北師大版高考數(shù)學(xué)一輪專項復(fù)習(xí)講義-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

§4.5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【課標(biāo)要求】1.能畫出三角函數(shù)的圖象2了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值3借助

r_K磯

圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2用上的性質(zhì)及正切函數(shù)在1—2,引上的性質(zhì).

■落實主干知識

【知識梳理】

1.用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

(1)在正弦函數(shù)y=sinx,xd［0,2兀］的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0),(兀，0),

（2兀，0）.

(2)在余弦函數(shù)y=cosx,xd［0,2兀］的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,1),

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中左GZ)

函數(shù)y=sinxJ=COSXy=tanx

yy

一匹1TT1TT7T

圖象20、7r?~2

4X

,卜j

定義域RR

值域[—1,1]LLUR

周期性2兀2兀71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

每一個閉區(qū)間每一個閉區(qū)間

每一個閉區(qū)間［2歷i—

單調(diào)遞增區(qū)間

2kli—2E+"兀,22兀］

L22j

每一個閉區(qū)間

每一個閉區(qū)間［2左兀，

單調(diào)遞減區(qū)間

2kn+-,2E+斗

2歷i+兀］

L22」

，兀+1,0

對稱中心他兀，0)[r°]

對稱軸

x=kn+^X=ATI

方程2

【常用結(jié)論】

1.對稱性與周期性

⑴正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是3個周期，相鄰的對稱

中心與對稱軸之間的距離是1個周期.

4

（2）正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是;個周期.

2.與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論

（1）若^=然皿5：+0）為偶函數(shù)，則p=（后GZ）;若為奇函數(shù)，貝際=防1（左GZ）.

（2）若^=/（：0$（0￥+0）為偶函數(shù)，貝跖=E（左GZ）；若為奇函數(shù)，貝!13=祈+；（左GZ）.

（3）若y=/tan（0x+p）為奇函數(shù)，則夕=左兀（左^2）.

【自主診斷】

I.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

（1）函數(shù)y=sinx,xG[0,2n],y=cosx,xG[0,2兀]的五個關(guān)鍵點是零點和極值點.（X）

⑵函數(shù)y=sinx圖象的對稱軸方程為x=2E+：/GZ）.（X）

（3）若人2x+r）=/（2x）,則7是函數(shù)人2勸的周期.（X）

（4）函數(shù)y=tanx在整個定義域上是增函數(shù).（X）

2.（多選）已知函數(shù)兀0=$畝[J（xGR）,下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)加）的最小正周期為2兀

B.函數(shù)於）在區(qū)間12」上單調(diào)遞增

C.函數(shù)4）的圖象關(guān)于直線x=0對稱

D.函數(shù)兀c）是奇函數(shù)

答案ABC

解析由題意得"X）=—COSX,

對于A,T=j=2兀，故A正確；

對于B,因為y=cosx在「0-2」上單調(diào)遞減，所以函數(shù)"）在「o-2」上單調(diào)遞增，故B正確；

對于C,次一%）=—cos（—x）=—cosx=/（x）,所以函數(shù)加）是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于直線X

=0對稱，故C正確，D錯誤.

3.函數(shù)於luZtanf2"1）圖象的對稱中心的坐標(biāo)是（）

A.[?0]

，祈十匹,ol

B.L6J,kGZ

伶+匹，ol

D.146J,kGZ

答案D

解析令2%-匹="kGZ,

32

解得％="+3kRZ,

46

所以函數(shù)次xTanbT圖象的對稱中心的坐標(biāo)是。+：，0]讓z.

4.函數(shù)y=3—2cos1+J的最大值為,此時x=.

答案5亍+2版（左￡Z）

解析函數(shù)y=3—2cosI.J的最大值為3+2=5,此時x+：=兀+2左兀（左￡Z）,即、=彳+

2歷i(k￡Z).

■探究核心題型

題型一三角函數(shù)的定義域和值域

cosX—?的定義域為（

例1⑴函數(shù)y=)

_7171

A.,6,6_

kit--,左兀+匹

B.66>ez)

2左兀――,2左兀+匹

66」(左￡Z)

D.R

答案C

得COSX'?,

解析由COS'一

2E一匹WxW2E+四（左eZ）.

