北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期期中考試九年級數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京景山學(xué)校2024?2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

九年級數(shù)學(xué)

本試卷共8頁，共100分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上,

在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的

選項只有一個.

1.第33屆夏季奧林匹克運動會將于2024年7月26日-8月11日在法國巴黎舉行，下列四

個本屆運動會項目圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

2.將f+4x+2=0左邊配成完全平方后，得方程（）

A.（x+4）2=2B.（X+2）2=2C.（x+2）2=4D.（x+4）2=4

3.如圖，在。。中，C是前的中點，點。是。。上一點.若/3。。=40。，則/ADC的度

數(shù)為（）

A.10°B.20°C.40°D.80°

4.在一個不透明的口袋中裝有3個白球，4個紅球和5個黑球，它們除顏色外都相同，從

中隨機摸出一個球，恰好是白球的概率為（）

A.：B.-C.—D.-

44123

5.如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在4c中點。處建一個5G基站，其覆蓋半徑為

200m,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

試卷第1頁，共10頁

B.

300m,400m

AC

500m

A.A,B,C都不在B.只有8C.只有CD.A,B,C

6.如圖，拋物線＞="2+加+。與x軸交于點對稱軸為直線尤=1,則下列結(jié)論中正

A.a>0B.當x＞i時，＞隨x的增大而增大

C.c<0D.尤=3是一元二次方程亦2+6x+c=0的一

個根

7.如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點為中心，將△MVP旋轉(zhuǎn)，得到則旋轉(zhuǎn)中心

是（）

A.點/B.點、BC.點CD.點。

8.計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比，下面是同一個

任務(wù)進行到不同階段時進度條的示意圖：

試卷第2頁，共10頁

當任務(wù)完成的百分比為X時，線段九W的長度記為以X).下列描述正確的是()

A.當再>%2時，d(xj>d(x2)B.當〃(網(wǎng))>1(工2)時，再>々

C.當王+苫2=1時，d(xj=d(x2)D.當西=2%時，d(xj=2d(x2)

第二部分填空題

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.拋物線y=-3(x-1)?+2的頂點坐標是.

10.若用是方程/+》-4=0的一個實數(shù)根，則代數(shù)式療+加+2024的值為.

11.如圖，的直徑垂直于弦CD,/G48=38。，則N8CD=°,

C

12.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊

共六十步，問長及闊各幾步.”譯文：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的長和寬共60

步，問它的長和寬各是多少步？設(shè)這塊矩形田地的長為x步，根據(jù)題意可列方程為.

13.如圖，是半圓O的直徑，點C,。在半圓。上.若乙48c=50。，貝此8。。的度數(shù)

為°.

14.下表顯示了同學(xué)們用計算機模擬隨機投針實驗的某次實驗的結(jié)果.

投針次數(shù)n100020003000400050001000020000

試卷第3頁，共10頁

針與直線相交的次數(shù)加45497014301912238647699548

針與直線相交的頻率p='0.4540.4850.47670.4780.47720.47690.4774

n

下面有三個推斷：

①投擲1000次時，針與直線相交的次數(shù)是454,針與直線相交的概率是0.454；

②隨著實驗次數(shù)的增加，針與直線相交的頻率總在0.477附近，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以

估計針與直線相交的概率是0.477；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為10000時，針與直線相交的頻率一定是

0.4769.

其中合理的推斷的序號是：—.

15.若拋物線>=/+云+。的頂點在x軸上，且關(guān)于x的不等式x2+fcc+c〈加的解集為

-l<x<3,則加的值為.

16.車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障.已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間如下表：

車床代號ABCDE

修復(fù)時間（分鐘）1372359

若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復(fù)后即可投入生產(chǎn).

（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺機床，則下列三個修復(fù)車床的順

序：Q）DTAfCfE—B；②DTBfEfAfC；③Cf/fE-8。中，經(jīng)

濟損失最少的是（填序號）；

（2）若由兩名修理工同時修復(fù)車床，且每臺機床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為.

元.

第三部分解答題

三、解答題（共68分，第17-20題，22-24每題5分，第21,25題，每題6分,

第26-28題，每題7分）.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：X2-6X+8=Q.

