2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：三角形壓軸題綜合（解析版）

專題10三角形壓軸題綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換.............................................................................1

題型02三角形與平移變換............................................................................14

題型03三角形與翻折變換............................................................................18

題型04三角形類比探究問題..........................................................................36

中考練場............................................................................................50

熱點(diǎn)題型歸納

題型01三角形與旋轉(zhuǎn)變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?四川?中考真題）如圖1,已知線段N8,AC,線段ZC繞點(diǎn)A在直線N5上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,以8C為邊

在2c上方作RtABDC,且ND3C=30°.

⑴若/BDC=90。，以為邊在AS上方作Rt/XBNE,且N/E8=90。，NEBA=30°,連接DE,用等式表示線段/C與

DE的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE_LAB,48=4,AC=2,求BC的長;

(3)如圖3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)tan/CBN的值.

【答案】(1)/C="OE

⑵5c=2近

⑶g

【分析】(1)在RM即C中，/D3C=30°,Rt/\BAE,且N4E8=90。，NEBA=30°,可得VABEsVCBD,根據(jù)相

ARRF

似三角形的性質(zhì)得出U=NDBE=NCBA,進(jìn)而證明△ABCS^EAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)延長。E交于點(diǎn)尸，如圖所示，在RtA/斯中，求得EF,4F,進(jìn)而求得小的長，根據(jù)(1)的結(jié)論，得出?！?人,

在RMAED中，勾股定理求得M),進(jìn)而根據(jù)即可求解.

(3)如圖所示，以為邊在A8上方作RtABNE,且N￡N8=90。，NEBA=30。,連接BE,EA,ED,EC,同(1)

可得ABDESABCX,進(jìn)而得出。在以￡為圓心，述為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)4瓦。三點(diǎn)共線時(shí)，4D的值最大，進(jìn)

3

而求得cos/8DN=",sinNBDA=叵,根據(jù)得出/g￡)E=/BC4,過點(diǎn)A作/尸工8C,于點(diǎn)尸，

77

分別求得ZRC尸，然后求得8尸，最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】(1)解：在RtABDC中，ZDBC=30°,RSAE,且乙4EB=90。，ZEBA=30°,

VABEsVCBD,ADBE+NEBC=ZABC+NEBC,BE=ABxcosZABE=—AB

2

.AB_

—,NDBE=NCBA,

"BCBD

：.^ABC^^EBD

ACAB_AB2>/3

:.五一旅一拒,二亍

2

AC=-s/3DE,

3

故答案為：AC=^DE.

(2)?；RtZ\BAE,S.ZAEB=90°,ZEBA=30°,AB=4

：.AE=ABsinZEBA=-AB=2,ZBAE=60°,

2

延長。E交NB于點(diǎn)尸，如圖所示，

?/DEVAB,

，ZBFD=ZDFA=90°,

h1

.,.在RM/E尸中，EF=AExsinNBAE=號(hào)乂2=也,AF=-AE=1,

：.BF=AB—AF=4-1=3,

由(i)可得=

3

h

：.DE^—AC^y/3,

2

DF=DE+EF=2>/3,

在RLBFD中，BD=slBF2+DF2=,3?+(2行『=而,

?；AABC^AEBD,

.BCAC2G

,,訪一無一亍’

BC=^XM=2V7,

3

；?BC=2近；

(3)解：如圖所示，以NB為邊在NB上方作RtAB/E,且NE48=90。，AEBA=30°,連接BE,EA,ED,EC,

則匹=些=短，

ACBC3

VAC=2,則?！?迪，

3

在RCA/EB中，AB=4,AE=TISXtanAEBA=4x—=^-,

33

...O在以E為圓心，遞為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

3

當(dāng)點(diǎn)4瓦。三點(diǎn)共線時(shí)，4D的值最大，此時(shí)如圖所示，則AD=/￡+￡>￡=迪,

D

BA

在RtA^D中，BD=yjAB2+AD2=卜+1浮

近廠AB_4V2T

：；=坦=+=也smZBDA=-D~4721-7，

BD47217'

3

3

AABCs^EBD,

/BDE=/BCA,

過點(diǎn)A作于點(diǎn)產(chǎn)，

JCF=ACxcosZACB=2=短，AF=ACxsinZACB=,

777

*.*/D5c=30。，

.4x/21__r-

??BC=—BD=—x-------=277,

223

???BF=BC-CF=2幣=業(yè)5,

77

2^/21_

Ap—n一

RAAFB中，tan/C歷1==尸=—.

