北京市某中學2024-2025學年高二年級上冊期中調(diào)研數(shù)學試卷

北京市第一七一中學2024-2025學年高二上學期期中調(diào)研數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.直線x+y_G=0的傾斜角為（）

A

-45°B.60。C.120。D.135?

2.已知圓的方程是一+/_2》_4=0,則該圓的圓心坐標及半徑分別為（）

A-（1,0）與5B.0,0）與石

C㈠⑼與5D.㈠⑼與百

3?圓G:/+/=2與圓C?：。-2了+（了-2）2=2的位置關系是（）

A.相交B.相離C.內(nèi)切D.外切

4.圓/+@+2）2=4與直線力+勺+2=0相交于A、8兩點，則線段的垂直平分線的方

程是（）

A.4x+3y+6=0B.3x+4y+8=0C.4x-3j-6=0D.4x-3y+6=0

5.“a=7”是“直線k辦+4丁-3=0與直線3x+（"3力+2=0平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.為了弘揚體育精神，學校組織秋季運動會，在一項比賽中，學生甲進行了8組投籃，得

分分別為10,8,a,8,7,9,6,8,如果學生甲的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的75

百分位數(shù)為（）

A.8B.9C.8.5D.9.5

試卷第11頁，共33頁

P22p7

7.已知為橢圓c：二+匕=l(a>6>0)上的點，點到橢圓焦點的距離的最小值為,

a2b2

最大值為18，則橢圓的離心率為()

3455

A.-B.2C.-D.-

5543

8.如圖，在平行六面體"CD-4用口中，==4/0=工,

2

NBAAi=NA[AD=W，則/%皿=()

A.12B.8C.6D.4

9.設動直線/與OC：(X+1)2+J?=5交于45兩點.若弦長|/河既存在最大值又存在最小

值，則在下列所給的方程中，直線/的方程可以是()

A.x+2y=aB.ax+y=2a

CD

?ax+y=2-x+ay-a

10.曲線c：d+/=i.給出下列結論：

①曲線C關于原點對稱；

②曲線C上任意一點到原點的距離不小于1;

試卷第21頁，共33頁

③曲線C只經(jīng)過2個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）.

其中，所有正確結論的序號是

A.①②B.②C.②③D.③

二、填空題

11-直線4：2x-y+l=0與直線個2工-了-1=0之間的距離為.

12.已知空間°=（2,3，1）,B=（-4,2,X）,alb＞則忖=_.

13.在正方體/BCD-NbCT/中，￡是的中點，則異面直線與NC所成角的余弦

值為-.

14.由直線y=x+l上的一點向圓（x_3）2+/=l引切線，則切線長的最小值為.

15.如圖，正方體48co-44G。］的棱長為2,點。為底面48co的中心，點尸在側(cè)面

84GC的邊界及其內(nèi)部運動.若〃O_LOP，則△℃/面積的最大值為___.

三、解答題

16.某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，他們的月收入均在

內(nèi).現(xiàn)根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了該樣本的頻率分布直方圖如下.（每個分組包括左端點，不包括右端

點，如第-組表示月收入在［刈°］刖

內(nèi)）

試卷第31頁，共33頁

小A甘中0口心、r[3<X)0,40(M))小田防士

(1)求某居民月收入在內(nèi)的頻率；

(2)根據(jù)該頻率分布直方圖估計居民的月收入的中位數(shù)；

(3)為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，需再從這10000人中利用分層抽樣的

方法抽取100人作進一步分析，則應從月收入在13000.35"”內(nèi)的居民中抽取多少人？

17.如圖，在邊長為2的正方體48CD_42]G2中，E為線段的中點.

(1)求證：3cl〃平面AED1；

⑵求點4到平面的距離；

(3)直線AA,與平面所成角的正弦值.

18.已知圓。的圓心在直線2x-y=0上，且與x軸相切于點

試卷第41頁，共33頁

⑴求圓C的方程；

(2)若圓C直線/:x-y+wj=O交于A,3兩點，,求加的值.

從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：

條件①：圓c被直線/分成兩段圓弧，其弧長比為2：1；

條件②：|/同=2上；

條件③：乙4cB=90。，

19.已知耳鳥分別是橢圓C：W+g_=i(a>6>0)的的左、右焦點，BQ,。)，點尸在橢圓

a2b1

c上且滿足I尸耳|+|尸81=276-

(1)求橢圓C的方程；

⑵斜率為1的直線/與橢圓c相交于48兩點，若V/08的面積為百，求直線/的方程.

