2025年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練：反比例函數(shù)與幾何綜合（解析版）

專題12反比例函數(shù)與幾何綜合

目錄

熱點(diǎn)題型歸納.........................................................................................1

題型01K的幾何意義..................................................................................1

題型02特殊幾何圖形存在性問題......................................................................12

題型03反比例與相似三角形綜合......................................................................34

中考練場(chǎng)............................................................................................38

熱點(diǎn)題型歸納

題型01K的幾何意義

【解題策略】

「應(yīng)瓦麗蕩藪窗豪衛(wèi)點(diǎn)的巫標(biāo)痔菱形的強(qiáng)質(zhì)］廨直備二鬲"舷「與形而砥函函施和恒瓦―反克麗南薇系教了的冗荷

|意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與菱形的性質(zhì).

【典例分析】

例1.（2023?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線y=x+l、＞=x-l與雙曲線^=夕左＞0）分別相交于點(diǎn)4B、C、D.若四

邊形48co的面積為4,則左的值是（）

V24

C.一D.1

A-1~25

【答案】A

【分析】連接四邊形4BCD的對(duì)角線/C、3。，過。作。軸，過C作CFLx軸，直線y=x-l與x軸交于點(diǎn)M,

如圖所示，根據(jù)函數(shù)圖像交點(diǎn)的對(duì)稱性判斷四邊形/BCD是平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)及平面直角坐標(biāo)系中三角

形面積求法，確定四邊形/BcoulngoMlDE+CF），再求出直線P=xT與x軸交于點(diǎn)M（l,0）,通過聯(lián)立

y=x—l

＜k求出。、。縱坐標(biāo)，代入方程求解即可得到答案.

y=-

IX

【詳解】解：連接四邊形/BCD的對(duì)角線4。、BD,過。作Z）EJ_x軸，過。作CF，x軸，直線y=x-1與X軸交于點(diǎn)

如圖所示：

根據(jù)直線歹=1+1、＞=1與雙曲線V=：（左＞0）交點(diǎn)的對(duì)稱性可得四邊形43c。是平行四邊形,

SACOD=WS四邊形48co=1=2°M-(DE+CF),

?.,直線>=x-l與x軸交于點(diǎn)Af,???當(dāng)y=。時(shí)，x=l,即M(1,O),

???y=x-l與雙曲線y=g（左＞0）分別相交于點(diǎn)C、D,

y=x-l

「?聯(lián)立|k即則—左=o,由左＞o,解得、=1±Ji+竺

y=-y2

lX

1—1+Jl+4k—1—Jl+4k)oi-----._zt=t3、小

5><lx--=1,艮PJ4左+1=2,解倚左=a，故選：A.

例2.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、5分別在y,x軸上，軸.點(diǎn)、M、N

分別在線段3C、AC±,BM=CM,NC=2AN,反比例函數(shù)y='x>0）的圖象經(jīng)過M、N兩點(diǎn)，P為x正半軸上一

X

點(diǎn)，且。P:8P=1:4,的面積為3,則發(fā)的值為（）

【答案】B

【分析】過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)0,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為4（0⑷（。>0）,點(diǎn)初的坐標(biāo)為M（56,c）0>O,c>O）,點(diǎn)N的坐

標(biāo)為（加>0,〃>0）,則C（5仇2c）,OA=a,OB=5b,先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)為N1三,如產(chǎn)［再根據(jù)

S^APN=S株彩O4NQ-S^AOP~^NPQ=3可得2斜+6c=9,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可得2a=7c,從而

可得6c的值，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)N作NQLx軸于點(diǎn)。，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為/(O,a)(a>0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(5b,祖b>0,c>0),點(diǎn)N的坐標(biāo)為N[m,n)[m>Q,n>0),則C(56,2c),

