2025年中考數(shù)學(xué)大題專練：圓中的證明與計(jì)算問題（8大題型）（解析版）

中考大題06圓中的證明與計(jì)算問題

考情分析?直擊中考

中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系一直都是必考的考點(diǎn)，難度從基礎(chǔ)到綜合都有通常

選擇填空題會(huì)出圓的基本性質(zhì)，如弧長、弦長、半徑、圓周角等的關(guān)系,基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大，個(gè)

別會(huì)出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡答題部分，一般會(huì)把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合

考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會(huì)把圓的基本性質(zhì)等與其他動(dòng)點(diǎn)問題綜合考察,此時(shí)一

般都是壓軸題，難度很大，這時(shí)候就需要考生綜合思考的點(diǎn)比較多.

琢題突破?保分必拿

圓與全等/相似三角形的綜合

圓幕定理

四點(diǎn)共圓

圓的綜合

題型一：圓中的角度和線段計(jì)算問題

龍麓》大題典例

1.（2023,浙江杭州?中考真題）如圖，在。。中，直徑4B垂直弦CD于點(diǎn)E,連接2。/。,灰7,作CF12D于

點(diǎn)K交線段。B于點(diǎn)G（不與點(diǎn)。方重合）,連接。F.

A

(1)若BE=1,求GE的長.

(2)求證：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想NC4D的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)1

⑵見解析

(3)^CAD=45°,證明見解析

【分析】([)由垂徑定理可得N4ED=90。，結(jié)合CFL/W可得AD4E=NFCD,根據(jù)圓周角定理可得

乙DAE=￡BCD,進(jìn)而可得NBCD=NFCD,通過證明△BCE三△GCE可得GE=BE=1；

(2)證明aaCB々CEB,根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得BC2=B4-BE,再根據(jù)4B=2B0,BE=3BG,可證BC2

=BGBO；

(3)設(shè)N￡ME=NC4E=a,4FOG=LFGO=0,可證戊=90。-0,Z.OCF=90°-3a,通過SAS證明

ACOF=AAOF,進(jìn)而可得NOCF=4。49，即90°—3a=a,則Z/MD=2a=45°.

【詳解】(1)解：???直徑48垂直弦CD,

???Z.AED=90°,

???/-DAE+ZD=90°,

???CF1AD,

???/.FCD+ZD=90°,

???乙DAE=Z-FCD,

由圓周角定理得"ZE=乙BCD,

???Z-BCD=Z-FCD,

在△BCE和△GCE中,

(乙BCE=Z-GCE

{CE=CE,

l乙BEC=乙GEC

:.ABCE=AGCE(ASA),

.??GE=BE=1；

(2)證明：；4B是。。的直徑，

?-?/.ACB=90°,

在△acB和acEB中，

(^ACB=乙CEB=90°

I/.ABC=Z.CBE'

???AACBMCEB,

.BC_BA

BC2=BA-BE,

由(1)知GE=BE,

???BE=^BG,

又：AB=2BO,

???BC2=BA-BE=2BO-^BG=BG-BO；

(3)解：ACAD=45°,證明如下：

如圖，連接。C,

A

BFO=FG,

???Z.FOG=Z-FGO,

???直徑AB垂直弦CO,

??.CE=DE,Z-AED=Z.AEC=^°,

又?.?AE=AE,

AACE=AADE(SAS),

???Z.DAE=Z-CAE,

^Z.DAE=/.CAE=a,乙FOG=幺FGO=B，

貝!JzJ7。。=乙BCD=Z-DAE=a,

???OA=OC,

???Z.OCA-Z-OAC=a,

又乙408=90。，

???Z.OCF=Z.ACB-/.OCA-Z.FCD-乙BCD=90°-3a,

???(CGE=^OGF=B，LGCE=a,/.CGE+/.GCE=90°

???p+a=90°,

???a=90°—/?,

???Z-COG=Z.OAC+Z.OCA=a+a=2a,

???Z.COF=乙COG+Z.GOF=2a+3=2(90°—￡)+夕=180°一夕，

Z.COF=Z.AOF,

在△c。尸和△z。尸中，

(CO=AO

\Z-COF=￡.AOF

IOF=OF

???ACOF^A>1OF(SAS),

???Z.OCF=Z.OAF,

即90。一3a=a,

???a=22.5°,

???Z-CAD=2a=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三

角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識點(diǎn)，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論

證.

2.(2023?山東?中考真題)如圖，已知4B是。。的直徑，CD=CB,BE切。。于點(diǎn)B,過點(diǎn)C作CF1OE交BE

于點(diǎn)尸，若EF=2BF.