66

如果函數(shù)作尸修+。在區(qū)間」上的最小值為韻，則的值為(

(2)sinl*31+13,6a）

C2+3D1

22

答案A

_TI571.7兀

因為當(dāng)X』3‘6」時，x+1]'6」

解析

1

所以

當(dāng)x=■時,sinF3J有最小值已

6

可得/(x'nsinb+jJ+,+a的最小值為一；+?+°=3,解得a=3；，

思維升華三角函數(shù)值域的不同求法

(1)把所給的三角函數(shù)式變換成歹=/sin(s;+9)的形式求值域.

(2)把sinx或cosx看作一^個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

(3)利用sinx士cosx和sinxcosx的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

跟蹤訓(xùn)練1⑴函數(shù)尸tanhT的定義域是()

A.k產(chǎn)3

I,3K

%子一

B.4

?三+左兀，E￡Z

c.UI4

<至+左兀，kGZ

D.UI4

答案D

解析函數(shù)y=tan

令x—匹W匹+左兀，kGZ,

42

解得囪+E,kRZ,

4

xW手+左兀，k^Zj

?,?函數(shù)》的定義域是

(2)函數(shù)/(x)=cos2x+6cos的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析因為/(x)=cos2x+6cosl2J

cos2x+6sinx=l—2sin2x+6sinx

smT+ll,

11

=-2l

2

又sinx￡[—1,1],

所以當(dāng)sinx=l時，於）取得最大值5.

題型二三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性

例2（1）（多選）（2023?合肥模擬）已知函數(shù)次x）=sinx（sinx-x）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)外）的最小正周期為兀

ol

B.點?I8,J是y=/（x）圖象的對稱中心

徑f|

C.點?18,2j是y=/（x）圖象的對稱中心

D.直線x=月是尸危）圖象的對稱軸

8

答案AD

角星析/(%)=sinx(sinx—cosx)

=sin2x—sinxcosx

1—cos2x1.3

-------sin2x

22

4卜,

22

T——=it,故A正確;

2

當(dāng)x=一四時，2x+匹=0,

84

此時sinF+J=0,

則函數(shù)關(guān)于點1―8'J對稱，故B錯誤;

當(dāng)y時,2x+X，此時上

則函數(shù)關(guān)于直線尸;對稱，故C錯誤;

當(dāng)T時,法+：弩,此時smE'f

則函數(shù)關(guān)于直線Xu,對稱，故D正確.

7171

（2）已知函數(shù)/（x）=gcosF+4+9J是奇函數(shù)，且夕金22」，則9的值為一

n

答案

4

解析由已知，得：+夕=版+］（左￡Z）,

所以9=左兀+：（左￡Z）,

_7l7T

又因為夕金［2'2」，

所以當(dāng)左=0時，夕=匹符合題意.

4

思維升華（1）奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為>=4sin①X或y=4tanGX的

形式，而偶函數(shù)一般可化為y=Acoscox的形式.

O-JT

（2）周期的計算方法：利用函數(shù)y=Zsin@x+9）,〉=48$（5：+夕）3>0）的周期為一,函數(shù)〉=

co

出@11（0￥+夕）3>0）的周期為匹求解.

co

（3）對稱軸、對稱中心的求法：對于可化為fix）=/sin（①x+夕）（或於）=/cos@x+夕））形式的函

數(shù)，如果求於）的對稱軸，只需令①%+9=彳+左兀（左￡Z）（或令0式+夕=劃1（左￡Z））,求x即可；

,6L、〃工,工人,［或令（《%+0=匹+左兀（左￡Z）］,,

如果求於）的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令3+夕=七1（左￡Z）l2J,求x

即可.對于可化為/（x）=/tan（Q）x+9）形式的函數(shù)，如果求加）的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令

（Ox+^=y（^EZ）,求X即可.

跟蹤訓(xùn)練2（1）（多選）下列函數(shù)中，最小正周期為兀的是（）

A.j^=cos|2x|B.j^=|cosx\

（2x+4「2x—磯

C.y=cos16）D.j=tanl4J

答案ABC

解析A中，j=cos|2x|=cos2x,最小正周期為兀;

B中，由圖象知y=|cosx|的最小正周期為兀；

c中，》=cosJ的最小正周期7=—=兀；

D中，尸tanP"j的最小正周期r=1.

⑵(2023?日照模擬)已知函數(shù)｛x)=2sin(s+9)&儂的最小正周期為兀，其圖象關(guān)于直

答案3

解析函數(shù)八x)=2sin(①網(wǎng)句的最小正周期為兀，其圖象關(guān)于直線X,對稱,

2K_

一=兀，

co

則

匹①+夕=四+左兀，Z,

62

?一c—三

??CO—2,(p-,

96

71

；2x--\"k一)I

故/(x)=2sinl、6j,

則/Q=2sinl

[2X-+-1r

il46J=y]3.

