2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：實際應(yīng)用問題（含一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的實際問題6題型）（解析版）

搶分秘籍09實際應(yīng)用問題（含一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次

函數(shù)的實際問題）（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測

用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)解決實際問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。

每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

i.從考點頻率看，用函數(shù)求最值問題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，所以必須提高運算能力。

2.從題型角度看，以解答題的第五題或第六題為主，分值8分左右，著實不少！

■（搶分通關(guān)

題型一用一次函數(shù)解決實際問題

典例精講

[例1]（2024?河南濠河?一模）2024年春晚吉祥物"龍辰辰"，以龍的十二生肖專屬漢字"辰"為名.設(shè)計靈感

以中華民族龍圖騰的代表性實物，突出呈現(xiàn)吉祥如意、平安幸福的美好寓意.某網(wǎng)店從工廠購進(jìn)大號、中

號兩種型號的“龍辰辰"，已知每個大號"龍辰辰"進(jìn)價比中號"龍辰辰"多15元，2個大號“龍辰辰”和1個中號

"龍辰辰"共150元.

⑴求大號、中號兩種型號的“龍辰辰”的進(jìn)價.

⑵該網(wǎng)點準(zhǔn)備購進(jìn)兩種型號的“龍辰辰”共60個，且大號“龍辰辰”的個數(shù)不超過中號的一半.中號"龍辰辰"

定價60元，大號“龍辰辰”的定價比中號多30%.當(dāng)購進(jìn)大號"龍辰辰"多少個時，銷售總利潤最大？最大利

潤是多少？

【答案】⑴大號的"龍辰辰”的進(jìn)價為55元，中號的"龍辰辰”的進(jìn)價為40元

⑵當(dāng)購進(jìn)大號"龍辰辰"20個時，銷售總利潤最大，最大利潤是1260元.

【分析】此題考查了一次函數(shù)、一元一次不等式、一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)大號的"龍辰辰”的進(jìn)價為X,則中號的“龍辰辰”的進(jìn)價為（X-15）元，根據(jù)2個大號“龍辰辰〃和1個

中號"龍辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；

（2）設(shè)購進(jìn)大號"龍辰辰"加個，則中號“龍辰辰”的個數(shù)為（60-切）個,銷售總利潤為w元，得到卬=3皿+1200,

再根據(jù)題意求出加W20,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】（1）解:設(shè)大號的“龍辰辰”的進(jìn)價為x,則中號的"龍辰辰"的進(jìn)價為（x-15）元，則

2x+（x-15）=150

解得x=55,

則x-15=40,

答：大號的“龍辰辰”的進(jìn)價為55元，中號的“龍辰辰”的進(jìn)價為40元；

（2）解：設(shè)購進(jìn)大號"龍辰辰"加個，則中號“龍辰辰"的個數(shù)為（60-加）個，銷售總利潤為w元，

貝1］卬=［60、（1+30%）-55］加+（60-40）（60-〃7）=3加+1200,

???大號"龍辰辰"的個數(shù)不超過中號的一半

；w=3%+1200中，左=3>0,

.".w隨著m的增大而增大，

當(dāng)加=20時，W取得最大值，It匕時取=3x20+1200=1260,

當(dāng)購進(jìn)大號"龍辰辰"20個時，銷售總利潤最大，最大利潤是1260元.

通關(guān)指導(dǎo)

此題考查了一次函數(shù)、一元一次不等式、一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程和函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?河南信陽?一模）煙花爆竹的發(fā)明與火藥技術(shù)的使用息息相關(guān).最初的爆竹是由唐朝的李畋發(fā)

明的，他利用火藥、紙筒等材料制作爆竹，目的是產(chǎn)生巨大聲響以驅(qū)鬼辟邪，煙花爆竹不僅在重要節(jié)日以

示慶賀，還承載著中國人迎祥納福的美好愿望.小紅的爸爸是一家煙花爆竹店的老板，在春節(jié)前購進(jìn)甲，

乙兩種煙花，用3120元購進(jìn)甲種煙花與用4200元購進(jìn)乙種煙花的數(shù)量相同，乙種煙花進(jìn)貨單價比甲種煙

花進(jìn)貨單價多9元.

⑴求甲、乙兩種煙花的進(jìn)貨單價；

⑵小紅的爸爸打算再購進(jìn)甲、乙兩種煙花共1000個，其中乙種煙花的購貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍,

如何進(jìn)貨才能花費最少？并求出最少的花費.

【答案】（1）甲種煙花的進(jìn)貨單價為26元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為35元;

⑵購進(jìn)甲種煙花250個，則乙種煙花750個，花費最少為32750元.