OA=a,OB=5b,-.■OP:BP=l:4,：.OP=b,BP=4b,

?;NC=2AN,AO\\NQ^CB,

5b

56—機(jī)=2(〃z—0)m=——

y-y23"5b2a+2c

ABQ=2OQ,N-cc"-2c=|("2c)‘解得',：.N\——,--------

y-y32a+2cI33

Acn=--------

3

■-OQ=y,NQ=^^,.-.PQ=OQ-OP=y,

?.?春印的面積為3,，片形。32一以。一黑也=3,即:*的(二盧+1-46-、弓二廿=3,整理得:

2ab+bc=9,將點(diǎn)河(5瓦c),N律,網(wǎng)譽(yù)〕代入y=&得：k=5bc=--^^,整理得：2a=7c,

V337x33

Q45

將2a=7c代入2ab+bc=9得：7bc+bc=9,解得6。=—,貝!J左=56c=—,故選：B.

88

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確求出點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【變式演練】

k

1.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))如圖，反比例函數(shù)y=1(x>0)圖象經(jīng)過正方形O48C的頂點(diǎn)a3c邊與y軸交于點(diǎn)D,

若正方形O4BC的面積為12,BD=2CD,則人的值為()

【答案】B

【分析】過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)￡,過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)2作8〃，/G于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作CFLx軸于

點(diǎn)凡過點(diǎn)8作即/，了軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)C作。VU軸于點(diǎn)N,,根據(jù)已知條件分別證明“?！暌睞。。尸(AAS),

△絲A/OG(AAS),四邊形ONCF,四邊形BMGH和四邊形AEOG為矩形，即可得出CN=OF=AE=OG=4H,

GH=BM,OE=AG,根據(jù)已知條件可以證明ACDNsABDM，得出色=烏=L設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為：［加，上］(〃?>0),

BMBD21”，

k

即可得出得出/=3左，根據(jù)勾股定理，結(jié)合正方形的面積，列出=12,最后將蘇=3人代

BMm_k_2UJ

m

入求出發(fā)的值即可.

【詳解】解：過點(diǎn)N作NELx軸于點(diǎn)￡,過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)3作2H，/G于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CFL無軸

于點(diǎn)R過點(diǎn)5作軸于點(diǎn)河，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)N,如圖所示:

???四邊形CUBC為正方形，

JAO=AB=BC=OC,ZAOC=ZOCB=AOAB=ABC=90°,

?—%軸,CF_Lx軸，

JZAEO=/CFO=90°,

???ZCOF+ZAOE=180°-90°=90°,ZCOF+ZOCF=90°,

???NAOE=ZOCF,

??.△力O石絲△OCF(AAS),

???AE=OF,OE=CF,

VBHLAG,4G_Ly軸,

???/BHA=/AGO=90°,

-ZGAO+ZBAH=90°,ZGAO+ZGOA=90°f

ZBAH=ZGOA,

???&BAH知AOG(AAS),

OG=AH,

*.*BM_Ly軸，CN_L歹軸，

JZCNO=NCND=ZBMO=90°，

???ZCDN=ABDM，

???ACDNs叢BDM,

.CNCD1

BM~BD~2"

,：ZCFO=/FON=ZCNO=90°,

???四邊形ONC尸為矩形,

同理可得：四邊形和四邊形ZEOG為矩形，

CN=OF=AE=OG=AH,GH=BM,OE=AG,

設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為：（加（加＞0）,

CN=OF=AE=OG=AH=~,OE=AG=m,

m

:.BM=GH=m~—,

m

m

..?正方形O/BC的面積為12,

OA2=12，

在中，由勾股定理得0/2=/爐+。笛，即m=12,

把加*=3左代入加°勺］=12得：3k+—=12,

Im)3k

1o

解得：k=%.

