初中數(shù)學《相交線與平行線》解答題、證明題重點題型分類（解析版）

專題02《相交線與平行線》解答題'證明題重點題型分類

專題簡介：本份資料專攻《相交線與平行線》中“利用平行線的性質(zhì)求角”、“利用平行線的判定及性質(zhì)

證明平行”、“利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等”、“平行線中構(gòu)造平行線”解答題、證明題重點題

型；適用于老師給學生作復習培訓時使用或者考前刷題時使用。

考點1：利用平行線的性質(zhì)求角

方法點撥：題目中出現(xiàn)兩直線平行的條件時，應立即想到平行線的三個性質(zhì)，要注意分析圖

形特征，明確角與角的位置關(guān)系從而明確角與角之間的數(shù)量關(guān)系是相等還是互補。平行線還

通常會和角平分線、垂線等知識結(jié)合，求角的度數(shù)時需要根據(jù)已知條件綜合利用角平分線、

垂線的定義以及對頂角、領(lǐng)補角互補等性質(zhì)求解！

1.如圖，已知：DEHBC,CD是乙4cB的平分線，48=80。，乙4=50。，求：NEDC與乙BDC的度數(shù).

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4c2=50。，再由角平分線的定義求出

則由三角形內(nèi)角和定理可求出乙8OC=180。-48-乙BCD=75。，再由平行線的性質(zhì)即可得到

乙EDC=￡BCD=25°.

【詳解】解：???4=50°,z5=80°,

“C5=180。-乙45=50。，

???CD平分乙4C5,

/.ZBCD=ZACD=-ZACB=25°,

2

工乙BDC=18。。-乙B-cBCD=75。,

,:DEIIBC,

:.乙EDC=cBCD=25。.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練

掌握相關(guān)知識進行求解.

2.兩個直角三角板如圖擺放，其中血。=乙切/=90。，4￡=45。，ZC=3O°,45與。尸交于點"，

BC//EF,求乙的度數(shù).

【答案】75。

【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可算出乙F和4的度數(shù)，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，可求出

NA/D8的度數(shù)，在△8WZ）中，利用三角形內(nèi)角和可求出N8MD的度數(shù).

【詳解】解：如圖，

在和△?！晔校琟BAC=^EDF=90°,ZE=45°,ZC=30°,

.-.ZB=9O°-ZC=6O°,

立尸=90。_必=45。，

■■BC//EF,

:ZMDB=￡F=45°,

在△8A?中，乙BMD=180°—乙B—乙MDB=15°.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)圖形，結(jié)合定理求出每個角的度數(shù)是解

題關(guān)鍵.

3.如圖所示，AB//CD,G為48上方一點，E、尸分別為/2、CD上兩點，UEG=4乙GEB,

乙CFG=24GFD,NGE8和NGFD的角平分線交于點“，求NG+N”的值.

C

【答案】NG+Z/436。.

【分析】先設/G匹=2x,/GFD=2y,由題意可得//EG=8無，ZCFG=4y,由2x+8x=180。，

2y+4y=180。，從而求出x，V；根據(jù)題意得N4EG=NG+NC尸G,NAEH=NH+NCFH,從而得到

/G+/H的值.

【詳解】解：設NGEB=2x,NGFD=2y,

由題意可得，N/EG=8x,ZCFG=4y,

由2x+8x=180°,2y+4y=180°,解得x=18。,y=30°；

由靴子圖4EGFC知，ZAEG=ZG+ZCFG,即8x=/G+4y

由靴子圖/￡印7c知，ZAEH=NH+NCFH,即

即8x=NG+4y,9x-Z.H+5y,

ZG+Z//=17x-9j=17xl8°-9x30°=36°

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設NGEB=2x,ZGFD=2y,由題意得到x,＞的關(guān)系式，

正確將/G+/H表示成無，N的形式.

4.如圖所示，AB//CD,點￡為兩條平行線外部一點，月為兩條平行線內(nèi)部一點，G、H分別為AB、CD±

兩點，GB平分乙EGF,HF平分乙EHD,且2乙F與此互補，求z￡G廠的大小.

【答案】^EGF=nO°.

