2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)形結(jié)合】數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想（原卷版）

數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想

知識方法精講

1.數(shù)軸

(1)數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向.

(2)數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理

數(shù).(一般取右方向?yàn)檎较颍瑪?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù).)

(3)用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個(gè)正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，絕對值等于0的數(shù)有一個(gè)，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當(dāng)。是正有理數(shù)時(shí)，。的絕對值是它本身a；

②當(dāng)。是負(fù)有理數(shù)時(shí)，。的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)。是零時(shí)，。的絕對值是零.

即同={a(a>0)0(a—0)-a(a<0)

3.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，任意一個(gè)數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的絕對值相加和為0時(shí)，則

其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

根據(jù)上述的性質(zhì)可列出方程求出未知數(shù)的值.

4.有理數(shù)大小比較

(1)有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數(shù)軸上表示

的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大)；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小,

利用絕對值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小.

(2)有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負(fù)數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

④兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

I.法則比較：正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù).兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù).

3.作差比較：

若a-6>0,則a>b；

若a-b<0,貝Ua<b；

若a-b=0,則a—b.

5.實(shí)數(shù)與數(shù)軸

(1)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)關(guān)系.

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反之，數(shù)軸上的任意一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù).數(shù)軸

上的任一點(diǎn)表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).

(2)在數(shù)軸上，表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)在原點(diǎn)的兩旁，并且兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，實(shí)數(shù)。

的絕對值就是在數(shù)軸上這個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

(3)利用數(shù)軸可以比較任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，即在數(shù)軸上表示的兩個(gè)實(shí)數(shù)，右邊的總比左

邊的大，在原點(diǎn)左側(cè)，絕對值大的反而小.

6.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字

與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

(2)利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x,再利用它們

之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程.

7.兩點(diǎn)間的距離

(1)兩點(diǎn)間的距離

連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離.

(2)平面上任意兩點(diǎn)間都有一定距離，它指的是連接這兩點(diǎn)的線段的長度，學(xué)習(xí)此概念時(shí)，

注意強(qiáng)調(diào)最后的兩個(gè)字“長度”，也就是說，它是一個(gè)量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖

形.線段的長度才是兩點(diǎn)的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離.

8.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用

了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問

題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；（2）

函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有

明顯的幾何意義。如等式。

3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、

最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

選擇題（共11小題）

1.（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上的兩點(diǎn)/、B表示的數(shù)分別為a、b,下列結(jié)

論正確的是（）

A,.F..

a-10b1

A.a+b>0B.b—a<0C.ab>0D.—<0

b

2.（2020秋?江津區(qū)期末）有理數(shù)a,b,。在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則下列各

式正確的個(gè)數(shù)是（）

①abc<0；

②。-6+。<0；

③叫回+回=3；

abc

@\a-b\-\b+c\+\a-c\=2a.

bc0a

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2021秋?都江堰市期中）如圖，在數(shù)軸上，已知點(diǎn)尸表示的數(shù)為-3,則點(diǎn)尸到原點(diǎn)的

距離是（）

P0

A.-3B.3C.--D.-

33

4.（2021秋?瑞安市期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)/表示的數(shù)是1,點(diǎn)。分別位于點(diǎn)4兩側(cè)，

且到點(diǎn)N的距離相等.若點(diǎn)3表示的數(shù)是后，則點(diǎn)。表示的數(shù)是（）

—Q_?__4——S__>

A.-V2B.V2-1C.2-V2D.及-2

5.（2021秋?義烏市期中）正方形/2C。在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)。、/對應(yīng)的數(shù)分

別為0和1,若正方形/BCD繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)3所

對應(yīng)的數(shù)為2；則翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上數(shù)2021所對應(yīng)的點(diǎn)是（）

Cl——|B

IIII1Al??.

-4-3-2-101234

A.點(diǎn)/B.點(diǎn)BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

6.（2021秋?金水區(qū)校級期中）數(shù)Q,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡：

21b-q|c-61+1a+61等于（）

"?:1b~~0I*~2^

A.3。—2Z?+cB.—ci+2Z?+cC.—。+46—cD.3。—c

7.（2020秋?建平縣期末）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，且|a|>|b|,則化

簡歷+|。+6|的結(jié)果為（）

?J-----1?-------->

F40b

A.2a+bB.-2a-bC.bD.2a-b

8.（2021秋?山亭區(qū)期中）實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|。|-河77

的結(jié)果是（）

~0b

A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b

9.（2021秋?梁子湖區(qū)期中）已知C<a<0<c,代數(shù)式16H6-。|+|°-（一|。+回的值等

于（）

A.c-a-bB.b+c-aC.a+c-bD.a+b+c

10.（2021秋?嵯帽區(qū)期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則化簡代數(shù)式

|a-61-1〃+611b-c|的結(jié)果是（）

????今

abo2

A.2a-b+cB.b—cC.b+cD.-b-c

11.（2021秋?五常市期末）有理數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡6|+。的結(jié)

果為（）

-a0b>

A.bB.-bC.—2a—bD.2a—b

—.填空題（共2小題）

12.（2021秋?西城區(qū)期末）線段/8=6,C為線段N3的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線上，若

BD=3AC,貝!|CD=.

13.（2021秋?金水區(qū)校級期中）已知有理數(shù)0、6在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，請化

簡：\a\+\a+b\-2\a-b\=.

a,b,

?,---------大?-----1------>

-101

三.解答題（共10小題）

14.（2021秋?長豐縣期末）如圖，A,B,尸三點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)/對應(yīng)的數(shù)為多項(xiàng)式

3/一2%+1中一次項(xiàng)的系數(shù)，點(diǎn)8對應(yīng)的數(shù)為單項(xiàng)式5〃//的次數(shù)，點(diǎn)？對應(yīng)的數(shù)為x.

