2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【分類討論】等腰三角形中的分類討論思想（解析版）

等腰三角形中的分類討論思想

知識方法精講

1.三角形三邊關(guān)系

(1)三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，

只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角

形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏

的定時(shí)炸彈，容易忽略.

2.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且

每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)

系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

3.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對.

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角

形的外角.

4.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從

中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

5.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等.【簡稱：等角對

等邊】

說明：①等腰三角形是一個(gè)軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作

未來底邊的中線；

④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么。2+廬=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+62=C2的變形有：a=^c2_b2,b=平：及c=*忑.

(4)由于。2+62=C2>/，所以c>°,同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

7.分類討論思想

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們

所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)

一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不

同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的,

即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這

種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

選擇題（共7小題）

1.（2021秋?昌平區(qū)期末）如圖，已知RtAABC中，ZC=90°,N/=30。，在直線3C上取

一點(diǎn)、P,使得AP/B是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)尸有（）

BC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定

【分析】分三種情況，AP=AB,BA=BP,PA=PB.

AABC=90°一ABAC=60°,

當(dāng)=時(shí)，以B為圓形，A4長為半徑畫圓，交直線3c于召，鳥兩個(gè)點(diǎn),

BA=BP2,ZABC=60°,

AABP2是等邊二角形，

AB=BP,=AP,,

當(dāng)=/尸時(shí)，以/為圓形，長為半徑畫圓，交直線8C于巴，

當(dāng)尸/=尸8時(shí)，作的垂直平分線，交直線2c于巴，

綜上所述，在直線2C上取一點(diǎn)尸，使得AP/3是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知畫出圖形是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透

了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

2.（2021秋?泰江區(qū)期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)/,8是小正方形的頂點(diǎn)，如果C點(diǎn)

是小正方形的頂點(diǎn)，且使A48c是等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定

【分析】當(dāng)是腰長時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與/、B頂點(diǎn)相對的頂點(diǎn)，連

接即可得到等腰三角形；當(dāng)N3是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離

相等，垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C,然后相加即可得解.

【解答】解：如圖，分情況討論：

①為等腰A48c的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②AB為等腰\ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的。點(diǎn)有4個(gè).

所以A4BC是等腰三角形，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為8個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖

形.分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

3.（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）若等腰三角形的一個(gè)角是80。，則此等腰三角形的頂角為（

）

A.80°B.20°C.80°或20°D.40°

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【分析】可分兩種情況：當(dāng)80。角為頂角時(shí)；當(dāng)80。角為底角時(shí)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，

利用三角形的內(nèi)角和定理分別求解即可.

【解答】解：當(dāng)80。角為頂角口寸，則等腰三角形的頂角為80。；

當(dāng)80。角為底角時(shí)，等腰三角形的頂角為180。-80。-80。=20。，

即此等腰三角形的頂角為80°或20°.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?長春期末）若A48C中剛好有N8=2NC,則稱此三角形為“可愛三角形”，并

且//稱作“可愛角”.現(xiàn)有一個(gè)“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個(gè)三角

形的“可愛角”應(yīng)該是（）

A.45°或36。B.72?；?6。

C.45°或72。D.45°或36°或72。

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理

【分析】分設(shè)三角形底角為a,頂角為2a或設(shè)三角形的底角為2。，頂角為a,根據(jù)三角

形的內(nèi)角和為180。，得出答案.

【解答】解：①設(shè)三角形底角為a,頂角為2a,

則（Z+a+2a=180°,

解得：a=45。，

②設(shè)三角形的底角為2c,頂角為a,

貝!]2a+2a+a=180°,

解得：a=36。，

2a=72。，

.,.三角形的"可愛角”應(yīng)該是45。或72。,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題是新定義題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類

思想是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?洪山區(qū)期末）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，圖中/、3在格

點(diǎn)上，則圖中滿足A48c為等腰三角形的格點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為（）

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以/、2為圓心，長為半徑畫弧，作的垂直

平分線，即可確定點(diǎn)C的位置.