題型三三角函數(shù)的單調(diào)性

命題點1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3(1)(2022,北京)已矢口函數(shù)/(x)=cos2x—sin2x,貝|()

_K_叫

_‘[2,6)上單調(diào)遞減

解析依題意可知於尸cos?%—sin2'=cos2x.

對于A選項，因為』—2'—I,所以"J一"2fl-5)

3J,函數(shù)｛x)=cos2x在12'61上

單調(diào)遞增，所以A選項不正確；

「一匹JLI］一匹磯「—匹匹］

對于B選項，因為xG〔4,1J所以2xdl2’6J,函數(shù)｛x)=cos2x在I4’12」上不單

調(diào)，所以B選項不正確；

對于C選項，因為』”1),所以2』"11),函數(shù)")=cos2x在［"f上單調(diào)遞減，所

以C選項正確；

他7.|K77fl|K77fl

對于D選項，因為％12_J,所以2%￡仃6)，函數(shù)｛x)=cos2x在U121上不單調(diào)，所

以D選項不正確.

?f―21的單調(diào)遞減區(qū)間為

(2)函數(shù)於)=sin

J_Jl_

KTt,

答案_12,k5

解析加尸smJ2x)的單調(diào)遞減區(qū)間是g(x)=sm2苫-"的單調(diào)遞增區(qū)間.

由2左兀一一匹＜2左兀+匹，kGZ,

232

得析—kGZ.

1212

jJCjI57r

ATT----KTTI------

故所給函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1｝212」，4GZ.

延伸探究若例3(2)中的函數(shù)不變，求其在［0,利上的單調(diào)遞減區(qū)間.

7TCjI5兀

K71---,K7ln---

解令―1212j,kb,5=[0,71],

5￡|「11兀

71

：.AC\B=

.\Ax)在［0,句上的單調(diào)遞減區(qū)間為

命題點2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)

例4已知小尸sin(2x一盛％司在P力上單調(diào)遞增，且｛x)在I"mI上有最小值，那么卬

的取值范圍是()

ETl\Dr

A.L?2)B.L6，J

C.D2jD.1'3」

答案B

0方2K_

解析由、金['3_可得2x—9』9'30

又由0＜9＜上且外）在「3」上單調(diào)遞增，

可得"一夕?匹，所以三〈匹

3262

當(dāng)上。2,2L』F'IT,

由?。┰冢邸吧嫌凶钚≈?，可得了一夕＞段,

所以小與綜上，

464

思維升華（1）已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間

求形如＞=4sin（s:+9）或〉=/cos（①%+夕）（其中①＞。）的單調(diào)區(qū)間時，要視“①x~\~（p”為一個整

體，通過解不等式求解.但如果o＜0,可先借助誘導(dǎo)公式將?；癁檎龜?shù)，防止把單調(diào)性弄錯.

（2）已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解.

（5-2x1「0月

跟蹤訓(xùn)練3（1）設(shè)函數(shù)人x）=cosUJ，則於）在1'2」上的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

7171

0,0,

A.8—B.4—

三匹三四

CL42D.b2

套口案D

2L；J,

解析由已知於）=cosl

得2左兀W2%—四W2歷i+兀，kGZ,

4

則歷i+四左￡Z,

88

「0,-

又2」，

...?0在］"；上的單調(diào)遞減區(qū)間為;，

⑵若加）=cosx—sinx在［一0,旬上單調(diào)遞減，則。的最大值是（）

A兀n兀=3兀門

A-B-C.——D.7i

424

答案A

解析y（x）=cosx—sinx=A^cosl4,

由題意得a＞0,

因為/（x）=^cos［+J在［—Q,a］上單調(diào)遞減,

一。十四20,

4

所以％+匹〈兀，解得

4-

（2>0,

所以Q的最大值是四

4

課時精練

ID知識過關(guān)

一、單項選擇題

1.若函數(shù)尸岳八回一）…兩對稱中心間的最小距離為］則。等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析因為函數(shù)ynWcosg^x—）（。>0）兩對稱中心間的最小距離為;

所以（=則7=兀，

22

所以T=F=兀，解得G=l.