(1)如圖1,連接BD,求證：△ADBmAOBE；

(2)如圖2,N是力。上一點(diǎn)，在4B上取一點(diǎn)M,使NMCN=60。，連接MN.請問：三條線段MN,BM,DN有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴見解析

⑵MN=BM+DN,證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)CF1OE,OC是半徑，可得CF是。。的切線，根據(jù)BE是。。的切線，由切線長定理可得

BF=CF,進(jìn)而根據(jù)sinE=M=J,得出NE=30。，Z.EOB=60°,根據(jù)CD=CB得出而=而，根據(jù)垂徑定

理的推論得出。C1BD,進(jìn)而得出4WB=9(T=NEB。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出

AD=BO=^AB,即可證明△4BD三△OEB(AAS)；

(2)延長ND至H使得=連接CH,BD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得出NHDC=NMBC,證明

△HDC^△MBC(SAS),結(jié)合已知條件證明NC=NC,進(jìn)而證明△CNH三△CNM(SAS),得出NH=MN,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：CF1OE,0C是半徑，

是。。的切線，

「BE是。。的切線，

：.BF=CF,

:EF=2BF

尸1

----

.sinF尸2

Z.zE=30°,4EOB=60。，

,??CD=CB

：.CD=CB,

：.OClBDf

〈AB是直徑,

：.2LADB=90°=/LEB09

VzE+zEBD=90°,Z.ABD+Z.EBD=90°

：./-E=^ABD=30°,

：.AD=BO=^AB,

：.AABD=△OEB(AAS)；

(2)MN=BM+DN,理由如下，

延長ND至“使得OH=BM,連接C",BD,如圖所示

■:乙CBM+乙NDC=180。/”。。+Z.NDC=180°

:.乙HDC=cMBC,

?：CD=CB,DH=BM

：.△HDC=△MBC(SAS),

:?乙BCM=^DCH,CM=CH

由(1)可得乙480=30。，

又ZB是直徑，貝！］乙4。8=90。，

???乙4=60。，

：.Z-DCB=180°一乙4=120°,

VZMC/V=60°,

:?乙BCM+乙NCD=120°一乙NCM=120°-60°=60°,

，Z.DCH+NCD=乙NCH=60°,

工乙NCH=（NCM,

?;NC=NC,

：.△CNH=△CNM（SAS）,

：.NH=MN,

：.MN=DN+DH=DN+BM.

即MN=BM+DN.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，切線長定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角

的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的

關(guān)鍵.

蘢龍》犀黃指導(dǎo).

圓的基礎(chǔ)定理：垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的

特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.

垂徑定理野小三德三L

如圖，可得①AB過圓心②AB_LCD③CE=DE④筋=前⑤前=俞

【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的

弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧，若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其

中三個(gè)，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.

常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造RtZ\,用勾股，求長度；

2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

【利用圓周角定理解題思路】

1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以

利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.

2）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.

3）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對的圓周角.

4）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧

的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.

蘢變》一變其訓(xùn)級

1.（2023?河南商丘?模擬預(yù)測）如圖，過。。外一點(diǎn)尸作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,過點(diǎn)8作

BCIIP4交。。于點(diǎn)C,連接4B,AC.

（2）若AP=6,AB=4,求。。的半徑.

【答案】⑴見解析

O

（2）p/2

【分析】（1）連接04并反向延長交BC于點(diǎn)瓦根據(jù)切線的性質(zhì)得到NEAP=90。，由BCIIP4易得

^CEA=Z.EAP=90°,即根據(jù)垂徑定理得到BE=EC,即可得出結(jié)論；

（2）連接PO,與4B交于點(diǎn)H根據(jù)切線的性質(zhì)得到P4=PB,ABPO=AAPO,由垂徑定理得到P。14B,

AF=^AB=2,利用勾股定理求出PF,證明△FP2~X2P。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：連接。4并反向延長交于點(diǎn)E.

???AEAP=90°.

???BCWPA,

???/,CEA=2LEAP=90°,^AEIBC,

??.BE=EC,

AB=AC；

???PA.PB分別與。。相切，切點(diǎn)分別為/、B,

PA-PB,/.BPO-/.APO.

■■POLAB,AF=^AB=2.

???在Rt△PFA中，PF=y/AP2-AF2=4V2.

???Z.FPA=/-APO,/-PFA=Z-PAO=90°,

???AFPA-AAPO.