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)與幾

何綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，設(shè)出點(diǎn)/的坐標(biāo)［如找出也與人的兩個(gè)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?安徽?二模）如圖，A,2兩點(diǎn)分別為。。與x軸，y軸的切點(diǎn).n8=2應(yīng)，C為優(yōu)弧48的中點(diǎn)，反比例函

數(shù)y=t（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則左的值為（）

A.3+2后B.8C.16D.32

【答案】A

【分析】連接。4。伐。6,過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)。，延長交CD于點(diǎn)￡,根據(jù)切線的性質(zhì)，等弧所對(duì)的圓心角相

等，易得A4。反ACOE為等腰直角三角形，四邊形0/2尸為正方形，四邊形BDEO為矩形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：連接0403,OC,過點(diǎn)C作COLx軸于點(diǎn)。，延長/。交CD于點(diǎn)E,

則：OA=OB=OC,

'-'A,8兩點(diǎn)分別為。。與x軸，y軸的切點(diǎn),

，軸，軸，

/.CM〃x軸，

OA±OB,

四邊形/O8b為正方形；

AB=2拒，

：.OA=OB=2,

：.OC=2,BF=2-.

軸，O3J_x軸，OAYOB,

，四邊形3DE0為矩形，

ZOEC=90°,DE=OB=2,Z.BOE=90°,OE=BD,

為優(yōu)弧48的中點(diǎn)，

AAOC=ZBOC=1(360°-90°)=135°,

/.ZCOE=ZBOC-ZBOE=45°,

5

OE=CE=—OC=V2,

2

二CD=CE+DE=1+4i,DF=BF+BD=2+y[l,

Z.C(2+V2,2+V2),

2左=(2+可，

二斤=3+2行，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查求反比例函數(shù)的左值，同時(shí)考查了切線的性質(zhì)，等弧對(duì)等角，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，構(gòu)造特殊圖形.本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大.

3.（2023?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰小3C的頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)”=?（%＞0）和%=，（履＞。）的圖象上,

AC=BC=W'B-若?。軸，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3,則…—一.

【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與幾何綜合，勾股定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)C作CDL/8于點(diǎn)Z）.設(shè)

AB=2a,則/C=8C=V^z,AD=a,CD=2a.設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為"，表示出A,3,C,￡＞的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)

關(guān)系式，推出左，質(zhì)含。的表達(dá)式，再求其和，即可解題.

【詳解】解：過點(diǎn)C作。8于點(diǎn)D.

設(shè)48=2。，貝U/C=2C=a，AD=a,

CD=NAC?-AD。=2a-

設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為〃，

,D(3,n+a^,A(3,n+2a),C(3-2a,n+a^.

???點(diǎn)8,C都在外=務(wù)的圖象上,

X

Q

:.k2=3〃=(3-2)(〃+〃),

3

/.n=—a,

2

9

葭=3n=----3a.

2

???點(diǎn)A在必=與的圖象上,

X

99

k[=3(〃+2a)=3n+6。=—3。+6。=—F3a,

22

99

..k1+左2=一+3“H----3a=9.

22

故答案為：9.

3

4.（2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線＞=-+3的圖象與V軸交于點(diǎn)A,直線＞=6+左（左〉0）與％軸交于點(diǎn)5,

4

39

與＞=-7x+3的圖象交于點(diǎn)M,與歹=一（％＞0）的圖象交于點(diǎn)C.當(dāng)黑河/：S^"c=5:3時(shí)，k=_______.

4x

93

【答案】內(nèi)

【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作NEL8C于點(diǎn)E,可求出槳=，，如圖所示，過點(diǎn)刊作軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作CG/X

BC8

軸于點(diǎn)G,根據(jù)兩直線的交點(diǎn)，直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，分別列方程組，用含左的式子表示出點(diǎn)/，。的坐標(biāo)，可得

MF,CG的值，由即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作/ELBC于點(diǎn)￡,

S&ABM=；BM.AE,S^CM=^MC.AE,

?S^ABM?^AAMC=5:3，

/.{-BM^AE\-MC*AE\=5:3,即典=3,則四=3,

（2八2）MC3BC8

如圖所示，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)產(chǎn)，過點(diǎn)。作CG」x軸于點(diǎn)G,

