2025年中考數學思想方法復習【數形結合】數軸中的數形結合思想（原卷版）

數軸中的數形結合思想

知識方法精講

1.數軸

(1)數軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

數軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數軸上的點：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理

數.(一般取右方向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數.)

(3)用數軸比較大?。阂话銇碚f，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大.

2.絕對值

(1)概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值.

①互為相反數的兩個數絕對值相等；

②絕對值等于一個正數的數有兩個，絕對值等于0的數有一個，沒有絕對值等于負數的數.

③有理數的絕對值都是非負數.

(2)如果用字母。表示有理數，則數。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當。是正有理數時，。的絕對值是它本身a；

②當。是負有理數時，。的絕對值是它的相反數-a；

③當。是零時，。的絕對值是零.

即同={a(a>0)0(a—0)-a(a<0)

3.非負數的性質：絕對值

在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則

其中的每一項都必須等于0.

根據上述的性質可列出方程求出未知數的值.

4.有理數大小比較

(1)有理數的大小比較

比較有理數的大小可以利用數軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序(在數軸上表示

的兩個有理數，右邊的數總比左邊的數大)；也可以利用數的性質比較異號兩數及0的大小,

利用絕對值比較兩個負數的大小.

(2)有理數大小比較的法則：

①正數都大于0；

②負數都小于0；

③正數大于一切負數；

④兩個負數，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數大小比較的三種方法

I.法則比較：正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數.兩個負數比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數軸比較：在數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數.

3.作差比較：

若a-6>0,則a>b；

若a-b<0,貝Ua<b；

若a-b=0,則a—b.

5.實數與數軸

(1)實數與數軸上的點是一一對應關系.

任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數.數軸

上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數.

(2)在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數。

的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離.

(3)利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左

邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

6.規(guī)律型：數字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現規(guī)律.

(1)探尋數列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯想是解決這類問題的方法，通常將數字

與序號建立數量關系或者與前后數字進行簡單運算，從而得出通項公式.

(2)利用方程解決問題.當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為x,再利用它們

之間的關系，設出其他未知數，然后列方程.

7.兩點間的距離

(1)兩點間的距離

連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.

(2)平面上任意兩點間都有一定距離，它指的是連接這兩點的線段的長度，學習此概念時，

注意強調最后的兩個字“長度”，也就是說，它是一個量，有大小，區(qū)別于線段，線段是圖

形.線段的長度才是兩點的距離.可以說畫線段，但不能說畫距離.

8.數形結合思想

1.數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直

觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用

了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2.所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問

題的思想，實現數形結合，常與以下內容有關：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）

函數與圖象的對應關系；（3）線與方程的對應關系；（4）所給的等式或代數式的結構含有

明顯的幾何意義。如等式。

3.巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形

結合的重點是研究“以形助數

4.數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、

最值問題中，運用數形結思想，不僅直觀易發(fā)現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理,

大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要

爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。

選擇題（共11小題）

1.（2021秋?七星關區(qū)期末）如圖，數軸上的兩點/、B表示的數分別為a、b,下列結

論正確的是（）

A,.F..

a-10b1

A.a+b>0B.b—a<0C.ab>0D.—<0

b

2.（2020秋?江津區(qū)期末）有理數a,b,。在數軸上對應的點的位置如圖所示，則下列各

式正確的個數是（）

①abc<0；

②。-6+。<0；

③叫回+回=3；

abc

@\a-b\-\b+c\+\a-c\=2a.

bc0a

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（2021秋?都江堰市期中）如圖，在數軸上，已知點尸表示的數為-3,則點尸到原點的

距離是（）

P0

A.-3B.3C.--D.-

33

4.（2021秋?瑞安市期中）如圖，數軸上點/表示的數是1,點。分別位于點4兩側，

且到點N的距離相等.若點3表示的數是后，則點。表示的數是（）

—Q_?__4——S__>

A.-V2B.V2-1C.2-V2D.及-2

5.（2021秋?義烏市期中）正方形/2C。在數軸上的位置如圖所示，點。、/對應的數分

別為0和1,若正方形/BCD繞著頂點順時針方向在數軸上連續(xù)翻轉，翻轉1次后，點3所

對應的數為2；則翻轉2021次后，數軸上數2021所對應的點是（）

Cl——|B

IIII1Al??.

-4-3-2-101234

A.點/B.點BC.點CD.點。

6.（2021秋?金水區(qū)校級期中）數Q,b,c在數軸上的位置如圖所示.化簡：

21b-q|c-61+1a+61等于（）

"?:1b~~0I*~2^

A.3?！?Z?+cB.—ci+2Z?+cC.—。+46—cD.3。—c

7.（2020秋?建平縣期末）實數a,b在數軸上對應點的位置如圖所示，且|a|>|b|,則化

簡歷+|。+6|的結果為（）

?J-----1?-------->

F40b

A.2a+bB.-2a-bC.bD.2a-b

8.（2021秋?山亭區(qū)期中）實數a、6在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡|。|-河77

的結果是（）

~0b

A.-2a+bB.2a-bC.-bD.b

9.（2021秋?梁子湖區(qū)期中）已知C<a<0<c,代數式16H6-。|+|°-（一|。+回的值等

于（）

A.c-a-bB.b+c-aC.a+c-bD.a+b+c

10.（2021秋?嵯帽區(qū)期末）有理數a,b,c在數軸上的對應點如圖所示，則化簡代數式

|a-61-1〃+611b-c|的結果是（）

????今

abo2

A.2a-b+cB.b—cC.b+cD.-b-c

11.（2021秋?五常市期末）有理數a、6在數軸上的位置如圖所示，則化簡6|+。的結

果為（）

-a0b>

A.bB.-bC.—2a—bD.2a—b

—.填空題（共2小題）

12.（2021秋?西城區(qū)期末）線段/8=6,C為線段N3的中點，點。在直線上，若

BD=3AC,貝!|CD=.