【解答】解：如圖所示：

分三種情況：

①以N為圓心，N3長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C2,C3即為點(diǎn)。的位置；

②以8為圓心，長為半徑畫弧，則圓弧經(jīng)過的格點(diǎn)C3，C4,Cs,C6,C7,Cg即為點(diǎn)C

的位置；

③作N3的垂直平分線，垂直平分線沒有經(jīng)過格點(diǎn);

.?.AzIBC為等腰三角形的格點(diǎn)。的個(gè)數(shù)為：8,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，利用兩圓一線來解答是解題的關(guān)鍵.

6.（2019秋?蜀山區(qū)期末）在AA8C中，與//相鄰的外角是130。，要使A48c為等腰三角

形，則的度數(shù)是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定

【分析】依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：Z^=180°-130°=50°.

當(dāng)/8=NC時(shí)，ZS=ZC=1（180°-50°）=65°；

當(dāng)8C=A4時(shí)，AA=AC=50°,貝1」/3=180°-50°-50°=80°；

當(dāng)CN=C8時(shí)，AA=ZB=50°.

/B的度數(shù)為50°或65°或80°，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

7.（2020秋?河池期中）已知等腰三角形的一個(gè)外角為100。，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（

）

A.80°B.40°C.20?；?0°D.20°

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)

【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，

可以得到：（1）當(dāng)這個(gè)100。的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形的頂角為80。；（2）

當(dāng)這個(gè)100°的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角為

180°-80°-80°=20°.

【解答】解：分為兩種情況：（1）當(dāng)這個(gè)100。的外角為頂角的外角時(shí)，則這個(gè)等腰三角形

的頂角為80。；

（2）當(dāng)這個(gè)100。的外角為底角的外角時(shí)，可以得到這個(gè)等腰三角形的頂角為

180°-80°-80°=20°；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三

角形的外角性質(zhì)定理即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

二.填空題（共2小題）

8.（2021秋?淮南月考）如圖，已知的半徑為2.弦48的長度為2,點(diǎn)C是上一動(dòng)

點(diǎn)，若A48C為等腰三角形，則8c2的長為8±4仆或12或4.

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)

【分析】當(dāng)A43c為等腰三角形時(shí)，分兩種情況：①如圖1,AC=BC,在N3的兩側(cè)各有

一個(gè)符合條件的點(diǎn)C,根據(jù)勾股定理可得結(jié)論；②如圖2,當(dāng)月8=1。時(shí)，連接。C3，AO,

40交BC,于E,則根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)和勾股定理，垂徑定理可得結(jié)

論.

【解答】解：當(dāng)A48c為等腰三角形時(shí)，分以下兩種情況：

①如圖1,以N8為底邊時(shí)，AC=BC,連接CC2，AO,則過圓心。，

AD=-AB=\,

2

?1-OA=2,

:.OD=物-儼=百,

:.GD=2+,C,D=2—V3,

BC^=(2+V3)2+12=8+4^,8C；=(2-初+12=8-46;

②如圖2,以48為腰時(shí)，AB=AC3=BC4=2,連接Og，/。，/。交BC3于￡，則BE=C3E,

3C；=4,

圖2

???OC3=AO=AC3=2,

△AC3O是等邊三角形，

ZEOC3=60°,

ZOC3E=30°,

C3E=V3,

BC3=2V3,

3C；=（2?=12,

綜上，BC2=8±4?；?2或4.

故答案為：8±4右或12或4.

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是

解題的關(guān)鍵.

9.（2021秋?鹽池縣期末）已知等腰三角形的一邊長為4c機(jī),另一邊長為8c加，則這個(gè)等腰

三角形的周長為20cm.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4c%和8c加，而沒有明確腰、底分別是多少，所

以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【解答】解：,??4+4=8,4+8>8,

腰長不能為4cm,只能為8cm,

二.等腰三角形的周長=4+8+8=20（°加）.

故答案為：20.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目

■定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)

非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題）

10.（2021?婺城區(qū)模擬）在矩形/5CD中，48=4,點(diǎn)尸是直線C〃上（不與點(diǎn)C重合）

的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)過點(diǎn)2作的垂線分別交直線ND、直線CD于點(diǎn)E、F,連結(jié)尸E.