JMF//CG,

.MFBM_5

：.ABMFs&BCG,

*CG-^C-8

3

?.?直線安加碗>。）與尤軸交于點(diǎn)B'與一產(chǎn)3的圖象交于點(diǎn)心

3—k12—4左

x———

y=kx+k左+

k+>4312-4左15k]

3r解得,4、4左+3'4左+3）

y=——x+3

415k

y-

41+3

9

???直線V=履+左（左>0）與x軸交于點(diǎn)5與》=—（％>0）的圖象交于點(diǎn)C,且x>0,

x

yjk2+36k-k

y=kx+kx-------------------

2k

9解得,

y=-18kJ產(chǎn)+361一，

Xy——=------------------

yjk2+36k-k2

,______________15k

f"2+361-左+36左+左)15k“收36k+k.MF=4^=5

(2左2J4左+32CGNH+36k+k8

'2

?t-48左=(4k+3)(J42+36t+左)，45k-4k2=(4左+3)依+36k，960F-1152^+324=0

Q7Q7

80F-96左+27=(204-9)(44-3)=0,.?.尢=二，k2=-,故答案為：二或巳.

204204

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)，幾何圖形的面積，相似三角形等知識(shí)的綜合，掌握求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法,

根據(jù)圖形面積求出線段的比值是解題的關(guān)鍵.

題型02特殊幾何圖形存在性問題

【解題策略】

著者亍至馨三而形的甄適而強(qiáng)原「拓旗三鬲形的狗是劉桂康「折疊冗荷在康丁可概蔻逋廠解函曲買鍵是熊臻孽握三面一

形相似的判定方法，畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.

例.(2023?山東?中考真題)如圖，直線y=|x與雙曲線y=交于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(〃53),點(diǎn)C是

雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長交x軸于點(diǎn)。，且3C=2CD.

備用圖

(1)求左的值并直談寫出點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)點(diǎn)G是V軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB,GC,求G3+GC的最小值；

(3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，。是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸，。，使得四邊形尸。是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合

條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1317

【答案】(1)k=6,BQ,3)；(2)2A/T7;(3)P(—,0)或(0,—).

T.k

【分析】(1)根據(jù)直線y=經(jīng)過點(diǎn)/(加,-3),可求出點(diǎn)/(-2,-3),因?yàn)辄c(diǎn)力在^=三小片0)圖象上，可求出匕

根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出點(diǎn)B；

(2)先根據(jù)BC=2CD利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C,再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)夕，連接夕C,即

夕C的長度是GB+GC的最小值；

(3)先作出圖形，分情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

T.

【詳解】(1)解：因?yàn)橹本€〉經(jīng)過點(diǎn)A(九-3),

3

所以-3=-XZM,

2

所以m=-2,

所以點(diǎn)/(-2,-3),

k

因?yàn)辄c(diǎn)/在》=口左R0)圖象上，

所以上=-2x(—3)=6,

因?yàn)閥=與雙曲線y="(左片。)交于/，8兩點(diǎn)，

所以點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以點(diǎn)3(2,3)；

(2)過點(diǎn)5,C分別作BELx軸，CFXxtt,作B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)夕，連接B'C,

因?yàn)?E_Lx軸，CF_Lx軸，

所以BE//CF,

所以.BED~ACFD,

r-..BEBD

所r以——=——，

CFCD

因?yàn)?C=2cD,

..BEBD3

所cr以——=——=一,

CFCD1

因?yàn)?(2,3),所以8E=3,所以CF=1,

所以。點(diǎn)縱坐標(biāo)是1,

將外=1代入＞可得：x=6,所以點(diǎn)C(6,1),

X

又因?yàn)辄c(diǎn)山是點(diǎn)2關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，所以點(diǎn)夕(-2,3),

