2025年中考數學復習之實數（原卷版）

專題02實數

【專題目錄】

技巧1:實數大小比較的七種技巧

技巧2：實數與數軸的關系

技巧3：非負數應用的常見題型

【題型】一、求算術平方根【題型】二、求平方根

【題型】三、求立方根【題型】四、實數與數軸

【題型】五、實數比較大小

【題型】六、無理數的估值

【題型】七、非負數性質的應用

【題型】八、實數的運算

【考綱要求】

1、知道實數與數軸上的點一一對應.

2、了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根.

3、熟練掌握實數的運算，會用各種方法比較兩個實數的大小.

【考點總結】一、實數的分類

有理數整數

實分數

按定義分

數無理數正無理數

的負無理數

分正實數

類按正負分0

負實數

【考點總結】二、平方根、算術平方根、立方根

無理數無限不循環(huán)的小數叫做無理數

①如果一個數的平方等于°,那么這個數叫做。的平方根，記作土

實平方根

②性質：正數有兩個平方根，它們互為相反數;0的平方根是0；負數沒有平方根.

數

①如果一個正數的平方等于4,即7=4,那么這個數％叫做〃的算術平方根，

的

記作4a.

相算術平方根

關②非負性：>0),=同

概

①如果一個數的立方等于那么這個數就叫做a的立方根，記作后.

念

立方根②性質：正數只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數只有一個負的立方根.

(3)Vfl3=a\[--a--\[a

零指數，負=l(aw0).a~n——(aw0)

'an

指數幕

1.常見的三種非負數：|a|>0,a2>0,7壯0(壯0).

2.非負數的性質：

非負數①非負數有最小值是零；

②任意幾個非負數的和仍為非負數；

③幾個非負數的和為0,則每個非負數都等于0.

【考點總結】三、實數的運算

同號兩數相加，取原來的符號。并把它們的絕對值相加。

加法

異號兩數相加，取絕對儲較大的加數的符號,并用較大數的絕對值減失較小數的絕對值。

實

減法減去一個效等于加上這個數的相反數

數

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相乘

的

幾個非零實數相乘。積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當

運乘法

負因數有奇數個時，積為負

算

〃個數相乘，有一個因數為0,積為0.

除法兩數相除，同號得正，異號得負，并把它們的絕對值相除

0除以任何一個不等于0的數都得0

幾個相同因數的積的運算，叫做乘方，記作0"(存0,〃為正整數)開方與乘方互為逆運

乘方

算

分級：加減是一級運算。除是二級運算，乘方和開方是三級運算，三級運算的題序是三

運算順序二一、(如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行

運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算)

【考點總結】五、實數的大小比較

1.在數軸上表示兩個數的點，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.

2.正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；兩個負數比較，絕對值大的反而小.

3.取差比較法

(1)Q—6>0U>Q>b；(2)a—b=0^^a=b；(3)Q-6Vo㈡>。<瓦

4.倒數比較法

若。>0,6>0,則a<B.

ab

5.平方法：因為由。>6>0,可得族,協，所以我們可以把，與g的大小問題轉化成比較。和6的大小問

題.

【注意】

1.比較實數大小的五種方法

(1)絕對值比較法：兩個負數比較大小，絕大值大的反而小

(2)數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大

(3)平方比較法：先將要平方的兩個數分別平方，再根據Q>0力>0時，可由次得到。金來比較大小。

(4)取近以值法：首先對要比較的兩個數取近以值通過比較其近似值來比較兩個數的大小，

(5)差值比較法

2.無理數常見的四種類型

(1)開不盡的數，如J5,V6

JI

(2)含有兀的絕大部分數，如71,—

(3)具有特定結構的數，如0.10100000(兩個1之間依次增加1個0)

(4)三角函數數中的一些數，如sin60°,cos20°,tan60°.

【技巧歸納】

技巧1:實數大小比較的七種技巧

【類型】一、比較絕對值法

1.比較一砧一2.與一曲一2的大小.

【類型】二、開方法

2.比較71與近的大小.

2

【類型】三、平方法或立方法

3.比較一舊和一71■的大小.

【類型】四、取近似值法

4.比較弱+2與4.3的大小.

【類型】五、放縮法

5.比較#+2與國一2的大小.

【類型】六、作差法

6.比較且皂和3的大小.

22

【類型】七、特殊值法

7.已知一l<x<0,將xJ,N,朱按從小到大的順序排列為

X

技巧2：實數與數軸的關系

【類型】一、利用數軸上的點表示實數

1.已知d=3,那么在數軸上X對應的點（如圖）可能是（

-3-2*-1,0*1*23?

