2025年中考數學熱點題型復習專項訓練：幾何最值問題（解析版）

專題09幾何最值問題

目錄

熱點題型歸納

題型01將軍飲馬模型.................................................................................1

題型02費馬點模型...................................................................................5

題型03阿氏圓模型..................................................................................14

題型04隱圓模型.....................................................................................19

題型05瓜豆圓模型..................................................................................26

中考練場............................................................................................32

熱點題型歸納

題型01將軍飲馬模型

【解題策略】

兩定一動模型一定兩動模型

兩線段相減的最大值模型（三點共線）

【典例分析】

例.（2022?黑龍江?中考真題）如圖，菱形A8CD中，對角線AC,8。相交于點O,ZBAD=60°,AD=3,AH是—54C

的平分線，CELA”于點E,點P是直線48上的一個動點，則OP+PE的最小值是.

【答案】mR娓

22

【分析】作點。關于的對稱點尸，連接。月交A3于G,連接PE交直線于P,連接尸。，則PO=PF,此時，PO+PE

最小，最小值=￡/，利用菱形的性質與直角三角形的性質，勾股定理，求出。尸，OE長，再證明AE。歹是直角三角形，

然后由勾股定理求出E尸長即可.

【詳解】解：如圖，作點。關于的對稱點R連接。尸交于G,連接PE交直線于尸，連接P。，貝UPO=PR

此時，PO+PE最小,最小值=口的長，

:菱形ABCD,

：.AC±BD,OA=OC,OB=OD,AD=AB=3,

"：ZBAD=60°,

...△ABD是等邊三角形，

:.BD=AB=3,ZBAO=30°,

13

OB——AB=—,

22

：.0A=-j3,

2

，點。關于AB的對稱點凡

AOFLAB,OG=FG,

：.OF=WG=OA=-y/3,ZAOG=60°,

2

：CE_LA”于E,OA=OC,

：.OE=OC=OA=-y/3,：.ZAEC=ZCAE,

2

平分NBAC,：.ZCAE=15°,：,ZAEO=ZCAE=\50,

：.ZCOE=ZAEO+ZCAE=30°,

ZCOE+ZAOG=30°+60°=90°,：.ZFOE=9Q°,

3A/6

.??由勾股定理,得EF=1OF°+0E°=

丁

“。+尸￡最小值=乎.故答案為：乎

【點睛】本題考查菱形的性質，利用軸對稱求最短距離問題，直角三角形的性質，勾股定理，作點。關于AB的對稱

點、F,連接OF交AB于G,連接PE交直線于P,連接PO,則PO=P尸，貝。PO+PE最小，最小值=EF的長是解題

的關鍵.

【變式演練】

1.（2022?山東棗莊?二模）如圖，點尸是/AO3內任意一點，OP=3cm,點M和點N分別是射線。4和射線上的

動點，4408=30。，則周長的最小值是.

B

P

OMA

【答案】3cm

【分析】分別作點尸關于。4、03的對稱點C、r）,連接CD,分別交。4、05于點M、N,連接。只OC、OD、PM、PN,

當點M、N在。上時，PMN的周長最小.

【詳解】解:分別作點尸關于。4、08的對稱點CS,連接8,分別交04QB于點M、N,連接。尸、OC、OD、PM、PN.

:點P關于的對稱點為C,關于的對稱點為

PM=CM,OP=OC,ZCOA=ZPOA-,

:點P關于0B的對稱點為D,

：.PN=DN,OP=OD,NDOB=NPOB,

：.OC=OD=OP=3cm,ZCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+ZDOB=2ZPOA+2ZPOB=2ZAOB=60°,

ACOD是等邊三角形，,CD=OC=OD=3（cm）.

,PMN的周長的最小值=冏/+皿?/+/>'=。/+皿?/+￡加2cD=3cm.

故答案為：3cm.

【點睛】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定.作點P關于。4。8的對稱點C、。是解題的關鍵所在.

2.（2023廣東廣州?模擬預測）如圖，四邊形ABCD中，ABCD,AC1BC,ZDAB=60,AD=CD=4,點M是

四邊形ABCD內的一個動點，滿足/AMD=90,貝UMBC面積的最小值為.