所以2^=^(-2-6)2+(3-1)2=所4+4=768=2,即G8+GC的最小值是2后；

(3)解：①當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上時(shí)，

當(dāng)N4BP=90。，四邊形48P。是矩形時(shí)，過點(diǎn)8作28_Lx軸,

0HBH

因?yàn)?O8P=90。，BH_LOP,所以AOHB~ABHP,所以——=——

BHHP

91313

所以BH?=OHxHP,所以3?=2xHP,所以〃尸=5,所以。尸二萬，所以點(diǎn)尸（萬，0）；

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，當(dāng)/4BP=9Q°,四邊形48P。是矩形時(shí)，過點(diǎn)5作軸,

OHBH

因?yàn)镹O5尸=90。，BH±OP,所以"HB"HP,所以而=而，所以BH?=OHxHP,

41313

所以2=3x3所以打一s所以。尸=§,所以點(diǎn)尸（。，丁

綜合可得：P(913,0)或(0,1―3)

23

【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握正比例

函數(shù)和反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì).

【變式演練】

1.(2023?湖南邵陽?一模)如圖，直線48與x軸交于點(diǎn)A,與P軸交于點(diǎn)5.05是一元二次方程%2一％一30=0的一個(gè)

3

根’且tan/。"二點(diǎn)。為神的中點(diǎn)，E為x軸正半軸上一點(diǎn)，BE=2圓直線8與防相交于點(diǎn)兒

(1)求點(diǎn)A及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵反比例函數(shù)y=幺經(jīng)過點(diǎn)尸關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)尸，，求上的值；

X

(3)在直線上是否存在點(diǎn)P,使△/￡尸為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴4(8,0)0(4,3)

⑵-生

「25

(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5或或［40+|'715,—24—或(40—：AA~^,—24+.

3__

【分析】(1)先解%,一%—30=0得到兩個(gè)根,取其正值，可得05=6,再由tan/OZB=—可得04=8,于是可知/(8,0),5(0,6),

4

進(jìn)而可求得力B的中點(diǎn)0(4,3).

(2)求出直線BE,直線。。的解析式，構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)戶的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可.

⑶先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線的解析式為＞=-3+6,設(shè)點(diǎn)尸［,-孑+6；分PE=AP,PE=4E和4P=4E三

種情況列式求出f的值即可.

【詳解】(1)VX2-X-30=0,

??再二-5,工2=6,

OB=6,

3

?「tanNO4B——,

4

?OB3

??—t

OA4

J04=8,

???4(8,0),5(0,6),

:點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，

...點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，，(；即0(4,3).

(2)在RSOBE中，由勾股定理得：

OE=4BE1-OB2=J40-36=2，

，E(2,0),

設(shè)直線班的函數(shù)解析式為y=kx+b(k^O),

把8(0,6),￡(2,0)代入得：

j2k+b=Q

=6

解得：

［匕=6

直線BE的函數(shù)解析式為y=-3x+6,

V。(4,3),

設(shè)直線OD的函數(shù)解析式為y=mx,

4m=3,解得，^=-,

3

直線8的函數(shù)解析式為〉=片，

38

當(dāng)一3x+6=—%時(shí)，x=—

45

止匕時(shí)歹=:，

86

555

86

...點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F'為

555

反比例函數(shù)歹=一經(jīng)過點(diǎn)尸,

x

8648

——x—=-------

5525

(3)設(shè)直線48的解析式為＞=ax+b,

將點(diǎn)4(8,0),3(0,6)的坐標(biāo)代入得,

3

8。+6=0,a=—

6=6'解得：4

n=6

,3

，直線45的解析式為y=-二％+6

4

???點(diǎn)P在直線上，

*,*設(shè)點(diǎn)尸+6),

/.尸序=?_2)2+[-}+6-0)=||?_13/+40,/爐=色一2)2=36,AP2=(8-+6)=||/2-25/+96

下面分三種情況討論：

2525

①當(dāng)尸￡=4尸時(shí)，—Z2-13/+40=—Z2-25Z+96

1616

解得」=1]4，

314「5

——t+6=——x-----1-6=—

4432

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

25

②當(dāng)PE=4E時(shí)，一-13？+40=36

16

O

解得：4=81=2

33

——1+6=——x8+6=0,此時(shí)點(diǎn)尸不存在,

44

3,38,148

—t+6=—x----F6=------

442525

81481

???點(diǎn)2的坐標(biāo)為

25

③當(dāng)"時(shí)，一〃-257+96=36

16

解得：^=40+|710,?2=4O-|Vio

40+|^0,-24-186

???點(diǎn)2的坐標(biāo)為+-

55

1458148或(40+1而,-24一1^(40-1AA0,-24+|

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為T?2或25,^5"

