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文檔簡介
建立方程模型解決實(shí)際問題
知識方法精講
1.一元一次方程的應(yīng)用
(一)一元一次方程解應(yīng)用題的類型有:
(1)探索規(guī)律型問題;
(2)數(shù)字問題;
(3)銷售問題(利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià),利潤率=今膽乂100%);(4)工程問題(①工作量
進(jìn)價(jià)
=人均效率X人數(shù)X時(shí)間;②如果一件工作分幾個(gè)階段完成,那么各階段的工作量的和=
工作總量);
(5)行程問題(路程=速度義時(shí)間);
(6)等值變換問題;
(7)和,差,倍,分問題;
(8)分配問題;
(9)比賽積分問題;
(10)水流航行問題(順?biāo)俣?靜水速度+水流速度;逆水速度=靜水速度-水流速度).
(二)利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下:首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,
直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量,找出
之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答,即設(shè)、歹h解、答.
列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟
1.審:仔細(xì)審題,確定已知量和未知量,找出它們之間的等量關(guān)系.
2.設(shè):設(shè)未知數(shù)(x),根據(jù)實(shí)際情況,可設(shè)直接未知數(shù)(問什么設(shè)什么),也可設(shè)間接未知
數(shù).
3.歹!J:根據(jù)等量關(guān)系列出方程.
4.解:解方程,求得未知數(shù)的值.
5.答:檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確,是否符合題意,完整地寫出答句.
2.二元一次方程組的應(yīng)用
(一)列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟:
(1)審題:找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.
(2)設(shè)元:找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量,并用字母表示出來.
(3)列方程組:挖掘題目中的關(guān)系,找出兩個(gè)等量關(guān)系,列出方程組.
(4)求解.
(5)檢驗(yàn)作答:檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義,并作答.
(二)設(shè)元的方法:直接設(shè)元與間接設(shè)元.
當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí),有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù),即為間接設(shè)元.無論怎
樣設(shè)元,設(shè)幾個(gè)未知數(shù),就要列幾個(gè)方程.
3.一元二次方程的應(yīng)用
1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是:審清題意設(shè)未知數(shù),列出方程,解所列方程求所列
方程的解,檢驗(yàn)和作答.
2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題:
(1)數(shù)字問題:個(gè)位數(shù)為。,十位數(shù)是6,則這個(gè)兩位數(shù)表示為106+服
(2)增長率問題:增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如:若原數(shù)是0,每次增長的百分率
為x,則第一次增長后為。(1+x);第二次增長后為。(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)
2=后來數(shù).
(3)形積問題:①利用勾股定理列一元二次方程,求三角形、矩形的邊長.②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③
利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系,列比例式,通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積,得到一元二
次方程.
(4)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題:物體運(yùn)動(dòng)將會沿著一條路線或形成一條痕跡,運(yùn)行的路線與其他條件會
構(gòu)成直角三角形,可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.
【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1.審:理解題意,明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.
2.設(shè):根據(jù)題意,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù).
3.歹IJ:根據(jù)題中的等量關(guān)系,用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量,從而列出方程.
4.解:準(zhǔn)確求出方程的解.
5.驗(yàn):檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.
6.答:寫出答案.
4.分式方程的應(yīng)用
1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:設(shè)、歹!]、解、驗(yàn)、答.
必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題,規(guī)范解題步驟,另外還要注意完整性:如設(shè)和答敘述要完整,
要寫出單位等.
2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系,如行程問題:速度=路程時(shí)間;工作量問題:工作效率
=工作量工作時(shí)間等等.
列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意,找相等關(guān)系是著眼點(diǎn),要學(xué)會分析題意,提高理解能
力.
選擇題(共1小題)
1.(2020?綿陽模擬)利用兩塊相同的長方體木塊測量一張桌子的高度.首先按圖1方式放
置,再交換兩木塊的位置,按圖2方式放置.測量的數(shù)據(jù)如圖,則桌子的高度是()
2
A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm
二.解答題(共19小題)
2.(2020秋?石獅市期末)如圖,將一塊直角三角板N8C按如圖所示放置,點(diǎn)/,2在數(shù)
軸上,48=5,點(diǎn)8在點(diǎn)N右邊,點(diǎn)/表示的數(shù)是-3.
(1)直接填空:點(diǎn)B表示的數(shù)是—;
(2)將三角板A8C沿?cái)?shù)軸正方向移動(dòng)至三角板的位置,點(diǎn)/,B,。的對應(yīng)點(diǎn)分
別是點(diǎn)H,B',C.
①連結(jié)C4,若C4恰好將三角板N8C的面積分成2:3的兩部分,求這時(shí)點(diǎn),'表示的數(shù);
②設(shè)三角板48c的移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度,點(diǎn)E為線段44,的中點(diǎn),點(diǎn)下在線段BB'
上,且BB'=4BF.設(shè)三角板A8C移動(dòng)的時(shí)間為,(秒).試探索:是否存在某一時(shí)刻加
使點(diǎn)E與點(diǎn)廠表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)?若存在,試求出/的值;若不存在,請說明理由.