20.如圖，四棱錐尸一/BC￡)中，A。，平面/Bp，

SC||AD,NPAB=90°,PA=AB=2,AD=3,BC=m,E是P5的中點.

(1)證明：ZE_I_平面P8C；

試卷第51頁，共33頁

⑵若二面角C-AF-D的余弦值是9A?,求m的值；

3

(3)若加=2,在線段AD上是否存在一點尸，使得尸尸,酸.若存在，確定尸點的位置;

若不存在，說明理由.

21.在平面直角坐標系中，0為坐標原點.對任意的點P(x,y),定義||OH=N+M?任取

點/(再,必)，B(xv%)，記4(“y2)>B'(X2,必)，若此時之盟/［「+口0現(xiàn)

成立，則稱點人A，DR相關.

(1)分別判斷下面各組中兩點是否相關，并說明理由；

①/(-2,1),3(3,2);②C(4,-3),￡>(2,4).

(2)給定“wN*，7??3,點集={(x,y)卜〃4x44y4eZ}?

(z)求集合Q“中與點4(1,1)相關的點的個數(shù)；

(〃)若SqC"，且對于任意的A,BwS，點、A,B相關，求S中元素個數(shù)的最大值.

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案DBDCACBBDC

1.D

【分析】由一般方程得到直線的斜率，再由斜率與傾斜角的關系求出即可；

【詳解】由題意可得直線的斜率為gPtan0=_r

又。e[Om)，所以6=135。，

故選：D.

2.B

【分析】利用圓的標準方程即可得到圓心坐標與半徑長度

【詳解】由圓的一般方程為/+/_2工_4=0,配方得圓的標準方程為(尤_1)2+/=5

所以圓心坐標為(1,0)半徑為㈠

故選：B

3.D

【分析】求出兩個圓的圓心距即可判斷得解.

【詳解】圓G：，+J?=2的圓心G(0,0)，半徑”也,圓c2:(x-2r+3-2)2=2的圓心

。2(2,2)，半徑々=收，

顯然|C|C2r2行=廠1+丁所以圓G與Q外切，

故選：D

4.C

【解析】由題意可知，線段的垂直平分線經(jīng)過圓心且與直線垂直，根據(jù)兩直線垂直

求出線段AR的垂直平分線所在直線的斜率，然后利用點斜式可求得所求直線的方程.

【詳解】圓/+(7+2)2=4的圓心坐標為(0,—2)，

答案第11頁，共22頁

由圓的幾何性質(zhì)可知，線段的垂直平分線經(jīng)過圓心且與直線/A垂直，

AADRAD

直線4s的斜率為-』，則所求直線的斜率為

43

因此，線段"的垂直平分線的方程是尸3-2,即以一3了-6=0.

故選：C.

5.A

【分析】求出當〃兒時實數(shù)。的值，再利用集合的包含關系判斷可得出結論.

【詳解】當/J/時，Q(Q-3)=4，即。2一34-4=0,解得用=-1或4,

當。=一1時，直線4的方程為％-4>+3=0,直線4的方程為％—4y+2=0,止匕時/J4；

當”4時，直線4的方程為x+L；=0,直線4的方程為x+y+2=°,此時〃4.

因為11}°{_1,4}，因此，因=-1”是“直線4：次+4y-3=0與直線

4：x+(a-3力+2=0平行”的充分不必要條件?

故選：A.

6.C

【分析】由平均數(shù)求出〃的值，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，由百分位數(shù)的定義即可

求解.

【詳解】由題意可得：---------------------=8,解得：，

8

將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為6,7,8,8,8,8,9,10,

因為8x75%=6為整數(shù)，

答案第21頁，共22頁

所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為士=8.5,

2

故選：C.

7.B

【分析】根據(jù)點尸到橢圓焦點的距離的最小值為2,最大值為18,列出a,c的方程組，進而

解出a,c,最后求出離心率.

【詳解】因為點尸到橢圓焦點的距離的最小值為2,最大值為18,

c4

所以橢圓的離心率為：e=-=-

a5

故選：B.