2.（2023?山東濟(jì)南?二模）如圖，一次函數(shù)了=尤+8的圖象與反比例函數(shù)夕=：（尤＜0）的圖象交于/（d6）,3兩點(diǎn).

備用圖

（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)3的坐標(biāo)；

（2）在y軸上存在點(diǎn)尸，使得4P+BP的值最小，求4P+BP的最小值.

⑶“為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N為無軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N,使是以MV為底的等腰直角三角形?

若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

1o

【答案】（l）y=-上，5（-6,2）

（2）475

⑶存在，M（-4,3）或河’

【分析】（1）先求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的表達(dá)式，最后聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式,

即可求出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)4（2,6）,連接48交V軸于點(diǎn)尸，此時(shí)NP+8P的值最小，用勾股定理即可求解；

（3）設(shè)丁J,N（〃,0）,根據(jù)題意，構(gòu)造全等三角形，進(jìn)行分類討論，利用勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：將4（凡6）帶入歹=x+8得：6=。+8,

解得：a=—2

???4（-2,6）,

將/（一2,6）代入y=&得：左=孫=一12,

X

12

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-—,

y=x+8

聯(lián)立-12,

y=—

二2(-6,2),

17

綜上：反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=-—,8(-6,2)；

X

(2)解：作點(diǎn)A關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)4(2,6),連接43交V軸于點(diǎn)尸，此時(shí)4P+BP的值最小,

:A'B=^[2-(-6)]2+(6-2)2=475，

AP+BP=A'P+BP=A'B=4>/5;

(3)解：設(shè)1,N(%0),

①M(fèi)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)3作BFLx軸于點(diǎn)尸，過點(diǎn)“作區(qū)F,交尸8的延長線于點(diǎn)H,

?/△兒0N是以MN為底的等腰直角三角形,

:.BM=NB,ZMBN=90°,

NHBM+NNBF=90°,

NHBM+NHMB=90°,

ZNBF=NHMB,

在AMHB和RFN中,

ZNBF=ZHMB

</H=ZBFN,

BM=NB

：./\MHB也△BW(AAS),

:?HM=BF,HB=FN,

.Q-(-6)=2-0

="一(一6)'

.?.”(-4,3),

②河在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),

同理可得△M/S之△ARV(AAS),

BH=BF,(-6)-a=2-0,

解得：.=一8,

綜上：”(-4,3)或

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將軍飲馬，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握反比了函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式，具有分類討論的思想.

3.(2023?四川成都?三模)如圖，直線＞與x軸交于點(diǎn)/,與V軸交于點(diǎn)8,與反比例函數(shù)＞=—在第一象限內(nèi)

2X

的圖象交于點(diǎn)

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)。在點(diǎn)。上方的反比例函數(shù)y="的圖象上，△48D的面積為9,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

X

k

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)M在x軸上y=公的圖象上，若以點(diǎn)M,N,8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】⑴T

X

⑵。(4,2)

(3)(-137,。)或(12,0)或仔12,0)

【分析】

(1)把C(機(jī),1)代入y=卜-3得到C(8,l),由于點(diǎn)C在雙曲線＞=人上，求得左=1x8=8,于是得到反比例函數(shù)的解析

2X

式為V；

(2)由》=夫-3可知8的坐標(biāo)為(0,—3),得到A的坐標(biāo)為(6,0),求得。4=6,OB=3,過。作DF_Ly軸于b，DELx

QQ

軸于E,設(shè)。(外上)，則尸(0,2),￡(m,0),根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；

mm

(3)分當(dāng)BN,DM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)BD,是對(duì)角線時(shí)，當(dāng)BM,OV是對(duì)角線時(shí)，三種情況討論，