（1）如圖，當(dāng)/￡>=4,點(diǎn)尸是CD的中點(diǎn)時(shí)，求tanNE氏4的值；

（2）當(dāng)40=2時(shí)，

①若ADPE與A5尸￡相似，求。尸的長.

②若APE尸是等腰三角形，求。E的長.

【考點(diǎn)】相似形綜合題

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及同角的余角相等可得4=再運(yùn)用三角函數(shù)定義

即可求得答案；

（2）①根據(jù)KDPE與NBPE相似，PE是公共斜邊，可得NDPE=NBPE或ADPE與ABEP,

分兩種情況討論即可；

③由APEF是等腰三角形，可得PE=PF或PE=EF或PF=EF,分三種情況進(jìn)行討論.

【解答】解：（1）?.?四邊形是矩形，

AB=CD=4,BC=AD=4,NABC=ABAD=/BCD=90°,

:.ZABP+ZPBC=90°,

?.,點(diǎn)尸是cz>的中點(diǎn),

:.CP=-CD=2,

2

BP工EF,

/ABE+ZABP=90°,

NABE=/PBC,

CP21

tanAEBA=tan/PBC==—=—.

BC42

(2)①?.?△￡>/>￡與A5PE相似，尸E是公共斜邊,

NDPE=A5PE或NDPE=NBEP,

當(dāng)ADPE合ABPE時(shí)，

PB=PD,

設(shè)尸￡>=x,貝I」尸8=x,PC=4-x,

在RtABPC中，BC2+PC2=PB2,

22+(4-x)2=/,

解得：尤=*,

2

PD=-.

2

當(dāng)ADPE=ABEP時(shí)，如圖2,

,.0DP=BE>AB,

.?.點(diǎn)P在。C的延長線上，

NDPE與NBEP,

:.DP=BE,DE=BP,

在必因尸和妨/5方中，

ADFE=ZBFP

<ZEDF=ZPBF,

DE=BP

ADEF=ABPF(AAS),

/.DF=BF,

設(shè)DF=BF=m,則CF=4—冽，

在RtABFC中，BC2+CF2=FB2,

/.22+(4-^)2=m2,

解得：m=—9

2

53

DF=BF=~,CF=-,

22

???ZFBC+ZPBC=90°,ZPBC+ZBPC=90°,

NFBC=/BPC,

/BCF=NBCP,

\FBCs\BPC,

3

，”二吆,BpI=A,

BCCP2CP

:.CP=-,

3

Q20

:.DP=DC+CP=4+-=—,

33

綜上所述，心=3或型.

23

②:APE尸是等腰三角形，

PE=PF或PE=EF或PF=EF,

當(dāng)尸8=尸尸時(shí)，如圖3,

???BPLEF,

EB=BF,

/.EF=2FB,

???BCIIAD,

AFBCHAFED,

BC_FB

一法一而一5'

:.DE=2BC=2x2=4；

當(dāng)尸E=跖時(shí)，如圖4,

設(shè)。尸=加，貝1」。尸=冽+4,

PE=EF,EDLPF,

DP=DF=加+4,

CP=DP+DC=加+8,

???ZPBF=/PCB=NBCF=90°,

...NPBC+NBPC=90。，ZPBC+ZFBC=90°,

?.ABPC=ZFBC，

..NPBC^NBFC,

CPBC日口加+82

..—=—,即----=—，

BCCF2m

m>0,

\m=2^/5-4,

?.CF=2下一4,DF=2A/5,

.?BC//AD,

?.\FBC^\FED,

BCCF

DE~DF

:.DE=-崢=10+4后；

2V5-4

當(dāng)尸尸二石尸時(shí)，如圖5,

???PF=EF,

/BEP=ZDPE,

???/EBP=/PDE=90°,

\BEP=ADPE(AAS),

:.BP=DE,

設(shè)CP=〃，則。尸=4+九，

DE2=BP2=BC2+CP?=4+幾2,

???ZFBP=/BCF=ZBCP=90°,

z.ZBFC+ZFBC=90°,ZFBC+ZPBC=90°,

ZBFC=ZPBC,

ABFC^APBC,

CFBCBnCF2

BCCP2n

:.CF=~,

n

44

:.DF=4一一,EF=PF=n+—,

nn

-：DE2+DF2=EF2,

4+/+(4——y=(〃+—)2,

nn

綜上所述，小的長為4或1。+4指或M

D

圖3

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，等腰三角形性質(zhì)，三角函數(shù)定義等，涉及知識點(diǎn)較多，難度較大，熟練掌握全等三角

形判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思

想是解題關(guān)鍵.