2co

2.（2023?焦作模擬）已知函數(shù)外尸cost2"—j,則於）在［―2,0］上（）

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減

C.先增后減D.先減后增

答案D

解析?.?不￡［—2,0］,

—4—四一匹

.*.2%—￡66

6

函數(shù)人x）=cos已"J在［—2,0］上先減后增.

3.已知函數(shù)外）=2cos［+j,設(shè)a=/D，6=/0，c=/Lj，則Q，b,。的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

答案A

解析a=/[z)=2cos—,

42

b=/Q=2cos

3

=2c°s

因為y=cosx在［0,用上單調(diào)遞減,

又。喏f*，

所以a>b>c.

四

4.（2023?全國乙卷）已知函數(shù)人x）=sin（ox+9）在區(qū)間16'3」單調(diào)遞增，直線啜和》=個為

函數(shù)y=/（x）的圖象的兩條相鄰對稱軸，則/［―等于（

)

A.-*B.--C.-D且

2222

答案D

解析因為直線x=￡和x=g為函數(shù)y=?0的圖象的兩條相鄰對稱軸,

所以1="—匹=&,不妨取0>0,則T=TI,co=-=2,

2362T

由題意知，當(dāng)x="時，/（x）取得最小值，則2義四+9=2E一如，人￡Z,

662

Sir

則9=2ATI-----kGZ,不妨取左=0,

6

則加)=sin(2x6j,

H9=sin上到=也

則/

2

5.（2023?撫州模擬）已知函數(shù)/（X）=sin|M-cos2x,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.火x）為偶函數(shù)

B.火x）的最小正周期為兀

C.加）的最小值為一［

8

D.小）的最大值為2

答案B

解析因為/（一%）=sin|—x|—cos（—2x）=sin|x|—cos2x=/（x）,所以外）是偶函數(shù)，則A正確；

若兀r）的最小正周期為兀，則人x+兀）=/（x）恒成立，即sin|x+兀cos2（r+7i）=sin慟一cos2》,

即sin|x+兀尸sin|x|恒成立，而當(dāng)時，sin；Wsin所以“?r）的最小正周期為?！笔清e誤

的，則B錯誤；

由?r）是偶函數(shù)，只需考慮時的最值即可，當(dāng)時，/（x）=sinx—cos2x=2sin2%+sinx

r,rir,nr_9

—1=21sm'4J2-因為sinx￡[—1,1],所以zlm”4J2—8,即/（x）的值域為

88

一―92

_8,」，則C和D正確.

6.（2023?安康模擬）記函數(shù)Hx）=sinMx+J+6（oeN+）的最小正周期為7,若;＜7＜兀，且了=

火x）的最小值為1.則夕=段）圖象的一個對稱中心為（）

Ji,°]B,&2]

C.居2]D[?°]

答案C

解析由函數(shù)的最小正周期T滿足四＜7＜兀,

2

啜M解得2…

又因為c?￡N+,所以Q=3,

所以加）=s+/?,

又函數(shù)＞=%）的最小值為1,所以6=2,

所以加）=s+2,

令3%+匹=左兀，kGZ,解得—%,kGZ,

4312

所以對稱中心為1312,J/￡Z）,只有C符合題意（左=2）.

二、多項選擇題

7.（2024,株洲模擬）下列關(guān)于函數(shù)於）=（：05%+公足工（4。0）的說法正確的是（）

A.存在Q,使火X）是偶函數(shù)

B.存在4,使啟）是奇函數(shù)

C.存在a,使於+兀)=〃)

D.若｛x)的圖象關(guān)于直線x=j對稱，則a=l

答案AD

解析函數(shù)/(x)=cosx+asinx

=A/l+tz2sin(x+3),

其中而三’儂。=而著,

夕￡(0,兀)，

當(dāng)4=0時，/(x)=cos%為偶函數(shù)，故A正確；

對于B,無論。取何值，函數(shù)?r)=ymsin(x+<9)都不可能為奇函數(shù)，故B錯誤；

對于C,fix+7i)=Ajl+a2sin(x+7r+0)=~\)\+a2sm(x+0),故C錯誤；

對于D,當(dāng)x=；時，函數(shù)人無)取得最大值或最小值，故解得。=1,故D

正確.