【答案】673-4

【分析】取AD的中點0,連接加，過點M作品交BC的延長線于點E,過點。作。尸，BC于尸，交CO于G,

則OM+ME2O尸，通過計算得出當O,M,E三點共線時，ME有最小值，求出最小值即可.

【詳解】解：如圖,

取4。的中點。，連接QW,過點M作交3C的延長線于點E,過點。作。尸，3c于尸，交C。于G,則

OM+ME>OF,ABCD,ZDAB=60,AD=CD=4,..ZADC=120°,

AD=CD,AZZMC=30°,ZG4B=30°,

ACIBC,：-ZACB=90°.■.ZB=90°-30o=60°,AZB=ZDAB,二四邊形45CD為等腰梯形，，3C=A￡>=4,

ZAMD=9Q,AD=4,OA=OD,二ON=gAD=2,.?.點M在以點。為圓心，2為半徑的圓上，

AB//CD,AZGCF=ZB=6O0,..Z.DGO=ACGF=30°,

OFLBC,ACIBC,■■Z.DOG=ADAC=30°=Z,DGO,：.DG=DO=2,

■-OG=1OD-cos30°=2A/3,GF=6,OF=343,■■ME>OF-OM=3y/3-2,

當。KE三點共線時，ME有最小值36-2,二M3C面積的最小值為=1x4x（3若-2）=6?-4.

【點睛】本題考查了解直角三角形、隱圓、直角三角形的性質等知識點，點M位置的確定是解題關鍵.

題型02費馬點模型

【解題策略】

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC,當B、P、Q、E四點共線時取得最小值BE。

【典例分析】

例.（2023全國?中考模擬預測）如圖1,在RTZABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為2,點尸為圓

上一動點，連接AP,BP,求：

@AP+-BP,

2

@2AP+BP,

@^AP+BP,

④AP+33尸的最小值.

【答案】①折；②2歷；③冬暑；④2歷.

【分析】①在CB上取點。，使CO=1,連接CP、DP、AD.根據作圖結合題意易證,DCP~,即可得出尸。=；,

從而推出AP+ggP=AP+P。，說明當A、P、。三點共線時，AP+PD最小，最小值即為AD長.最后在用ACD中，

利用勾股定理求出AD的長即可；

②由2AP+2P=2（AP+；BP）,即可求出結果；

21

③在CA上取點E,使CE=1,連接CP、EP、BE.根據作圖結合題意易證ECP~PCA,即可得出即=/",從而

推出gAP+8P=EP+8P,說明當8、P、E三點共線時，EP+BP最小,最小值即為BE1長.最后在&△BCE中，利用勾

股定理求出8E的長即可；

④由A尸+3BP=3（；AP+BP）,即可求出結果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點。，使C￡>=1,連接CP、DP、AD.

VCD=l,CP=2,CB=4,

.CDCP\

"CP-CB-2'

又?:ZDCP=ZPCB,

:…DCP~PCB,

即尸=

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

...當A、P、。三點共線時，AP+PD最小，最小值即為A。長.

?.?在WAC。中，AD=y)AC2+CD2=>/62+12=737-

/.+尸的最小值為歷；

②2AP+BP=2(AP+|BP),

：.2AP+BP的最小值為2x歷=2歷；

2

③如圖，在CA上取點E使。石=§,連接。尸、EP、BE.

VCE=-,CP=2,CA=6,

3

.CECP_1

*CP-CA-3

又?：NECP=NPCA,

「ECP?PCA,

EP1

BPEP=|AP,

AP3

-AP+BP=EP+BP

3f

???當3、P、E三點共線時，EP+6P最小，最小值即為虛長.

???在中，BE=A/BC2+CE2=^42+(1)2=.

??.gap+6尸的最小值為岑；

(4)VAP+3BP=3(|AP+BP),

???AP+33尸的最小值為3x之巨=2折.

3

【點睛】本題考查圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三點共線時線

段最短是解答本題的關鍵.

