二項分布與超幾何分布 專項訓練-2025屆高三數學一輪復習

2025高考數學一輪復習-10.6-二項分布與超幾何分布-專項訓練模擬練習

【A級基礎鞏固】.

一、單選題

1.設隨機變量X,y滿足：Y=3X-1,X?3(2,p),若P(XN1)=5,則。⑴

=()

A.4B.5

C.6D.7

3

2.某士兵進行射擊訓練，每次命中目標的概率均為本且每次命中與否相互

獨立，則他連續(xù)射擊3次，至少命中兩次的概率為()

C,64D,32

3.某實驗室有6只小白鼠，其中有3只測量過某項指標.若從這6只小白鼠

中隨機取出4只，則恰好有2只測量過該指標的概率為()

4.某班在一次以“弘揚偉大的抗疫精神，在抗疫中磨煉成長”為主題的班團

活動中，擬在2名男生和4名女生這六名志愿者中隨機選取3名志愿者分享在參

加抗疫志愿者活動中的感悟，則所選取的3人中女生人數的均值為()

3

A.1B.2

C.2D.|

5.若離散型隨機變量X滿足X?3(5,p),且E(X)=￥，則尸(XW2)=()

A4

-1B.27

D—

Jr—8181

6.甲、乙兩人進行乒乓球比賽，采用七局四勝制，先贏四局者獲勝，沒有平

局、甲每局贏的概率為今已知前兩局甲輸了，則甲最后獲勝的概率為()

1

A-

8

B.

1

CD.-

4

7.端午佳節(jié)，小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子.現在兩人每

次隨機交換一只粽子給對方，則兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為

11

-

34-

B.

1D.1

C6-8-

二、多選題

8.下列關于隨機變量X的說法正確的是()

A.若X服從正態(tài)分布N(l,2),則。(2X+2)=4

B.已知隨機變量X服從二項分布3(2,p),且P(X>1)=|,隨機變量y服從

正態(tài)分布M2,『)，若P(Y<O)=多則p(2<y<4)=g

4

C.若X服從超幾何分布H(4,2,10),則期望風㈤二,

D.若X服從二項分布3(4,3，則方差D(X)=：|

9.設隨機變量X?3(8,3，Y-B(8,言則下列說法正確的是()

A.X,Y服從正態(tài)分布

17

B.P(X>6)=費

C.E(X)<E(Y),D(X)=D(Y)

D.當且僅當左=5時，P(Y=想取最大值

三、填空題

10.設隨機變量4?3(2,p),若則p的值為.

11.袋中裝有10個除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2

個球，至少得到1個白球的概率是［現從該袋中任意摸出3個球，記得到白球的

個數為X,則E(X)=.

12.如圖，一個質點在隨機外力的作用下，從原點0出發(fā)，每隔1s等可能

地向左或向右移動一個單位，共移動6次.則

O0-000000—00—000

-6-5-4-3-2-10123456

(1)質點回到原點的概率為;

(2)質點位于4的位置的概率為.

三、解答題

13.某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100

米、200米、1500米、3000米、4X100米接力.

(1)志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇

60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；

(2)為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其

中有9名首選100米，6名首選4X100米接力.現從這15名同學中再選3名同

學做進一步調查.將其中首選4X100米接力的人數記作X,求隨機變量X的分布

列和數學期望.

14.某商超為慶祝開業(yè)十周年，準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消

費達到400元，則可參加一次抽獎活動，主辦方設計了兩種抽獎方案：方案①：

一個不透明的盤子中裝有12個質地均勻且大小相同的小球，其中3個紅球，9個

白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返

金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案②：一

個不透明的盒子中裝有12個質地均勻且大小相同的小球，其中3個紅球，9個白

球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得100元的返

金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.

(1)現有一位顧客消費了420元，獲得一次抽獎機會，試求這位顧客獲得180

元返金券的概率；

(2)如果某顧客獲得一次抽獎機會.那么他選擇哪種方案更劃算.

【B級能力提升】1.泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯合國認定的“海

上絲綢之路”起點.著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點，泉州文旅局調

查打卡十八景游客，發(fā)現90%的人至少打卡兩個景點.為提升城市形象，泉州文

旅局為大家準備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺

祈福香包、小關公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個景點，則有兩次抽

獎機會；若只打卡一個景點，則有一次抽獎機會.每次抽獎可隨機獲得4種禮物

中的1種禮物，假設打卡十八景游客打卡景點情況相互獨立.