11.（2021?高郵市二模）如圖，CD是A4BC的高，CD=8,AD=4,BD=3,點(diǎn)P是BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與3、C不重合），PELAB于點(diǎn)E,DF=DE,FQ工4B于點(diǎn)、F,交4c

于點(diǎn)Q,連接?！?

（1）若點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，則。E=_后_；

（2）在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，

①斯+尸。的值為；

②當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段最??？最小值是多少？

③當(dāng)A4QE是等腰三角形時(shí)，求BE的長.

【考點(diǎn)】三角形綜合題

【分析】（1）如圖1,設(shè)。G=a,根據(jù)三角形的中位線定理得。尸=2°,根據(jù)正切定義得

AD

tanZBAC=——=—,得/尸=a,DF=DE=4-a,根據(jù)8E=￡7）,列方程可得°的值,

FQCD

最后根據(jù)勾股定理計(jì)算EQ的長；

（2）①過點(diǎn)0作"_LCD于X,證明四邊形尸以才。為矩形，得DF=QH=DE,FQ=DH,

根據(jù)三角函數(shù)定義可得C〃=20〃=昉，可得結(jié)論；

②由①得：EF+FQ=S,設(shè)EF=x,則F0=8-x,根據(jù)勾股定理計(jì)算

EQ=7%2+（8-X）2=72（^-4）2+32-根據(jù)平方的非負(fù)性可得當(dāng)x=4時(shí)，取最小值為

V32=4A/2,由平行線分線段成比例定理得義="=』，計(jì)算2C的長，可得結(jié)論；

EDPC2

③設(shè)DE=m,BE=3-m,。尸=加（2力），根據(jù)勾股定理計(jì)算/C和的長，MEQ為

等腰三角形，分三種情況：?4。=/石，均/。=￡。，沆）/E=E。，列方程可解答.

【解答】解：（1）如圖1,設(shè)DG=a,

VCDLAB,PEVAB,QFLAB,

■：DE=DF,

EG=QG9

0G是A￡F。的中位線，

QF=2a,

fAFAD.

*.*tan/BAC==,即Rn-

FQCD

AF=a,DF=DE=4—。，

???BD=3,

.e.BE=3—(4—q)=a—1,

-：PE//CD,BP=PC,

/.BE=ED,

ci—1=4—a,

5

..6Z———

2

二.FQ=2a=5，EF=2(4—q)=8—2〃=8—5=3，

EQ=A/32+52=V34；

故答案：V34；

(2)①如圖2,過點(diǎn)。作于〃,

圖2

???FQ上AB,CDVAB,

/.AQFD=ZFDH=ZQHD=9(F,

.?.四邊形也因。為矩形,

,DF=QH=DE,FQ=DH,

ADQH41

,/tanNACD==——=—二一

CDCH2

CH=2QH=EF,

EF+FQ=DH+CH=S:

故答案為：8；

②由①得：EF+FQ=8,

^EF=x,貝I」廣。=8—%,

/.EQ=7X2+(8-X)2=A/2X2-16X+64=J2(x—4>+32,

當(dāng)x=4時(shí)，E。取最小值為任=4后,

此時(shí)，DE=DF=2,

:.BE=3—2=\,

?：PE〃CD,

BEBP

一訪―正一5'