18.下面是某學(xué)習(xí)小組設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：。。及圓外一點P.

求作：過點P且與。。相切的直線.

試卷第4頁，共10頁

作法：如圖，①連接QP,分別以。，尸為圓心，大于;。尸長為半徑畫弧，兩弧交于M,N

兩點；②作直線MN,與。尸交于點。，以。為圓心，以。。長為半徑作圓，交。。于/,B

兩點；③作直線P4,PB.則直線P4,PB是所求作的。。的切線.

根據(jù)該小組設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：

⑴使用直尺和圓規(guī)，按照上述作法補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：連接CM,MP,MO,NP,NO,

■：MP=MO,NP=NO,

??.ACV是。尸的垂直平分線，（一）（填推理的依據(jù)）

???。為。尸中點，QP=QO,

???。尸為。。的直徑，

.■,ZPAO=90°,（_）（填推理的依據(jù)）

"A點在上，

.?./>/是。。的切線.（_）（填推理的依據(jù)）

19.如圖，O是等邊三角形43C內(nèi)一點，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段/E,

連接CO,BE.

⑴求證："EB%ADC；

（2）連接。E,若44OC=96。，求/8EZ）的度數(shù).

20.如圖所示，每個小正方形的邊長為1個單位長度，的頂點均在格點上，點/、3

的坐標分別是4（3,2）,5（1,3）.

試卷第5頁，共10頁

14

(1)點A關(guān)于點O中心對稱的點的坐標為」

⑵MOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△4。片，在圖中畫出△4。片，并寫出點片的坐標」

⑶求點2運動的路徑的長度.

21.在平面直角坐標系X0中，拋物線＞=/+為+,經(jīng)過點/(0,-3),B(-l,0).

-4321O1234x

-11

-71

4-

(1)求該拋物線的表達式；

(2)在平面直角坐標系中畫出拋物線的圖象；

(3)點「(打,%)是拋物線上一點，若-3＜必＜0,結(jié)合圖象，直接寫出占的取值范圍一.

22.已知關(guān)于x的一元二次方程X2+(2-MX+1-"?=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若機＜0,且此方程的兩個實數(shù)根的差為3,求加的值.

23.閱讀對話，解答問題.

試卷第6頁，共10頁

帆帆

⑴分別用m,"表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標有的數(shù)字，請用列表法寫出（加,〃）

的所有取值;

mn

1

2

3

4

（2）求在（加,"）的所有取值中使關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2n=Q有實數(shù)根的概率P.

24.如圖1所示的某種發(fā)石車是古代一種遠程攻擊的武器，將發(fā)石車置于山坡底部。處，以

點。為原點，水平方向為x軸方向，建立如圖2所示的平面直角坐標系，將發(fā)射出去的石塊

當作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線y=a（x-20『+左的一部分，山坡。4上有

一堵防御墻，其豎直截面為/BCD,墻寬8C=2米，8C與x軸平行，點B與點。的水平距

離為28米、垂直距離為6米.

試卷第7頁，共10頁

圖1

(I)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，

①求拋物線的解析式；

②試通過計算說明石塊能否飛越防御墻；

(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部8C上(包括端點B、C),求。的取值范圍，

25.如圖，以四邊形的對角線8。為直徑作圓，圓心為O,過點/作的延

長線于點E,已知D4平分

(1)求證：4E■是。。的切線.

(2)若4￡=26，CD=8,求。。的半徑和AD的長.

26.在平面直角坐標系xQy中，已知拋物線＞=0^+反-5(。＜0).

(1)若拋物線過點(4,-5).

①求該拋物線的對稱軸;

試卷第8頁，共10頁

②已知m＞0,當2-加VxV2+2,”時，-14y43,求a的值.

⑵若省-5,%)，5(-3,%)，。(-2,%)在拋物線上，且滿足力＜外＜力，當拋物線對稱軸

為直線x=f時，直接寫出/的取值范圍.

27.已知在RtZ\/8C中，ZACB=90°,AC=BC,CDL4B于D,￡為線段5c上的一動

點，連接E。，將ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段環(huán)，連接/尸交直線CZ?于點G.