【分析】過點歹作何045,設于可的交點為N,先設/EGB=x,/EHF=y,貝lj

/BGF=x,/FHD=y,由題意及平行線的性質(zhì)得/方=/5G尸+/。/加，ZEGB=ZE+ZEHD,得到

Z.F=x+y,x=Z.E+2y,由于2/F與/￡互補，得到2x+2y+x-2y=180。，最終問題可求解

【詳解】解：過點尸作月朋1|力5,設AB于EH的交點、為N,如圖所示：

設/EGB=x,/EHF=y,

?：GB平分（EGF,HF平令5HD,

.?./EGB=ZBGF=x,/EHF=ZFHD=y,

-ABIICD,

??.ZFGB=ZGFM,ZMFH=/FHD,ZENB=/EHD,

.?./GFH=ZGFM+/MFH=ZBGF+/DHF,AEGB=NE+4ENB=NE+/EHD,

即/F=x+y,x=Z.E+2y,

???2/尸與/￡互補，

：.2x+2y+x-2y=].80°,

3%=180。，

.??x=60°,

ZEGF=x+x=120°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設==且由題意得

到無，了的關(guān)系.

5.如圖，CD〃48,點。在直線上，OE平分乙BOD,OF1OE,乙0=110。，求乙D。尸的度數(shù).

【答案】35。

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得ND08,根據(jù)角平分線和垂直求解即可.

【詳解】解：???CD〃/2

ZDOB=ZD=110°

,：OE平分乙BOD

;"DOE=LNDOB=55。

2

又vOFLOE

：.NEOF=90°

ZDOF=/EOF-ZDOE=90°-55°=35°

故答案為：35°

【點睛】此題考查了平行線、角平分線以及垂直的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并利用它們的性質(zhì)進行求解.

6.小明同學遇到這樣一個問題：

如圖①，已知：AB\\CD,E為AB、CD之間一點，連接BE,ED,得到乙BED.

求證：/.BED=Z.B+Z.D.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：

過點￡作EFWAB

則有48斯=乙8

■■■ABWCD

.'.EFWCD

.'.Z.FED=Z.D

“BED—Z.BEF+Z-FED—Z,B+Z-D

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題:

(1)直線川出，直線斯和直線小/2分別交于C、。兩點，點43分別在直線QL上，猜想：如圖②,

若點尸在線段CD上，^PAC=15°,乙PBD=40°,求乙4尸8的度數(shù).

(2)拓展：如圖③，若點尸在直線￡尸上，連接尸/、PB(BDVAC),直接寫出乙尸/C、乙LPB、"8。之

間的數(shù)量關(guān)系.

圖①

【答案】(1)55°；(2)當尸在線段CD上時，UPB=4PAC+4BD；當尸在DC延長線上時，

UPB=LPBD-LPAC；當P在C?延長線上時，UPB=LPAC-乙PBD；

【分析】(1)過點尸作PG〃/i，可得乙4PG=NP/C=15°,由IJh，可得尸G〃2，貝UN2PG=N依￡)=40°,即可

得至尸G+NBPG=55°；

(2)分當P在線段CD上時；當尸在DC延長線上時；當尸在CD延長線上時，三種情況討論求解即

可.

【詳解】解：(1)如圖所示，過點尸作尸G/i，

“尸G=NP/C=15°,

''h/Hi,

:.PGIII”

；?乙BPG=APBD=40°,

,.上APB=UPG+乙BPG=55°；

(2)由(1)可得當尸在線段CD上時，UPB=4PAC+乙PBD；

如圖1所示，當尸在。。延長線上時，過點尸作尸G，i，

???乙APG=PAC,

^PG//l2,

：.乙BPG=^PBD=40。,

；,UPB=LBPG-UPG=LPBD-^PAC；

如圖2所示，當。在延長線上時，過點。作OGI%,

???乙4PGMPAC,

:.PGIh

??.LBPG=LPBD=4。。,

??.UPB=UPG乙-BPG=^PAC-乙PBD：

???綜上所述，當月在線段C。上時，Z-APB=ZJ)AC+Z-PBD^當尸在延長線上時，4PB=^PBD-乙PAC；

當產(chǎn)在CQ延長線上時，UPB=(PAC-乙PBD.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).