AFAO2AO

麗=酢，即nn亞=工，

XO=|V2,即O。的半徑是

【點(diǎn)睛】本題考查了切線定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于對知識

的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

2.（2023?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，乙4=90。，以4B為直徑的半圓交BC于。，過。作圓

(1)AE=CE；

(2)CD^CB=4DE2.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析】（1）由NC4B=90。、4B為直徑可以得出AC為圓的切線，再根據(jù)切線長定理得出ZE=DE,然后

在Rt2X4CD中可推得CD=DE,即可證明.

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論并結(jié)合相似三角形即可證明.

：.^ADC=AADB^90°,

?：/.CAB=90°,

.?.4C是圓的切線；

又；DE是圓的切線，

/.DE—AE,

：.^ADE=AEAD,

???NC=NCOE（等角的余角相等），

???CE=DE,

：.AE=CE.

（2）在RSCAD與RtZkCBA中,J版”高浮90。

J△CADCBA

.CA_CB

"CD~CA

^CA2=CD-CB；

:由（1）得CA=CE+4E=2DE,

：.CDCB=WE2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、切線長定理、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形等知識

點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)的定理和推論.

題型二：求弓形面積或不規(guī)則圖形面積

龍麓?大題典例

1.（2023?江蘇南通?中考真題）如圖，等腰三角形O4B的頂角N力。B=120。，。。和底邊4B相切于點(diǎn)C,并

與兩腰。4OB分別相交于D,E兩點(diǎn)，連接CD,CE.

⑴求證：四邊形ODCE是菱形；

⑵若。。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.

【答案】①見解析

（2）S陰影=等一2班

【分析】

（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)可得。C1然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得乙4。（?=NBOC=60。,

從而可得△ODC和△OCE都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得OD=CD=CE=OE,即可解

答；

（2）連接DE交OC于點(diǎn)F,利用菱形的性質(zhì)可得OF=1,DE=2DF,ZOFD=90°,然后在Rt2\0DF中，利

用勾股定理求出DF的長，從而求出DE的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積一菱形ODCE

的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】（1）

ACB

???O。和底邊4B相切于點(diǎn)C,

???OC1AB,

0A=OB,Z.AOB=120°,

Z.A0C=/.BOC=^AOB=60°,

?：OD=OC,OC=OE,

ODC和△OCE都是等邊三角形,

OD=OC=DC,OC=OE=CE,

：.OD=CD=CE=OE,

■■四邊形ODCE是菱形；

(2)

解：連接DE交OC于點(diǎn)F,

???四邊形0DCE是菱形,

;OF=：OC=1,DE=2DF,4。尸。=90。，

在RtZiODF中，OD=2,

...DF=VOD2-OF2=722_12=V3,

DE=2DF=2V3,

???圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積一菱形ODCE的面積

1207Tx221

-OC-DE

=—3^6707----2

47rl廠

=——x2x2v3

32

=y-2V3,

二圖中陰影部分的面積為等一2技

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件

并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇宿遷?中考真題）（1）如圖，4B是。。的直徑，AC與交于點(diǎn)尸，弦平分NB4C,點(diǎn)E

在4C上，連接DE、DB,.求證：

從①DE與。。相切；②DE12C中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫

序號），并完成證明過程.

（2）在（1）的前提下，若2B=6,^BAD=30°,求陰影部分的面積.

【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）⑵I用一苧

【分析】（1）一：已知條件為②DE14C,結(jié)論為①DE與。。相切；連接OD,先證出。。II4C,再根據(jù)

平行線的性質(zhì)可得DE1。。，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①DE與。。相切，結(jié)論

為②DE14C；連接。D,先證出。DII4C,再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得DEI。。，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即

可得證；

（2）連接。。,。尸，先解直角三角形求出。。/的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得2尸的長，從

而可得EF的長，然后根據(jù)圓周角定理可得NDOF=2ZCXD=60°,最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形

ODEF的面積減去扇形。DF的面積即可得.