（1）請直接寫出點(diǎn)/和點(diǎn)B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù).

（2）請求出點(diǎn)尸對應(yīng)的數(shù)x,使得尸點(diǎn)到/點(diǎn)，3點(diǎn)距離和為10.

（3）若點(diǎn)P在原點(diǎn)，點(diǎn)3和點(diǎn)尸同時(shí)向右運(yùn)動，它們的速度分別為1,4個(gè)長度單位/分鐘，

則第幾分鐘時(shí)，A,B,尸三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連成的線段的中點(diǎn)？

15.（2021秋?江夏區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上有4,2兩點(diǎn)，其中點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)，已知

點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為4,點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為0.

（1）^a=2x（l-l）xA^2x72,則線段N3的長為（直接寫出結(jié)果）.

663145

（2）若點(diǎn)C在射線上（不與4,3重合），且2/C-33c=6,求點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)（結(jié)

果用含“的式子表示）.

（3）若點(diǎn)M在線段之間，點(diǎn)N在點(diǎn)/的左側(cè)（M、N均不與/、2重合），且

AM-BM=1.當(dāng)處=3,=時(shí).求“的值.

AN

---------------------------------B-^

5

備用圖

16.（2021秋?西城區(qū)校級期中）我們知道，|a|的幾何意義是：在數(shù)軸上數(shù)。對應(yīng)的點(diǎn)到

原點(diǎn)的距離，類似的，|x-y|的幾何意義就是：數(shù)軸上數(shù)x,y對應(yīng)點(diǎn)之間的距離.比如：

2和5兩點(diǎn)之間的距離可以用|2-51表示，通過計(jì)算可以得到他們的距離是3.

（1）數(shù)軸上1和-3兩點(diǎn)之間的距離可以用表示，通過計(jì)算可以得到他們的距離

是—.

（2）數(shù)軸上表示x和-3的兩點(diǎn)/、3之間的距離可以表示為N8=；如果N3=2,結(jié)

合幾何意義，那么x的值為—；

（3）代數(shù)式住-1|+|》+2|表示的幾何意義是—,該代數(shù)式的最小值是—.

-5-4-3-2-10123456

17.（2021秋?魏都區(qū)校級期中）已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸的位置如圖所示，化簡:

|a-l|-|c-/?|+|/）-l|+|-l-c|.

-10bI

18.（2021秋?滕州市期中）送貨員開著貨車從超市出發(fā)，向東走了4千米到達(dá)小剛家，繼

續(xù)走了2千米到達(dá)小明家，然后向西走了10千米到達(dá)小芳家，最后回到超市.

（1）以超市為原點(diǎn)，以向東的方向?yàn)檎较颍?個(gè)單位長度表示1千米，小芳家在超市

的一方，距超市一千米，請?jiān)跀?shù)軸上表示出小明家、小芳家的位置.

I1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123456

（2）小剛家距小芳家一千米.

（3）若送貨車每千米耗油0.15升，每升汽油6元，請問貨車全程油耗多少元？

19.（2021秋?運(yùn)城期中）已知6是最小的正整數(shù)，且a,b,c滿足（c-6）2+|a+b|=0,

請回答下列問題：

（1）請直接寫出a,b,c的值，a=,b=,c=.

（2）如圖a,b,c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為4,B,C,點(diǎn)尸為一動點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)

為x,當(dāng)點(diǎn)P在N,3之間運(yùn)動時(shí)，請化簡式子：|x+l|-|x-l|-|x+5］；（請寫出化簡過

程）

（3）在（1）和（2）的條件下，若點(diǎn)/以每秒1個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)C

以每秒1個(gè)單位長度向右運(yùn)動，假設(shè)經(jīng)過I秒，點(diǎn)3與點(diǎn)C之間的距離為2C,點(diǎn)/與點(diǎn)2

之間的距離為48,貝U&C=,AB=,并求出8C-4S的值.

A0BC

20.（2021秋?青島期中）同學(xué)們，學(xué)習(xí)了無理數(shù)之后，我們已經(jīng)把數(shù)的領(lǐng)域擴(kuò)大到了實(shí)數(shù)

的范圍，這說明我們的知識越來越豐富了.可是，無理數(shù)究竟是一個(gè)什么樣的數(shù)呢？下面讓

我們在幾個(gè)具體的圖形中認(rèn)識一下無理數(shù).

（1）如圖①是一個(gè)直角邊長為2的等腰直角三角形，它的面積是2,把它沿著斜邊

的高線剪開拼成如圖②的正方形/皿C,則這個(gè)正方形的面積也就等于等腰直角三角形的

（2）如圖，直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)。沿?cái)?shù)軸向右滾動一周，圓上的一點(diǎn)（滾動時(shí)

與點(diǎn)。重合）由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)則的長度就等于圓的周長萬，所以數(shù)軸上點(diǎn)。，代表的

實(shí)數(shù)就是—,它是一個(gè)無理數(shù).

（3）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,根據(jù)已知可求得48=,它

是一個(gè)無理數(shù).好了，相信大家對無理數(shù)是不是有了更具體的認(rèn)識了，那么你分別在①②圖

形中作出兩個(gè)無理數(shù)吧:

①你能在6x8的網(wǎng)格圖中（每個(gè)小正方形邊長均為1）,畫出一條長為癡的線段嗎？

②學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)后，我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)