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等

量關(guān)系，正確列出分式方程及一元一次不等式和相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)甲種煙花的進(jìn)貨單價為x元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為（x+9）元，由題意列出分式方程，解方程即

可；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種煙花加個，則乙種煙花（1000-切）個，花費為y元，根據(jù)題意確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和不

等式，然后求解，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：設(shè)甲種煙花的進(jìn)貨單價為x元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為（x+9）元，

31204200

由題意得:

Xx+9

解得：x=26,

經(jīng)檢驗：x=26是原方程的解，且符合題意，

貝卜+9=35,

答：甲種煙花的進(jìn)貨單價為26元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價為35元;

（2）設(shè)購進(jìn)甲種煙花機(jī)個，則乙種煙花（1000-加）個，花費為y元,

由題意得：=26m+（1000-m）x35=35000-9m,

???乙種煙花的購貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍,

1000-m>3m,

解得：m<250,

-9<0,則y隨機(jī)的增大而減小，

.,.當(dāng)機(jī)=250時，y最小，最小為了=3500-9x250=32750元,

則1000-加=750,

答：購進(jìn)甲種煙花250個，則乙種煙花750個，花費最少為32750元.

名校模擬

1.（2024?浙江溫州?一模）2023年10月4日，亞運會龍舟賽在溫州舉行.某網(wǎng)紅店看準(zhǔn)商機(jī)，推出了A和

B兩款龍舟模型.該店計劃購進(jìn)兩種模型共200個，購進(jìn)B模型的數(shù)量不超過/模型數(shù)量的2倍.已

知3模型的進(jìn)價為30元/個，A模型的進(jìn)價為20元/個，B模型售價為45元/個，/模型的售價為30元/

個.

⑴求售完這批模型可以獲得的最大利潤是多少？

⑵如果3模型的進(jìn)價上調(diào)加元（0<加<6）,A模型的進(jìn)價不變，但限定8模型的數(shù)量不少于A模型的數(shù)

量，兩種模型的售價均不變.航模店將購進(jìn)的兩種模型全部賣出后獲得的最大利潤是2399元，請求出加

的值.

【答案】⑴2665元

（2）2

【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的

關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（3）分

0<m<5,〃?=5及5<小<6三種情況，找出y關(guān)于x都函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)購進(jìn)5模型x個，則購進(jìn)A模型（200-力個，根據(jù)購進(jìn)3模型的數(shù)量不超過A模型數(shù)量的2倍，可

列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論；設(shè)售完

這批模型可以獲得的總利潤為y元，利用總利潤=每個的銷售利潤x銷售數(shù)量（購進(jìn)數(shù)量），可得出y關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；

（2）由購進(jìn)5模型的數(shù)量不少于A模型的數(shù)量，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范

圍，結(jié)合（1）的結(jié)論可確定x的取值范圍，分0<加<5,加=55（加<6三種情況，找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式或y的值，結(jié)合y的最大值為2399,可求出加的值，取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)B模型x個，則購進(jìn)A模型（200-力個，

根據(jù)題意得：x<2（200-x）,

解得：xV苧,

又為正整數(shù)，...x的最大值為133.

設(shè)售完這批模型可以獲得的總利潤為y元，則y=（45-30）x+（30-20）（200-x）,

即了=5x+2000,

5>0,

隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=133時，y取得最大值，最大值=5x133+2000=2665.

答：售完這批模型可以獲得的最大利潤是2665元；

（2）解：根據(jù)題意得：x>200-x

解得：x>100

又???xv粵，且x為正整數(shù)，

...1004x4133且x為整數(shù).

當(dāng)0<加<5時，y=（45-m-30）x+（30-20）（200-x）

即>=（5—冽）x+2000

V5-m>0,

隨x的增大而增大，

.?.當(dāng)x=133時，y取得最大值，止匕時133（5-加）+2000=2399,

解得：m=2；

當(dāng)加=5時，y=（45-5-30）x+（30-20）（200-x）

即＞=2000,不符合題意，舍去；

當(dāng)5＜根＜6時，了=（45-w-30）x+（30-20）（200-x）

即y=（5-機(jī)）x+2000,

5-m＜0,

隨x的增大而減小，

二當(dāng)尤=100時，了取得最大值，此時100（5-加）+2000=2399,

解得：m=1.01（不符合題意，舍去）.

答：m的值為2.

2.（2024?湖南懷化?一模）為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買4,B兩種型號的充電樁.已

知3型充電樁比/型充電樁的單價多0.2萬元，且用20萬元購買/型充電樁與用24萬元購買2型充電樁的

數(shù)量相等.