DD

圖1圖2

(1)當￡與C重合時，如圖1,求證：AG=FG；

(2)當E與。不重合時，如圖2,則(1)中的結(jié)論是否成立？若成立請證明，若不成立請說

明理由；

(3)若ZC=2,直接寫出CG長的最大值.

28.對于平面直角坐標系xp中的圖形m和點尸給出如下定義：。為圖形M上任意一點,

若尸，0兩點間距離的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，則稱點P為圖形

M的“二分點”.

3■

-4-3-2-1O234x

-1

已知點N(3,0),A(1,0),B(0,6),C(百，-1).

⑴①在點B,C中，線段ON的“二分點”是；

②點。(a,0),若點C為線段。。的“二分點”，求a的取值范圍；

(2)以點。為圓心，r為半徑畫圓，若線段NN上存在O。的“二分點”，直接寫出廠的取值范

試卷第9頁，共10頁

H.

試卷第10頁，共io頁

1.c

【分析】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別.解題的關(guān)鍵是掌握：軸對稱圖形的定

義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖

形，這條直線叫做對稱軸；中心對稱圖形的定義:在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.據(jù)此分析即可得

解.

【詳解】解：A.此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

B.此圖形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.此圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

D.此圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意.

故選：C.

2.B

【分析】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確進行配方，注意：解一

元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法.

移項，配方(方程兩邊都加上4,即可得出選項.

【詳解】解：f+4x+2=0,

x~+4x=—2,

x?+4x+4=-2+4,

(x+2)2=2,

故選：B.

3.B

【分析】連接CM,由C是標的中點可得部=/，從而得到N8OC=N/OC=40。，由圓

周角定理可得乙4DC=gN/OC=20°.

【詳解】解：如圖，連接

答案第1頁，共21頁

??.C是前的中點，

.?灰=就，

NBOC=40°,

ZBOC=ZAOC=40°,

:.ZADC=-ZAOC=20°,

2

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A心角相等和同弧所對的

圓周角等于圓心角的一半.

4.A

【分析】本題考查的是概率公式，直接根據(jù)概率公式解答即可.

【詳解】解：...在一個不透明的口袋中裝有3個白球，4個紅球和5個黑球，

31

???從中隨機摸出一個球，恰好是白球的概率=彳與=].

故選：A.

5.A

【分析】本題考查勾股定理逆定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，點和圓的位置關(guān)系，根據(jù)

三角形邊長利用勾股定理逆定理可得A/BC為直角三角形是解題的關(guān)鍵愛你.

【詳解】解：AB=300,AC=500,BC=400.

???3002+4002=5002

???A/3C是直角三角形，且//CD=90。.

■■AC的中點為D

.-.CD=-AB=AD=BD=250m,

2

又???覆蓋半徑為200m<250m,

■.A,B,C都不在范圍內(nèi)，

故選A.

答案第2頁，共21頁

6.D

【分析】由拋物線的開口方向可以判斷A,由二次函數(shù)的增減性可以判斷B,由拋物線與V

軸的交點可以判斷C,由拋物線與x的交點和對稱軸可以求出另一個交點，可以判斷D,從

而得到答案.

【詳解】解：A.根據(jù)圖象可得，二次函數(shù)開口方向向下，

：.a<0,故本選項錯誤，不符合題意；

B.根據(jù)圖象可得，當X>1時，V隨X的增大而減小，故本選項錯誤，不符合題意；

c.根據(jù)圖象可得，拋物線與>軸交于正半軸，

：.c>0,故本選項錯誤，不符合題意；

D.???拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于點（-1,0）,對稱軸為直線x=l,

???設(shè)另一個交點為（x，0）,

—1+x=2x1,

x—3,

另一個交點為（3,0）,

x=3是一元二次方程辦?+fcr+c=0的一個根，故本選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的增減性，二次函數(shù)與x軸的

交點問題，熟記二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，是解此題的關(guān)

鍵.

