2025年中考數(shù)學思想方法復習【數(shù)學模型】建立方程模型解決實際問題（原卷版）

建立方程模型解決實際問題

知識方法精講

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題;

（3）銷售問題（利潤=售價-進價，利潤率=今膽乂100%）；（4）工程問題（①工作量

進價

=人均效率X人數(shù)X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知

數(shù).

3.歹!J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

2.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

(二)設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當問題較復雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

3.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個位數(shù)為。，十位數(shù)是6,則這個兩位數(shù)表示為106+服

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是0,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為。(1+x)；第二次增長后為。(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角

形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③

利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二

次方程.

(4)運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

4.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹!］、解、驗、答.

必須嚴格按照這5步進行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學會分析題意，提高理解能

力.

選擇題（共1小題）

1.（2020?綿陽模擬）利用兩塊相同的長方體木塊測量一張桌子的高度.首先按圖1方式放

置，再交換兩木塊的位置，按圖2方式放置.測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）

2

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

二.解答題（共19小題）

2.（2020秋?石獅市期末）如圖，將一塊直角三角板N8C按如圖所示放置，點/,2在數(shù)

軸上，48=5,點8在點N右邊，點/表示的數(shù)是-3.

（1）直接填空：點B表示的數(shù)是—;

（2）將三角板A8C沿數(shù)軸正方向移動至三角板的位置，點/,B,。的對應(yīng)點分

別是點H,B',C.

①連結(jié)C4,若C4恰好將三角板N8C的面積分成2:3的兩部分，求這時點，'表示的數(shù)；

②設(shè)三角板48c的移動速度為每秒2個單位長度，點E為線段44,的中點，點下在線段BB'

上，且BB'=4BF.設(shè)三角板A8C移動的時間為，（秒）.試探索：是否存在某一時刻加

使點E與點廠表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)？若存在，試求出/的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

3.(2021秋?碑林區(qū)校級期中)【知識準備】：數(shù)軸上/、3兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則

A>8兩點之間的距離表示為：AB=\a-b\.

【問題探究工數(shù)軸上/、2兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,且滿足|a+2|+S-6)2=0.

(1)求得/、B兩點之間的距離是—；

(2)若在數(shù)軸上有一點“，滿足皿/=4/“，求點”表示的數(shù)；

(3)若P、。兩點在數(shù)軸上運動，點P從/出發(fā)以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動,

同時，點。從8出發(fā)以3個單位長度/秒的速度向左勻速運動.經(jīng)過一秒，尸、。相距

2個單位長度；

(4)原點。在數(shù)軸上表示0,點N在數(shù)軸上表示3,若/、。兩點在數(shù)軸上以2個單位長

度/秒的速度同時向右勻速運動，與此同時，2、N以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向

左勻速運動，在這個過程中，有一段時間，A,。兩點都運動在線段3N上，則這段時間的

時長是一秒.

4.(2021春?農(nóng)安縣期末)長春消夏燈會節(jié)將在長春農(nóng)博園舉辦.承辦方計劃在現(xiàn)場安裝小

彩燈和大彩燈.已知：安裝5個小彩燈和4個大彩燈共需150元；安裝7個小彩燈和6個大

彩燈共需220元.

(1)安裝1個小彩燈和1個大彩燈各需多少元.

(2)若承辦方安裝小彩燈和大彩燈的數(shù)量共300個，費用不超過4350元，則最多安裝大彩

燈多少個？

5.(2019秋?長樂區(qū)期末)已知兩條直線12,/"〃2，點N，8在直線4上，點/在點8

的左邊，點C,D在直線上，且滿足NNDC=N48C=115。.

(1)如圖①，求證：AD//BC;

(2)點”，N在線段C。上，點M在點N的左邊且滿足ZMAC=ABAC,且AN平分ACAD；

(I)如圖②，當448=30。時，求的度數(shù);

(II)如圖③，當NC4O=8/腿4N時，求乙4。的度數(shù).

6.(2021春?婺城區(qū)校級期中)某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù)，

為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170c加x40c%的標準板材作為原材料，

每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下/型與B型兩種板材.如圖所示，(單位：cm)

(1)列出方程(組)，求出圖甲中。與6的值.

(2)在試生產(chǎn)階段，若將〃?張標準板材用裁法一裁剪，”張標準板材用裁法二裁剪，再將

得到的N型與8型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙橫式無蓋禮品盒.