（1）4,8兩種型號充電樁的單價各是多少？

⑵該停車場計劃購買/，3兩種型號充電樁共26個，購買總費用不超過28萬元，且2型充電樁的購買數(shù)量

2

不少于4型充電樁購買數(shù)量的請問/,8型充電樁各購買多少個可使購買總費用最少？

【答案】（1）43兩種型號充電樁的單價各是1萬元，1.2萬元

（2）45型充電樁各購買18個，8個可使購買總費用最少

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用：

（1）設(shè)/型號充電樁的單價為x萬元，則8型號充電樁的單價為（尤+0.2）萬元，根據(jù)用20萬元購買N型

充電樁與用24萬元購買B型充電樁的數(shù)量相等列出方程求解即可；

（2）設(shè)購買/型號充電樁機(jī)個，總費用為人則購買2型號充電樁（26-"）個，先根據(jù)題意列出不等式組

求出機(jī)的取值范圍，再求出少關(guān)于根的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)/型號充電樁的單價為x萬元，則2型號充電樁的單價為（x+0.2）萬元，

解得x=l,

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的解，且符合題意,

x+0.2=1.2,

答：A,8兩種型號充電樁的單價各是1萬元，1.2萬元；

（2）解：設(shè)購買/型號充電樁a個，總費用為萬，則購買8型號充電樁（26-"）個，

???購買總費用不超過28萬元，且2型充電樁的購買數(shù)量不少于/型充電樁購買數(shù)量的：.

7M+1.2（26-/H）<28

二<2，

26—m>—m

[5

4

解得16V加W18—,

7

W=m+1.2（26-加）=-0.2m+31.2,

-0.2<0,

，少隨機(jī)增大而減小，

又：加為正整數(shù)，

當(dāng)機(jī)=18時，總費用最少,

26—m=8,

答：A,8型充電樁各購買18個，8個可使購買總費用最少.

3.（2024?河北石家莊?一模）周末，甲、乙兩學(xué)生從學(xué)校出發(fā)，騎自行車去圖書館.兩人同時從學(xué)校出發(fā),

以每分鐘。米的速度勻速行駛，出發(fā)5分鐘時，甲同學(xué)發(fā)現(xiàn)忘帶學(xué)生證，以。米/分的速度按原路返回學(xué)校,

取完學(xué)生證后（在學(xué)校取學(xué)生證的時間忽略不計），立即以另一速度勻速追趕乙.甲追上乙后，兩人繼續(xù)

以。米/分的速度前往圖書館，乙騎自行車的速度始終不變.設(shè)甲、乙兩名同學(xué)相距的路程為s（米），行

駛的時間為x（分），s與x之間的函數(shù)圖象如圖1所示；甲學(xué)生距圖書館的路程為y（米），行駛的時間為

x（分），y與x之間的部分函數(shù)圖象如圖2所示.

八s侏）

圖1圖2

⑴學(xué)校與圖書館之間的路程為一米，?=_；

⑵分別求5Vx<10及104W20時，s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩名同學(xué)相距的路程不小于1000米的

總時長；

⑶請直談在圖2中補全y與x之間的函數(shù)圖象.

【答案】⑴5000,200；

400x-2000（5<x<10）

（2）^=7.5分鐘

-200x+400000VxV20）'

⑶見解析

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、行程問題等知識，解答本題時認(rèn)真分析函數(shù)圖象反應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是關(guān)

鍵.

（1）由圖②可得學(xué)校與凈月潭公園之間的路程和a的值；

（2）利用待定系數(shù)法求出s與x的函數(shù)關(guān)系式，然后分別求出s=1000時x的值，進(jìn)而求解即可；

（3）計算出甲第20分鐘時y的值和第25分鐘時y的值，完成圖象.

【詳解】（1）由圖②可得學(xué)校與凈月潭公園之間的路程為5000米，

a=（5000-4000）-5=200（米/分），

故答案為：5000,200；

（2）當(dāng)5Vx<10時，設(shè)5=履+。

將（5,。），（10,2。。。）代入得［.+^200。

%=400

解得=-2000

...5=400x-2000（5<x<10）；

當(dāng)10WxW20時，設(shè)s=3+4

將（/1。,2。。。\）,（/2。，。\）代入得f｛2-0k+6=0。。。

解得］b=4000

s=-200%+4000（10<x<20）；

400x-2000（5<x<10）

綜上所述，s=

-200x+4000（10<x<20）'

1000

當(dāng)甲返回學(xué)校時,x=+5=7.5

200+200

當(dāng)5Vx<10時，400%-2000-1000

解得x=7.5；

當(dāng)10WxW20時，-200x+4000=1000

解得x=15；

15—7.5=7.5（分鐘）

答：甲、乙兩名同學(xué)相距的路程不小于1000米的總時長為7.5分鐘;