【變式演練】

1.(2022?廣東廣州?一模)如圖，在放△ABC中，ZBAC=90°,A5=AC,點尸是AB邊上一動點，作尸。，3。于點。,

線段上存在一點。，當QA+Q2+QC的值取得最小值，且&。=2時，貝

【答案】3+V3

【分析】如圖1,將4時。繞點2順時針旋轉60。得到△BMW,連接QV,當點A,點。，點、N,點“共線時，QA+QB+QC

值最小，此時，如圖2,連接MC,證明AM垂直平分BC,證明A￡>=2。，此時P與。重合，設PD=x,則DQ=x-2,構

建方程求出x可得結論.

【詳解】解:如圖1,將小相。繞點2順時針旋轉60。得到△BNM,連接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=6Q0,

...△8QV是等邊三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

當點A,點0,點N,點M共線時，QA+QB+QC值最小,

此時，如圖2,連接MC

圖2

?.,將△8QC繞點8順時針旋轉60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°=ZCBM,

/.△2QV是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，

，ZBQN=ZBNQ=6O°,BM=CM,

?：BM=CM,AB=AC,

垂直平分BC,

"：AD.LBC,ZBQD=60°,

'.BD=^QD,

"：AB=AC,ZBAC=90°,AD±BC,

：.AD=BD,此時P與。重合，設尸。=x,則￡>。=/2,

.\x=tan60°x(x-2)=>/3(x-2),

:.PD=3+6.

故答案為：3+6.

【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確運用等

邊三角形的性質解決問題，學會構建方程解決問題.

2.（2023廣東?一模）如圖，AA8C中，ZBAC=45°,AB=6,AC=4,P為平面內一點，求2gBP+非AP+3PC最

小值

【答案】1273

【分析】將AAPC繞點4逆時針旋轉45。，得至IUAPC',將△Ap，C'擴大還倍，得到△AP"C",當點2、P、P"、

4

C"在同一直線上時，2①BP+#AP+3PC=2以PB+PP"+P”C'）最瀛,利用勾股定理求出3C"即可.

【詳解】解：如圖，將44PC繞點A逆時針旋轉45。,得到△4PC,將△APC'擴大，相似比為述倍,得到△AP"C,

4

貝ljAP'=^AP,P"C"=^P'C,AC"=^AC,

444

過點尸作尸ELAP"于E,

：.AE=PE=—AP,

2

/.P"E=AP"-AE=—AP,

4

二PP'=y/PE2+P"E2=—AP,

4

當點8、P、P"、。在同一直線上時，2枝BP+非AP+3PC=2儀PB+PP”+PC）最短,此時2夜（FB+尸尸"+〃C）

=2件C",

,/ZBAC"=ZBAC+ZCAC"=90°,AB=6,AC"=—AC'=x4=3>/2,

44

BC"=\lAB2+AC"2=招+(3同=3y[6.

/.2①BP+y/5AP+3PC=2A/2BC"=272x3?=12百

【點睛】此題考查旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉及全等的

性質構建等量的線段，利用三角形的三邊關系及點共線的知識求解，有時根據系數將圖形擴大或縮小構建圖形.

3.（2024湖北中考?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點P是正方形內部一點，求P4+2P3+有PC的最小值.

【答案】4^/10

【分析】延長。C到打，使得CH=23C=8,則B"=4如，在NCBH的內部作射線即，使得ZPBJ=/CBH,使得

BJ=、BP，連接以，JH,AH.先證明ZVbPsA/iBc，可得PJ=2BB，再證明△PSCSAJB”，可得：HJ=&C,

從而得至!lPA+2P8+&PC=P4+/V+〃/NAH,計算出AH的長度即可.

【詳解】解：延長。C到使得CF/=23C=8,則BH=4石，在NCBH的內部作射線R/,使得NPBJ=NCBH,

使得町=有3尸，連接夕，JH,AH.

ZPBJ=ZCBH=,

fBJBH5

.PBBJ

一~BC~~BH'

JBPsHBC,

;/BPJ=/BCH=90。,

PJ=dBJ2—PB?=[/PB)2—PB?=2PB,

Z.PBC=ZJBH,——=——,PBCs.JBH,

BJBH

PC=PB=5^.