(備用圖)
3.(2021秋?碑林區(qū)校級期中)【知識準(zhǔn)備】:數(shù)軸上/、3兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則
A>8兩點(diǎn)之間的距離表示為:AB=\a-b\.
【問題探究工數(shù)軸上/、2兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,且滿足|a+2|+S-6)2=0.
(1)求得/、B兩點(diǎn)之間的距離是—;
(2)若在數(shù)軸上有一點(diǎn)“,滿足皿/=4/“,求點(diǎn)”表示的數(shù);
(3)若P、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P從/出發(fā)以2個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),
同時(shí),點(diǎn)。從8出發(fā)以3個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).經(jīng)過一秒,尸、。相距
2個(gè)單位長度;
(4)原點(diǎn)。在數(shù)軸上表示0,點(diǎn)N在數(shù)軸上表示3,若/、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上以2個(gè)單位長
度/秒的速度同時(shí)向右勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),2、N以3個(gè)單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向
左勻速運(yùn)動(dòng),在這個(gè)過程中,有一段時(shí)間,A,。兩點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)在線段3N上,則這段時(shí)間的
時(shí)長是一秒.
4.(2021春?農(nóng)安縣期末)長春消夏燈會節(jié)將在長春農(nóng)博園舉辦.承辦方計(jì)劃在現(xiàn)場安裝小
彩燈和大彩燈.已知:安裝5個(gè)小彩燈和4個(gè)大彩燈共需150元;安裝7個(gè)小彩燈和6個(gè)大
彩燈共需220元.
(1)安裝1個(gè)小彩燈和1個(gè)大彩燈各需多少元.
(2)若承辦方安裝小彩燈和大彩燈的數(shù)量共300個(gè),費(fèi)用不超過4350元,則最多安裝大彩
燈多少個(gè)?
5.(2019秋?長樂區(qū)期末)已知兩條直線12,/"〃2,點(diǎn)N,8在直線4上,點(diǎn)/在點(diǎn)8
的左邊,點(diǎn)C,D在直線上,且滿足NNDC=N48C=115。.
(1)如圖①,求證:AD//BC;
(2)點(diǎn)”,N在線段C。上,點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊且滿足ZMAC=ABAC,且AN平分ACAD;
(I)如圖②,當(dāng)448=30。時(shí),求的度數(shù);
(II)如圖③,當(dāng)NC4O=8/腿4N時(shí),求乙4。的度數(shù).
6.(2021春?婺城區(qū)校級期中)某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù),
為了確保質(zhì)量,該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170c加x40c%的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料,
每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下/型與B型兩種板材.如圖所示,(單位:cm)
(1)列出方程(組),求出圖甲中。與6的值.
(2)在試生產(chǎn)階段,若將〃?張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪,”張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪,再將
得到的N型與8型板材做側(cè)面和底面,做成圖乙橫式無蓋禮品盒.
①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材一張,B型板材一張(用相、”的代數(shù)式表示);
②當(dāng)3曰340時(shí),所裁得的/型板材和8型板材恰好用完,做成的橫式無蓋禮品盒可能是
個(gè).(在橫線上直接寫出所有可能答案,無需書寫過程)
7.(2021?臨海市一模)【發(fā)現(xiàn)問題】
小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長與面積滿足關(guān)系:
【提出問題】
對于任意一個(gè)矩形是否一定存在矩形使得0=%=工成立?
QS”2
【解決問題】
(1)對于圖2所示的矩形乙,是否存在矩形丙(可設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x),使得
.若存在,求出矩形丙的兩條鄰邊長;若不存在,請說明理由;
(2)矩形/兩條鄰邊長分別為加和1,若一定存在矩形使得3成立,求加的
gS,2
取值范圍;
(3)請你回答小聰提出來的問題.若一定存在,請說明理由;若不一定存在,請直接寫出
矩形/兩條鄰邊長a,b滿足什么條件時(shí)一定存在矩形
8.(2020秋?扶風(fēng)縣期末)2020年3月,新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制,但在全球
卻開始持續(xù)蔓延,這是對人類的考驗(yàn),將對全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性,
若一人攜帶病毒,未進(jìn)行有效隔離,經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎(假設(shè)每輪傳染
的人數(shù)相同).求:
(1)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人?