【詳解】解：（1）一：已知條件為②結(jié)論為①OE與。。相切，證明如下：

如圖，連接。D,

C

E/

??,OA=OD,

???Z.OAD=Z.ODA,

???弦40平分

Z.0AD=Z.CAD,

???Z-CAD=乙ODA,

：.0D\\AC,

vDE1AC,

??.DELOD,

又???0D是。。的半徑，

，.0E與O。相切；

二：已知條件為①DE與。。相切，結(jié)論為②DE14C,證明如下:

如圖，連接。D,

?-?弦4D平分4BAC,

???Z.OAD=Z.CAD,

,Z.CAD=Z.ODA,

???OD\\AC,

???DE與。。相切，

DELOD,

???DE1AC；

(2)如圖，連接。20K

■：AB=6,ABAD=30°,

OA=OD=OF^3,AD=AB-cos30°=3?ACAD=30°,

DE=|X￡>==AD-cos30°=|

又-■?Z.BAD=Z.CAD=30°,

??"AC=60°,

.?.△Q4F是等邊三角形,

???AF=OA=3,

3

??.EF=AE-AF=I，

由圓周角定理得：^DOF=2^CAD=60°,

DE-QEF+OD')60KX32

則陰影部分的面積為S直角梯形ODEF—S扇形0。尸=

2360

|gx償+3371

2T

3n

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識點(diǎn)，熟練掌

握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

蘢龍》舞迷揖導(dǎo).

設(shè)OO的半徑為R,n。圓心角所對弧長為I,n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則

扇形弧長公式1=鬻（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關(guān)，且n表

±oU

示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位.）

2

扇形面積公式nnR17

5扇形一360一2'R

圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=Tirl（其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）

圓錐全面積公式S圓錐全=Tni+nr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）

22

圓錐的高h(yuǎn),圓r+h=I2

錐的底面半徑r

go。

【陰影部分面積求解問題解題思路】求陰影部分面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則

的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.常用的方法有：

直接公式法

常

用直接和差法

方構(gòu)造和差法

法全等法

等面積法

和差法割補(bǔ)法平移法

旋轉(zhuǎn)法

究麻法

容斥原理

蔻麓〉^或訓(xùn).級

1.（22-23九年級上?江蘇揚(yáng)州?期末）如圖，CD是。。的直徑，點(diǎn)B在。。上，點(diǎn)2為DC延長線上一點(diǎn)，過

點(diǎn)。作OEIIBC交48的延長線于點(diǎn)E,且=

⑴求證：4E是。。的切線；

⑵若線段OE與。。的交點(diǎn)F是。E的中點(diǎn)，。。的半徑為3,求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

【分析】！1）連接。B,根據(jù)圓周角定理得到BC1BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到NOBE=90。,

根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;

（2）連接BF,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=OF,推出aOBF是等邊三角形，得到48。尸=60。，根據(jù)

扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。B,

??,CD是。。的直徑，

：.BCLBD,^/.CBD=90°,

U：OE\\BC,

：.Z-DGO=/-CBD=90°f

:.乙BGE=^DGO=9。。，zD+zDOG=90°,

?:乙D=LE,

:.乙DOE=CDBE,

?；OD=OB,

Z-D=乙OBD,

：.Z-OBD+"BE=ZD+乙DOG=90°,

：.Z.OBE=90°,

：OB是O。的半徑，

??.4E是。。的切線；

(2)解：連接BF,

?：AOBE=90°,尸是0E的中點(diǎn)，

：.BF=0F,

,：O。的半徑為3,乙DGO=90°,

：.BF=OF=OB=3,4BGO=180°-乙DGO=90°,

/.△0BF是等邊三角形，

."BOF=60°,

."OBG=90°-乙BOF=30°,

：.OG=^OB=l，BG=70B2_0G2=收_(|丫=茅

，陰影部分的面積為:

2

cc_60X7TX31y3V3v3_3TT9A/3

3扇形08尸-心OBG=_xi=T一"T'

陰影部分的面積為磬-乎.

4o

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

扇形的面積的計(jì)算等知識點(diǎn).正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.（2023,江蘇常州?一模）如圖1,將一個(gè)三角形紙板△4BC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。到達(dá)△ABC，的位置，那么

可以得到：AB=AB',AC=AC,BC=B'C,ABAC=^B'AC,^LABC=AAB'C,^ACB=AAC

B'.（）圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變"中蘊(yùn)含著"不變"，這是我們解決

圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué).

⑴上述問題情境中"（）”處應(yīng)填理由：；

（2）如圖2,將一個(gè)半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板力BC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到達(dá)扇形紙板4夕O的位

置.

①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)。；

②如果BB，=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為cm；

⑶如果將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置.另一個(gè)在弧

的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止.此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少（如圖

3)?