JHBJ5'-川

PA+2PB+小PC=PA+PJ+HJ，

PA+PJ+JH>AH,PA+2PB+45PC>742+122=4^/10，

24+2尸3+有尸。的值最小，最小值為4技.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質，，正確理解費馬點問題,

利用相似構造2必與否PC,根據系數將圖形擴大或縮小構建圖形是解決問題的關鍵.

題型03阿氏圓模型

【解題策略】

問題：在圓上找一點P使得B4+k?P5的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數不為1的線段兩端點與圓心相連即OP,OB

②計算出這兩條線段的長度比士-=左

OB

③在OB上取一點C,使得——=k,即構造△POM^ABOP,則——=k,PC=k.PB

OPPB

④則K4+左當A、P、C三點共線時可得最小值。

【典例分析】

例.(2023?廣西?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于AG/L0),B兩點(點8在點A的左側)，與丁軸

交于點C,且0B=30A=g0C,NQ4c的平分線AO交丁軸于點。，過點A且垂直于AD的直線/交,軸于點E,點尸

是x軸下方拋物線上的一個動點，過點尸作「FJ-X軸，垂足為尸，交直線AO于點

(1)求拋物線的解析式;

(2)設點P的橫坐標為加，當m=HP時，求機的值；

(3)當直線尸尸為拋物線的對稱軸時，以點耳為圓心，為半徑作H,點、Q為H上的一個動點，求JAQ+EQ

24

的最小值.

【答案】⑴尸12+：君X-3；(2)-73；(3)叵I.

334

【分析】對于（1）,結合已知先求出點B和點C的坐標，再利用待定系數法求解即可;

對于（2）,在RSOAC中，利用三角函數的知識求出NOAC的度數，再利用角平分線的定義求出NOAD的度數，

進而得到點D的坐標；接下來求出直線AD的解析式，表示出點P,H,F的坐標，再利用兩點間的距離公式可完成解

答;對于（3）,首先求出。H的半徑，在HA上取一點K,使得HK=14,此時K（-述，-二）；然后由HQ2=HK-HA,

得到△QHK-AAHQ,再利用相似三角形的性質求出KQ=|AQ,進而可得當E、Q、K共線時，!AQ+EQ的值最小，

44

據此解答.

【詳解】（1）由題意A（g\0）,3（-3若，0）,C（0,-3）,設拋物線的解析式為y=a（x+3若）（x-白），

把C（0,-3）代入得至=拋物線的解析式為產+2+|右.「3.

（2）在Rt/kAOC中，tanZOAC=—=6：.ZOAC=60°.

0A

平分/OAC,：.ZOAD=30°,.,.<9Z)=OA?tan30o=l,：.D(0,-1),，直線AD的解析式為y=#尤-1,由

題意P(m,1m2+-3)，H(tn,m-1),F(m,0).

333

■：FH^PH,：A-^-m=—m-1-(工序+友根-3)解得根=一石或石(舍棄)，，當切=心時，根的值為一g.

3333

(3)如圖，尸是對稱軸，括，0),H(-V3,-2).

：AH±AE,；.NEAO=60。，：.EO=^OA=3,：.E(0,3).

VC(0,-3),.\HC=7(A/3)2+12=2,AH=2FH=4,：.QH=^CH=1,在HA上取一點K,使得HK=；,此時K

715,,HQKH

(——J3,——).'：HQ2=\,HK?HA=\,：.HQ2=HK?HA,A7^=—.

88AHHQ

KQHQ111,

,/ZQHK=ZAHQ,：.AQHK^^AHQ,二請=請="-'-KQ=-AQ,：.-AQ+QE=KQ+EQ,.?.當E、。、K共

線時，的值最小，最小值=（友＞+（”+3）2=回1.

4V884

【點睛】本題考查了相似三角形對應邊成比例、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似、待定系數法求二次函數的

表達式、二次函數的圖象與性質、數軸上兩點間的距離公式，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.

【變式演練】

1.（2023?甘肅天水?一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,OB的半徑為2,點P是。B上的一個動點，則PD

-|PC的最大值為一.

【答案】5

【詳解】分析：由PD-gpC=PD-PGSDG,當點P在DG的延長線上時，PD-gpC的值最大，最大值為DG=5.