7.B

【分析】連接咫、NN、、MM、,作此的垂直平分線，作MV】的垂直平分線，作“陷的垂直

平分線，交點為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】解：如圖，

答案第3頁，共21頁

MM\

???△MAP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到出，

，連接尸4、NN、、MM、,

作電的垂直平分線，作MW的垂直平分線，作〃陷的垂直平分線，

???三條線段的垂直平分線正好都過點B,

即旋轉(zhuǎn)中心是B.

故選：B.

【點睛】本題考查了學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)頂點到旋轉(zhuǎn)中

心的距離應(yīng)相等且旋轉(zhuǎn)角也相等，對稱中心在連接對應(yīng)點線段的垂直平分線上.

8.C

【分析】根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：A、當王＞/時，可能大于＜7卜2),故本選項不符合題意；

B、當"(xj＞d(%)時，X1可能大于%,故本選項不符合題意；

C、當王+工2=1時，d(xj=d(x2),故本選項符合題意；

D^當王=2%時，不一定等于2d(%),故本選項不符合題意；

故選：C

【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

9.(1,2)

【分析】直接根據(jù)頂點公式的特點求頂點坐標即可得答案.

答案第4頁，共21頁

【詳解】?.?>=-3口-1）2+2是拋物線的頂點式，

???頂點坐標為（1,2）.

故答案為：（1,2）

【點睛】本題主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法.解題的關(guān)鍵是熟知頂

點式的特點.

10.2028

【分析】由加是方程/+x-4=0的一個實數(shù)根，可得+7"-4=0,進而可得病+機=4,

然后整體代入所求的式子當中求值即可.

本題主要考查了一元二次方程的根，及利用整體代入法求代數(shù)式的值，熟練掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.〃是方程x2+x-4=0的一個實數(shù)根，

:.m2+m-4=0,

m2+m=4>

m2+m+2024=4+2024=2028.

故答案為：2028.

11.38

【分析】本題考查垂徑定理、圓周角定理等知識，根據(jù)垂徑定理推出前=而，推出

NCAB=NBAD=38°,再由NBCD=ABAD即可解決問題.

【詳解】解：是直徑，ABA.CD,

:.前=俞，

ZCAB=ZBAD=38°,

NBCD=ABAD,

:.NBCD=38°,

故答案為：38.

12.x（60—x）=864

【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60-x）步，根據(jù)矩形

田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.

【詳解】解：若設(shè)這塊矩形田地的長為x步，則寬為（60-x）步，依題意，得

答案第5頁，共21頁

x（60-x）=864.

故答案為：x（60-x）=864.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準等量關(guān)系，正確列

出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

13.140

【分析】先求出乙4的度數(shù)，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出乙的度數(shù).

【詳解】解：是半圓。的直徑，

.-.^ACB=9Q°,

VA45C=50°,

.??ZJ=4O°,

???四邊形48。。是圓內(nèi)接四邊形，

??2800+4=180°,

?"DC=140°,

故答案為：140.

【點睛】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記各定理及性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14.②

【分析】分析題意，對于①，根據(jù)投擲次數(shù)太少，頻率不一定是概率，據(jù)此判斷；

對于②，根據(jù)用頻率估計概率的知識可作出判斷；

對于③，根據(jù)概率的意義可作出判斷，從而得到答案.

【詳解】解：①當投擲次數(shù)是1000時，錄“釘尖向上”的次數(shù)是454“釘尖向上”的頻率是

0.454,概率不一定是0.454,錯誤.

②隨著實驗次數(shù)的增加，針與直線相交的頻率總在0.477附近，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以

估計針與直線相交的概率是0477,正確.

③若再次用計算機模擬實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的概率不一定是

0.4769.故原說法錯誤.

綜上可知，其中合理的是②.

【點睛】本題考查用頻率估計概率，掌握規(guī)則即可.

15.4

答案第6頁，共21頁

【分析】本題考查了二次函數(shù)與不等式以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根據(jù)拋物線

y=x2+6x+c的頂點在X軸上得出。=一,再根據(jù)不等式X?+bx+c<〃7的解集為-1〈尤<3

可以得出x=-1或x=3是關(guān)于X的方程/+云+C-%=0的解，然后解方程組即可求出入的

值.