Q

設(shè)M(a,0),N(n,~),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得方程：即可得到結(jié)論.

n

【詳解】(1)

解：把c(私1)代入y=；x-3,得1=:機(jī)一3,

解得：m=S,

/.C(8,l),

???點(diǎn)C在雙曲線^=工上，

X

「"=1x8=8,

O

，反比例函數(shù)的解析式為丁=2；

(2)

解：由丁=；x-3可知B的坐標(biāo)為(0,-3),

當(dāng)"0時(shí)，0=4-3,

2

x=6,

廠./的坐標(biāo)為(6,0),

OA-6,OB—3,

過。作_Ly軸于尸，。石_Lx軸于￡,

QQ

設(shè)。(冽,一)，則/(0,一),￡(m,o),

mm

???的面積為9,

1Q11Q

-(m+6)--+-x6x3——(3+—)?加=9,

2m22m

解得加=4(負(fù)值舍去)，

，。(4,2)；

(3)解：：點(diǎn)M■在無軸上，點(diǎn)N在反比例函數(shù)y=勺的圖象上,

x

.,.設(shè)M(a,O),JV(W,-),

n

???以點(diǎn)M,N,B,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

???當(dāng)以BN,DM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

n=4+a

7=2，

、n

12

解得：a=~.

12

即點(diǎn)河(―《，0)；

當(dāng)AD,MN是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

4=a+n

<_.8,解得：。二12,

—3+2=一

、n

即點(diǎn)”的坐標(biāo)為：(12,0),

當(dāng)BM,是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

。=4+〃

13=2+加

、n

12

解得〃=

171?

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（請(qǐng)，0）或（12,0）或（三，0）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到待定系數(shù)法、三角形的面積、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，分類求

解是本題解題的關(guān)鍵.

4.（2022?山東濟(jì)南?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+6與反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象交于點(diǎn)

A（3,〃），與y軸交于點(diǎn)鞏0,-2）,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)y=：（x>0）的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線尸?！溯S交直線

y=》+方于點(diǎn)0,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為且0<f<3,連接/尸，BP.

（1）求左,6的值.

⑵當(dāng)A4B尸的面積為3時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

⑶設(shè)尸。的中點(diǎn)為C,點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以比C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí),

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）笈=3；b=-2

⑵戶（獨(dú)網(wǎng)

⑶尸(2,|］或(1,3),(273-3,273+3)

【分析】（1）將點(diǎn)3代入>=x+6,求得6,進(jìn)而求得y=x-2,將/點(diǎn)坐標(biāo)代入求得“

（2）表示出尸。的長，根據(jù);P0?（貓-/）=3求得進(jìn)而得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）分為8C是邊，點(diǎn)￡>在x軸正半軸上和在負(fù)半軸上，以及3C為對(duì)角線.當(dāng)8c為邊時(shí)，點(diǎn)￡>在x軸正半軸上時(shí),

過點(diǎn)C作C廣，V軸，作。GLCB,證明ABCF/CG。，進(jìn)而得出C尸=OF,從而求得f的值，另外兩種情況類似方

法求得.

【詳解】(1)?.?直線y=x+6過點(diǎn)3(0,-2),

1>.0+Z)=—2，

b=—2,

???直線)=x-2過點(diǎn)4(3,〃),

〃=3—2=1,

???4(3,1),

k

=￡過點(diǎn)4(3,1),

X

k=xy=3x1=3；

(2)?.?點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為K

Q(tj，-2)