詳解：在BC上取一點G,使得BG=1,如圖，

P

..PB2BC_4,PBBC

?——乙,——乙、??—,

BG1PB2BGPB

VZPBG=ZPBC,.?.△PBG^ACBP,—=—=；.PG==PC,

PCPB22

當點P在DG的延長線上時，PD-^PC的值最大，最大值為DG="2+3?=5.

故答案為5

點睛：本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問

題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題.

2.（2023江蘇?二模）如圖，正方形45co的邊長為4,5的半徑為2,P為B上的動點，則應PC-尸。的最大值

是.

【答案】2

【分析】如圖：連接3D、BP、PC,在上做點使也=1,連接MP,證明BMPABPD,在BC上做點

BP4

N,使靠=；，連接NP,證明△BNPABPC,接著推導出0PC-尸。=2扃0，最后證明BMNZ\BCD,即

可求解.

【詳解】如圖：連接8。、BP、PC

根據題意正方形A5CD的邊長為4,3的半徑為2

BP=2,BD=y/BC2+CD2=742+42=472

BP_2_A/2

BD4夜4

在BO上做點M,使收=也，則BM=@,連接“尸

BP42

在43Mp與年中

BP_BM

NMBP=NPBD,

BD~BP

■■.BMPABPD

—=^,則尸￡)=20PM

PD4

BP_2_1

BC-4-2

在BC上做點N,使等=；，則3N=1,連接NP

在△BNP與△BPC中

/NBP=/PBC,—=—

BPPC

八BNPZ\BPC

PN1

貝UPC=2PN

如圖所示連接NM

42PC-PD=42x2PN-2y/2PM=2y/2(PN-PM)

PN-PM<NM

：.A/2PC-P￡)=2A/2(PN-PM)<2-J1NM

在，BMN與公BCD中

ZNBM=ZDBC,BM1垃,—=^==—

1F=V=TBD4五8

.BMBN

一正一訪

???BMNABCD

,MN_也

~CD~~T

CD=4

MN=—

2

「?2瓶MN=2血又22

2

血PC-PD<2^2NM=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查正方形的性質，相似三角形，勾股定理等知識，難度較大，熟悉以上知識點運用是解題關鍵.

題型04隱圓模型

【解題策略】

【典例分析】

例.（2023?遼寧?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,點〃為BC的中點，E是上的一點，連

接AE,作點B關于直線AE的對稱點連接并延長交3c于點八當B尸最大時，點笈到BC的距離是.

【答案】y

【分析】如圖，由題意可得：B'在，A上，過B‘作8'"，3c于H,由點B關于直線AE的對稱點可得=

BE=BE,ZAEB=ZAEB,ZABE^ZAB'E,當DE與tA切于點g時，BF最大,此時DR_LAB"證明E,尸重合,

可得ZDAE=ZAEB=ZAEB',AD=DE=10,求解BE=B'E=4,證明,EB'Hs-ac,可得一=——,從而可得

EDCD

答案.

【詳解】解：如圖，由題意可得：8'在上，過作笈H_L3C于/7,

:點B關于直線AE的對稱點B',

/.AB=AB',BE=BE,ZAEB=ZAEB!,NABE二NAB'E,

當DE與CA切于點B時，BF最大,止匕時加'_LAB"

ZABE=ZAB'F=90°,

:.E,尸重合，

ZAEB=ZAEB：,

:矩形ABCD,

/.AD//BC,ZC=90°,AD=BC=10,AB=CD=8,

ZDAE=ZAEB=ZAEB,

AD=DE=10,

???CE=J102_82=6,:?BE=UE=4,

*.?B'H±BC,ZC=90°,

B'H//CD,.,…EB'H^tEDC,

.EB'_B'H.4_B'H.16

??--------------?.?----------------???JD/J----,

EDCD1085

???點9到BC的距離是各故答案為：y.

【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，矩形的性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，圓的基本性質，作

出合適的輔助線是解本題的關鍵.