1.泉州是歷史文化名城、東亞文化之都，是聯合國認定的“海上絲綢之路”

起點.著名的“泉州十八景”是游客的爭相打卡點，泉州文旅局調查打卡十八景

游客，發(fā)現90%的人至少打卡兩個景點.為提升城市形象，泉州文旅局為大家準

備了4種禮物，分別是世遺泉州金屬書簽、閩南古厝徽章、開元寺祈福香包、小

關公陶瓷擺件.若打卡十八景游客至少打卡兩個景點，則有兩次抽獎機會；若只

打卡一個景點，則有一次抽獎機會.每次抽獎可隨機獲得4種禮物中的1種禮物，

假設打卡十八景游客打卡景點情況相互獨立.

(1)從全體打卡十八景游客中隨機抽取3人，求3人抽獎總次數不低于4次的

概率；

(2)任選一位打卡十八景游客，求此游客抽中開元寺祈福香包的概率.

2.北京冬奧會之后，多個中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動.為了深入了

解學生在“單板滑雪”活動中的參與情況，在該地隨機選取了10所學校進行研究,

得到如下數據：

(1)“單板滑雪”參與人數超過45人的學?？梢宰鳛椤盎貙W?！保F在從

這10所學校中隨機選出3所，記X為選出可作“基地學校”的學校個數，求X

的分布列和數學期望；

(2)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技

巧進行集訓，且在集訓中進行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中

至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.在集訓測試中，小明

同學3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為/，每個動作互不影響且每輪測

試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數的平均值達到

5次，那么理論上至少要進行多少輪測試?

3.某校舉辦傳統(tǒng)文化知識競賽，從該校參賽學生中隨機抽取100名學生，根

據他們的競賽成績(滿分：100分)，^[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)估計該校學生成績的中位數;

(2)已知樣本中競賽成績在［90,100］的女生有3人,從樣本中競賽成績在［90,100］

的學生中隨機抽取4人進行調查,記抽取的女生人數為X,求X的分布列及期望.

4.哈爾濱冰雪大世界于2022年9月投入使用，總投資高達25億元,號稱“永

不落幕”的冰雪游樂場，從“一季繁榮”到“四季綻放”2023年1月至5月的游

客數以及對游客填寫滿意與否的調查表，統(tǒng)計如下：

月份X12345

游客人數y(萬人)130mn9080

滿意率0.50.40.40.30.35

已知y關于x的線性回歸直線方程為￡=—U.5x+1345

(1)求2月份，3月份的游客數如〃的值；

(2)在1月至5月的游客中隨機抽取2人進行調查，把滿意率視為概率，求評

價為滿意的人數X的分布列與期望E(X).

n__n____

E（XLx）8-y）'ZJxiyi-nxy

Az=lz=l八_A_

（參考公式：b==，a=y~bx）

n_n_

（Xi-X）2—nX2

i=li=l

參考答案

【A級基礎鞏固】.

一、單選題

L(A)［解析］由題意可得：P(XN1)=1—P(X=O)

=1—c9(i—p)2=|,解得p=g.

124

則：D(X)=np(l—p)=2X^X^=g,￡>(y)=32￡)(X)=4.故選A.

2.(A)［解析］所求概率0=弟〉*(1—1)+電3=||?選A.

3.(C)［解析］由題意，恰好有2只測量過該指標的概率C為4c言3=9尚=］3故

選C.

4.(C)［解析］記所選取的3人中女生人數為X,則X的可能值為1,2,3,且

C?Cl1CiC?3C9C?1小1

P(X=1)=a=5,尸(X=2)=eg=亍P(X=3)=eg=§，貝UX均值

31

+2X^+3X^=2.

4

秒殺解法：￡(X)=3X==2.故選C.

102

5.(C)［解析］因為X?5(5,p),且風出=不，所以尸=§,所以尸(XW2)

=P(X=2)+P(X=I)+P(X=O)=C^X|J］2X(J^3+C^X|X|J］4+C9X(|^(,X［^)5=

51_17

243-81-

6.(C)［解析］因為前兩局甲都輸了，所以甲需要連勝四局或第三局到第六

局輸1局且第七局勝，甲才能最后獲勝，所以甲最后獲勝的概率為g}+c(i—3

*出是=|故選C.

7.(D)［解析］由題意，只能第一次兩人交換相同的粽子，第二次小明用肉

粽子換小華的蜜棗粽子，所以P=GX&2xg|24故選D.

二、多選題

8.(BCD)［解析］由于X?N(l,2),所以。(X)=2,根據方差的性質，DQX

+2)=22D(X)=8,故A錯誤；X服從二項分布5(2,p),.-.P(X>1)=P(X=1)+

P(X—2)=Ci/>(1—p)+p2=2p—p2—^,解得p=g,?,.P(F<0)='1,根據正態(tài)分布的

對稱性可得，P(2<y<4)=|,故B正確；X服從超幾何分布”(4,2,10),根據超幾

何分布的期望公式，故C正確；X服從二項分布q4,方，根據

128

二項分布方差公式得，P(X)=^(l-^)=4X-X-=-故D正確.故選BCD.