考點2：利用平行線的判定及性質(zhì)證明平行

方法點撥：“由角定線”，也就是根據(jù)某些角的相等或互補關(guān)系來判斷兩直線平行，解此類

題目必須要掌握好平行線的判定方法。

1.如圖，已知016,乙3=44,那么直線c與直線d平行嗎？請說明理由.

d

【答案】直線c與直線d平行，理由見解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出42=24,進而得出N3=N2,再根據(jù)平行線的判定證明即可.

【詳解】解：直線c與直線d平行，

證明：

???z.2=z.3,

??23=N4,

.??z.4=z2,

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題關(guān)鍵是熟練運用平行線的性質(zhì)與判定進行推理證明.

2.根據(jù)下列證明過程填空，請在括號里面填寫對應的推理的理由.

如圖，已知Z.1+42=180。，且N1=ZD,求證：BCWDE.

證明：?.21+42=180。（已知）

又?./1=43.

.?22+43=180。（等量代換）

.-.z4=zl.

又"1=力（已知）

.?.〃>=（等量代換）

：.BC\\DE（）.

32

B二

DB

【答案】對頂角相等；8;兩直線平行同位角相等；44；內(nèi)錯角相等兩直線平行

【分析】根據(jù)已知條件及對頂角相等的性質(zhì)可得：Z2+Z3=180°,依據(jù)平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補,

兩直線平行可得：AB//CD；由平行線的性質(zhì)可得：N4=/l,根據(jù)等量代換可得：ZZ）=Z4,由內(nèi)錯角

相等，兩直線平行即可證明.

【詳解】證明：???Zl+Z2=180°（已知）

又=（對頂角相等）.

.-.Z2+Z3=180o（等量代換）

AB//CD,

.?.Z4=Z1（兩直線平行，同位角相等）.

又=（已知）

ZD=Z4（等量代換）

.■.BC//DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：對頂角相等；CD；兩直線平行，同位角相等；Z4；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【點睛】題目主要考查平行線的判定定理和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運用平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)

鍵.

3.已知：如圖，b//a,eg,Z1,N2,23是直線a,b,c被直線d截出的同位角.求證：b//c.

【答案】證明見解析.

【分析】根據(jù)6〃。，兩直線平行，同位角相等/2=/1,同理./3=/1.根據(jù)等量代換可得/2=/3.根

據(jù)平行線判定定理同位角相等，兩直線平行可得b〃c即可.

【詳解】證明：（已知），

.?.Z2=Z1（兩直線平行，同位角相等）.

clla（已知），

.?./3=/1（兩直線平行，同位角相等）.

：./2=/3（等量代換）.

■.bile（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查平行線性質(zhì)定理與判定定理的綜合應用，掌握平行線性質(zhì)定理與判定定理是解題關(guān)鍵.

4.完成下面的說理過程：如圖，在四邊形中，E、尸分別是CD、AB,延長線上的點，連接￡尸，分

別交40,8c于點G、H.己知N1=N2,乙4=NC,對/D/ABC和N3//CD說明理由.

理由：Zl=Z2(已知)，

Zl=AAGH(),

：22=NAGH(等量代換).

.-.AD/IBC().

?；NADE=NC().

,；N4=NC(己知),

ZADE=ZA().

.-.ABUCD().

【答案】對頂角相等；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩

直線平行.

【分析】先根據(jù)同位角相等，兩直線平行，判定山C,進而得到乙4DE=NC,再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線

平行，即可得到/價CD

【詳解】證明：?.21=42（已知）

小乙4GH（對頂角相等）

：22=UGH（等量代換）

■■ADWBC（同位角相等，兩直線平行）

:.UDE=4（兩直線平行，同位角相等）

?.?乙4=NC（已知）

?-Z-ADE=Z-A

.■.AB^CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位

置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

5.完成下列證明過程，并在括號內(nèi)填上依據(jù).

如圖，點￡在N8上，點尸在CD上，N1=N2,N8=NC,求證/8||CD

證明：,.?N1=N2（已知）,zl=z4

“2=（等量代換），

.-■WBF（）,

.?z3=N（）.

又?.?乙B=NC（已知）,

：■/.?>=Z.B

：.AB^CD（）.