FB10捫5

7

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最

值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?貴州貴陽?二模）在“8c中，ZCAB=90°,在V/DE中，ZEAD=90°,已知RtzX/3C和有公共

頂點(diǎn)4連接和CE.

⑴如圖①，若=AD=AE,當(dāng)。3c繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360。），8。和CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系

是;

（2）如圖②，若AD:AE=AB:AC=1:5當(dāng)RtZk/3C繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)a（0°<a<360。），（1）中2。和CE的數(shù)量關(guān)系與位

置關(guān)系是否依然成立，判斷并說明理由；

⑶在(2)的條件下，若AD=2拒,AB=6,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出CE的長度.

【答案】(V)BD=CE,BD1CE

Q)CE=?D,CE1BD,理由見解析

22

【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)：

(1)根據(jù)SAS證明△氏4。多△。后得臺(tái)力=磁，再證明NCUD=NEHO=90。，可得3￡>_LC￡；

(2)延長DB交CE于H,與/E交于O,證明A8NOSAC/￡可得結(jié)論；

(3)分兩種情況討論：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求出/C,AE,由勾股定理求出?！?在Rt^ECD中，運(yùn)用勾股定理

求出8。，從而可求出CE.

【詳解】(1)證明：如圖，延長DB交CE于H,與N￡交于。

VVADE和^ABC是等腰直角三角形，

AB=AC,AD=AE,

又NCAE+ZEAB=ZDAB+ZEAB=90°,

/BAD=ZCAE,

4B4D知C4E(SAS),

:.BD=CE,ABDA=ACEA,

*.?ZDOA=ZHOE,

ZOAD=ZEHO=90°,

工CELBD,

故答案為：BD=CE,BDLCE；

(2)解：CE=MBD,CEtBD,理由如下:

延長DB交CE于H,與4E交于O,

：.ABADS八CAE,

BD1—

~~~=~i=,Z.ADB=NAEC,

CEV3

CE=6BD,

/BOA=NEOH,

/.ZOAD=ZEHO=90°,

：.BD1CE

綜上8Z)_LCE,CE=43BD

(3)解：①如圖:

E

BDAB_AD

由知且

(2)ABADSACAE,~CE~^C~^E士,RD_LCE,

AB=4?>,

：.AC=3,

在RtA^SC中，由勾股定理得BC=JAB?+AC?=273，

AD=2^,,

：.AE=6

在中，由勾股定理得DE=J/爐+4C?2=4人,

VC,B,。三點(diǎn)共線，且/EC。=90。

...在RSEC。中，由勾股定理得=CE2+CD2

即>BD\+(BD+

回一6

2

.3(V13-1)

??CE=△--------L；

2

②如圖:

E

'：AS=5

...AC=3,

由勾股定理得BC=^AB2+AC2=273，

?AD=2y/3，

：.AE=6,

在RtZkNED中，DE=ylAE2+AD2=46，

VC,B,。三點(diǎn)共線，且"CD=90。，

在VXZ\ECD中，由勾股定理得DE2=CE2+CD2，

即（4代『=（68。）2+（a0_26）2,

:.BD=叵五，

2

2

綜上，當(dāng)C,B,。三點(diǎn)共線時(shí)，CE的長度為3（后T）或3（屈+1）.

22

2.（2023?廣西桂林?一模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小麗將兩副相同的三角板中的兩個(gè)等腰直角三角形按如圖1方式放置,

使ADEF的頂點(diǎn)。與“3C的頂點(diǎn)C重合，立歷尸在繞點(diǎn)C的旋轉(zhuǎn)過程中，邊DE、。尸始終與“3C的邊48分別交

于M、N兩點(diǎn).

⑴老師提了一個(gè)問題：試證明，M2+BN2=MV2.

小麗開動(dòng)腦筋，作了如下思考：考慮到C4=C2且乙403=90。，可將想四繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A/CN'位置，連

結(jié)MN',若能證明BN、分別等于的另兩邊則可以解決問題.

請幫小麗繼續(xù)完成證明過程.

證明：將△BOV繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至A/CM位置，連結(jié)W；

(2)如圖2,小昆另取一塊與“3C相同的三角板，放在A48G位置，邊CE與邊NG相交于點(diǎn)X,連NH、NG.

①小昆猜想：NCNH=90°,請幫他給出證明；

②圖2中始終與CN相等的線段有_；

③請?zhí)剿?N、BN、NH之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：

【答案】(1)見解析

(2)①見解析；②NG,NH；③AN-BN=gH

【分析】(1)①由“SAS”可證ACN加%GW,可得MN'="N,根據(jù)直角三角形中運(yùn)用勾股定理NAV+NN”=MN〃，

即可得結(jié)論；

(2)①證明/,C,N,X四點(diǎn)共圓即可解題；

②證明ANBC^NBG,得到CN=NG,然后根據(jù)等角對等邊得到CN=NH即可得到結(jié)論

③連接CG,推導(dǎo)A/TGCSANSC,則可得到GH=V^3N，然后根據(jù)48=VL1G即可證明結(jié)論.

【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：AN'=BN,CN'=CN,ZCAN'=ZB,ZBCN=ZACN',

VZECF=45°,ZACB=90°,

：./ACM+/BCN=45。,

：./ACM+/ACN'=45。,

於/N'CM=/NCM,

又*：CM=CM,

：.△CMA修△CTW(SAS),

??.MN'=MN,

ZCAM=ZB=45°,

：.ZNrAM=/CAN+/CAM=90°,

AM?+AN'?=MN'?,

f

又?：AN'=BN,MN=MNf

JAM1+BN1=MN\

(2)①證明：?:/GAB=/MCN=45。,ZAMH=ZCMN,

：.ZAHC=ZANC,

：.A,C,N,〃四點(diǎn)共圓，

J/CAH+/CNH=180。,

?「ZCAH=90°,

/CW=90。；

②解：??,四邊形力CBG是正方形，

:?BC=BG,ZNBC=ZNBG=45°,

???BN=BN,

△沖G(SAS),

:.CN=NG,

由①可知/CW=90。，

又：ZHCN=45°,

NHCN=NCHN=45。,

：.CN=NH.

故答案為：NH、NG；

③連接CG,

C(D)

ZHCF=NBCG=45。,

：.NBCN=NGCH,

又ZCBN=ZCGH=45°,

AHGCS^NBC,------------A/2,GH-y/2BN，

BNBC、

■：AB=yflAG=yf2(AH+GH)=垃AH+血GH,

AN+BN=42AH+2BN.AN-BN=y/2AH-

故答案為：AN-BN=42AH.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

3.(2023?吉林?一模)如圖，和V/DE是有公共頂點(diǎn)的直角三角形，NA4C=ND4E=90。，點(diǎn)尸為射線AD,CE

的交點(diǎn).