A.點尸1B.點R

C.點尸2或點尸3D.點尸I或點尸4

2.如圖，在數軸上表示標的點可能是（）

PQMN

01234"

A.點尸B.點。C.點〃D.點N

【類型】二、利用數軸比較實數的大小

3.實數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示，把一a,~b,0按照從小到大的順序排列，正確的是（）

____III?

a0b

A.—a<O<—J）B.0<~a<—b

C.-b<O<—aD.0<—b<—a

4.表示實數a,6的點在數軸上的位置如圖所示，貝Ua0,b0,同______一6.（填“>”

或“<”）

___.■?A

ba0

【類型】三、利用實數與數軸的關系進行計算

5.實數a,6在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：（―b）2—\a—\l3\—\^3—b\+\a-b\.

-2-io12

技巧3：非負數應用的常見題型

【類型】一、絕對值的非負性

1.如果一個數的絕對值為。，那么數。在數軸上（如圖）對應的點不可能是（）

A.點MB.點。C.點PD.點N

2.如果|a—2|+以=0,那么a,b的值為（）

A.a=l,b=\B.a=~\,6=3

C.a=2,b=0D.a=0,b=2

【類型】二、偶次方的非負性

3.若（x+3）2=0—2,則a的值可以是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.若N+⑶一4）4=0,求M的值.

【類型】三、算術平方根的非負性

一、心中被開方數a>0的應用

5.如果A/1二a=6,那么a的取值范圍是（）

A.a>\B.a<\C.a=\D.a<\

6.已知x,歹都是有理數，且y=Nx—3+3—x+8,求x+3y的立方根.

二、齒》0的應用

7.已知x,y是有理數，且[3x+4+[y—3|=0,則xy的值是（）

99

A.4B.-4C.-D.--

44

8.已知■'^P5+42y—4=0,求（x+y）2。18的值.

三、算術平方根的雙重非負性的應用

9.當x為何值時，42x+l+6有最小值，最小值為多少？

10.若求4而的值.

【題型講解】

【題型】一、求算術平方根

例1、若一個正方形的面積是12,則它的邊長是()

A.273B.3C.3VID.4

【題型】二、求平方根

例、卜也|

2的平方是（）

A.-V2B.V2C.-2D.2

【題型】三、求立方根

例3、8的相反數的立方根是（)

11

A.2B.一C.-2D.——

22

【題型】四、實數與數軸

例4、實數。、6在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）

1a1卜1

-2-1012

a八

A.a>bB.。＜力C.a+b>0D.-<0

b

【題型】五、實數比較大小

例5、在下列四個實數中，最小的數是（)

1

A.-2B.一C.0D.V3

3

【題型】六、無理數的估值

例6、估計（2百+3收卜??；的值應在（

A.4和5之間B.5和6之間C.6和7之間D.7和8之間

【題型】七、非負數性質的應用

例7、若實數x,y滿足＞2+（3—y）2=0,則代數式xy一9的值為.

【題型】八、實數的運算

例8、計算：（I）4cos30°sin600+（-2）-1(72019-2008)°；

（2）W-|-2+V3tan45°|+/2-1.41)°,

實數（達標訓練）

一、單選題

1.（2022?湖南?邵陽縣教育科學研究室模擬預測）如圖，實數收在數軸上的對應點可能是（）

DCBA

-4-3-2-101234

A.A點、B.B點C.。點D.。點

2.（2022?廣東?深圳市寶安第一外國語學校三模）下列實數中，最大的數是（）

「1

A.3B.V3C.--D.攵

3.（2022?陜西師大附中模擬預測）4的算術平方根是（）

A.±2B.±72C.2D.V2

4.（2022?廣東北江實驗學校三模）下列說法不正確的是（）

A.［的平方根是±（B.（-0.1）2的平方根是±0.1

C.-9是網的算術平方根D.^=27=-3

5.（2022?浙江麗水?一模）與指最接近的整數是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

6.（2022?浙江金華?一模）如圖所示，數軸上表示1,G的點分別為4,B,且C4=2/3（C在/的左側）,

則點C所表示的數是.

,C,d尸，.

0~~2

三、解答題

8.（2022?遼寧沈陽?二模）計算：2x（-3）-4+卜7|+[曰.

9.（2022?廣東?深圳市南山外國語學校三模）計算：-;+&力^+4+（亞>.

實數（提升測評）

一、單選題

1.（2022?河北唐山?一模）估計病x《+點的值應在（）

A.5和6之間B.6和7之間C.7和8之間D.8和9之間

2.（2022?河北?一模）已知y=工工+18,則代數式石的值為（）

A.-V2B.->/3C.72D.V3

3.（2022?山東臨沂?二模）實數。力在數軸上的位置如圖所示，下列結論中正確的是（