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

（2）①作圖見詳解；②乎兀

8兀一8小

⑶-3-

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)處即可求解；②根據(jù)弧長公式的計(jì)算方法即可求

解;

（3）如圖所示，連接尸4交4C于點(diǎn)M,連接P4交于點(diǎn)N,連接PD,AA',PB',PC,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可

得P4=P4=4,Z.PAC—Z-PA'B'=30°,可求出PM,A'M,S=SAADP，再根據(jù)S陰影B，DP=S扇形刀方，一

^AA,DP'S陰影CDP=S扇形P4C—SA4DP，陰影部分的面積為S陰影+S陰影cop,由此即可求解?

【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，

應(yīng)填理由為：旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，

故答案為：旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；

（2）解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作圖如下：

②如圖所示，點(diǎn)8繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到方,

：./.BOB'=90°,OB=OB',且BB'=6cm,

.?.在Rt△BOB，中，OB=OB'=苧BB，=乎x6=3VL

：.BB'=黑x2-rt-OB=：x2兀x3或=—n,

360042

故答案為：囁；

(3)解：如圖所示，連接P4交4C于點(diǎn)M,連接24交4⑶于點(diǎn)N,連接PD,AA',PB',PC,

Z.APAC=Z.PAB=^BAC=30°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，/-PA'B'=Z.PA'C=Z.PAB=Z.PAC=30°,PA=PA'=4cm,PA'1AC,

在RtZkPAM中，/.PAM=30°,PA=4cm,

.".sinzPXM=sin30°=詈，貝i」PM=PX-sin30°==2cm,則4M=PA'-PM=4—2=2,

在RtZ\4DM中，NP4B'=30°,4M=2,

：.cos^PA'D=cos30°=—,則4D==、="

A'Dcos30°—3

=1x型=嗎

2233

,—△/力尸==5x4=S扇形PAg=360°xm(P4)2=—xnx42=-TT,

?e,陰影部分S陰影p/D=S扇形P4B'一^AA'DP=37T~竽=”年3,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，問理,S41DP=SA^DP=考mS扇形4PC=S扇形P4B，=留'，

,陰影部分S陰影PCO=S扇形4PC—S/^DP7r-竽=曳甘隹'

???陰影部分的面積為S陰影P?D+S陰影PCD=趣薩+細(xì)薩=臂^

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心的確定，弧長公式的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30。

的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形面

積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

題型三：正多邊形與圓

(2021?湖北隨州?中考真題)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用"同一個(gè)圖形的面積

相等"、"分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積"、"同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等"

等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程

簡便快捷.

DH

K

E/C

.0

M

D

（圖1）（圖2）

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為,其內(nèi)切圓的半

徑長為;

（2）①如圖1,P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為△4BC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△4BC各邊距離分別

為九1，八2，九3，連接4尸,BP,CP,由等面積法，易知/（/11+h2+九3）=S&4BC=3S^OAB，可得自十h2+

色=；（結(jié)果用含a的式子表示）

②如圖2,尸是邊長為。的正五邊形4BCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ZBCDE各邊距離分別為后，h2,h3,

o

儲，九5，參照①的探索過程，試用含G的式子表示八1+九2+八3+儲+總的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36。右五,

tan54°??）

O

D

（圖3）（圖4）

（3）①如圖3,已知。。的半徑為2,點(diǎn)力為。。外一點(diǎn)，。4=4,4B切。。于點(diǎn)B,弦BC〃。/1,連接

AC,則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留冗）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇4BCDEF,由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造.若要將花壇形狀改造成五邊形

ABCDG,其中點(diǎn)G在力F的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理

由.

【答案】（1）y,1;（2）①乎a；②涂；（3）①|(zhì)兀；②見解析.

【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可;

（2）①先求得邊長為a的正△4BC的面積，再根據(jù)）（/11+/12+八3）=50￡^=35404/?解題即可；②設(shè)點(diǎn)。

為正五邊形4BCDE的中心，連接。40B,過。作。Q148于Q,先由正切定義，解得0Q的長，由①中結(jié)論

知,S五邊形ABCDE=55A<MB，繼而得到5a（hi+%+/13+九4+九5）=5x/x5atan54。，據(jù)此解題；

（3）①由切線性質(zhì)解得NOAB=30。，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得NCOB=60。，根據(jù)平行線間

的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形08c

的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接DF,過點(diǎn)E作EG〃。尸交4F的延長線于G點(diǎn)，根據(jù)

S六邊形4BCDEF—+S&DGF=S五邊形4BCDG，據(jù)止匕解題?