(3)由(2)得，甲追乙的過程中，

當(dāng)10WxW20時，甲的速度是400米/分,

當(dāng)工=20時，y=5000-400x(20-10)=1000,

甲乙兩人第25分鐘時，到達(dá)公園，

4.(2024?陜西西安?二模)2024年3月22日是第三十二屆“世界水日"，聯(lián)合國呼呼全世界關(guān)注和重視水資

源的重要性.小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)水龍頭關(guān)閉不嚴(yán)會造成滴水浪費.為了倡議全校同學(xué)節(jié)約用水，他做了如下試

驗：用一個足夠大的量杯，放置在水龍頭下觀察量杯中水量的變化情況.知量杯中原來裝有10mL水，30min

內(nèi)7個時間點量杯中的水量變化如下表所示，其中t(min)表示時間，y(mL)表示量杯中的水量.

為了描述量杯中的水量與時間的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)類型供選擇；y=kx+b(k^Q),

y=ax2+Z>x+c(a*0),y=—(k0)

⑴在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，再選出最符合實際情況的函數(shù)類型，求出y與，的函數(shù)表達(dá)

式；

⑵在這種漏水狀態(tài)下，若不及時關(guān)閉水龍頭，請你估計照這樣漏一天，量杯中的水量約為多少mL?

【答案】⑴圖見解析，函數(shù)類型為了=履+可左/0),y與，的函數(shù)表達(dá)式為V=2x+10

⑵2890mL

【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖象及其函數(shù)解析式.

（1）用描點、連線方法畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象選擇一次函數(shù)解析式，然后利用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)

式即可;

（2）先算出一天的時間，再代入（1）中函數(shù)表達(dá)式中求解即可.

根據(jù)圖象，所給數(shù)據(jù)對應(yīng)點都在一條直線上，故該函數(shù)符合一次函數(shù)類型：y=kx+b（k^Q）,

.?.將（0,10）,（5,20）代入戶h+b中,

6=10k=2

得后解得

5+6=20'b=10"

二了與f的函數(shù)表達(dá)式為y=2x+10；

（2）解：一天時間為24x60=1440min,

當(dāng)x=1440時，＞=2x1440+10=2890,

答：估計照這樣漏一天，量杯中的水量約為2890mL.

題型二用反比例函數(shù)解決實際問題

典例精講：

【例1】（新考法，跨學(xué)科，拓視野）（2024?寧夏吳忠?一模）已知某品牌電動車電池的電壓為定值，某校物

理小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)使用該電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象

⑴求該品牌電動車電池的電流/與電阻R的函數(shù)類系式.

⑵該物理小組通過詢問經(jīng)銷商得知該電動車以最高速度行駛時，工作電壓為電池的電壓，工作電流在

7.2A-8A的范圍，請幫該小組確定這時電阻值的范圍.

48

【答案】⑴/

（2）6<7?<y

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意得出反比例函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.

k

（1）設(shè)電流/與電阻R之間的函數(shù)表達(dá)式為/=2,將點代入求解即可；

（2）把/=7.2,/=8分別代入解析式求出對應(yīng)的尺，然后結(jié)合函數(shù)圖象即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：設(shè)電流/與電阻尺之間的函數(shù)表達(dá)式為/=[,

由圖象知，函數(shù)圖象過點（3,16）,

16=—,解得左=48,

???電流/與電阻火之間的函數(shù)表達(dá)式為/二三48；

R

⑵解:當(dāng)/=7.2時，7.2="，解得,

K5

48

當(dāng)/=8時，8=—,解得R=6,

R

20

觀察圖形可知：6<R<—,

即該小組確定這時電阻值的范圍為64R4號20.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，理解題意得出反比例函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.

I

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________JI

【例2】（2024?廣東中山?一模）在某一電路中，電源電壓。保持不變，電流/,電壓U,電阻R三者之間滿

足關(guān)系式/=■，電流/（A）與電阻必。）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

。367?/Q

⑴寫出/與R的函數(shù)解析式；

⑵結(jié)合圖象回答：當(dāng)電路中的電流不超過12/時，電路中電阻R的取值范圍是什么？

【答案】⑴/=*（尺>0）

R

⑵氏230

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，結(jié)合圖形求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵；

（1）由圖知，把點N的坐標(biāo)代入/=1中，可求得。的值，從而確定函數(shù)解析式；

（2）求出當(dāng)/=12時，R=3.結(jié)合反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可確定電路中電阻尺的取值范圍.

【詳解】（1）解：電源電壓。保持不變，由圖象可知46,6）,

/與R的函數(shù)解析式為/=二：

把點力的坐標(biāo)代入上式中得：6=烏，即。=36,

（2）解：由（1）可知，函數(shù)解析式為/=募.

電源電壓。保持不變，

...當(dāng)/=12時，R=3.