【答案】Z4；CE；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

【詳解】解121=42（已知），Z1=Z4（對頂角相等），

.?Z2=N4（等量代換），

.?.CEIIB/（同位角相等，兩直線平行），

.?.z3=zC（兩直線平行，同位角相等）.

又...必=4。（已知）,

.?.Z3=N8（等量代換），

.■.ABWCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

故答案為：對頂角相等；CEII8R同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；內(nèi)錯角相等，兩

直線平行.

【點睛】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答.

6.如圖，點E,尸分別在CD上，AFLCE,垂足為點O.已知N1=N8,44+/2=90。.

（2）若/尸=12,BF=5,AB=13,求點尸到直線N8的距離.

【答案】（1）證明過程見解析；（2）指

【分析】（1）應用平行線的判定與性質(zhì)進行求解即可得出答案；

（2）設點尸到直線AB的距離為h，根據(jù)等面積法可得SMFB=^AF-FB=^AB-h,代入計算即可得出〃的值,

即可得出答案.

【詳解】（1）證明：因為=（已知），

所以CE//BF（同位角相等，兩直線平行），

因為/尸，CE（已知），

所以/尸_12尸（垂直的性質(zhì)），

所以44E8=90。（垂直的定義），

ZAFC+ZAFB+Z2=180°（平角的定義）.

即N4尸C+N2=90°,

又因為N/+N2=90,

所以乙4RC=/N（同角的余角相等），

所以48//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

（2）解：因為N尸1.昉（已證），且/斤=12,BF=5,AB=13.

設點尸到直線的距離為九

所以尸.所=：］〃〃，

所以;xl2x5=gxl3〃,

口

即rt〃7=——60,

13

所以點尸到直線AB的距離為

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)及點到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練應用平行線的判定與

性質(zhì)和點到直線的距離計算方法進行計算.

考點3：利用平行線的判定及性質(zhì)證明角相等

方法點撥：判斷兩個角相等或互補及與之有關(guān)的一些角的運算問題?！坝删€定角”，即運用

平行線的性質(zhì)來推出兩個角相等或互補。

1.填寫推理理由：如圖，CDWEF,Z1=Z2,求證：/3=乙4cB.

證明：???CDIIER

.??zDC5=z2

,.,zl=z.2,.

■■.GDWCB_

：/3=UCB

【答案】兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等.

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可以求出NOC8=42,等量代換得出ZZ?C8=N1,再根據(jù)內(nèi)錯角相等,

兩直線平行得出G0IIC5,最后根據(jù)兩直線平行，同位角相等，所以N3=41C'

【詳解】證明：,?,CDIIER

“DCBF（兩直線平行，同位角相等），

?-?zl=z2,

；.乙DCB=41（等量代換）.

.■.GDWCB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

.-.A3=AACB（兩直線平行，同位角相等）.

故答案為：兩直線平行，同位角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定方法和性質(zhì)，并準確識圖是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，在下列解答中，填寫適當?shù)睦碛苫驍?shù)學式：

II;（）

（2）-：^B+^BDE=180°,（已知）

II;（）

（3）-DEWBC,（已知）

?'?Z-AED=Z-；（）

（4）-ABWEF,（已知）

■'-Z-ADE=Z..（）

【答案】⑴AB；EF；同位角相等，兩直線平行；（2）OE；BC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（3）C；

兩直線平行，同位角相等；（4）DEF-,兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行，即可得；

（2）根據(jù)平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，即可得；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，即可得；

（4）根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得.

【詳解】解：（1）-：AA=ACEF,（己知）

.■.AB//EF,（同位角相等，兩直線平行）；

（2）?；NB+NBDE=180°,（已知）

.■.DE//BC,（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；

（3）-：DE//BC,（已知）

.?"AED=NC,（兩直線平行，同位角相等）

（4）-.-AB//EF,（已知）

ZADE=ZDEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故答案為：（1）/3；EF-,同位角相等，兩直線平行；Q2）DE；BC-,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（3）

C；兩直線平行，同位角相等；（4）DEF；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【點睛】題目主要考查平行線的判定定理和性質(zhì)，熟練掌握理解平行線的性質(zhì)定理并結(jié)合圖形是解題關(guān)

鍵.