【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：|X3X4=6,

直角三角形斜邊為：432+42=5,

設(shè)直角三角形斜邊上的高為心貝弓X5―/1=6

12

/l=—

設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r,則*3+4+5）=|x3x4

Ar=1,

故答案為：1；

（2）邊長為a的正△底邊的IWJ為烏面積為：S4OAB=Q,a,與a=4■是

1V37

V—a（/i+上+期）—S4ABC—3s△0/B=-a

Z14,

*，?h1+h2+八3=

故答案為：乎a；

②類比①中方法可知5a（八1+八2+九3+h4+八5）=S五邊形ABCDE，

設(shè)點(diǎn)。為正五邊形的中心，連接。40B,

由①得s五邊形4BCDE=5s△o/B,

1

過。作OQ1ZB于Q,Z,EAB=-x180°x(5—2)=108°,

故乙。4Q=54°,OQ=AQxtan54°=|atan54°,

故5a(九1+h2+無3+九4+九5)=5x—CLx—cztan54°,從而得到:

九1+八2+八3+九4+九5=|atan54°七||a.

(3)①?.?48是。。的切線，

???OB1AB

??.Z.OBA=90°

OB=2,OA=4

???/LOAB=30°

??.L.AOB=60°

???BC//OA

^LAOB=乙OBC=60°

???OC=OB

???Z.OBC=Z.OCB=60°

???乙COB=60°

過點(diǎn)。作。QIBC

???BC//OA,

???0Q是△COB、△ABC的高，

^AABC=S^ocB

60xTir260x4TT2

???S陰影部分=S扇形0BC=-痂—=360=371

故答案為：|兀；

②如圖，連接DF,過點(diǎn)E作EG〃DF交4F的延長線于G點(diǎn)，則點(diǎn)G即為所求,

連接。G,六邊形4BCDEF=S五邊形ABCDF+SADEF，

?：EG//DF,

"△DEF=S^DGF，

二?S六邊形尸=S五邊形/BCD尸+^ADGF=S五邊形

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識，涉及含30。角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、

平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

奧蘢》避黃揖號

正多邊形的常用公式

邊長a=2R-sin^（Rn為正多邊形外接圓的半徑）

nnn

360°

周長Pn=n-an外角/中心角度數(shù)

n

面積Sn=ganTn,n對角線條數(shù)n(n—3)

2

邊心距?內(nèi)角和(n-2)X180°.

rn=RnCOSn

內(nèi)角度數(shù)(n-2)x180°n邊形的邊數(shù)(內(nèi)角和+180°)+2

n

、的關(guān)系

anyRnrn解=溫+苧（an、Rn、0為構(gòu)成直角三角形的三邊長，已知其中兩個(gè)值，第三個(gè)值

可以借助勾股定理求解.）

【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成

2n個(gè)全等的直角三角形，而每個(gè)直角三角形都集中地反映了這個(gè)正n邊形各元素間的關(guān)系,

故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算.

蘢皿笠式訓(xùn)等

1.（2024?遼寧鞍山?三模）【發(fā)現(xiàn)問題】

蜂巢的結(jié)構(gòu)非常精美，每個(gè)巢室都是由多個(gè)正六邊形組成（如圖1）,某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用若干個(gè)形狀,

大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結(jié)構(gòu)拼成如圖2所示的若干個(gè)圖案，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：在每個(gè)拼接成的

圖案中，所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個(gè)數(shù)的變化而變化.

【提出問題】

在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)y與第一層正六邊形模具的個(gè)數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?

【分析問題】

同學(xué)們結(jié)合實(shí)際操作和計(jì)算得到如下表所示的數(shù)據(jù)

第一層正六邊形模具的個(gè)數(shù)X1234

拼接圖案中所需正六邊形模具的總個(gè)數(shù)y171937

然后在平面直角坐標(biāo)系中描出上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)得到圖3,同學(xué)們根據(jù)圖3中點(diǎn)的分布情況,

猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分.

圖3圖4圖5圖6

為了驗(yàn)證猜想，同學(xué)們從"形"的角度出發(fā)，借助"害I補(bǔ)”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具

（虛線部分）移到下面（如圖4）,并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補(bǔ)全，再拼接到一起（如

圖5),使每一層正六邊形模具的數(shù)量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個(gè)數(shù)，再減去用于補(bǔ)全圖形的正

六邊形模具的個(gè)數(shù)，即可求出y與x之間的關(guān)系式.