①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材一張，B型板材一張(用相、”的代數(shù)式表示)；

②當3曰340時，所裁得的/型板材和8型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

個.(在橫線上直接寫出所有可能答案，無需書寫過程)

7.（2021?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長與面積滿足關(guān)系:

【提出問題】

對于任意一個矩形是否一定存在矩形使得0=%=工成立?

QS”2

【解決問題】

（1）對于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x）,使得

.若存在，求出矩形丙的兩條鄰邊長；若不存在，請說明理由;

（2）矩形/兩條鄰邊長分別為加和1,若一定存在矩形使得3成立，求加的

gS,2

取值范圍；

（3）請你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請說明理由；若不一定存在，請直接寫出

矩形/兩條鄰邊長a,b滿足什么條件時一定存在矩形

8.（2020秋?扶風縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球

卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗，將對全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性,

若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染

的人數(shù)相同）.求：

（1）每輪傳染中平均每個人傳染了幾個人？

（2）如果這些病毒攜帶者，未進行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有

多少人患??？

9.(2021春?濟陽區(qū)期末)國務(wù)院總理李克強表示，地攤經(jīng)濟、小店經(jīng)濟是就業(yè)崗位的重要

來源，是人間煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機.響應(yīng)國家號召，成都某社區(qū)擬建4、

3兩類地攤攤位，已知每個/類攤位占地面積比2類多2平方米，建4類攤位需40元/平

方米，8類30元/平方米，用60平方米建N類攤位的個數(shù)恰好是同樣面積建3類攤位個數(shù)

的3.

5

(1)求每個/、8類攤位占地面積各為多少平方米？

(2)若該社區(qū)擬建N、8兩種攤位共90個，且/類攤位數(shù)量要多于22個，建造總費用不

超過10850元，則共有幾種建造方案？

(3)在(2)的條件下，哪種方案總費用最少？最少費用為多少元？

10.(2021秋?集賢縣期末)如圖是寬為20米，長為32米的矩形耕地，要修筑同樣寬的三

條道路(兩條縱向，一條橫向，且互相垂直)，把耕地分成六塊大小相等的試驗地，要使

試驗地的總面積為570平方米，問：道路寬為多少米？

11.(2021?奎屯市二模)甲商品的進價為每件20元，商場將其售價從原來的每件40元進行

兩次調(diào)價.已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元，

(1)若該商場兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

(2)經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件.已知甲商品售價40元時每月可銷

售500件，若商場希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴大銷售量，則該商品在現(xiàn)價

的基礎(chǔ)上還應(yīng)如何調(diào)整？

12.（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人

數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人.

（1）求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；

（2）若該景區(qū)僅有4,8兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：

購票方式甲乙丙

可游玩景點AB4和8

門票價格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當甲、

乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客

和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票.

①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬

元？

13.（2014春?太康縣校級月考）某商店在銷售西服時，按每套進價的150%標價，后來為吸

引消費者，按標價的八折銷售，此時每套西服仍可獲利120元，求西服的進價為多少元？

（1）建立一元一次方程模型并解答上述問題；

（2）解答后請思考以下問題：

①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認為最關(guān)鍵的是什么？

②解一元一次方程的算法，步驟有哪些？

③用算術(shù)法解決實際問題與建立方程模型解決實際問題,這兩種方法有什么不同？你說說哪

種方法更優(yōu)越？

14.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）黃岡小河中學七年級學生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園

游玩，公園的門票為每人30元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，甲方案：帶隊教師免費，學生按8

折收費；乙方案：師生都7.5折收費.

（1）若有機名學生，則甲方案師生共需元，乙方案師生共需元（用含〃?代數(shù)式

表示）.

（2）當"7為何值時，兩種方案收費一樣？

（3）你能幫老師建議一下選擇哪種方案優(yōu)惠？

15.（2021秋?雙遼市期末）某工廠車間有28個工人，生產(chǎn)/零件和B零件，每人每天可生

產(chǎn)/零件18個或8零件12個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個N零件配兩個8零件，

且每天生產(chǎn)的/零件和B零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場時，每個/零件可獲利10

元，每個3零件可獲利5元.

（1）求該工廠有多少工人生產(chǎn)/零件？

（2）因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分4零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)3零件

的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)/零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動前多600元？

16.（2021?江州區(qū)模擬）某電器超市銷售每臺進價分別為200元，170元的N、8兩種型號

的電風扇，表中是近兩周的銷售情況:

銷售時段銷售數(shù)量銷售收入

/種型號B種型號

第一周3臺5臺1800元

第二周4臺