RtABDC中，由勾股定理得：BC=yj32+82=4T3,

:.PB=叵,

3

當(dāng)尸3=容時(shí)，線段?！曜钚?，最小值是40；

③設(shè)?！?加，BE=3-m,DF=,

「.AE=4+m,AF=4一加,FQ=8-2m,

AC=N#+8?=J16+64=4石，AQ=45（4-m）,

當(dāng)A4E。為等腰三角形時(shí)，存在以下三種情況：

i）AQ=AE,則4+〃？=6（4-加），

解得：m=6—2y[5,

BE=3-(6-2^)=2^/5-3；

H)AQ=QE,

QF1AE,

AF=EF,

:.4—m=2m，

4

:.m=—,

3

iiQAE=EQ,貝I4+〃？=7（2m）2+（8-2m）2,

7m2-40m+48=0,

17

解得：冽］=4（舍），m2=—,

129

:.BE=3——=3；

77

綜上所述，皮？的長為2石-3或3或

37

【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合題，解答本題主要應(yīng)用了平行線分線段成比例定理，三角形的

中位線定理，二次根式的計(jì)算，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定三角函數(shù)等知識，熟練

掌握平行線分線段成比例定理是關(guān)鍵，并結(jié)合方程思想和分類討論的思想解決問題.

12.(2021秋?南沙區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的。。半徑為3.

(1)試判斷點(diǎn)次3,3)與00的位置關(guān)系，并加以說明.

(2)若直線y=x+6與。。相交，求6的取值范圍.

(3)若直線y=x+3與。。相交于點(diǎn)N,3.點(diǎn)尸是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以/,8,

P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】(1)計(jì)算O/與半徑3進(jìn)行比較即可；

(2)當(dāng)直線y=x+6與0。相切于點(diǎn)C時(shí)，求出的長度，即可得出相交時(shí)6的范圍；

(3)首先得出4(0,3),3(-3,0),分4B=AP,BA=BP,尸/=E8三種情形，分別計(jì)算

即可.

【解答】解：⑴???/(3,3),

OA=342,

372>3,

.?.點(diǎn)/在。。外；

(2)如圖，當(dāng)直線y=x+6與。。相切于點(diǎn)。時(shí)，連接。C,

貝UOC=3,

???ZCBO=45°,

05=372,

二直線y=x+6與。。相交時(shí)，-3^2<b<372；

(3)，.,直線y=x+3與0。相交于點(diǎn)/,B.

^(0,3),8(-3,0),

AB=372,

當(dāng)A4=AP=3夜時(shí)，

.?.4(-3+3后，0),￡(-3-3后，0),

當(dāng)=時(shí)，

AO_Lx軸，

BO=OP,

；/(3,0)，

當(dāng)尸8=尸工時(shí)，點(diǎn)尸與。重合，

；/(0,0)，

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-3+3后，0)或(-3-3后，0)或(3,0)或(0,0).

【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，主要考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，等腰三

角形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵.

13.(2020秋?浦東新區(qū)校級期末)己知：如圖，在A43C紙片中，AC=3,BC=4,AB=5,

按圖所示的方法將AACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在邊AB上的點(diǎn)。處，點(diǎn)尸是射線AB上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求折痕4D長.

(2)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)/P=x,DP=y.求/關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出此

函數(shù)的定義域.

【分析】(1)由翻折可知：CD=DC,AC=AC'=3,T^CD=DC'=x,在RtABDC中,

mBD2=C'D2+C'B2,構(gòu)建方程即可解決問題.

(2)利用勾股定理即可解決問題.

(3)分三種情形：①PA=PD,@AP=AD,③當(dāng)尸〃時(shí)，分別求解即可.

【解答】解：(1)如圖1中，

圖1

由翻折可知：CD=DC,AC=AC'=3,設(shè)CD=OC=x,

在RtABDC中,BD2=CD2+C'B2,

(4-x)2+2?,

解得X」，

2

AD=yjAC2+DC2=

(2)如圖2中，當(dāng)點(diǎn)尸在C'D左側(cè)，AC=AC=3,則尸C'=3-x,

c

■：DP=ylCD2+PC'2，

y=^(—)2+(3—x)2=Jx?-6x+-^-(0*4。)?

當(dāng)點(diǎn)P在CD右側(cè)，同理可得y=Jx2—6x+*E^0).

y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=R-6x+,gW)).

①當(dāng)尸N=P〃時(shí)，設(shè)PA=PD=m,

在RtAPCD中，PD2=DC'2+CP2，

m2=(1)2+(3-m)2,

解得m=—,

8

PA=—.