3.請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內(nèi)填上推理理由：

己知：如圖，zl—Z.2,/.A—Z.D.

求證：z5=zC.

證明：?21=42,（已知）

又：?.21=43,（）

；22=（等量代換）

:.AE//FD（同位角相等，兩直線平行）

:.U=^BFD（）

?：Z.A=Z-D（已知）

："=（等量代換）

?-.WCD（）

:.乙B=幺C（）

【答案】對頂角相等；43；兩直線平行，同位角相等；上BFD；AB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平

行，內(nèi)錯角相等

【分析】根據(jù)對頂角相等，平行線的性質(zhì)與判定定理填空即可.

【詳解】證明：?.21=42,（已知）

又：?.21=43,（對頂角相等）

.?.42=43（等量代換）

:.AE//FD（同位角相等，兩直線平行）

???U=KBFD（兩直線平行，同位角相等）

???乙4=zZ>（已知）

:.乙D=LBFD（等量代換）

.■.ABWCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

4.完成下面的證明.

如圖，已知AD12C,EF1BC,Z1=Z2,求證：^BAC+AAGD=18O°.

證明:-.-ADLBC,EF1BC（已知）,

；/EFB=9Q°,^ADB=90°（）,

；/EFB=UDB（等量代換），

.-.EF//AD（）,

；/l—BAD（）,

又??21=42（已知），

.?.z2=z（等量代換），

-.DG//BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

：.^BAC+^AGD=\^°（）.

【答案】垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；BAD-,兩直線平行，同旁內(nèi)

角互補

【分析】先由垂直的定義得出兩個90。的同位角，根據(jù)同位角相等判定兩直線平行，根據(jù)兩直線平行，同位

角相等得到=再根據(jù)等量代換得出NR4Q=N2,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，最后根據(jù)兩直線

平行，同旁內(nèi)角互補即可判定.

【詳解】解：???/D15C,EFVBC（已知），

；/EFB=90°,UDB=90°（垂直的定義）,

:2EFB=UDB（等量代換），

-.EF//AD（同位角相等，兩直線平行），

：Z1=ABAD（兩直線平行，同位角相等），

又?.21=42（已知），

S—BAD（等量代換），

.■.DG//BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

.?.NA4C+乙4GD=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；BAD,兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理和判定定理是關(guān)鍵.

5.如圖，UGB=^EHF,乙C=LD.

（1）求證：BD\\CE-,

（2）求證：Z^=ZF.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）由UG8=41,UGB—EHF,可得N1=N￡7/F,則8D||CE；

（2）由2DIICE,可得〃>=42,則N2=NC,推出4C||DR則^=".

【詳解】證明：（1）???乙4G8=N1,UGB-EHF,

：.乙1二花HF,

■■.BDWCE；

（2）-：BD\\CE,

???乙。=42,

???〃>=4C,

???42=4。，

?-ACWDF,

???乙4=乙凡

cBA

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，對頂角相等，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的

關(guān)鍵.

6.如圖所示，ADLBC,EF1BC,N3=NC,則N1和N2什么關(guān)系?并說明理由.

【分析】根據(jù)題目已知得出N。//跖，由平行線的性質(zhì)可得/1=/4,由/3=/C可證明。G/A4C,故可

得-2=-4,等量代換即可得出答案.

【詳解】Z1=Z2.理由如下：

ADLBC,EF1.BC,

ZADB=ZEFB,

.?./O//E尸（同位角相等，兩直線平行），

.?.N1=N4（兩直線平行，同位角相等），

N3=/C,

.?.OG///C（同位角相等，兩直線平行），

二./2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

;./1=/2（等量代換）.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點4：平行線中構(gòu)造平行線

方法點撥：平行線的構(gòu)造主要解決的是平行線間的折線問題。而構(gòu)造的方法大致有三種：過

拐點做已知直線的平行線、做延長線、做封閉圖形。最基本的兩種圖形，是鉛筆模型和豬蹄

模型。

1.如圖1,CE平分乙4CD,4E平分乙BAC,AEAC+^ACE=90°,

(1)請判斷與CD的位置關(guān)系并說明理由；

(2)如圖2,當NE=90。且N8與CD的位置關(guān)系保持不變，移動直角頂點￡,《吏乙MCE=4ECD,當直角頂

點E點移動時，問NA4E與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,P為線段NC上一定點，點。為直線CD上一動點且48與CD的位置關(guān)系保持不變，當點0

在射線CD上運動時(點C除外)NCPQ+NCQP與乙BNC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由.