3

***PQ=：-(，-2)，

?.?4(3,1),5(0,-2),

=；尸。，（孫-乙）,

又S"PBS/PQ+S_PQ

iQ

--------(t-2)x3=3,

2tV7

?t=A/3,

：.P

(3)如圖1,

當(dāng)5。是邊，點(diǎn)。在x軸正半軸上，

作CF_LO5于E作。G_LW于G,

???NBFC=NG=90。,

：./FBC+/FCB-

*.*/BCD=90。,

：.ZDCG+ZFCB=90°f

：.ZFBC=ZDCG,

BC=CD,

：?ABFCMACGD(AAS),

：.CF=DG,

;OF=DG,

：.OF=CF,

.-+t-2

----=tf

2

Zj=1,t2=-3（舍去），

/.尸(1,3)

如圖2,

當(dāng)點(diǎn)。在x軸的負(fù)半軸上時(shí),

由上知：BG=DF=2,

；"=2,

當(dāng)3C是對(duì)角線時(shí),

圖3

當(dāng)2C是對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)。在x軸負(fù)半軸上時(shí),

可得：CF=OD,DF=OB=2,

,t=1,

/.尸(1,3),

如圖4,

CG=DF=2,DG=BF,

-+t-2

t+2^1--------

2

：.￡=2也-3,t2=-2-\/3-3(舍去)，

當(dāng)二26一3時(shí),y=J=2A/3+3

P（2百-3,2百+3）,

綜上所述：尸（2,|］或（1,3）,（2百-3,2月+3）.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)系.

3k

5.（2023?山東濟(jì)南?二模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線了=-^%與反比例函數(shù)>=\的圖像交于加，3）、8兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

3

(2)將直線＞向上平移后與V軸交于點(diǎn)C，與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點(diǎn)。，如果的面積為16,求

直線向上平移的距離；

(3)￡是y軸正半軸上的一點(diǎn)，尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使以點(diǎn)N,B,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)求出所有符合條件

的點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【答案】⑴一上12

x

⑵4

(3)用(。胃)，石2(。，5)

【分析】(1)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；

(2)連接NC、BC,設(shè)平移后直線CD的解析式為y=+得出點(diǎn)。(0力)，

根據(jù)直線CD平行直線得出S△.=S，根據(jù)點(diǎn)/、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得出點(diǎn)/4,-3),根據(jù)

Sac=；℃?(馬-均)=16,列出關(guān)于6的方程，解方程即可；

(3)設(shè)磯0,冽),4(-4,3),3(4,-3),得出/衣=(4++(3+37=100,AE2=(-4-0)2+(3-m)2^m2-6m+25,

5￡2=(4-0)2+(m+3)2=/M2+6m+25,分兩種情況，當(dāng)NB為邊時(shí)，當(dāng)43為對(duì)角線時(shí)，分別求出用的值即可.

33

【詳解】(1)解：令一次函數(shù)＞=中》=3,則3=-1X

解得：工=_4,即點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-4,3),

?.?點(diǎn)A(-4,3)在反比例函數(shù)的圖像y=:上，

左=—4x3=—12,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹=-上12；

(2)解：連接力。、BC,如圖所示:

3

設(shè)平移后直線CD的解析式為歹=-+6,

4

...點(diǎn)C(O,6),

?.?直線CD平行直線

??S&ABD=S&ABC，

,/△28。的面積為16,

:點(diǎn)/、點(diǎn)2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

???點(diǎn)8(4,-3),

SZUBC=5OC-(^xB-XA)=\6,

—&x8=16,

2

Z?=4,

.-.C(0,4),

...直線向上平移的距離為4.

(3)解:設(shè)磯0,冽),/(-4,3),5(4,-3),

則/京=(4+4丫+(3+3)2=100,

=(-4-0)2+(3-m)2=/M2-6m+25,

=(4-0)2+(w+3)2=m2+6m+25,

①如圖，當(dāng)48為邊時(shí)，止匕時(shí)滿足482+/￡2=區(qū)片,

即：100+m2-6m+25=m2+6m+25，

解得根=三25，

②如圖，當(dāng)48為對(duì)角線時(shí)，此;時(shí)滿足=/?!,

即m2—6m+25+m2+6m+25=100，

解得機(jī)=±5（-5舍去），

旦（。，5）；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)平