(2)如圖2,若/ADE=/ABC=30°,問：⑴中的結(jié)論是否成立？請說明理由.

(3)在(1)的條件下，AB=6,AD=4,若把VADE繞點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/E4c=90。時(shí)，請直接寫出P8的長度.

【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)誓或出鏟

【分析】(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=AD=AE,依據(jù)同角的余角相等得到=然后依據(jù)

SAS可證明△ADB044EC,最后，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到乙43。=乙4CE；

(2)先判斷出△4D8S/\/EC,即可得出結(jié)論；

(3)分為點(diǎn)￡在N3上和點(diǎn)E在的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明△尸￡8-八4￡。，最后依據(jù)相似三角形

的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1)解：???△/8C和V/DE是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

AB=AC=3,AD=AE=2,ZDAB=NCAE.

:.AADB咨"EC.ZABD=ZACE.

(2)(1)中結(jié)論成立，理由：

在中，ZABC=30°,AB=43AC,

在中，AADE=30°,

ADAE

AD=yJr3AE9.?~~~

ABAC

■:NB4C=ND4E=90°,:./BAD=NCAE,:NADB困AEC.:.NABD=NACE；

(3)①當(dāng)點(diǎn)￡在上時(shí)，BE=AB-AE=AB-AD=2.

D

A

???NE4C=90°，；,CE=y/AE2+AC2=，42+6=2屈■

同（I）可證ZDBA=ZECA.

NPEB=ZAEC,.?.△PEBS^AEC.

.PBBE.PB_26而

…=----.…—―7=.PB=-------.

ACCE62VI313

②當(dāng)點(diǎn)E在A4延長線上時(shí)，BE=\Q.

---ZEAC=90°,,-,CE=JAE、AC?=，中+6=2岳-同（1）可證注AAEC.：./DBA=ZECA.

PBBEPB

■：ZBEP=ACEA,:△PEBs^AEC.——=—

ACCE

綜上所述，PB的長為小叵或迎41.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，分類討

論，屬于壓軸題.

題型02三角形與平移變換

【解題策略】

「著番了圣馨三鬲形的可港而翦貳一麗彳后鬲形的到運(yùn)麗桂質(zhì)廠率蔣的翦貳一多形內(nèi)鬲而是踵的應(yīng)甬廠藥藤造謔「廨-

「畫的關(guān)鍵息熟練孽釐三?舷相似的到走方法「面由相應(yīng)知面孩「汪熹芬親仔由二

i

■樹旃i

例.(2023?四川攀枝花?中考真題)如圖1,在“BC中，AB=BC=2AC=8,"BC沿8C方向向左平移得到△Z)CE,

/、C對應(yīng)點(diǎn)分別是。、E.點(diǎn)廠是線段班上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接相，將線段"'繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段NG,使得

/BAD=NFAG,連接FG.

⑴當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，求FG的長；

(2)如圖2,連接8G、DF.在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中：

①8G和。廠是否總是相等？若是，請你證明；若不是，請說明理由;

②當(dāng)8戶的長為多少時(shí)，能構(gòu)成等腰三角形？

【答案】(1)2715

(2)@DF=BG；②跳'的長為14或11或8或0

【分析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì)可得四邊形/BCD、四邊形4CED是平行四邊形，再由已知推導(dǎo)出NB是NC/G的平分

線，由等腰三角形的性質(zhì)可得45,CG,過3點(diǎn)作3〃，/。交于H點(diǎn)，求出切7=2A，再由安/氏(-2而I。，

84

所以CG=FG=2&i；

(2)①證明A/BG咨△/￡?尸(SAS),則止=BG；

②過點(diǎn)A作/N,8c交于N,由等積法可得;x4x2&?=；x8/N,求出NN=JI?,分三種情況討論：當(dāng)=時(shí)，

AG=AF=8；當(dāng)尸點(diǎn)與8點(diǎn)重合時(shí)，AF=8,此時(shí)3尸=0,當(dāng)8尸=23N時(shí)，AF=8,在中，BN=7,可

得3F=14；當(dāng)4G=BG時(shí)，DF=AF,過點(diǎn)尸作尸“_L交于M,所以4"=尸N=4,能求出CN=1,CF=3,則

3尸=11；當(dāng)A4=BG時(shí)，DC=DF,當(dāng)廠點(diǎn)在BE上時(shí)，CD=DF,此時(shí)C點(diǎn)與尸點(diǎn)重合，止匕時(shí)8尸=BC=8.