13.（2021秋?金水區(qū)校級期中）已知有理數0、6在數軸上的對應點位置如圖所示，請化

簡：\a\+\a+b\-2\a-b\=.

a,b,

?,---------大?-----1------>

-101

三.解答題（共10小題）

14.（2021秋?長豐縣期末）如圖，A,B,尸三點在數軸上，點/對應的數為多項式

3/一2%+1中一次項的系數，點8對應的數為單項式5〃//的次數，點？對應的數為x.

（1）請直接寫出點/和點B在數軸上對應的數.

（2）請求出點尸對應的數x,使得尸點到/點，3點距離和為10.

（3）若點P在原點，點3和點尸同時向右運動，它們的速度分別為1,4個長度單位/分鐘，

則第幾分鐘時，A,B,尸三點中，其中一點是另外兩點連成的線段的中點？

15.（2021秋?江夏區(qū)期末）如圖，在數軸上有4,2兩點，其中點/在點8的左側，已知

點B對應的數為4,點A對應的數為0.

（1）^a=2x（l-l）xA^2x72,則線段N3的長為（直接寫出結果）.

663145

（2）若點C在射線上（不與4,3重合），且2/C-33c=6,求點C對應的數（結

果用含“的式子表示）.

（3）若點M在線段之間，點N在點/的左側（M、N均不與/、2重合），且

AM-BM=1.當處=3,=時.求“的值.

AN

---------------------------------B-^

5

備用圖

16.（2021秋?西城區(qū)校級期中）我們知道，|a|的幾何意義是：在數軸上數。對應的點到

原點的距離，類似的，|x-y|的幾何意義就是：數軸上數x,y對應點之間的距離.比如：

2和5兩點之間的距離可以用|2-51表示，通過計算可以得到他們的距離是3.

（1）數軸上1和-3兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離

是—.

（2）數軸上表示x和-3的兩點/、3之間的距離可以表示為N8=；如果N3=2,結

合幾何意義，那么x的值為—；

（3）代數式住-1|+|》+2|表示的幾何意義是—,該代數式的最小值是—.

-5-4-3-2-10123456

17.（2021秋?魏都區(qū)校級期中）已知有理數a、b、c在數軸的位置如圖所示，化簡:

|a-l|-|c-/?|+|/）-l|+|-l-c|.

-10bI

18.（2021秋?滕州市期中）送貨員開著貨車從超市出發(fā)，向東走了4千米到達小剛家，繼

續(xù)走了2千米到達小明家，然后向西走了10千米到達小芳家，最后回到超市.

（1）以超市為原點，以向東的方向為正方向，用1個單位長度表示1千米，小芳家在超市

的一方，距超市一千米，請在數軸上表示出小明家、小芳家的位置.

I1111111111111A

-7-6-5-4-3-2-10123456

（2）小剛家距小芳家一千米.

（3）若送貨車每千米耗油0.15升，每升汽油6元，請問貨車全程油耗多少元？

19.（2021秋?運城期中）已知6是最小的正整數，且a,b,c滿足（c-6）2+|a+b|=0,

請回答下列問題：

（1）請直接寫出a,b,c的值，a=,b=,c=.

（2）如圖a,b,c在數軸上所對應的點分別為4,B,C,點尸為一動點，其對應的數

為x,當點P在N,3之間運動時，請化簡式子：|x+l|-|x-l|-|x+5］；（請寫出化簡過

程）

（3）在（1）和（2）的條件下，若點/以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點C

以每秒1個單位長度向右運動，假設經過I秒，點3與點C之間的距離為2C,點/與點2

之間的距離為48,貝U&C=,AB=,并求出8C-4S的值.

A0BC

20.（2021秋?青島期中）同學們，學習了無理數之后，我們已經把數的領域擴大到了實數

的范圍，這說明我們的知識越來越豐富了.可是，無理數究竟是一個什么樣的數呢？下面讓

我們在幾個具體的圖形中認識一下無理數.

（1）如圖①是一個直角邊長為2的等腰直角三角形，它的面積是2,把它沿著斜邊

的高線剪開拼成如圖②的正方形/皿C,則這個正方形的面積也就等于等腰直角三角形的

（2）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點。沿數軸向右滾動一周，圓上的一點（滾動時

與點。重合）由原點到達點則的長度就等于圓的周長萬，所以數軸上點。，代表的

實數就是—,它是一個無理數.

（3）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,根據已知可求得48=,它

是一個無理數.好了，相信大家對無理數是不是有了更具體的認識了，那么你分別在①②圖

形中作出兩個無理數吧:

①你能在6x8的網格圖中（每個小正方形邊長均為1）,畫出一條長為癡的線段嗎？

②學習了實數后，我們知道數軸上的點與實數