圖1

【答案】(1)平行，理由見解析；(2)^BAE+^MCD=90°,理由見解析；(3)乙BAC=￡P(guān)QC+乙QPC,

理由見解析.

【分析［4)先I艮據(jù)CE平分UCD,4E平分44c可得^BAC=2^R4C,"CD=2^4CE,再由N￡/C+Z^CE=90。

可知乙B/C+乙4co=180,根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)如圖，過E作跖||/8,由NW/CZ)可得￡F||/5||CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙1所，

AFEC=ADCE,可得"NE+NEC￡>=90。，再由ZA/CE=N￡C￡>即可得出結(jié)論；

(3)如圖，過點C作CW/尸。，可得乙PQC=LMCN,乙QPC"PCM,根據(jù)/8||?？芍?/C+乙4CZ)=180。，

1^2LPCQ+APCM+AMCN=180°,可得N0PC+"0C+NPC2=18O°,即可得出N3/C=NPQC+N0PC.

【詳解】(1)?.(￡?平分乙4CD,4E平分乙BAC,

:ZBAC=2乙EAC,UCD=2UCE,

■■■^EAC+AACE=90°,

■■.ABAC+/-ACD=180°,

■■ABWCD

(2)4BAE+g乙MCD=9Q°；理由如下：

如圖，過E作E尸11/8,

■■ABWCD,

.-.EF\\AB\\CD,

；/BAE=4EF,乙FEC=3CE,

々EC=，4EF+乙FEC=9。。,

"BAE+AECD=9。。,

“MCE=d：CD=；Z.MCD,

.ZBAE+gAMCD=9。。.

(3)如圖，過點。作CM//尸。，

：^PQC=Z-MCN,乙QPC=(PCM,

-ABWCD.

：.^BAC+^ACD=180°f

???△尸C0+2尸OV什乙版C7V=180。,

???4。尸C+乙尸0C+乙尸。。=180°,

.\Z.BAC=/-PQC+Z-QPC.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)及角平分線的定義，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯

角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.直線45〃CD,直線￡廠分別交力5、C。于點〃、N,NP平分/MND.

(1)如圖1,若MR平分/EMB,則也與NP的位置關(guān)系是.

(2)如圖2,若MR平分ZAMN,則VR與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

(3)如圖3,若MR平分NBMN,則與NP有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】(1)MR//NP-(2)MR//NP,理由見解析；(3)MR1NP,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/￡兒必=/硒D,根據(jù)角平分線的意義可得

NEMR=|NEMB,ZENP=|ZEND,進而可得NEMR=NENP,即可判斷MR〃N尸；

(2)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，角平分線的意義可得=即可判斷MR〃NP；

(3)設交于點。，過點。作。G〃/8根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，角平分線的意義，可得

ZBMR+NPND=90°,進而可得ZMQN=90°,進而判斷拔？1NP.

【詳解】(1)如題圖1,,??/3〃cr>

NEMB=ZEND

<MR平濟NEMB,NP平分ZMND.

NEMR=-ZEMB,ZENP=-ZEND

22

NEMR=ZENP

MR//NP■,

(2)如題圖2,???AB//CD

ZAMN=ZEND

???MR平分ZAMN,NP平分ZMND.

2RMN=-ZAMN,ZENP=-ZEND

22

NRMN=ZENP

MR//NP■.

(3)如圖，設MR,PN交于點。，過點0作。G〃/8

???AB//CD

ZBMN+NEND=180°,QG//CD

AMQG=ABMR,ZGQN=ZPND

???MR平分NBMN,NP平分ZMND.

ZBMR=-ZBMN,ZPND=-ZEND

22

NBMR+/PND=90。

ZMQN=AMQG+ZNQG=90°

MR工NP；

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的意義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

3.己知：/8〃CD.點E在CD上,點、F,H在4B上,點G在48,CD之間，連接FG,EH,GE,乙GFB

=LCEH.