【詳解】(1)解：當(dāng)尸點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，AF=AC,

由平移可知，CD=AB，CD//AB,

???四邊形NBC。、四邊形力。即是平行四邊形,

：.AD=BC,AD〃BC,

???ABAD=NFAG,

/.ZDAF=/BAG,

?;AB=BC,

ZBAC=ZACB,

???/DAC=NACB,

ZDAC=ABAC=ABAG,

.?./B是NC4G的平分線,

AC=AG,

ABICG.

如圖1,過5點(diǎn)作交于H點(diǎn),

G

AH=2,

BH=2V15，

84

CG=FG=2V15;

(2)解：@DF=BG,理由如下:

如圖2,-：AG=AF,ZDAF=ZBAG,AB=AD,

.?.△ABG咨AADFISAS),

DF=BG；

②如圖2,過點(diǎn)A作4N_LBC交于N,

圖2

由①可知gx4x2A=；x8ZN,

/.AN=岳，

當(dāng)/G=45時(shí)，

?「AB=BC=8,

:.AG=S,

vAG=AF,

：.AF=S,

當(dāng)尸點(diǎn)與3點(diǎn)重合時(shí)，AF=S,此時(shí)砥=0,

當(dāng)BF=2BN時(shí)，AF=8,在Rtz\45N中，BN=V64-15=7,

:.BF=14;

當(dāng)/G=5G時(shí)，AF=BG,

???DF=BG,

DF=AF,

過點(diǎn)/作必f_L4D交于M,

AM=DM=4,

FMVAD,AN1BC,

AM=FN=4,

?「BN=1,

:.CN=\,

:.CF=3f

當(dāng)A4=5G時(shí)，

???DF=BG,

:.AB=DF,

AB=CD=BC=AD,

：.DC=DF,

當(dāng)尸點(diǎn)在BE上時(shí)，CD=DF,此時(shí)C點(diǎn)與廠點(diǎn)重合，

BF=BC=8；

綜上所述：8下的長為14或11或8或0.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰

三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測）如圖，“BC中，/B=/C=后,NB/C=90。,。E經(jīng)過點(diǎn)/,且?！阓LBC,垂足為￡,

ZDCE=60°.

D

⑴以點(diǎn)￡為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AOE,使旋轉(zhuǎn)后的AC'D'E'的邊C'力恰好經(jīng)過點(diǎn)4求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的大小;

⑵在（1）的情況下，將AC'QZ'沿8c向右平移設(shè)平移后的圖形與“3C重疊部分的面積為S,求S與f

的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出f的取值范圍.

【答案】⑴旋轉(zhuǎn)角為30度或90度;

9

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30。時(shí)，S=<

-2t+\

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，5=

【分析】（1）如圖，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知A/EC'是等邊三角形，則N/EC'=60。，易求

NC'EC=30。，即旋轉(zhuǎn)角為30°；或。點(diǎn)與4重合;

（2）需要分類討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時(shí)，分04W@和兩種情況進(jìn)行解答.①當(dāng)OqvYl時(shí).如圖2,作

333

NN'_L8C，垂足為N'.設(shè)NN'=X，則N'C=JC-由相似三角形尸SACNE’的面積之比等于相似比的平方得到，

'則S=SJEC+S/MP——S.CNE，②當(dāng)g<f<l時(shí)'如圖3,作MW'_L'C'

垂足為「設(shè)皿?，則"￡'=*.由』-當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為9。。時(shí)，分兩種情形求

解即可.

【詳解】（1）解：如圖1,

D'

A

圖1

AB=AC=41,ZBAC=90°,AELBC,

AE=EC=1,ZB=ZC=45°.

由旋轉(zhuǎn)過程知EC'=EC=AE,ZD'C'E=60°，

:.AAEC'是等邊三角形，

ZAEC'=60°=90°-ZC'EC■

:./c'EC=30。，即旋轉(zhuǎn)角為30。；

。點(diǎn)與/重合，即旋轉(zhuǎn)角為90度；

綜上，旋轉(zhuǎn)角為30?；?0。；

(2)解：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是為30。時(shí)：

①當(dāng)時(shí).如圖2,設(shè)BE：C'E'與/8/C分別相交于點(diǎn)〃、N,與NE相

