeN*),求x.

【答案】(1)1;(2)x=2或x=5.

⑵已知C；；=C：L，貝i]2x=x+2或2x+（x+2）=17

解得：&=2或x=5,經(jīng)檢驗(yàn)均符合.

故x=2或x=5.

15.計(jì)算

⑴等^⑵%+制.

【答案】（1）15（2）5050

【詳解】⑴

A；+A：o_5x4+10_]5

A；-A；-3><2><1-4-：

⑵

C?oo+Co=*+C；oo=師產(chǎn)+100=5050.

16.解下列不等式或方程

⑴A；<6A「

117

G-------=-----

【答案】(1)%=8(2)冽=2

[0<x<8

【詳解】(1)由題意得：“CJC，解得：2<X<8,

0<x-2<8

解得：7Vx<12,結(jié)合2W8,可得：x=8

117

(2)聲一聲=75^，貝I」。(根<5，

m!（5-m）!m!（6-m）!7

__7___2______!_

107!

解得：m=2\（舍去）或2

故方程的解為：m=2

17.計(jì)算：

(1)4；(2)4+Ch(3)C：-Ch(4)3C/2C：；(5)C：；°.

【答案】(1)24；(2)30；(3)-1；(4)1；(5)4950

【詳解】⑴/：=4x3x2=24；⑵&+C；=/；+C；=5x4+—=30

2x1

(3)C：-C--5=-1.(4)3《-2c：=3C；-2C；=3x3-2x4=1.

(5)C：；o=C；oo=噗….

、、?44+24

18.(1)計(jì)算：—4~十.

4-4

117

(2)已知37-為="為，求琮+瑪用+。72+4+3的值

C5C61UC7

3

【答案】(1)(2)126.

4

,、口&力.,、4H+2Z；4x7x6x5+2x7x6x5x4

【詳解】(1)A

4胃一4/=7x6x5<x44x3「x2xl?-8…x7x6小x5

7x6x5x4x3_12_3

7X6X5X(4X3X2X1-8)-T6-4

117m!(5-m)!7xmx(7-m)!

⑵由有ZFk可得F---------L10X7!

C5

mx(6-m)x(5-m)!7xmx(7-加)(6-m)(5-m)!

即

5!6x5!10x7x6x5!

可得1_與"=21鬻5,整理可得：〃/_23加+42=0,

610x6

解得加=2或加=21,因?yàn)?4加V5,可得加=2,

所以。+。+C；+C；=C；W=C；+C；=C；=126.

19.計(jì)算：

⑴求仁+武+-.+。；0的值；⑵若學(xué)三=89,求〃的值.

4,

【答案】(1)330(2)15

【詳解】(1)(1)原式=c：+c；+…+c*=c；+c；+…+%

=C；+C；+…+C；o=...=C*+C；o=C；=330；

（2）（2）因?yàn)閊^=89,所以4-1=（〃一5）（〃-6）-1=89,

4；4；加（〃-7）!

(w-5)!

貝IJ/-11幾-60=0,解得〃=-4（舍）或〃=15,所以n15.

_、4小履一4

20'（1）求值：24+44;

（2）解方程：￡=7?。?eN*）.

【答案】（1）-（2）7

4

(24-9)4_5

【詳解】（1）解：原式=

（2）解：原方程可化為〃（〃-1）=7（〃-4）5-5）

即：3"2-31〃+70=0

解得：”=7或〃=與（舍去）

所以〃=7

21.求下列方程中的〃值：

（1）4=24+1；⑵GW+c'

【答案】⑴5⑵4

【詳解】⑴

解:因?yàn)?=24],

所以2〃（2〃—1）（2〃-2）=2（勿+（

化簡(jiǎn)得：2/—10〃=0,

,二〃23且〃￡N*,

解得：n=5；

⑵

因?yàn)閏：；；+ca=《4"，

,12

所以C：I；=歷43，

則*4"

化簡(jiǎn)得：?2-n-12=0

解得：〃=4.