?函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)，/隨R的增大而減小,

.??當(dāng)電路中的電流不超過12A時，7?>3Q.

名校模擬

1.（2024?山西臨汾?一模）在物理學(xué)中，電磁波（又稱電磁輻射）是由同相振蕩且互相垂直的電場與磁場在

空間中以波的形式移動，隨著5G技術(shù)的發(fā)展，依靠電磁波作為信息載體的電子設(shè)備被廣泛應(yīng)用于民用及軍

事領(lǐng)域.電磁波的波長4（單位：m）會隨著電磁波的頻率單位：MHz）的變化而變化.下表是某段電

磁波在同種介質(zhì)中，波長彳與頻率/的部分對應(yīng)值：

頻率/(MHz)51015202530

波長〃m)603020151210

⑴該段電磁波的波長2與頻率/滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？并求出波長4關(guān)于頻率/的函數(shù)表達(dá)式;

⑵當(dāng)/=50MHz時，求此電磁波的波長X.

【答案】（1）反比例函數(shù)關(guān)系，幾=拳

（2）6m

【分析】本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識，

利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

（1）由表中數(shù)據(jù)可知，電磁波的波長彳與頻率/滿足反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)解析式為％=:（左/0）,用待定

系數(shù)法求解即可；

（2）把/=75MHz值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此電磁波的波長4.

【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可知，電磁波的波長彳與頻率/的乘積為定值，

電磁波的波長2與頻率f滿足反比例函數(shù)關(guān)系，

設(shè)波長幾關(guān)于頻率/的函數(shù)解析式為％左手0）,

把點（10,30）代入上式中得：（=30，

解得：k=300,

。300

/.Z=------?

f'

（2）當(dāng)［=50MHz時，力=黑=6,

答：當(dāng)f=50MHz時，此電磁波的波長4為6m.

題型三用二次函數(shù)解決實際問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?浙江?模擬預(yù)測）某個農(nóng)場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的.其

橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體。/上，另一端固定在墻體8C上，其橫截面有2根支架OE,

為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對應(yīng)支架的長度變化，如圖2所示，調(diào)

整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米（接口忽略不計），需要增加經(jīng)費32000元.

⑴分別以03和。4所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

①求出改造前的函數(shù)解析式.

②當(dāng)CC，=1米，求GG'的長度.

⑵只考慮經(jīng)費情況下，求出CC的最大值.

1n

【答案】⑴①〉=-記/+》+1;②］米

⑵1.6米

【分析】（1）①設(shè)改造前的函數(shù)解析式為y:辦,+瓜+以根據(jù)所建立的平面直角坐標(biāo)系得到

￡（4,3.4）,C（6,3.4）,然后代入解析式得到關(guān)于。、b、c的方程組，求解即可；

②根據(jù)已知條件得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)解析式得到C'、夕的坐標(biāo)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件表示出G'、夕的坐標(biāo)得到。的不等式，進(jìn)而得到CC的最大值.

【詳解】（1）解：①如圖，以。為原點，分別以。和CM所在的直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

由題意可知：幺（0,1）,￡（4,3.4）,C（6,3.4）,

設(shè)改造前的拋物線解析式為了="2+bx+c,

c=1

<16Q+46+C=3.4,

36a+6b+c=3.4

1

10

解得：,b=l

c=1

改造前的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-Jy+x+i；

②如圖，建立與（1）相同的平面直角坐標(biāo)系，

由①知改造前拋物線的解析式為了=-《/+工+1,

1u

—----------------5

,對稱軸為直線-，

2

設(shè)改造后拋物線解析式為：y2=cx+dx+l,

?.?調(diào)整后C與E上升相同的高度，且CCJ1,

二對稱軸為直線x=5,則有-,=5,

2c

當(dāng)％=6時，＞=4.4,

36。+6d+1=4.4,

???改造后拋物線解析式為：%=—苗工2+三工+1,

當(dāng)x=2時，

11Q

改造前：x22+2+l=y,

改造后：％=----x22H-----x2+l=—,

21201215

，竺-巨二

.?.GGf-“（米）,

211553

7

:.GG'的長度為§米;

（2）如（2）題圖，設(shè)改造后拋物線解析式為^="2_1（）辦+1,

?.?當(dāng)x=2時，j2=ax22-10i?x2+l=-16(7+l,

當(dāng)x=4時，j;=ax42-10ax4+l=-24a+l,

G[2,-16a+l),￡(4,-24a+l),

]

EE'+GG'=-24a+l-16a+l-^3A+^=-40a-4,

由題意可列不等式：(一40a-4)x200x60432000,

解得：a>-y,

???CU=￡￡'=—24a+l—3.4,

要使最大，需。最小，

.??當(dāng)。=—J時，CC的值最大，最大值為1.6米.