圖2

(1)如圖1,求證：GF//EH-,

(2)如圖2,若乙GEH=a,平分乙4FG,EM平分乙GEC,試問四與a之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系(用含a

的式子表示NM)?請寫出你的猜想，并加以證明.

(y

【答案】(1)見解析；(2)NFME=90。-3,證明見解析.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到NCE"=NEHB,等量代換得出=即可根據(jù)“同位角相等,

兩直線平行”得解；

(2)過點M作過點G作GP〃/2,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可.

【詳解】(1)證明：VABHCD,

NCEH=NEHB,

???ZGFB=ACEH,

ZGFB=ZEHB,

:.GF//EH；

(2)解：ZFAffi=90°-1,理由如下：

如圖2,過點〃作過點G作G尸〃N8,

圖2

■：ABHCD,

:.MQ//CD,

ZAFM=ZFMQ,ZQME=AMEC,

ZFME=ZFMQ+ZQME=ZAFM+AMEC,

同理，ZFGE=ZFGP+ZPGE=ZAFG+ZGEC,

???FA/平分尸G,EM平分4GEC,

ZAFG=2ZAFM,ZGEC=2ZMEC,

ZFGE=2ZFME,

由（1）知，GF//EH,

ZFGE+ZGEH=180°,

NGEH=a,

N尸GE=180。-a,

2ZFME=\S0°-a,

ZFME=90°~—.

2

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.已知4511cZ）,點是45,CD之間的一點.

（1）如圖1,試探索41EC,/.BAE,乙DCE之間的數(shù)量關(guān)系；

以下是小明同學的探索過程，請你結(jié)合圖形仔細閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學式）：

解:過點E作尸EII/2（過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行）.

■：AB^CD（已知），

：.PE\\CD（）,

:.乙BAE=￡1,3CE=L2（）,

.?/BAE+U）CE=+（等式的性質(zhì)）.

即乙4EC,乙BAE,乙DCE之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,點尸是N2,8之間的一點，AF平分的E,CF平分上DCE.

①若乙4EC=74。，求乙4FC的大??；

②若CG14F,垂足為點G,CE平分乙DCG,乙4EC+乙4尸C=126。，求乙B/E的大小.

圖1圖2

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，zl,Z2,乙4EC=

4BAE+4DCE；⑵①37。；@52°

【分析】（1）結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)填空即可；

（2）①過尸作尸由（1）得：乙4EC=KBAE+3CE,?AB//CD,FG//AB,CD//FG,得出

UFC=L4FG+KGFC=KBAF+乙DCF,1艮據(jù)/尸平分NB/E,CF平分4DCE,可得乙B4F=之KBAE,乙DCF=

y3CE,根據(jù)角的和差41尸C=N24尸+NDCF=g乙1EC即可；

②由①得：^AEC=2^AFC,可求乙4尸C二42。，乙4EC=82。,根據(jù)CGL4F,求出NGCF=90-乙4FC=48。，根

據(jù)角平分線計算得出乙GCF=3乙DCF,求出乙DCF=16。即可.

【詳解】解：（1）平行于同一條直線的兩條直線平行，

兩直線平行，內(nèi)錯角相等，

Nl,N2,

UEC=4BAE+3CE,

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，N1,42,乙4EC=

Z.BAE^Z.DCE,

(2)①過產(chǎn)作/

由(1)得：乙4EC-BAE+3CE,

-ABHCD,FGRAB,

?-CD//FG,

：ZBAF=，4FG,乙DCF=^GFC,

:?乙4FC=UFG+乙GFC=(BAF+(DCF,

???AF平分乙BAE,CF平分乙DCE,

???乙BAF=gcBAE,(DCF=；LDCE,

,,&FC=乙BAF+3CF,

——Z-BAE+Z..DCE,

=j-(乙BAE+3CE),

=^Z.AEC,

=1x74°,

=37。；

②由①得：UEC=2UFC,

-2LAEC+^AFC=126°,

-.2Z-AFC+^AFC=126O

.-.3ZG4FC=126°,

.4FC=42。,4EC=84。，

?:CGL4F,

??ZCG尸=90。，

.-.ZGCF=9O-Z^FC=48°,

???CE平分乙DCG,

:.乙GCE=^ECD,

?；CF平分4DCE,

:"CE=23CF=2乙ECF,

「乙GCF=3乙DCF,

；/DCF=16°,

；"CE=32°,

:/BAE=AAEC-乙DCE=52°.