口>0,0v|9dL

8.(2023?西安模擬)已知函數(shù)八X)=sin(①x+夕)1、叼2j在區(qū)間I?可上單調(diào)，且/圖=

一兀

A.co=3nB.(p=----

6

TT

C.0)=2D.69=-

6

答案CD

解析因為函數(shù)人xLsinM+jQ""陽＜2]在區(qū)間I?上單調(diào),

所以1=1紐—匹=支，所以0＜。＜2,

22co362

因為/?=-/■第=1,

所以sin〔/+[=—sf%+q=l,

所以匹＜7＞+9=四+2左m,

62

，7T3TT

-F2左2兀，k\,Z,

故:①=兀+2(后2—左1)兀，

所以①=2+4(左2—ki),kz,kgZ,

因為0＜GW2,ki—kiGZ,所以①=2,

則夕=匹+2左m,左i《Z,

6

又0<陽岑所以9=￡

26

三、填空題

9.函數(shù)q=）sinx—cosX的定義域為

2E+：,2阮+；

答案（右Z）

解析方法一要使函數(shù)有意義，必須使sin%—cosx20.在同一直角坐標(biāo)系中畫出［0,2兀］上》

=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.

在［0,2兀］內(nèi)，滿足sinx=cosx的x為:，:，再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2兀，所以原函數(shù)

,、”心,2左兀+匹,2左兀+囪

的定義域為144」（左￡Z）.

方法二要使函數(shù)y=<sinx—cosx有意義，即使sinx—cosx》0,即也sin［J'O,即2歷

兀_,-I—一、、,一、，2左兀+支，2ATI+顯

—［W2E+兀（左￡Z）,即原函數(shù)的定義域為144」（左￡Z）.

10.寫出一個同時滿足下列兩個條件的函數(shù)次x）=.

①VxGR,/+j=Hx）；

②VxGR,段）勺日恒成立.

答案一COS4x（答案不唯一）

解析由VxCR,/1+J=/（x）可知，函數(shù)的周期為］

由VxGR,/）勺口恒成立可知，函數(shù)在x=:處取到最大值,

則/（%）=—cos4x滿足題意，

一方面根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式，丁=空=匹,滿足VxdR,

42

另一方面，/0=-COS兀=l=/（x）max,滿足Vx^R,?。￤/Q恒成立.

11.若函數(shù)啟）=7sin［+ic］在區(qū)間2,1上單調(diào)，則實數(shù)。的最大值為

答案y

71

一,a

解析因為x^\2_

a

所以

71

又像在y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間2’內(nèi)，

所以.吟

解得T，

所以。的最大值為1.

12.已知sinx+cosy=；,則sinx—sin2)7的最大值為

9

答案

16

解析Vsinx+cosy=-,sinx^[―1,11,

4

sinx；一cosy￡[—1,1],

3,513,i

cosy￡44J,即cos4

3T2-1,

cos^-cosy-1

-—3,1

又cosy^L4

、__,,a_一

利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)cosy=—時，sinx—sin2);取最大值，(sin%—si/j/Jmax

4

四、解答題

「2ox—磯1

13.設(shè)函數(shù)加)=2sin161+加的圖象關(guān)于直線X=TI對稱，其中。＜。弓.

(1)求函數(shù)外)的最小正周期;

0迎

（2）若函數(shù)>=益）的圖象過點（兀，0）,求函數(shù)於）在L'2」上的值域.

（2①兀一目

解⑴由直線工=兀是y=/（x）圖象的一條對稱軸，可得sinl6j=±l,

所以2①兀一：=左兀+彳（左￡Z）,解得①=g+；（左￡Z）.

又0<①2,所以①=1,

23

所以函數(shù)人x）的最小正周期為371.

（V磯

（2）由（1）知危）=2sin136j+m,

因為次兀）=0，

p7l7l|

所以2sin136〕+加=0,

解得m=-2,

傳—4

所以7（x）=2sinl36J—2,

當(dāng)OWxW囪時，一匹w2x一匹W紅，

26366

1化―q

可得—Wsin1361W1.

2

所以一3W/3）W0,

0皿

故函數(shù)外）在1'2」上的值域為[-3,0].

14.（2023?新鄉(xiāng)模擬）已知函數(shù)4c）=asin[2x―j—2cos2（^+j（a>0）,且滿足.

從①/（x）的最大值為1;②Ax）的圖象與直線歹=一3的兩個相鄰交點的距離等于兀；③/（X）的圖

象過點0'°）這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

（1）求函數(shù)段）的解析式及最小正周期；

（2）若關(guān)于x的方程於）=1在區(qū)間[0,河上有兩個不同解，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.