【詳解】解：???拋物線丁=/+云+c的頂點在x軸上，

b2-4c=0,

；不等式x2+bx+c<m的解集為-1<x<3,

x=-1或無=3是關(guān)于x的方程/+6x+c—機=0的解,

1-bT-------m-0

4

9+36H------m=Q

4

b=-2

解得

m—4

二機的值為4,

故答案為：4.

16.②850

【分析】本題考查了邏輯推理，有理數(shù)的加法和乘法混合運算的實際應(yīng)用，找出方案是解題

的關(guān)鍵.

(1)因為要經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間盡量短，顯然先修復(fù)時間短的，分別根據(jù)

題意求解判斷即可；

(2)一名修理工修按5-￡“/的順序修，另一名修理工修按C,修復(fù)時間最短，

據(jù)此計算即可；

【詳解】解：(1)要使經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)最短即可，

則先修復(fù)時間短，讓機器盡快回復(fù)運轉(zhuǎn)，

.??5—7—9—13—23,即修復(fù)車床的順序：②DFBTEFA4C,

故答案為：②；

(2)一名修理工修理7分鐘，9分鐘，13分鐘，共需29分鐘，另一名修理工修理5分鐘,

理23分鐘，共需28分鐘,

答案第7頁，共21頁

???五臺機器總停產(chǎn)時間為5x3+9x2+13+7x2+23=83(分)，

???則最少經(jīng)濟損失為83x10=830(元)，

故答案為：830.

17.再=4,%=2

【分析】方程移項，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可求解.

【詳解】解：x2—6x+8=0,

x2-6x+9=-8+9,

???(x-3)~=1,

二x-3=l或x-3=-l,

解得：%=4,x2=2.

【點睛】本題考查了解一元二次方程一配方法，掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

18.(1)詳見解析

(2)與線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角為直角；經(jīng)過半

徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【分析】此題考查了基本作圖、切線的判定等知識，熟練掌握切線的判定和基本作圖步驟是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)作圖步驟補充完成作圖即可；

(2)連接。4,MP,MO,NP,NO,由兒。=MO,NP=N。可得出"N是。尸的垂直

平分線，即可得出。尸=。。，由直徑所對的圓周角為直角/尸/。=90。，又/點在。。上即

可證明尸/是。。的切線.

【詳解】(1)解：如圖，PA,尸3是所求作的。。的切線.

(2)證明：連接CM,MP,MO,NP,NO,

?：MP=MO,NP=NO,

答案第8頁，共21頁

：.MN是OP的垂直平分線，(與線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上)

為。尸中點，QP=Q。,

???。尸為。。的直徑，

.-.ZPA0=9Q°,(直徑所對的圓周角為直角)

■.A點在上，

是。。的切線.(經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)

故答案為：與線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角為直角;

經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

19.(1)證明見解析

(2)36°

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)與判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì),

熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.

(1)由等邊三角形的性質(zhì)知4B/C=60。，AB=AC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知ND/E=60。，

AE=AD,從而得NE4B=ND4C,再證△/E8絲△4DC可得答案；

(2)由/￡)/￡=60。，NE=40知△及1。為等邊三角形，即N/ED=60。，繼而由

△AEB”AADC,得到NAEB=ZADC=96°,再利用ABED=NAEB-AAED即可得解.

【詳解】(1)證明：是等邊三角形，

ABAC=60°,AB=AC.

.??線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段AE,

ADAE=60°,AE=AD.

ABAD+ZEAB=ABAD+ADAC.

ZEAB=ADAC.

在AE/8和△D4C中，

AB=AC

<NEAB=NDAC,

AE=AD

:."EB當ADC(SAS).

(2)解：;/DAE=60°,AE=AD,

:.^EAD為等邊三角形.

ZAED=60°,

答案第9頁，共21頁

???名△ZDC,

ZAEB=ZADC=96°.

ABED=NAEB-ZAED=96°-60°=36°.

20.(1)(-3,-2)

⑵畫圖見解析，(3,-1)

VIOTT

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、中心對稱、坐標與圖形，求弧長等知識點，熟練掌握旋

轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫縱坐標均互為相反數(shù)求解即可；

(2)先作△048繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到△4。耳，然后寫出名的坐標即可；

(3)根據(jù)題意得到點8運動的路徑是函的長度，然后利用弧長公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，點H和點N關(guān)于點。中心對稱

4(-3,-2)；

(2)解：如圖，△4。片即為所求作，點用的坐標(3,-1).