6

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一

次不等式的實際應(yīng)用等知識點.掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及是一元一次不等式的應(yīng)用解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?河南信陽?一模）信陽位于中國南北地理分界線，地處淮河中上游，素有"北國江南，江南北

國"美譽，自古雨水充沛，河流眾多，降雨量和人均水資源量久居河南第一，素以“水廣橋多”著稱，被譽為“千

湖之市其中一座橋的橋洞形狀符合拋物線形狀，如圖1所示，橋墩高3米，拱頂/與起拱線BC相距4

米，橋孔寬6米.

⑴若以起拱點8為坐標(biāo)原點建立平面坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并求其頂點坐標(biāo).

⑵河面的平均水位2米，信陽游客服務(wù)部門打算建造河上觀賞船，故應(yīng)考慮船下水后的吃水線問題.額定

載客后，觀賞船吃水線上面部分的截面圖為矩形斯GH（如圖2）,當(dāng)船寬FG為3米時.①求吃水線上船

高EF約多少米時，可以恰好通過此橋；②若考慮澇季水面會再往上升1米，則求此時吃水線上船高的設(shè)

計范圍.

【答案】⑴拋物線的函數(shù)表達(dá)式了=-］（尤-3）2+4,頂點坐標(biāo)為（3,4）,

⑵①斯=4米，②當(dāng)船寬FG為3米時，要求吃水線上船高E尸小于3米

【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)建立的平面直角坐標(biāo)系求出函數(shù)的表達(dá)式是解題關(guān)鍵.

(1)以起拱點2為坐標(biāo)原點建立平面坐標(biāo)系，8c所在線為x軸，過點3作8C的垂線為了軸，建立的平面

直角坐標(biāo)系如下：

因此，拋物線的頂點坐標(biāo)為(3,4),可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-3>+4,再將B點的坐標(biāo)(0,0)代入

即可求解；

(2)①根據(jù)題(1)的結(jié)果，令x=1.5求出V值，從而可得吃水線上船高EF；②澇季水面會再往上升1

米，即要求吃水線上船高在①的基礎(chǔ)上減少1米.

【詳解】(1)以起拱點2為坐標(biāo)原點建立平面坐標(biāo)系，8C所在線為x軸，過點5作BC的垂線為V軸，建

立的平面直角坐標(biāo)系如下：

根據(jù)所建立的平面直角坐標(biāo)系可知，3點的坐標(biāo)為(0,0),拋物線的頂點坐標(biāo)為(3,4)、C點的坐標(biāo)為(6,0),

因此設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-3>+4,

將3(0,0)代入得：9a+4=0,

4

解得：=--,

4

則所求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為V=-§(x-3)2+4；

(2)①由題意，當(dāng)船的中軸線與橋拱的對稱軸重合時，而且恰好通過此橋，如圖：

怦

米

—

33

???尸G=3,則打、尸的橫坐標(biāo)％=3--=—,

22

3433

當(dāng)％得歹=—3>+4=3,即E坐標(biāo)為弓,3),

???河面的平均水位2米，

故￡尸=3-2+3=4（米）

船高EF約4米時，可以恰好通過此橋，

②若考慮澇季水面會再往上升1米，則要求吃水線上船高的減少1米，

吃水線上船高跖447=3,即若考慮澇季水面會再往上升1米，則要求吃水線上船高小于3米.

名校模擬

1.（2024?陜西西安?二模）如圖，某一拋物線型隧道在墻體。M處建造，現(xiàn)以地面ON和墻體分別為x軸

和了軸建立平面直角坐標(biāo)系.已知=￡米，且拋物線經(jīng)過點C’q；請根據(jù)以上信息，解決

下列問題.

⑴求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵現(xiàn)準(zhǔn)備在拋物線上的點￡處，安裝一個直角形G斯鋼拱架對隧道進(jìn)行維修（點尸，G分別在x軸，了軸

46

上，且OGWCM,￡G〃x軸，￡尸〃歹軸），已知鋼拱架GE+跖的長為GE+M=彳米，求點石的坐標(biāo).

［答案】⑴+

⑵（吟）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）設(shè)點石”,一：/+鄉(xiāng)+個］，則點,廠?,0）,從而有GE+EF=t-^-t2+=

求出f的值，然后代入求解即可；

本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）...（?/=力米，

???設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+^.

將點小，幻，C’S代入，

55

小土169

49〃+7b+——=—

55

1

解得5

入

b=—6

[5

.??拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-|x2+|x+y;

（2）由題意，設(shè)點,貝?。蔹cG（0,-y2+［+y］，P&0）,

由題意，得GE+E尸=

解得4=5,t2=6,

、“-r’1?6161cl6l162116/一人“人口=**.