【點睛】本題考查平行線性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計算，垂直定義，角的和差倍分，簡單一元一次方程，掌

握平行線性質(zhì)，角平分線有關(guān)的計算，垂直定義，角的和差倍分，簡單一元一次方程是解題關(guān)鍵.

5.在數(shù)學綜合實踐活動課上，老師讓同學們以“兩條平行直線和一塊含45。的直角三角板E尸G

(NEFG=90。)”為背景，開展數(shù)學探究活動.如圖，將三角板的頂點G放置在直線上.

(1)如圖①，在GE邊上任取一點P(不同于點G,￡),過點尸作CD〃4B,且N2=4/l,求Z1的度數(shù);

(2)如圖②，過點E作CD//4B,請?zhí)剿鞑⒄f明//G/與/CE尸之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)將三角板繞頂點G旋轉(zhuǎn)，過點E作。//4B,并保持點E在直線的上方.在旋轉(zhuǎn)過程中，探索2/G尸

與NC斯之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)27°；(2)ZAGF+ZCEF=90°；(3)①當點尸在直線CD的上方時，ZAGF-ZCEF=90°；

②當點尸在直線48與直線之間時，NAGF+NCEF=90°；③當點尸在直線4B的下方時，

ZCEF-ZAGF=90°.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可知N1=NEGB,依據(jù)N2+NFGE+NEGB=180。，可求出N1的度數(shù)；

(2)過點尸作尸P//4B,得到b///B//CD,通過平行線的性質(zhì)把//G/和/CE尸轉(zhuǎn)化到BEFG上即可;

(3)分三種情形：①如圖3-1中，當點尸在直線CD的上方時，②當點尸在直線A8與直線CD之間時,

NAGF+NCEF=9Q°.③當點尸在直線的下方時，分別利用平行線的性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】解：(1)如圖1中，

圖1

???AB//CD,

Zl=ZEGB,

???Z2+ZFGE+ZEGB=180°,N2=4Z1,

4Zl+45°+Zl=180°,

解得/1=27。.

(2)ZAGF+ZCEF=90°,理由如下:

圖2

QCD//AB,

..FP//AB//CD,

NAGF=ZPFG,NCEF=ZPFE,

ZPFG+ZPFE=ZAGF+ZCEF=ZEFG,

???/￡尸G=90。，

ZAGF+ZCEF=90°；

(3)①如圖3-1中，當點尸在直線的上方時，過點、F作MN//AB.

圖3?1

\'MN//AB,AB//CD,

:.MN/ICDIIAB,

ZAGF=ZNFG,ZCEF=ZNFE,

ZNFG-ZNFE=/GFE=90°,

:.ZAGF-ZCEF=90°.

②當點尸在直線45與直線C。之間時，/AGF+/CEF=9U0,

如下圖：

?：MNHCD,MNHAB,

/CEF=ZNFE,ZAGF=ZNFG,

???ZGFE=ZNFE+ZNFG=90°,

.\ZAGF+ZCEF=90°；

③當點尸在直線45的下方時，過點、F作MN//AB.

圖3.2

???MNHAB,AB//CD,

:.MN//CD//AB9

ZAGF=ZNFG,ZCEF=ZNFE,

ZNFE-GFN=ZGFE=90°,

ZCEF-ZAGF=90°.

綜上所述，①當點P在直線C。的上方時，ZAGF-ZCEF=90°.②當點下在直線與直線CD之間時，

NAGF+NCEF=9Q°.③當點尸在直線的下方時，ZCEF-ZAGF=90°.

【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，特殊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會

添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，需要用分類討論的思想思考問題.

6.已知/5//CD,點、E、尸分別在48、CD上，點G為平面內(nèi)一點，連接EG、FG.

(1)如圖1,當點G在48、CD之間時，請直接寫出乙4￡G、/CFG與/G之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當點G在48上方時，且以G尸=90。，求證：^BEG-U)FG=9