答案第10頁，共21頁

(3)解：”(1,3)

???(95=712+32=VTO

???點B運動的路徑的長度=9。"加=..

1802

21.(l)y=x2-2x-3

(2)見解析

(3)-l<x<0或2Vx<3

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)表達式，畫出二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象等知識,

采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵.

(1)運用待定系數(shù)法求解即可；

(2)首先列表，然后描出點，再連線即可畫出圖象；

(3)數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)圖象求解即可.

【詳解】(1)解：將4(0,-3),8(-1,0)代入y=x2+bx+c

.解析式為：y=x~-2x—3；

答案第11頁，共21頁

(3)解：由函數(shù)圖象得，

當一l<x<0或2<%<3時，一3<必<0.

22.(1)見解析；(2)m=-3

【分析】(1)證明一元二次方程的判別式大于等于零即可；

(2)用冽表示出方程的兩個根，比較大小后，作差計算即可.

【詳解】(1)證明：??一元二次方程/+(2-加)％+1-加=0,

A=(2—冽J-4(1—m)

=m2-4m+4-4+=m2.

m2>0,

A>0.

??.該方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：,?,一元二次方程一+(2-m)x+l-加=0,

解方程，得再二一1,X2二加一1.

??,m<0,

-1>m-1.

??,該方程的兩個實數(shù)根的差為3,

.?.-1—(m—1)=3.

m=—3.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程的解法，熟練掌握判別式，并靈活運用

實數(shù)的非負性是解題的關(guān)鍵.

23.(1)見解析

答案第12頁，共21頁

（2）P（A>0）=1.

【分析】（1）用列表法易得（九”）所有情況；

（2）看使關(guān)于x的一元二次方程X?-加x+2〃=0有實數(shù)根的情況占總情況的多少即可.

【詳解】⑴解:（辦〃）對應(yīng)的表格為:

mn123

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

4

(4,1)(4,2)(4,3)

則共有12種等可能的結(jié)果；

（2）解：???方程/一加工+2〃=0有實數(shù)根，

???△=加？—8〃20.

?,?使加2一8心0的（加有（3,1）,（4,1）,（4,2）,

31

.*.P（A>0）=—=-.

17124

【點睛】此題主要考查概率與一元二次方程求解，概率題一般難度都不大，只要把所有可能

列出來，然后再把滿足條件的找出來，問題就迎刃而解.

24.（1）歹=-茄"Y+x；②石塊能飛越防御墻；

11

（2）——<a<——

5056

【分析】（1）①根據(jù)題意得拋物線解析式為：y=6/（x-20）2+10,待定系數(shù)法求解析式即

可求解；

答案第13頁，共21頁

②根據(jù)題意，得出3（28,6）,將x=28代入解析式計算，即可求解.

（2）依題意得出C（30,6）,進而根據(jù)瓦C以及原點分別待定系數(shù)法求解析式即可求解.

【詳解】（1）解：①???發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10米，

???拋物線解析式為：v=a(x-20『+10,

將點(0,0)代入得，202?+10=0,

解得：a=~~>

40

11

拋物線解析式為》=(X-20)27+10=x2+x,

4040

y-----1-x2+x.,

40

②???點8與點。的水平距離為28米、垂直距離為6米.

.-.5(28,6),

1

當％=28時，y=-----x289+28=8.4>6,

40

???石塊能飛越防御墻；

(2)?：BC=2,5(28,6),

.-.C(30,6)

當y=q(x—20)2+后經(jīng)過點5(28,6),(0,0)時，

20%+k=0

解得:a=

8,+左=656

當y=Q（X-20）2+后經(jīng)過點。（30,6）,（0,0）時,

2()2〃+k=0

解得：a=~~r

10%+k=6

???要使石塊恰好落在防御墻頂部2C上（包括端點5、C）,。的取值范圍為-《VaV-上

5056

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

25.（1）證明見解析

（2）。。的半徑為6,AD=2&

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出=進而得出/。40=/磯）/,證得

答案第14頁，共21頁

EC//OA,從而證得NEJ.CM,即可證得結(jié)論；

⑵過點。作。尸，CD,垂足為點尸，從而證得四邊形N。/芭是矩形，得出。尸=/￡,根據(jù)

垂徑定理得出。尸，在RtAOD尸中，根據(jù)勾股定理即可求得。。的半徑，即可求得研*的長,

再根據(jù)勾股定理即可求得的長.