8

②當(dāng)==3逐時(shí)，AXDP是等腰三角形,

2

③當(dāng)尸D=時(shí)，點(diǎn)P在的延長線上.如圖4,

D

AP=2AC=6.

綜上所述，滿足條件的尸/的值為”或3行或6.

82

【點(diǎn)評】本題屬于三角形綜合題，考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角

形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會由分類討論的思想思考問題.

14.(2020秋?浦東新區(qū)校級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)”為x軸正半軸上一點(diǎn),

過點(diǎn)M的直線//夕軸，且直線I分別與反比例函數(shù)y=-(x>0)和y=-(x>0)的圖象交于

XX

P、。兩點(diǎn)，ZQOM=45°,5ApO。=14.

(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若x軸上有一點(diǎn)N,使得A2V。。為等腰三角形，請直接寫出所有滿足條件的N點(diǎn)的坐

標(biāo).

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題

【分析】(1)由o=14.得左=-20,設(shè)0(。,-㈤，代入反比例函數(shù)>=-空中即可；

(2)首先利用勾股定理得。。=J(2行『+(2后2=2而,當(dāng)若OQ=ON=2M,則

N(2M,0)或(-2而,0)；若QO=ON,則NO=2OM=4石，則N(4石,0)；若NO=NQ,

設(shè)點(diǎn)N(〃,0),則1=(〃-2出了+(2君A,從而解決問題.

【解答】解：⑴?.,SAPO2=5必加=14，邑.=；x8=4,?因，

.'.1|^|+4=14,

?;k<0,

k=-20,

??.反比例函數(shù)的解析式為>=-型，

X

vZQOM=45°,///?軸，

,ZQOM=ZOQM=45°,

,MO=MQ,

設(shè)。（。,一〃）,

/=—20,

a=±2A/5（負(fù)值舍去），

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2君，-2君），

（2）;.。。=J（2后+Q⑹2=2M,

若&VO。為等腰三角形，可分三種情況：

①若。。=ON=2M,則N（25,0）或（-2710,0）；

②若QO=ON,則NO=2（W=4右，則N（4石,0）；

③若NO=NQ,設(shè)點(diǎn)N（〃,0）,則#=（"-2））2+（2君A,

解得：n=2^/5,

nQ乖1,0）,

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（2石，0）或（2屈，0）或（-2廂,0）或（4石,0）.

【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，發(fā)的幾

何意義，等腰三角形等知識，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

15.（2020秋?沈北新區(qū)校級期末）如圖1,在RtAABC中，NACB=90。,ZABC=30°,48=10,

點(diǎn)D以每秒B個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)3處沿射線8C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)/以每秒2個(gè)單位長度

的速度從點(diǎn)/出發(fā)沿邊N8向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。，尸兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)廠運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)。、

下同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)用含/的代數(shù)式分別表示線段8。和8廠的長度.貝1］助=_e_，BF=.

(2)若A5D尸為等腰三角形，求t值.

(3)如圖2,以。下為對角線作正方形在運(yùn)動(dòng)過程中，若正方形。的一邊恰

好落在RtAABC的一邊上，請直接寫出所有符合條件的/值.