【變式演練】

1.（2024浙江金華?模擬預測）如圖，正方形ABC。的邊長為4,點E是正方形ABCD內的動點，點尸是2C邊上的動

點，MZEAB=ZEBC.連結AE,BE,PD,PE,則PD+PE的最小值為（）

A.2A/13-2B.4A/5-2C.473-2D.2yJ15-2

【答案】A

【分析】先證明NA￡?=90。，即可得點E在以A3為直徑的半圓上移動，設的中點為。，作正方形ABC。關于直線

8C對稱的正方形C尸G3,則點。的對應點是R連接尸。交8C于P,交半圓。于E,根據對稱性有：PD=PF,則

有：PE+PD=PE+PF,則線段所的長即為PE+PD的長度最小值，問題隨之得解.

【詳解】解：：四邊形A3CD是正方形，

ZABC=9Q°,

：.ZABE+NEBC=90°,

ZEAB=ZEBC,

：.ZEAB+ZEBA=90°,

：.ZAE5=90°,

二點E在以AB為直徑的半圓上移動，

如圖，設A3的中點為。，

作正方形ABCD關于直線BC對稱的正方形CFGF,

則點。的對應點是凡

連接尸。交2C于尸，交半圓。于E，

根據對稱性有：PD=PF,

則有：PE+PD^PE+PF,

則線段E尸的長即為PE+PD的長度最小值，E

VZG=90°,FG=BG=AB=4,

OG=6,OA=OB=OE=2,

OF=#G2+OG2=2^/13，

...EF=OF-OE=2岳-2,

故PE+PD的長度最小值為2y/13-2,

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線是

解題的關鍵.

2.（2022?山東泰安.三模）如圖，在RtAABC中，ZACB=90,ABAC=30,BC=2,線段繞點2旋轉到3。，連

AD,E為的中點，連接CE,則CE的最大值是

【答案】3

【分析】通過已知求得。在以B為圓心，8。長為半徑的圓上運動，為A。的中點，

在以血中點為圓心，:劭長為半徑的圓上運動，再運用圓外一定點到圓上動點距離的最大值=定點與圓心的距離

+圓的半徑，求得CE的最大值.

【詳解】解：：BC=2,線段BC繞點2旋轉到2,

D

:?BD=2,

：.-BD=\.

2

由題意可知，。在以B為圓心，8。長為半徑的圓上運動，

為AZ）的中點,

在以BA中點為圓心，；劭長為半徑的圓上運動，

CE的最大值即C到BA中點的距離加上;BD長.

VZACB=90-ABAC=30,BC=2,

AC到BA中點的距離即JA2=2,

又8。=1,

2

；.CE的最大值即』48+工2。=2+1=3.

22

故答案為3.

【點睛】本題考查了與圓相關的動點問題，正確識別E點運動軌跡是解題的關鍵.

3.（2022?廣東河源?二模）如圖，已知AC=2AO=8,平面內點尸到點O的距離為2,連接AP,若ZAPB=60°S.BP=^AP,

連接A3,BC,則線段BC的最小值為.

O

AC

P

B

【答案】277-73

【分析】如圖所示，延長P8到。使得P8=r>B,先證明AAP。是等邊三角形，從而推出ABP=90。，NR4P=30。，以AO

為斜邊在AC下方作夫也AM。,使得NM4O=30。,連接CM,過點M作⑼/LAC于H,解直角三角形得到處=處=@,

AOAP2

從而證明△AMBS^XAOP,得至"￡=幽=1，則BM=百，則點8在以M為圓心，以有為半徑的圓上，當M、B、

OPAP2

C三點共線時，即點B在點&的位置時，BC有最小值，據此求解即可.