9.(BC)［解析］隨機變量X?48,3，Y?3(8,1),則X,Y服從二項分

布，故A錯誤；P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=X|+故B正確；

182161(1>162(2、

E(X)=8XQ=Q,E(y)=8X,=w，D(X)=8XTXI1—7=-^r,D(y)=8XTXl1—7

=￥，所以E(X)<E(D，D(X)=D(Y),故C正確；

設P(y=?(2W%W7)為最大值,

fp(y=/：)^p(y=z：+i),

人［p「左)叫-1),,

54

10.［解析］PC》l)=l—P(0=0)=l—(l—p)2=g=>(l—p)2=g,由于i>p>0,

所以P=y

n.［解析］設袋中有機個黑球，則白球有(io—m)個，

由題意可得：裊”［)=］/解得m=5或加=—4(舍去)，

故X的可能取值有0,1,2,3,則有：

P(X"品d,尸(x=D=詈唉

尸3尸瞽/，P(X=3)=梟=

12.［解析］⑴質點向左、向右各移動了3次，故所求概率21=以乂83*自

3--5-

-16,

(2)質點向右移動了5次，向左移動了1次，故所求概率P2=C&X；x|J|5=5

三'解答題

13.［解析］(1)記事件A為“選擇60米袋鼠跳服務”，事件3為“3000米

服務”，

則P(A)=fH，P(AB)=|H，

則/W尸譚=|,

所以小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率

|(或所求概率P=M=］。)

(2)依題意，隨機變量X可以取0,1,2,3,

P(X-O)-C?5-65，

Cj,Cg_216

P(X=1)=-CF-455,

crj27

P(X=2)=e?一亓

4

°(X—3)—c?5—455亓

14.［解析］(1)在一次抽獎機會的情況下，要想獲得180元返金券，只能選

31

擇方案①，且摸到兩次紅球，一次白球，而每一次摸到紅球的概率為尸=五=不

設“這位顧客獲得180元返金券”為事件A,則P(A)=dx1x^2=^.

9

故這位顧客獲得180元返金券的概率為言.

04

(2)若選擇抽獎方案①，則每一次摸到紅球的概率為2，每一次摸到白球的概

3

率為不設獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,120,180,240.

則P(X=60)=C2X^J3=—,

,127

P(X=120)=ClX^X國2=瓦,

,<1Y39

P(X=180)=C3X|JJ2X^=^,

P(X=240)=dx酊==

所以選擇抽獎方案①，該顧客獲得返金券金額的數學期望為

272791

E(X)=60X^+120X^+180X石+240X石=105(元)；

若選擇抽獎方案②，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數為r,最終獲得

返金券的金額為z元，則y?313,J,故E(K)=3X9=*

3

選擇方案②，該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(Z)=E(100r)=100X^=

75(元)，

從而有E(X)>E(Z),所以應選擇方案①更劃算.

【B級能力提升】1.［解析］(1)設3人抽獎總次數為X,則X的可能取值為

3,4,5,6.

1.［解析］(1)設3人抽獎總次數為X,則X的可能取值為3,4,5,6.

由題意知，每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點的概率為云9，只打卡一個

景點的概率為4.

依題可得P(X=4)=C』X9

2

P(X=5)=C?X^X-=1000,

(9\729

p(x=6)=lio/=Tooo,

,27+243+729

所以P(XN4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=————=0.999.

(2)記事件A="每位打卡十八景游客至少打卡兩個景點”，

則：￥="每位打卡十八景游客只打卡一個景點”，

事件5="一位打卡十八景游客抽中開元寺祈福香包”，

9—17

則P(A)=正，P(A)=正，P(3H)=而，

—1

P(B\A)=4,

________o

則P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=^y

71167

i6+iox4=T6d-

2.［解析］(1)X的所有可能取值為0,1,2,3.參加“單板滑雪”人數在45人以

上的學校共4所.

所以P(X=O)=窗

HX—2L印—&P(X—3L曾」

產(X―2)cio—10'P(X—3)c%30'

(2)小明同學在一輪測試中為“優(yōu)秀”的概率為2=c(1)2.|+c(|)3=5，

135

小明在n次測試中獲"優(yōu)秀”次數。滿足/?B(n,p),由叩三5今九，下

心19.286,

所以理論上至少要進行20次測試.

3.［解析］(l)H^(0.008+0.024)X10=0.32<0.5,0.32+0.036X10=0.68>0.5,

所以中位數在［70,80)內.

設中位數為m,則0.32+(^—70)X0.036=05

解得m=75.

(2)由題意可知成績在［90,100］的學生有12人，

X的所有可能取值為0,1,2,3.

c8c9_12614

P(X=0)=