【分析】(1)由運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的關(guān)系，直接可求；

(2)分三種情況求解：①當(dāng)AD=3下時(shí)，=10-2心②當(dāng)=。尸時(shí)，過點(diǎn)尸作FG_L8C

交于點(diǎn)G,則Gb=、一。產(chǎn)，即5-7=JxJ與；③當(dāng)=8/時(shí)，過點(diǎn)尸作戶7/13C交

22

于點(diǎn)H,BH=—BF,即@/="(10-2。；分別求出t的值即可；

222

(3)分四種情況求解：①當(dāng)在8C上時(shí)，MB=y/3t+5-t,再由=廠，可得

2

/?片

百/+5-f=事(10-2/),可求/；②當(dāng)DN在BC上時(shí)，NF=5-t,BN="BF,即

V3?-5+?=—(10-2?),可求心③當(dāng)JVF在N3上時(shí)，ON，由

233百+V一3*2

可求?、墚?dāng)"產(chǎn)在上時(shí)，DM=,由。河=,8。，可求

3-V32

【解答】解：(1)由題意可得3斤=10-2/,BD=0,

故答案為：Ct，10-2z；

(2)①當(dāng)59時(shí)，疝=10—2和

/.t=20—10A/3；

②如圖1,當(dāng)5。二。/時(shí)，過點(diǎn)尸作/GL5C交于點(diǎn)G,

???NABC=30°,

:.FG=-BF=5-t,

2

?「BD=DF,

ZFBD=ZBFD=30°,

NFDG=60°,

,/BD=y/3t，

DF=,

在RtADFG中，GF=—DF,

2

5-1—x-xf^t

2

,,.t=2；

③如圖2,當(dāng)。尸=5尸時(shí)，過點(diǎn)尸作交于點(diǎn)H,

:.BH=-BD=-t,

22

在RtABFH中，BH=—BF,

2

...多二爭10一2/),

10

t=—；

3

綜上所述：若兇世為等腰三角形，，的值為2。-或2畔;

(3)如圖3,當(dāng)V。在上時(shí),

-：FM=MD,ZFMD=90°,

:.MF=-BF=5-t,

2

BD=5,

MB--\/3t+5—tj

在RtABFM中，MB=—BF,

2

V3r+5-?=^-(10-2?),

25-573

...t=--------------;

11

②如圖4,當(dāng)。N在8C上時(shí),

在RtABFN中，NF=-BF=5-t,

2

DN=NF,BD=M,

BN-y/3t—5+Z,

h

BN=—BF,

2

...V3/-5+/=^-(10-2/),

25+573

/.t=-------；

11

③如圖5,當(dāng)NF在48上時(shí)，

在RtABDN中，DN=.BN=^(BF-DN)=[QQ-%一DN),

10V3-2V3/

二.DN=---------T=—,

3+V3

■：DN=-BD,

2

10V3-2V3/V3

...------p=--=---1，

3+V32

70—10班

t=-------------；

23

④如圖6,當(dāng)〃/在N8上時(shí)，

在RtABDM中，DM=^BM=^-(BF+DM)=^-(10-2t+DM),

M10V3-2^

3-V3

■：DM=-BD,

2

10V3-2V3/V3

--------尸---=----1,

3-V32

70+1073

t=-------------;

23

綜上所述：t的值為25-5—或25+5-或70-1073或70+10^.

11112323

A

圖5

圖4

圖3

圖2

A

圖1

【點(diǎn)評】本題考查四邊形綜合，熟練掌握正方形的性質(zhì)，30。角的直角三角形的性質(zhì)，分類

討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

16.（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，ZUBC中，ZC=90°,BC=6,的平分線與線段

/C交于點(diǎn)。，且有力。=5。，點(diǎn)￡是線段48上的動(dòng)點(diǎn)（與/、8不重合），聯(lián)結(jié)

設(shè)AE=x,DE=y.

（1）求NN的度數(shù)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（無需寫出定義域）；

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到==根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)求出//；

（2）作。歹，N3于歹，根據(jù)勾股定理求出。咒，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算求出y關(guān)于x的

函數(shù)解析式；

（3）分BE=BD、BE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：⑴VAD=BD,

ZA=ZDBA,

?.?即是乙45c的平分線，

/./CBD=/DBA,

NA=/DBA=ZCBD,

???ZC=90°,

N4=30°；

(2)如圖，作止_L45于尸，

在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,ZA=30°,

AB=2BC=\2,

?;DA=DB,DFLAB,

AF=—AB=6,

2

EF=|6-x|,

在RtAAFD中，N4=30。，

h

:.DF=—AF=2^,

3

在RtADEF中，DE1^EF2+DF1,BP/=(6-x)2+(273)2,

解得：y=G-12x+48；

(3)在RtAAFD中，N/=30°,DF=26,

AD=BD=4拒,

當(dāng)3￡=8D=4G時(shí)，/￡=12-46；

當(dāng)BE=DE時(shí)，12-x=Vx2-12x+48,

解得：x=8,即/￡=8,

?.?點(diǎn)E與/、2不重合，

二.DBwDE,

綜上所述：當(dāng)ABOE是等腰三角形時(shí)，/E的長為12-46或8.