【詳解】解:如圖所示，延長到。使得P8=r>8,

BP=-AP,

2

,AP=PD=2PB,

又,:ZAPB=6Q°,

...△AP。是等邊三角形，

?.?8為的中點，

：.AB±DP,§PZABP=9Q°,

：.ZBAP=30°,

以AO為斜邊在AC下方作預△AMO,使得NK4O=30。，連接CM,過點M作Ma_LAC于H,

,,cosNOAM------——,

AO2

同理可得空二

AP2

VZOAM=30°=Z/MB,

：.ZBAM=ZPAO,

v..AMAB

AOAP2

.BMAB

"OP~AP~2'

,/點P到點O的距離為2,即。尸=2,

/.BM=拒,

.?.點8在以M為圓心，以6為半徑的圓上，

連接CM交圓M（半徑為6）于3'，

二當M、B、C三點共線時，即點2在點E的位置時，2C有最小值，

\'AC=2AO=8,：.AO=4,：.AM=AO-cosZOAM=2y/3,

AH=AM-cosAMAH=3,HM=AM-sin/MAHCH=5,；.CM=《HM2+CH'=2幣,

/.B，C=CM-MB'=2幣-也,...BC的最小值為2近-百，

故答案為：2幣.

D

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，勾股定理，圓外一點

到圓上一點的最值問題，解題的關鍵在于能夠熟練掌握瓜豆模型即證明點8在以M為圓心，半徑為6的圓上運動.

題型05瓜豆圓模型

【解題策略】

【典例分析】

例.（2023?江蘇?中考真題）在四邊形ABCD中，鈕=8。=2,/45。=120。,3〃為/ABC內部的任一條射線（NCBH不

等于60。），點C關于3"的對稱點為C，直線AC與BH交于點F,連接CC'、CF,則MCF面積的最大值是.

【答案】473

【分析】連接根據軸對稱的性質可得C5=C5b=C'F,進而可得ACC在半徑為2的,：B上，證明△CC%是

等邊三角形，當CC'取得最大值時，△口?戶面積最大，根據圓的直徑最大，進而得出CC'最大值為4，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接3C',

:點C關于BH的對稱點為C,

CB=C'B,CF=CF,

；AB=BC=2,

.??ACC'在半徑為2的B上，

在優(yōu)弧AC上任取一點E，連接AE,EC,

則ZAEC=』ZABC=60。,

2

ZABC=120°,ZAC'C=180°-ZAEC=180°--ZABC=120°,

2

ZCCF=60°，=/XCCF是等邊三角形，

當CC'取得最大值時，△CC戶面積最大，

在，8上運動，則CC最大值為4,

則△CCF面積的最大值是3x42=4道.

4

故答案為：45A.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，圓周角定理，圓內接四邊形對角互補，等邊三角形的性質，得出CC最大值為4是

解題的關鍵.

【變式演練】

1.（2023江蘇無錫?二模）如圖，線段為。的直徑，點C在的延長線上，AB=4,3C=2,點尸是O上一

動點，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtPCD,且使NDCP=60。，連接O￡>,則。。長的最大值為

【答案】2有+1/1+2白

【分析】作COE,使得NCEO=90。，NECO=60。，則CO=2CE,OE=2^>,ZOCP=ZECD,由△COPs"ED,

OPCPi

推出三=三=2,即即二。尸=1（定長），由點片是定點，OE是定長，點。在半徑為1的，：石上，由此即可解決

EDCD2

問題.

【詳解】解：如圖，作COE,使得NCEO=90。，ZECO=60°,貝l]CO=2CE,OE=2^3,ZOCP=ZECD,

NCDP=90。,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

.CO_CP

'~CE~~CD

COPsCED,

OP__CP_

即=尸=1（定長），

~ED~~CD~

一點5是定點，。后是定長，???點。在半徑為1的?E上,

OD<OE+DE=2y/3+l,/.OD的最大值為2代+1,

故答案為：2A5+1

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質、兩圓的位置關系、軌跡等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線,

構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

2.（2023?安徽?一模）如圖，在矩形A3CD中，AB=8,AD=4,點E是矩形A8CD內部一動點，且NBEC=90。，點產

是43邊上一動點，連接PO、PE,則PD+PE的最小值為（）

A.8B.4岔C.10D.4君-2

【答案】A

【分析】根據々EC=9O。得到點的運動軌跡，利用“將軍飲馬”模型將尸E進行轉化即可求解.

【詳解】解：如圖，設點。為BC的中點，由題意可知，

點E在以BC為直徑的半圓。上運動，作半圓。關于A3的對稱圖形（半圓0'）,

點E的對稱點為反,連接則尸￡=尸6，

.??當點。、P、%、。共線時，PD+PE的值最小，最小值為。心的長，

如圖所示，在RtOCO中，CD=8,CO'=6,

:.DO'=y/82+62=10>

又［。'g=2,

DEl=DO'-O'El=8,即PD+PE的最小值為8,

故選：A.