交于點(diǎn)尸.作MV'_L8C，垂足為N’.

圖2

沒NN'=x，則N'C=x，

由平移過程知ZNEfC=30°，

E'N'=6NN'=瓜?

由E'M+N'C=/C知，J3x+x=l—，即x=

?.?ZAPM=/E'PE=90°-APE'E=/NE'N',NPAM=ZEfCN=45。，

:.△AMPs^CNE'，

..J空［Jl-尸口

SACNEVE'C)IE'C)

2

S—S"EC+AAMP~S&PEE，—S&CNE，

晝+1,

②當(dāng)時(shí)，如圖3,設(shè)〃'￡'、C'E'與/C分別相交于點(diǎn)M、N.作跖欣U8C,垂

足為M'.

圖3

設(shè)跖l/'=y，則

???MEr+E'C=MrC=M'M，

即gy+0_')=y，則尸.

1、3(17)I,i-

zx-Xt2

■'-s=S”ME，C-S揖NE'C=5(1t)^~6W(iy/~i+14i-)=t-2/+―

12V3-11八,吏〕

一一r--產(chǎn)—1+-0<t<

2V3+12(,3J

即s=<

2(6)

Z2-2?+I—<r<i

137

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)，如圖4中，當(dāng)0</<百-1時(shí)，重疊部分是五邊形腦區(qū)￡金，

S=S"c一S"AMN~5久陛=1—三1……,

如圖5中，當(dāng)時(shí),重疊部分是四邊形MNE'D'，

圖5

—t2+，H—1

2

S=<

s=s△MCD-SaCNE'2

-1<^<1

V3-11

-1+—

V3+123）

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角不是為90。時(shí),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90。時(shí)

-2/+1

-l</<1

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題.需要學(xué)生熟練掌握旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定與性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式是求法.解答（2）題時(shí)，一定要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解.

2.（2023?四川成都一模）如圖1,在ABC中，/。=4,以42為底邊作等腰AP/B,連接尸C,作APCD,使得PC=PD,

且ZCPD=NAPB.

⑴如圖2,若4PB=60。，請按題意補(bǔ)全圖形，并寫出畫圖步驟;

⑵將線段。沿CD的方向平移得到線段。E,連接BE,

①如圖3,若ZCPD=NAPB=90°,求BE的長；

②若乙4尸8=36。，直接寫出3E的長.

【答案】（1）見解析

（2）①4夜；②2囪-2

【分析】（1）根據(jù)題意，作等邊△CPD即可；

(2)①連接AD,證明絲ADPB(SAS),得BO=/C=4,NBDP=NACP,由NC〃。石，知NEDC+N/C。=180。，

可推得/瓦>3=90。，在RtzXBE。中，BE=ylBD2+DE2>即可得答案；

②連接8。，作角平分線交ED于尸，證明ACP/絲ADPB(SAS),得BD=4C=4,ABDP=ZACP,\^AC//DE,

BEEFx4—x

可推得NEDB=36。，AEBFSAEDB,得——=——，設(shè)BE=x,則EF=DE-DF=DE-BE=4-x,列出方程一=------,

DEBE4x

即得BE=26-2.

【詳解】(1)解：如圖所示：

畫圖步驟：①連接PC,

②分別以尸、C為圓心，PC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D,

③連接PD、CD-.

(2)①連接AD,如圖：

NCPD=ZAPB=90°,

：.NCPA=NDPB,

又；PA=PB,PC=PD,

二AC尸的A。尸B(SAS)),

.；BD=AC=4,NBDP=ZACP,

?/AC//DE,

/.ZEDC+ZACD=1SO°,

即NEDB+NBDP+NPDC+ZACD=l80°,

NEDB+ZACP+NPDC+NNCD=180°,即NEDB+ZPDC+ZPCD=180°,

l^ZPDC+ZPCD=90°,

二ZEDB=90°,

???將線段G4沿C。的方向平移得到線段。E,

DE=AC=4,

在RtABED中，BE=ylBD2+DE2=472；

②連接8。，作角平分線交瓦)于尸，如圖：

ZCPD=ZAPB=36°,

ZCPA=ZDPB,

又,：PA=PB,PC=PD,

：.ACP3ADPB(SAS),

:.BD=AC=4,ZBDP=ZACP,

'：AC//DE,

ZEDB+ZBDC+ZPCD+ZACP=180°,

NEDB+NBDC+NPCD+NBDP=180°,即NEDB+ZPDC+APCD=180°,

而NPDC+ZPCD=180°-ZCPD=144°,

ZEDB=36°,

???將線段⑶沿S的方向平移得到線段,

DE=AC=BD=4,

：.ZEBD=/BED=72°,

?；BF平分ZEBD,

：.NEBF=NFBD=ZEDB=36°,

BF=DF,/BFE=/BED=72°,

BE=BF=DF,