22.(1)解不等式：3A3+12A；W11A；+J；

(2)解方程：A&=140A：.

【答案】(1){2,3}；(2)x=3.

【詳解】(1)由題意得3卜+2)(尤+l)+12x(x-l)Wll1+1卜，化簡(jiǎn)得2》2一7》+340,

即(2x_l)(x_3)V0,所以gv尤V3.

因?yàn)闊o(wú)22,且xeN*,所以不等式的解集為{2,3}.

'2x+l>4

(2)易知卜23所以x23,xeN*,

xeN*

由A&=140A；,#(2x+1)-2x-(2x-1)-(2x-2)=140x(r-1)僅一2),

化簡(jiǎn)得(4x2-35x+69).(x-l)=0,

解得再=3,匕=亍(舍去)，三=1(舍去).

所以原方程的解為x=3.

23.解下列方程：

⑴A)1=140A：；⑵3A；=4A7

【答案】(l)x=3(2)x=6

【詳解】(1)由排列數(shù)公式，原方程可化為(2x+l)x2xx(2x-l)x(2x-2)=140x(x-l)(x-2),

化簡(jiǎn)得(4X2-35X+69)(X-1)X=0,解得尤=3或》=弓或x=1或無(wú)=0.

h在、戶口[2x+124,2尤+leN"，

因?yàn)閤病足<_“*

x>3,xeN,

所以x的取值范圍為{x|x\3,xeN*}.所以原方程的解為x=3.

3x8!4x9!3x8!4x9x8!

（2）由3A1=4A：’得（8_X）!=（10-X）!'所以（8—x）!=（I0_x）（9_x）（8_x）!，

化簡(jiǎn)得/_19x+78=0,解得占=6,X2=13.

因?yàn)?<x48且0<x-149,所以原方程的解為x=6.

24.計(jì)算:

⑴3A；+4C：；⑵C『+C%.

【答案】（1）240（2）466

4x6x5

【詳解】（1）解：3A：+4C；=3x5x4x3+=240；

2x1

0<38-，1921

(2)由'，得k<〃<，因?yàn)椤‥N*,所以〃=10,

[3〃<21+〃22

所以啃"+C，=&+C，=砥。+&=受"+31=466

25.計(jì)算：

(1)4；(2)團(tuán)一團(tuán)；(3)%；(4)若34=4圖，求X值.

力12

【答案】(1)5040；(2)2520；(3)5；(4)x=6.

【分析】(1)(2)(3)(4)利用排列數(shù)的定義和性質(zhì)計(jì)算即可.

(1)41)=10x9x8x7=5040

⑵用-團(tuán)=9x8x7x6-9x8x7=2520

12!

⑶城才者41二K5!.

5!

89f

⑷若則3*正短二以口

9

所以3=4x(]0_x)(9r)，解得x=6或x=13(舍)‘所以x=6

26.計(jì)算：

(1)—4團(tuán)；(2)

【答案】(1)24；(2)64.

【詳解】(1"-44：=5!-4X4!=4!=24；

(2)/：+/：+/；+/：=4+4x3+4x3x2+4x3x2x1=64.

27.(1)計(jì)算：(Cjo+Cy+Moi；(2)計(jì)算：c；+C；+…+小；(3)解方程：位/=89.

【答案】(1)-：(2)330；(3)n=15.

6

【詳解】(1)原式=?。+品。卜4=%+“=[+蜀=5="

33

(2)M^=c：+c^+^+---+c10=c/+cf+--+c10=c：+c^+---+c1^---

=C[+C；°=C；=330.

(3)原方程可化為

-i——----iJ，八、~i——1=(〃_5)(〃_6)-1=南一11〃+29=89,

化簡(jiǎn)得〃2-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4（舍去），

故方程的解是〃=15.

28.計(jì)算：

4

⑴黑；（2）羽；⑶㈤-24；（4）寸.

【答案】(1)17160；(2)362880；(3)1568；(4)151200.

【詳解】(1)4=13x12x11x10=17160.

⑵工=9x8x7x6x5x4x