8.B

【分析】根據(jù)空間向量加法的運算性質(zhì)，結合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和定義進行求解

即可.

2

【詳解】=AB-AD+AB-AAt+145-1^+AAt

―■——11,

nAB.-AD,=0+2x2x—+2x2x—+22=8,

1122

故選：B

9.D

【分析】由動直線恒與圓相交得直線過圓內(nèi)一定點，再驗證弦長取最值即可.

【詳解】0C：(x+l)2+y2=5,圓心C(T,O)，半徑廠=石，

選項A,由直線x+2k“斜率為3，可得動直線為為平行直線系,

答案第31頁，共22頁

圓心C(T°)到直線X+2y-a=°的距離八卜1-4,

V5

當-6或.24時，d>^,直線與圓不相交，不滿足題意，故A錯誤;

選項B,由直線辦+了=2a可化為a(x-2)+y=0,

則直線恒過(2,0),因為(2+1/>5，點(2,0)在圓外，

故直線不一定與圓相交，故B錯誤；

選項C,由直線辦+『=2恒過(0,2)，點(0,2)在圓上，

當。=工時，直線方程可化為x+2?-4=0,

2

此時圓心,(T°)到直線X+2'-4=0的距離"二^^=石=廠，

V5

圓與直線相切，不滿足題意，故C錯誤；

選項D,由直線方程x+即=.可化為丫+心一1)=0，

則直線恒過W(0,1)，且點屈在圓C內(nèi)，故直線恒與圓C相交，

當直線過圓心C時，弦長最長，由(-1,0)在直線x+a(y-l)=0上,

可得.=一1，&取到最大值；

如圖，取N8中點T,則C7_L/8，圓心到直線的距離d=|cr|v|C"|

I陰=2〃_屋=2行『當"取最大值時，弦長最短，

即當直線與C?垂直時，弦長最短，由優(yōu)的斜率為%=3=1

答案第41頁，共22頁

此時直線斜率為左=1=L,即當。=1時，0幺3J取到最小值.故D正確.

故選：D.

10.C

【解析】將（_居-田代入，化簡后可確定①的真假性?對無分成x<0,x=0,0<x<l,x=l,x>l

等5種情況進行分類討論，得出由此判斷曲線。上任意一點到原點的距離不小

于1.進而判斷出②正確.對于③，首先求得曲線C的兩個整點（01）,0,0）,然后證得其它點

不是整點，由此判斷出③正確.

【詳解】①，將（_蒼_回代入曲線。：/+丁=1，得》3+/=_1，與原方程不相等，所以曲

線C不關于原點對稱，故①錯誤.

②，對于曲線0：/+/=1，由于了3=1_丁，所以"=祖二7，所以對于任意一個X，只有

唯一確定的V和它對應.函數(shù)y=%二’是單調(diào)遞減函數(shù).當X=0時，有唯一確定的y=1;

當x=l時，有唯一確定的>=0.所以曲線C過點（0,1）,0,0）,這兩點都在單位圓上，到原點

的距離等于1.當x<0時，>>1，所以?當X>1時，”0,所以

x+y>7x+y>i，

答案第51頁，共22頁

2.2^//2].當0<%<1時,且

]-(J+/)=/+,3_(、2+,2)=%2(%_])+,2(,_])<0,

所以工2+/>1q+/>「

綜上所述，曲線c上任意一點到原點的距離不小于1，所以②正確.

③,由②的分析可知，曲線C過點(0,1),(1,0),這是兩個整點.由》3+/=1可得彳3_]=(_?,

當XN0且X"時，若X為整數(shù),丁-1必定不是某個整數(shù)的三次方根，所以曲線C只經(jīng)過

兩個整點.故③正確.

綜上所述，正確的為②③.

故選：C

【點睛】本小題主要考查根據(jù)曲線方程研究曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

11,275

5

【分析】代入平行線間的距離公式，即可求解.

【詳解】直線〃4，

則與之間的距離”二/高二]二丁.

故答案為：巫

5

12.2近

【分析】根據(jù)空間向量的垂直，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示，建立方程，結合模長公式，可得

答案.

【詳解】由]/心且口=(2,3,1>3=(-4,2,X)，則；)=_8+6+x=(T解得X=2，

答案第61頁，共22頁

故忖=J16+4+4=2限

故答案為：2a.