【解決問題】

(1)直接寫出〉與x的關(guān)系式；

⑵若同學(xué)按圖2的方式拼接圖案，共用了169個(gè)正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的

個(gè)數(shù)；

⑶如圖6,作正六邊形模具的外接圓，圓心為O,A,8為正六邊形模具相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，瓶的長為|7Tcm,

現(xiàn)有一張長：LOOcm,寬80cm的長方形桌子，若按圖2的拼接方式拼接圖案(模具間的接縫忽略不計(jì))，最

多可以放下多少個(gè)正六邊形模具？(遮=1.732)

【答案】⑴y=3》2—3x+l

(2)8個(gè)

(3)469個(gè)

【分析】

本題主要考查求二次函數(shù)式，二次函數(shù)的應(yīng)用以及正多邊形和圓：

(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)將y=169代入y=3x2—3x+1求解即可；

(3)設(shè)正六邊形其它頂點(diǎn)分別為連接2D,BD,求出28=2cm,BD=2V3cm,設(shè)第一層有x個(gè)

正六邊形模具，求出拼接圖案的最大寬度為2舊(2x—l)cm,最大高度為(6x—2)cm,分拼接圖案的高與長

方形桌子的長平行和拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行兩種情況求出x的值,代入函數(shù)關(guān)系式求出y的值

即可求解

【詳解】(1)

解:設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a豐0),

將點(diǎn)(1,1),(2,7),(3,19)代入關(guān)系式，得:

(a+b+c=1

]4a+2b+c=7

(9a+36+c=19

(a=3

解得，b=-3

Ic=1

與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3x2-3x+l；

(2)解：由(2)知，y=3x2-3x+l,

將y=169代入，得169=3/-3%+1,

解得，=8,%2=~7(不合題意，舍去)

所以，他拼接成的圖案中第一層有8個(gè)六邊形模具；

(3)

解：如圖，設(shè)正六邊形其它頂點(diǎn)分別為C,D,E,F,連接AD,BD,

由正六邊形及其外接圓的性質(zhì)得，AD為。。的直徑，Z-BAD=60°,線段BD的長即為邊力B,DE間的距離，

：.^ABD=90°,

：.AADB=30°

:荏的長為lircm,

???。。的周長為6義/=4兀(51),

4177"

O。的直徑=竺，即4。=4cm,

71

.'-AB=^AD=|x4=2(cm),BD=~-AD=~x4=2V3(cm)

設(shè)第一層有x個(gè)正六邊形模具，

...第x層的正六邊形模具個(gè)數(shù)最多，有(2x—1)個(gè)，拼接成的圖案共有(2x—1)層，其中有x層的高度按。。

的直徑計(jì)算，(x-1)層的高度按正六邊形的邊長計(jì)算，

所以，拼接圖案的最大寬度為2b(2x—l)cm,最大高度為4x+2(x—l)=(6x—2)cm,

①當(dāng)拼接圖案的高與長方形桌子的長平行時(shí)，有，

(2V3(2x-1)<80

I6%-2<100

解得,xW也等，

O

??二為整數(shù)，

?：x最大取12；

②當(dāng)拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行時(shí)，有，

C2V3（2x-1）<100

I6x-2<80

解得，

Vx為整數(shù)，

?：x最大取13；

將x=12代入丫=3/-3刀+1,得，y=397；

將x=13代入y=3久2—3x+1得，y=469,

V469>397,

最多可以放下469個(gè)正六邊形模具

2.（2023?河北邯鄲?二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六

個(gè)全等的小圓組成（如圖2）,大圓繞著圓心。勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)尸，N）均勻分布在大

圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如PQ）始終垂直于水平線/.

（l）zWOP=°

（2）若。4=16,。。的半徑為10,小圓的半徑都為1：

①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與/的最大距離為；

②當(dāng)圓心8到/的距離等于。4時(shí)，求?！钡拈L；

③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，MQ的長為定值，并求出這個(gè)定值.

【答案】①60

⑵①25；②。H=3VTT；③MQ的長為定值，定值為10.

【分析】（1）將360。平均分6份即可；

（2）①當(dāng)圓心Af在4。的延長線上時(shí)，圓心M與/有最大距離，據(jù)此即可求解；

②設(shè)的掛點(diǎn)為K,過點(diǎn)“作HT_U于點(diǎn)7,先證四邊形HT40是矩形，再用勾股定理解Rt△OHK即可;

③先證△NOP是等邊三角形，再證MNPQ是平行四邊形，可得MQ=NP=10.