【詳解】（1）證明：連接04,

?:DA平分NBDE,

NODA=ZEDA,

ZOAD=ZEDA,

EC//OA,

■：AELCD,

0A1AE,

???o/是G>O的半徑，

.-.AE^QO的切線；

（2）解：如圖：過點。作。尸，CD,垂足為點E

二四邊形/。尸E是矩形，

.-.OF=AE=2^/5,

OD=yJOF2+DF2=J（2句2+42=6,

OA=EF=OD=6,

:.ED=EF-DF=6-4=2

答案第15頁，共21頁

AD=ylAE2+ED2=#2肩+22=276.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，切線的判定和性

質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握性質(zhì)定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.⑴①x=2@a——2

7

⑵-4<f<-5

【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性，正確理解并掌握二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）①根據(jù)拋物線解析式得到拋物線經(jīng)過點（0,-5）,即可求出對稱軸；

②由①知拋物線對稱軸為x=2,a<0,得至］一，=2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當x=2時,

J2a

》取得最大值3,即可求出。的值；

（2）由拋物線歹=。%2+樂一5（。<0）對稱軸為直線％=，，得到一~—=t,BP/?=-2at,將

2a

省-5,弘），8（-3,%）,C（-2,%）分別代入，根據(jù)力<%<%，建立不等式組計算可得.

【詳解】（1）①?.?拋物線》=以2+笈-5（0<0）,

???當尤=0時，>=-,5,故拋物線經(jīng)過點（0,-5）,

又???拋物線過點（4,-5）,

???拋物線的對稱軸為直線x=^=2,,即”=2；

②由①知拋物線對稱軸為直線x=2,a<0,

???拋物線圖象開口向下，且-3=2,

2a

b=-4a,

又?..加>0,當2—加2+2加時，-

???當久=2時，V取得最大值3,即

4。+2b-5=3,解得〃=-2；

（2）若拋物線>="2+屬一5（4<0）對稱軸為直線%二%,

貝!J一—=t,即b=-2at,

la

???解析式為j二辦？一2。加一5（。<0）,將4（一5,必），5（-3,歹2），。（一2,%）分別代入，

答案第16頁，共21頁

得%=4Q+4Q，-5,%=25Q+10Q，-5,y2=9a+6at-5,

又,?,%<%<為，

4。+4at-5<25a+1Oat-5

，<25a+l0at-5<9a+6at-5,

4a+4at-5<9Q+6at-5

7

-44<t<——.

2

27.⑴見解析

(2)/6=尸6成立，理由見解析

(3)CG長的最大值為g也.

【分析】(1)利用ASA證明△尸CG三△4OG,即可證明結(jié)論成立；

⑵作EH,BC,交CD于點、H,連接則可證明A〃EFgACEO(SAS),得到

FH=DC=AD,ZEHF=AECD=45°,從而證明/9G=90。，再證明

A尸GH絲AZGD(AAS),所以/G=PG；

(3)根據(jù)題意，當點E和點8重合時，CG的長取得最大值，利用三角形的中位線定理即

可求解.

【詳解】(1)證明：根據(jù)題意，△/8C是等腰直角三角形，

CDVAB,

二。是斜邊的中線，

；.CD=AD,

???￡D繞點￡逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段所，

ZFCG=ZADG=90°,CD=CF,

AD=CF,

在△FCG和△力。G中，

ZFCG=ZADG

<CF=AD,

ZFGC=ZAGD

???AFCG^A^DG(ASA),

：.AG=FG；

答案第17頁，共21頁

(2)解：AG=FG成立,理由如下：

作EH，BC,交CD于點、H,連接尸〃，如圖,

?