13.叵

10

【分析】利用正方體的特征構造平行線，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.

【詳解】

如圖所示，取/，夕的中點尸，易得AF//DE，則4c或其補角為所求角，

不妨設正方體棱長為2,則/尸=退=FC,尸c=Ic,F。+C'C?=3,AC=2也，

由余弦定理知：“AC"+4C-FC,=5+8-9=叵,

2AFAC2A/5X2A/210

則NE4c為銳角，即異面直線QE與ZC所成角.

故答案為：叵.

10

14.不

【詳解】從題意看出，切線長、直線上的點到圓心的距離、半徑之間滿足勾股定理,

顯然圓心到直線的距離最小時，切線長也最小.

圓心到直線的距離為：|3-0+1|=,=2后,

爐下V2

答案第71頁，共22頁

切線長的最小值為J(2板)2-1=療：故本題正確答案為近.

15.右

【分析】取8片中點耳，可得Z)0_L平面。qC，可判斷點P的軌跡在線段6c上，可求出

點尸到棱GA的最大值，即可得出?

【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，當尸位于點C時，ROJ.OC，滿足題意，

當點尸位于BB、中點片時，DD]=2,DO=BO=>/2,BP,==2725

則0口=V4+I=a,OP\=VTTT=EDR=V8+1=3，

所以0。；+。42=。附，故

又OPqOC=0，所以Z)|O_L平面?！〤，故點P的軌跡在線段4C上，

由G8=cq=后，可得為銳角，而CG=2<V^，

所以點尸到棱G2的最大值為V5，

所以面積的最大值為工X2x石=6.

2

答案第81頁，共22頁

16.(1)0.25；(2)2500；(3)15.

[3000,4000)

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在內(nèi)的頻率為

(0.0002+0.0003)x500=0.25.

(2)由頻率分布直方圖可知

0.0001x500=0.05,

0.0004x500=0.20,

0.0005x500=0.25,

從而有0.0001x500+0.0004x500+0.0005x500=0.5,

所以可以估計居民的月收入的中位數(shù)為2500(元).

[30003'00)

(3)由頻率分布直方圖可知，居民月收入在1-內(nèi)的頻率為

0.0003x500=0.15,

[30003500)

所以這10000人中月收入在I內(nèi)的人數(shù)為0.15x10000=1500(人)，

[30003500)

再從這10000人中利用分層抽樣的方法抽取100人很IJ應從月收入在1內(nèi)的

皿駛=15

居民中抽?。?，(人).

17.(1)證明見解析

(3)t

【分析】(1)證明出四邊形N8CQ]為平行四邊形，可得出8G///A，利用線面平行的判

定定理可證得結論成立;

(2)以點A為坐標原點，AD、4B、所在直線分別為X、＞、二軸建立空間直角坐標

答案第91頁，共22頁

系，利用空間向量法可求得點4到平面的距離;

（3）利用空間向量法可求得直線與平面NE2所成角的正弦值.

【詳解】⑴證明：在正方體NBCD-481G2中，NB//CQ且=CQ，

故四邊形4BCA為平行四邊形，則BCJIAD,>

AED

因為8G0平面\,42u平面AEDX，因此，8G〃平面AEDt-

（2）解：以點A為坐標原點，AD、4B、/4所在直線分別為X、V、z軸建立如下圖所

示的空間直角坐標系，

則/（0,0,0）、4（0,0,2）、￡（0,2,1）、A（2,0,2）>

所以，五^=（0,0,2），甌=（2,0,2），通=（0,2,1），

AED\n=（x,y,z）

n-ADX=2x+2z=0

設平面的法向量為，則

n-AE=2y+z=0

取z=-2，可得3=（2,1,-2），

4AER

\AAt-n\4

所以，點到平面的距離為〃=L記

3

答案第101頁，共22頁

——-AA,?n42

(3)解：因為c°s<M…用雨=旃=晨

因此，直線"4與平面所成角的正弦值為1-

18-(1)(X-1)2+(J^-2)2=4

(2)答案見解析

【分析】(1)利用幾何關系求出圓心的坐標即可；

(2)任選一個條件，利用選擇的條件，求出圓心到直線的距離，然后列方程求解即可?

【詳解】(1)設圓心坐標為c(a,6)，半徑為

由圓C的圓心在直線2x-y=0上，知：2a=b'

又；圓C與x軸相切于點(1,0),

..a=l,b=2,則廠=|6-0|=2.