【詳解】(1)解：4NOP=^=60。，

O

故答案為：60；

(2)解：①當(dāng)圓心M在/。的延長線上時(shí)，圓心河與/有最大距離，

最大距離為=0M+0A=10—1+16=25,

故答案為：25；

②如圖，設(shè)?！钡膾禳c(diǎn)為K,過點(diǎn)H作”TIE于點(diǎn)T,

??,掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線/,

???K,H,T在同一直線上，

???圓心〃到/的距離等于。4

：.HT=OAf

VHT1Z,OALI,

：.HT\\OAf

???四邊形HT4。是平行四邊形，

又?.?4。4r=90。，

???四邊形HTZ。是矩形，

?"0"T=90。，

?"OHK=90。，

???OH=70K2-H"=V102-l2=3Vil；

③證明：如圖所示，連接NP,MQ,

由⑴知ZNOP=60。,

又：ON=OP=10,

；.△NOP是等邊三角形，

：.NP=ON=OP=10,

..?小圓的半徑都為1,掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線I,

：.MN=PQ=1,MN||PQ,

四邊形MNPQ是平行四邊形，

:.MQ=NP=10,

；.MQ的長為定值.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型.

題型四：切線的性質(zhì)與判定

龍變》大題典例

1.(2023?黑龍江大慶?中考真題)如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD14D于點(diǎn)D,4D交。。

于點(diǎn)F,連接4C,若2C平分”48,過點(diǎn)尸作FG148于點(diǎn)G,交4C于點(diǎn)H,延長AB,DC交于點(diǎn)E.

①求證：CD是O。的切線；

(2)求證：AF-AC=AE-AH；

⑶若sinNDE4=g求需的值.

【答案】(1)證明，見解析

⑵證明，見解析

吟寫

【分析】(1)連接。C,根據(jù)2C平分ACMB,則AD4C=NC4B,根據(jù)。A=。配得NC4B=N0C4根據(jù)平

行線的判定和性質(zhì)，即可；

(2)由(1)得，/.DAC^^CAB,根據(jù)乙4HFNC4B+90。，^ACE-Z.OCA+90°,相似三角形的判定和性

質(zhì)，即可；

4nr4

(3)根據(jù)sinNDE4=：則器=［設(shè)。。的半徑為4%,貝|OE=5%,根據(jù)勾股定理求出CE；根據(jù)

□L/C□

AE=OA+OE,XD=1x9x,根據(jù)勾股定理求出DE,再根據(jù)DC=DE—CE,在根據(jù)勾股定理求出4C,根

\r-\AHAC目口—(*

據(jù)而=而，即可.

rnCc

【詳解】(I)連接。C

???AC平分4048,

：.^DAC=/-CAB,

?：OA=OC,

：.￡,CAB=^OCAf

：.ADAC=A.OCA,

：.AD\\OC,

「CDLAD,

，乙D=^OCE=90。,

???CD是。。的切線.

(2)證明，如下：

由(1)得，ZOCE=90°,

,：Z.DAC=Z.CAB,

'：FG1ABf

?"FG/=90。，

：.^AHF=^CAB+90°,

VZi4CE=zOCi4+90°,

△ZCE?

.AC_AE

??而一而‘

：.AC-AF=AE-AH.

4

(3)'.'sinZ.DEA=-f

.OC4

*-5J

設(shè)。。的半徑為4%,

OE=5x,

CE=y/OE2-OC2=3%,

?：AE=0A+0E=9xf

*.AD=(X9%=^-x,DE=y/AE2—AD2=

U：DE=DC-VCE,

：.DC=^x,

?：AC2=AD2+DC2=(y)2+(y)2,

.?."=塔取，

,/AACE-AAHF,

.AHAC__4V10

,,FH-?

【點(diǎn)睛】本題考查圓，相似三角形，銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵圓的切線定理的運(yùn)用，相似三角

形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的運(yùn)用.

2.(2023,湖北恩施?中考真題)如圖，△ABC是等腰直角三角形，乙4cB=90。，點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，連接C。

交。。于點(diǎn)E,。。與AC相切于點(diǎn)D

A

⑵延長CO交。。于點(diǎn)G,連接4G交O。于點(diǎn)R若4c=4魚，求FG的長.

【答案】①見解析

【分析】

(1)連接。。，過點(diǎn)。作。PLBC于點(diǎn)尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0CD=40CP=45。，推出

OD=OP,即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出。4。。的長，勾股定理求出4G,連接。尸，過。作。4G于點(diǎn)〃,

利用面積法求出。乩勾股定理求出HG,即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出FG的長.

【詳解】(1)證明：連接。。，過點(diǎn)。作。P1BC于點(diǎn)P,

,/。。與力C相切于點(diǎn)。.

：.OD1AC,

：△4BC是等腰直角三角形，44