【點睛】本題考查線段和最短問題、軸對稱的性質、勾股定理及圓周角定理，利用“將軍飲馬”模型將PE進行轉化時解

題的關鍵.

3.（2023?江蘇揚州?模擬預測）如圖，A是3上任意一點，點C在8外，已知A3=2,BC=4,Z\ACD是等邊三角形,

則△BCD的面積的最大值為（）

A.46+4B.4C.473+8D.6

【答案】A

【分析】以BC為邊向上作等邊三角形3cM,連接DAf,證明r四△ACS得到DM=AB=2,分析出點。的運

動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，在求出點。到線段BC的最大距離，即可求出面積的最大值.

【詳解】解：如圖，以2c為邊向上作等邊三角形BCM,連接DM,

"：ZDCA=ZMCB=60°,

：.ZDCA-ZACM=ZMCB-ZACM,即NDCM=NACB,

在ADCM和AACB中，

DC=AC

<ZDCM=ZACB,

MC=BC

ADCM^AACB(SAS),

，DM=AB=2,

???點D的運動軌跡是以點M為圓心，DM長為半徑的圓，要使△BCD的面積最大,則求出點。到線段BC的最大距離，

??二/CM是邊長為4的等邊三角形，，點M到BC的距離為26，.?.點D到BC的最大距離為2力+2,

△3CD的面積最大值是gx4x（2g+2）=4^+4，故選A.

【點睛】本題考查了動點軌跡是圓的問題，解決本題的關鍵是利用構造全等三角形找到動點。的軌跡圓，再求出圓上

一點到定線段距離的最大值.

中考練場

1.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高8。上的動點.連接CE,將CE繞

點C順時針旋轉60。得到CP.連接AF,EF,DF,則CD尸周長的最小值是.

BC

【答案】3+3后/3g+3

【分析】根據題意，證明CBE*CAF,進而得出尸點在射線"上運動，作點C關于"的對稱點CL連接DC',設

CC'交AF于點0,則ZAOC=90。，則當ARC'三點共線時，FC+FD取得最小值，即FC+FD=尸'。+k￡>=C。，

進而求得C'。，即可求解.

【詳解】解：為高8。上的動點.

Z.ZCBE=-ZABC^30°

2

將CE繞點C順時針旋轉60°得到CF.ABC是邊長為6的等邊三角形，

CE=CF,ZECF=ZBCA=60°,BC=AC

；-CBE-CAF

二ZCAF=ZCBE=30°,

F點在射線AF上運動,

如圖所示，

作點C關于■的對稱點連接OC',設CC'交AF于點。，貝IJ/49C=9O°

在RtAOC中，ZC4O=30°,貝!|CO=LAC=3,

2

則當RQC'三點共線時，FC+FD取得最小值，即歹。+網>=尸'。+庾0=67>

VCC'=AC=6,ZACO=ZC'CD,CO=CD

：.ACgCCD,ZC'DC=ZAOC=90°

在sCDC中，C'D=Jcc。-CD、=后-32=3g，

；一CDF1周長的最小值為Cr>+bC+CD=Cr)+r)C=3+3A/L故答案為：3+3g.

【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，

熟練掌握等邊三角形的性質與判定以及軸對稱的性質是解題的關鍵.

2.(2022.四川成都?中考真題)如圖，在菱形ABCD中，過點。作8交對角線AC于點E,連接8E,點P是線

段班上一動點，作尸關于直線DE的對稱點P,點Q是AC上一動點，連接P'Q,DQ.若鉆=14,CE=18,則DQ-P'Q

的最大值為.

B

【答案】1^1/—V2

33

（分析］延長。區(qū)交AB于點區(qū)確定點2關于直線DE的對稱點E由點3,D關于直線AC對稱可知QD=QB,求QD-QP'

最大，即求啰-價'最大，點。，B,尸共線時，QD-QP'=QB-QP'=BP',根據“三角形兩邊之差小于第三