當(dāng)f=5口寸，+25+1x5+I-=y>y（不付合感思，舍去）x；

、1,,126161“6/1616

當(dāng)，=6時n，——r+-t+——=——x36+-x6+——=——,

5555555

???點E的坐標(biāo)為

2.（2024?河北石家莊?一模）一個裝滿水的水杯豎直放置在水平桌面MN上時的縱向截面如圖1所示，其左

右輪廓線ZC、5。都是拋物線工的一部分，已知水杯底部N8寬為46cm，水杯高度為12cm,杯口直徑CD

為8j§cm且CD〃血W,以杯底A8的中點為原點。，以1W為x軸，A8的垂直平分線為V軸建立平面直

角坐標(biāo)系.

D

（1）輪廓線/C、8。所在的拋物線￡的解析式為：；

（2）將水杯繞點A傾斜倒出部分水，杯中水面CE〃必V,如圖2當(dāng)傾斜角/B/N=30。時，水面寬度為

CE=cm

【答案】y=1x2-4；14.

【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y="2+c,把點8（26,0）,。（46」2）代入了=ax?+c中，求出拋物線

的解析式即可；

(2)在坐標(biāo)系中作出CE,求出CE的解析式，進(jìn)而求出點E的坐標(biāo)，即可求出CE的長；

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式時解題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)由題意可知，5(273,0),。(46』2卜

設(shè)拋物線￡的解析式為了=a/+c,

0=a'(2y/3]+c1

a=—

將點B、。坐標(biāo)代入得2,解得'3,

12=a-(473)+cc=-4

.??解析式為夕=；/-4；

(2)如圖，易知NDC￡=30。，

設(shè)C。、CE分別與V軸交于點尸、G,

在RtACFG中，CF=4班,

AFG=CF-tan30°=4,

即C卜4百,12),<7(0,8),

設(shè)直線CG解析式為y=kx+b,

-4收+6=12

則解得:

b=8

?,?直線CG的解析式為尸—4+8,

令—x+8=—%2—4>

33

解得xx——4,x2=3-73，

將X=3A/J代入J-4,

得V=5,

???石卜百,5),

0￡'="一46一36『+（12-5）2=447+49=14.

3.（2024?遼寧鞍山?一模）乒乓球被譽為中國國球.2023年的世界乒乓球錦標(biāo)賽中，中國隊包攬了五個項目

的冠軍，成績的取得與平時的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的.圖2是圖1所示乒乓球臺的截面示

意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度（距離球臺的高度）0/為28.75cm的點/處，將乒乓球向

圖1圖2

乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：cm）,乒乓球運行的水平距離記為x（單位：cm）.測得如下數(shù)據(jù):

水平距離x/cm0105090130170230

豎直高度y/cm28.7533454945330

⑴如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，描出表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（xj）,并畫出表示乒乓球運行軌跡

形狀的大致圖象.

A〉/cm

60TT-1--------r-----r-----r-----r1---1----T—1----1----TT

5()+-++-+4-+-+++

40十一+4--++-++-+4--++-+++-++-++-++-++

3()+-4-+-++-+4-+-+++-+4--++-+++十一+

20+-4-+-++-+4-4--++-++-+4--4-+4--++-++

10++-4-+-++-++-4-+4--++-++一++-+4-+-+4--+

O102030405060708090100110120130140150160170180190200220220230240^0111

圖3

⑵①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點時，與球臺之間的距離是.cm,當(dāng)乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水

平距離是cm.

②求滿足條件的拋物線的表達(dá)式.

⑶技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度CM,乒乓球的運行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng),

又能落在對面球臺上，需要計算出CM的取值范圍，以利于有針對性的訓(xùn)練，如圖2,乒乓球臺長08為270cm,

球網(wǎng)高CD為15.25cm.現(xiàn)在已經(jīng)計算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球高度。/的值約為1.27cm.請你計算出乒乓

球恰好落在對面球臺邊緣點3處時，擊球高度。4的值（乒乓球大小忽略不計）.

【答案】⑴見解析

（2）①49,230；②y=-0.0025（%-90y+49

⑶乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度?！钡闹禐?0.75cm

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用：

（1）根據(jù)描點法畫出函數(shù)圖象即可求解；

（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性求得對稱軸以及頂點，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當(dāng)V=0時，x=230；

②待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為了=-0.0025（X-90）2+49+A-28.75,根據(jù)題意當(dāng)》=270時,

y=0,代入進(jìn)行計算即可求解.