?:/EBF=/EDB,/E=/E,

:,AEBFS八EDB,

,BE_EF

"?五一訪'

設(shè)=則EF=DE-DF=DE-BE=4-x,

.x4-x

4x

解得工=2不-2或尤=-26一2（舍去），

BE=2sf5-2.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及旋轉(zhuǎn)變換、三角形全等判定及性質(zhì)、三角形相似判定及性質(zhì)、等腰三角形性

質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問題.

題型03三角形與翻折變換

【解題策略】

著香子至馨三鬲形而可運(yùn)前四廟丁而彳以三鬲形的馴兔前也貳一看著冗行姓廟：一三鬲形丙南而定甌的應(yīng)甬廠為股是速;一

解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

TOiWi

例.（2023?湖北武漢?中考真題）問題提出：如圖（1）,E是菱形/BCD邊BC上一點(diǎn)，A/E廠是等腰三角形，AE=EF,

4￡F=/ABC=a（。上90。）,/尸交CD于點(diǎn)G,探究NGC尸與a的數(shù)量關(guān)系.

⑴(2)(3)

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當(dāng)a=90。時(shí)，直接寫出/GC尸的大?。?/p>

(2)再探究一般情形，如圖(1),求NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)《=120。時(shí)，若老=g，求學(xué)的值.

【答案】(1)45。

3

(2)ZGCF=-6Z-90°

BE2

(3)——

''CE3

【分析】(1)延長過點(diǎn)尸作方證明△/BE也△班"即可得出結(jié)論.

(2)在上截取ZN,使AN=EC,連接破，證明△ZNEgZXEC尸，通過邊和角的關(guān)系即可證明.

3

(3)過點(diǎn)工作C。的垂線交C7)的延長線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長為3/，由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°,通過相

2

似求出加，即可解出.

5

【詳解】(1)延長BC過點(diǎn)尸作即,

ZBAE+ZAEB=90°,

ZFEH+ZAEB=90°,

：.ZBAE=ZFEH,

在AEBA和AFHE中

ZABE=/EHF

</BAE=/FEH

AE=EF

：.^ABE'EHF,

JAB=EH,

BE=FH,

：.BC=EH,

：.BE=CH=FH,

：?￡GCF=￡FCH=45°.

故答案為：45°.

(2)解：在45上截取ZN,使ZN=EC,連接7VE.

???/ABC+NBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180°,

/ABC=/AEF,

:.ZEAN=ZFEC.

AE=EF,

:AANE/AECF.

ZANE=ZECF.

???AB=BC,

BN=BE

,//EBN=a,

ABNE=^°--a.

2

/.ZGCF=ZECF-ZBCD=ZANE-/BCD

=l90o+1^j-(180°-?)=16r-90o.

(3)解：過點(diǎn)A作CO的垂線交CO的延長線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長為3冽,

/G_1

?CG-2?

\DG=m,CG=2m.

在RM4D尸中，

\-i)ADC=i)ABC=n0o,

ZADP=60°,

PD=—m,AP=—.

22

3

ver=120°,由(2)知，ZGCF=-a-90°=90°.

2

?.?D^GP=DFGC,

、△/尸Gs△廠CG.

.APPG

''CF~~CG'

—V3m-m

?2_2，

-CF~2m

/.CF=-----m，

5

在45上截取ZN,使,AN=EC,連接7VE,作5OLNE于點(diǎn)。

由（2）知，AANE^AECF,

：.NE=CF,

AB=BC,

1J3

ABN=BE,OE=EF=-EN=-m.

25

ZABC=120°,

：./BNE=/BEN=30。,

..oOE

?cos3Q0n=----,

BE

,?BE——m,.

5

9

\CE=-m

.BE_2

???

CE3

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似.

【變式演練】

1.（2024?安徽阜陽?一模）（1）如圖1,在矩形4BCD中，AB=5,BC=4,點(diǎn)、E為邊BC上一點(diǎn)、,沿直線DE將矩

形折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)。處.求的長;

(2)如圖2,展開后，將ADC'E沿線段48向右平移，使點(diǎn)C'的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)8重合，得至U,DE與BC交于點(diǎn)、

F,求線段EF的長；

(3)在圖1中，將AOC'E繞點(diǎn)C'旋轉(zhuǎn)至4C,E三點(diǎn)共線時(shí)，請直接寫出C。的長.