(2)如果這些病毒攜帶者,未進(jìn)行有效隔離,按照這樣的傳染速度,第三輪傳染后,共有
多少人患?。?/p>
9.(2021春?濟(jì)陽區(qū)期末)國務(wù)院總理李克強(qiáng)表示,地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要
來源,是人間煙火,和“高大上”一樣,是中國的生機(jī).響應(yīng)國家號召,成都某社區(qū)擬建4、
3兩類地?cái)倲偽?,已知每個(gè)/類攤位占地面積比2類多2平方米,建4類攤位需40元/平
方米,8類30元/平方米,用60平方米建N類攤位的個(gè)數(shù)恰好是同樣面積建3類攤位個(gè)數(shù)
的3.
5
(1)求每個(gè)/、8類攤位占地面積各為多少平方米?
(2)若該社區(qū)擬建N、8兩種攤位共90個(gè),且/類攤位數(shù)量要多于22個(gè),建造總費(fèi)用不
超過10850元,則共有幾種建造方案?
(3)在(2)的條件下,哪種方案總費(fèi)用最少?最少費(fèi)用為多少元?
10.(2021秋?集賢縣期末)如圖是寬為20米,長為32米的矩形耕地,要修筑同樣寬的三
條道路(兩條縱向,一條橫向,且互相垂直),把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地,要使
試驗(yàn)地的總面積為570平方米,問:道路寬為多少米?
11.(2021?奎屯市二模)甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元,商場將其售價(jià)從原來的每件40元進(jìn)行
兩次調(diào)價(jià).已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元,
(1)若該商場兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同,求這個(gè)降價(jià)率;
(2)經(jīng)調(diào)查,該商品每降價(jià)0.2元,即可多銷售10件.已知甲商品售價(jià)40元時(shí)每月可銷
售500件,若商場希望該商品每月能盈利10000元,且盡可能擴(kuò)大銷售量,則該商品在現(xiàn)價(jià)
的基礎(chǔ)上還應(yīng)如何調(diào)整?
12.(2021?湖州)今年以來,我市接待的游客人數(shù)逐月增加,據(jù)統(tǒng)計(jì),游玩某景區(qū)的游客人
數(shù)三月份為4萬人,五月份為5.76萬人.
(1)求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾;
(2)若該景區(qū)僅有4,8兩個(gè)景點(diǎn),售票處出示的三種購票方式如下表所示:
購票方式甲乙丙
可游玩景點(diǎn)AB4和8
門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人
據(jù)預(yù)測,六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬,并且當(dāng)甲、
乙兩種門票價(jià)格不變時(shí),丙種門票價(jià)格每下降1元,將有600人原計(jì)劃購買甲種門票的游客
和400人原計(jì)劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票.
①若丙種門票價(jià)格下降10元,求景區(qū)六月份的門票總收入;
②問:將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí),景區(qū)六月份的門票總收入有最大值?最大值是多少萬
元?
13.(2014春?太康縣校級月考)某商店在銷售西服時(shí),按每套進(jìn)價(jià)的150%標(biāo)價(jià),后來為吸
引消費(fèi)者,按標(biāo)價(jià)的八折銷售,此時(shí)每套西服仍可獲利120元,求西服的進(jìn)價(jià)為多少元?
(1)建立一元一次方程模型并解答上述問題;
(2)解答后請思考以下問題:
①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中,你認(rèn)為最關(guān)鍵的是什么?
②解一元一次方程的算法,步驟有哪些?
③用算術(shù)法解決實(shí)際問題與建立方程模型解決實(shí)際問題,這兩種方法有什么不同?你說說哪
種方法更優(yōu)越?
14.(2021秋?叢臺區(qū)校級期末)黃岡小河中學(xué)七年級學(xué)生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園
游玩,公園的門票為每人30元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案,甲方案:帶隊(duì)教師免費(fèi),學(xué)生按8
折收費(fèi);乙方案:師生都7.5折收費(fèi).
(1)若有機(jī)名學(xué)生,則甲方案師生共需元,乙方案師生共需元(用含〃?代數(shù)式
表示).
(2)當(dāng)"7為何值時(shí),兩種方案收費(fèi)一樣?
(3)你能幫老師建議一下選擇哪種方案優(yōu)惠?
15.(2021秋?雙遼市期末)某工廠車間有28個(gè)工人,生產(chǎn)/零件和B零件,每人每天可生
產(chǎn)/零件18個(gè)或8零件12個(gè)(每人每天只能生產(chǎn)一種零件),一個(gè)N零件配兩個(gè)8零件,
且每天生產(chǎn)的/零件和B零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場時(shí),每個(gè)/零件可獲利10
元,每個(gè)3零件可獲利5元.
(1)求該工廠有多少工人生產(chǎn)/零件?
(2)因市場需求,該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分4零件供商場零售使用,現(xiàn)從生產(chǎn)3零件
的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)/零件,才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元?
16.(2021?江州區(qū)模擬)某電器超市銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為200元,170元的N、8兩種型號
的電風(fēng)扇,表中是近兩周的銷售情況:
銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入
/種型號B種型號
第一周3臺5臺1800元
第二周4臺
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