【詳解】⑴解:如圖所示,

本了/cm

60-TT

++++

-

50---IT+I

++++

40---IIII

++++

3QYIIII

++++

20-

10—

-1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1——1———>

o102030405060708090100110120130140150160170180190200220220230240x/cm

（2）解：①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當(dāng)x=50和尤=130時，函數(shù)值相等，則對稱軸為直線x=90,頂點坐標(biāo)為

(90,49),

又拋物線開口向下，可得最高點時，與球臺之間的距離是49cm,

當(dāng)y=0時，x=230,

二乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是230cm；

故答案為：49；230.

②設(shè)拋物線解析式為y=a（x-90『+49,將⑵。,0）代入得,

0=a（230-90）2+49,

解得：a--0.0025,

拋物線解析式為y=-0.0025（x-90）2+49；

（3）解：?.?當(dāng)CM=28.75cm時，拋物線的解析式為y=-0.0025（尤-90y+49,

設(shè)乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點B處時，擊球高度04的值為力cm,則平移距離為（〃-28.75）cm,

平移后的拋物線的解析式為y=-0.0025（尤-90）2+49+A-28.75,

依題意，當(dāng)x=270時，y=0,

即-0.0025（270-90）2+49+6-28.75=0,

解得：h=60.75.

答：乒乓球恰好落在對面球臺邊緣點5處時，擊球高度。4的值為60.75cm.

題型四用一次函數(shù)和反比例函數(shù)解決實際問題

典例精講

[例1](2024?河南漠河?一模)河南作為糧食生產(chǎn)大省，發(fā)展設(shè)施農(nóng)業(yè)是推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興的重要抓手.設(shè)

施農(nóng)業(yè)就是利用工程技術(shù)手段和工業(yè)化生產(chǎn)的農(nóng)業(yè)，能夠為植物生產(chǎn)提供適宜的生長環(huán)境，使其在舒適的

生長空間內(nèi)，健康生長，從而獲得較高經(jīng)濟(jì)效益.例如冬天的寒潮天氣，氣溫較低不利于蔬菜生長，可用

裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培蔬菜.如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度＞(℃)與時

f(h)之問的函數(shù)關(guān)系，其中線段/尻BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示溫系統(tǒng)關(guān)閉階段,

請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

061224X

⑴求圖象中CD段的函數(shù)表達(dá)式，并寫明自變量的取值范圍.

(2)解釋線段8C的實際意義.

(3)大棚里栽培的這種蔬菜在溫度為15。(2到18P的條件下最適合生長，若某天恒溫系統(tǒng)開啟前的溫度是10。0

那么這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長的時間有多長.

【答案】⑴蚱竽12WXV24)

⑵線段5C表示恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為18。(2；

(3)10.65h

【分析】本題是以實際應(yīng)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)圖象求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式.

(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合題意回答即可；

(3)把y=15代入卜=3尤+10和＞=”中,

即可求得結(jié)論.

3x

k

【詳解】(1)當(dāng)124x424時為雙曲線的一部分，設(shè)了與x的關(guān)系式為y=

X

.*.18=—,解得:左=216,

.??、與尤的關(guān)系式為了=于（124X424）；

（2）線段8c表示恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為18。（2；

（3）設(shè)N8段的解析式為P=s+〃，由圖象可知過點（0/0）,（6,18）,

[6m+n=18

.4

「,m=—

解得：＜3,

〃=10

4

??.AB段的解析式為y=-x+10,

44

.?.當(dāng)歹=15時，代入y=§x+10得15=1%+10,

解得X*

4

小、216/曰72

代入y=——得％=二，

x5

.??最適合生長的時間有華72-1?5=10.65（小時）.

54

通關(guān)指導(dǎo)

本題是以實際應(yīng)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)

鍵是根據(jù)圖象求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式.

L名校模擬

1.實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）

變化的圖象如圖所示（圖象由線段。4與部分雙曲線N8組成）.國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量

大于或等于20（毫克/百毫升）時屬于"酒后駕駛"，不能駕車上路.

⑴求部分雙曲線48的函數(shù)表達(dá)式；

⑵假設(shè)某駕駛員晚上23:00在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上7:30能否駕車去上班？請說明理由.

【答案】⑴廣出

X

⑵第二天早上7:30不能駕車去上班

【分析】本題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用.

（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）求出y=20時對應(yīng)的時間，結(jié)合規(guī)定可進(jìn)行判斷.

讀懂題意，正確的識圖，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，直線。/過20）即3小時時酒精含量為20毫克/百毫升,

則1小時時酒精含量為80毫克/百毫升，

則直線OA的表達(dá)式為y=80x,

|時、＞=120,即N(|3,120),

當(dāng)％=

2

設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=4（左HO）,將點/佶3/2o］代入得：左=180,

x2

180

???尸一x:

x-ll

(2)由歹=—得，當(dāng)V=20時，x=9,

x

從晚上2