【答案】⑴3；(2)1；⑶底或加

【分析】(1)本題利用折疊和矩形的性質(zhì)得出CD=CD==5,AD=BC=4,再利用勾股定理即可解題;

(2)本題利用平移的性質(zhì)證得ACDESACDF,設(shè)￡2長為x,利用勾股定理算出x,推出CE,再利用相似三角形的

性質(zhì)得到匕=卓，算出。尸，從而求得E尸的長；

CDCE

(3)本題根據(jù)/,C,￡三點(diǎn)共線，分以下兩種情況討論，①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到。左側(cè)時(shí)，②當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到C右側(cè)時(shí)，根據(jù)

以上兩種情況作輔助線構(gòu)造直角三角形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、以及勾股定理進(jìn)行分析求解，即可解

題.

【詳解】(1)解：為矩形，AB=5,BC=4,

CD=C'D=AB=5,AD=BC=4,

AC'=yJCD2-AD2=3；

(2)解：?工。8￡為ADC'E平移后的圖形，AC=3,48=5,

C'B=DD'=AB-AC'=2,D'E'//DE,

:ACDESACD'F,

設(shè)EB長為x,

CB2+EB2=CE2,CE=CE=BC-EB,

x1+22=（4-x）2

3

解得：%=；，

2

35

:.CE=4——=—,

22

CD'CF

——=—,CD'=CD—DD'=5—2=3,

CDCE

3CF

55,

2

:.EF=CE-CF=1；

(3)解：將△OC豈繞點(diǎn)C'旋轉(zhuǎn)至4C,E三點(diǎn)共線,

分以下兩種情況：

①當(dāng)E旋轉(zhuǎn)到。'左側(cè)時(shí)，如圖所示：

作QMLCB,交C5的延長線于點(diǎn)〃，

由(2)可知3C'=2,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，ZDCE=90°,

ZDCB=90°,

???ZCBC=90°,

：.ZC/BM=/M=ZDCB=90°,

.?.四邊形9woe為矩形，

BM=DC'=5,DM=BC=2,

DC=y)DM2+(BM+BC^=722+92=785，

②當(dāng)￡旋轉(zhuǎn)到C'右側(cè)時(shí)，如圖所示：

作DNLBC,交8C的延長線于點(diǎn)N,

由(2)可知3c'=2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，NDCE=90。,

???ZCBC=90°,ZCBC=ZN=ZDC'E=90°,

四邊形AVDC'為矩形，BN=DC'=5,DN=BC=2,

:.CN=BN-BC=5-4=1,

DC=yjDN2+CN2=V22+l2=V5.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、平移的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用，即可解題.

2.（2023?陜西榆林?一模）【問題背景】

(1)如圖1,在矩形/BCD中，8C=6,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接NE,DE,若N/E8+/C￡D=90。，則幺獷+。￡2=

(2)如圖2,在正方形48co中，AB=8,點(diǎn)￡在邊CD上，將VNDE沿/E翻折至△/FE,連接CF,求4CE尸周長

的最小值;

圖2

【問題解決】

(3)如圖3,某植物園在一個(gè)足夠大的空地上擬修建一塊四邊形花圃488,點(diǎn)"是該花圃的一個(gè)入口，沿ZMZ和CM

分別鋪兩條小路，且NDMC=135。，AD+BC=am,AM=60m,BM=80m.管理員計(jì)劃沿CO邊上種植一條綠化帶

(寬度不計(jì))，為使美觀，要求綠化帶的長度盡可能的長，那么管理員是否可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化

帶C。？若可以，求出滿足要求的綠化帶C。的最大長度(用含。的式子表示)；若不可以，請說明理由.

圖3

【答案】(1)36；(2)80;(3)管理員可以種植一條滿足要求的長度最大的綠化帶CD,綠化帶C。的最大長度為

(a+100)m

【分析】(1)利用矩形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解即可；

(2)連接/c,根據(jù)翻折，得到。E=EF,得到ACEF的周長

=CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=AF+CF,進(jìn)而得到當(dāng)/F+CF的值最小時(shí)，Z\CEF的周長最小，進(jìn)行求

解即可；

(3)將AADM沿著DM翻折得到AEDM,將ABCM沿著CM翻折得到4FCM,連接EF,推出當(dāng)DE、EF、FC三

條線段共線時(shí)，。有最大值，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：（1）解：：在矩形48co中，BC=6,

：.AD=BC=6,

?；ZAEB+ZCED=90°,

：./AED=90。,

/.AE2