【點(diǎn)評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想、

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2021秋?雞冠區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAABC的斜邊在x軸上,

點(diǎn)C在〉軸上，ZACB=90°,OC.03的長分別是一元二次方程--6x+8=0的兩個(gè)根,

S.OC<OB.

（1）求點(diǎn)/的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)。是線段N8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)/,3重合），過點(diǎn)。的直線/與y軸平行,

直線/交邊/C或邊3c于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,線段。P的長為d,求d關(guān)于I的函

數(shù)解析式；

（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)。，使A4C。為等腰三角形？若存在，請你直接寫出

【分析】（1）解一元二次方程求出OC、OB,證明A4OCSACO3,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)求出。4,得到點(diǎn)/的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線/C、直線3c的解析式，分點(diǎn)。在線段。/上、點(diǎn)。在

線段03上兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到“關(guān)于，的函數(shù)解析式；

（3）分=CA=CD.D4=DC三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算

即可.

【解答】解：(1)解方程——6x+8=0,

可得再=2,%=4,

???OC＞05的長分別是一元二次方程一一6工+8=0的兩個(gè)根，且。。＜。5,

OC=2,08=4,

???ZACB=90°,

/.NACO+ABCO=ZACO+ZCAO=90°,

ZCAO=NBCO,

又???//OC=/BOC=90。，

\AOCsbCOB,

.AO_OC

,~CO~~OB'

即42,

24

解得AO=1,

/.止1,0)；

(2)由(1)可知。(0,2),8(4,0),4(-1,0),

設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,

*=2,

[~k+b=0

解得F=2,

[左=2

直線AC的解析式為y=2x+2,

同理可求得直線BC解析式為y=-;x+2,

當(dāng)點(diǎn)。在線段CU上時(shí)，即-1＜々6時(shí)，則點(diǎn)P在直線NC上，

尸點(diǎn)坐標(biāo)為。2+2),

a=2,+2；

當(dāng)點(diǎn)。在線段05上時(shí)，即0＜，＜4時(shí)，則點(diǎn)尸在直線5c上，

/.P點(diǎn)坐標(biāo)為+2)，

+2；

2

2t+2(—1<

綜上可知d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為d=-1

--t+2(0<t<4)

（3）存在.

由勾股定理得，AC7Ao°+OC2=#>，

當(dāng)==，點(diǎn)。在點(diǎn)/的右側(cè)時(shí)，。點(diǎn)的坐標(biāo)為（石-1,0）,

當(dāng)C4=CD時(shí),

COVAD,

OD=OA=1,

二。點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0）,

解得，DC=~,

2

53

OD=一一1二一，

22

點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,0),

。點(diǎn)的坐標(biāo)為（囪-1,0）或（1,0）或弓，0）.

綜上所述，A4CZ）為等腰三角形時(shí),

【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程的解法、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的

判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況

討論思想是解題的關(guān)鍵.

18.（2021秋?金牛區(qū)期末）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)4（2,0）,點(diǎn)3（0,2百），連

接動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段50向。運(yùn)動(dòng)，到達(dá)。點(diǎn)后立即停止，速度為每秒6個(gè)

單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到08中點(diǎn)時(shí)，求此時(shí)4P的解析式；

(2)在(1)的條件下，若第二象限內(nèi)有一點(diǎn)。(a,3),當(dāng)/儂=52砥時(shí)，求。的值；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸從B點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)有點(diǎn)M從/出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿

直線x=2向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M也立即停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)尸作尸N_Ly軸交于

點(diǎn)、N.在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在/,使得為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)的f值，

若不存在，說明理由.

【分析】(1)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出解析式;

(2)由知直線尸。//48，從而得出直線PQ的解析式為＞=-技+班，即

可解決問題;

(3)分=或=或=■三種情形，分別根據(jù)含30。角的直角三角形的性

質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：(1)V5(0,273),

的中點(diǎn)為(0,6)，

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到03中點(diǎn)時(shí)，尸(0,6),

設(shè)直線N尸的函數(shù)解析式為＞=依+6,

將/(2,0)代入y=fcv+百得，2后+6=0,

V3

2

直線AP的函數(shù)解析式為y=