二圓C圓心坐標為0,2)，則圓C的方程為(x_lj+(y_2)2=4

(2)如果選擇條件①：AACB=120°,而|CH=|C8|=2,

，圓心C到直線/的距離d=|G4|xcos600=1>

則力丁=1,

Vi+i

解得機=五+1或-G+r

如果選擇條件②和③：|/用=2及,而|cz|=|ca=2，

‘圓心。到直線"的距離d=Lp_l^2=及，

答案第111頁，共22頁

則亞，

Vi+i

解得加__1或3.

如果選擇條件③：/ACB=90。，而0|=|。4=2，

圓心C到直線/的距離d=1cz|xcos45。，

則/>>=￡

Vi+i

解得加=_1或3.

22

19.⑴土+匕=1

62

(2)%-歹+2=0或、-夕-2=0

【分析】(1)根據(jù)焦點坐標求出。，進而根據(jù)橢圓定義求出。，然后求出兒最后求得答案;

(2)設直線/的方程為y=%+加，A(x1,B^x2ry2)?直線/:>=x+加與'軸父于點E，

則S“BC=？O￡H玉-X2I，將直線方程代入橢圓方程并化簡，進而結合根與系數(shù)的關系求

得答案.

【詳解】⑴由題意，c=2,2a=2"na=C，所以b￡a2.c2=W所以橢圓C的

22

方程為土+匕=1.

62

Iy=x+m/區(qū),乂),及工2，力)[x2

(2)設直線的方程為，,由7+5=1得：

y=x+m

答案第121頁，共22頁

4x2+6mx+3加2—6=0,

則△=-12/+96>0,即：加2<8=-2/<刃<2&?

-3m3m2-6

X1+X2=^-，/X2=~-,

設直線/：歹=%+加與V軸交于點E，則頤0,一）,|OE|=|"|

所以A/。的面積為S/8C=T°斗再一/=；|同X|-馬=曰時加|+馬）2-

初19m24x3/M-5,化簡得：/（8_?。?16,解得：療=4所以*±2.

2V44J

直線/的方程為x-y+2=0或x-y-2=0.

20.（1）證明見解析

⑵1

（3）不存在，理由見解析

【分析】（1）推導出8C_L平面P48.AEYBC,AEYPB.由此能證明/E_L平面P8C；

（2）建立空間直角坐標系N-盯z,利用向量法能求出”?的值；

G）設尸（0,0#（00”3），當m=2,。（0,0,2），而=（2,0/）,麗=（1,-1,-2），由

PR_LC￡知，方.西=o，-2-2f=O,f=-1，這與0VIV3矛盾，從而在線段ND上不存在點

F）使得Pb_LCE.

【詳解】（1）證明：因為平面尸48，BC//AD,

所以2c_1_平面尸

答案第131頁，共22頁

又因為/Eu平面尸AB'所以AEIBC

PA=AB'￡是尸8的中點，

所以AEIPB'

又因為8CnP8=3，BC,P8u平面尸5C,

所以/E_L平面尸2C，

(2)因為40_L平面尸48,/瓦力匚平面尸/^,

所以

又因為PALAB,

所以如圖建立空間直角坐標系/-乎.

則4(0,0,0),3(0,2,0),C(0,2,加),E(l,1,0),尸(2,0,0),0(0,0,3)，

則就=(0,2,加)，酢=(1,1,0)，

設平面NEC的法向量為力可.

AC-n=0(2y+mz=0

則［次?力=0即卜+"0，

令X1則”一1,z一,

m

故五=11,一1,前

因為4DJ_平面尸48'尸3u平面尸

答案第141頁，共22頁

所以4D_LP8，

又/￡_1尸8,/。門4￡=4/。,工石<=平面/￡￡>，

所以尸8J_平面/￡￡)?

又因為麗=(-2,2,0)，

所以取平面AED的法向量為方=(_2,2,0)

I一IM畫6

所以卜°3",網(wǎng)卜欣=5，

|-2-2|_V3病=1

則廣I7二?，解得^

2\2.2-1—Y

Vm

又因為7M>0,所以冽=1；

(3)結論：不存在.理由如下：

證明：設尸(O,Oj)(O4/V