導數的概念與切線方程（原卷版）-2025年天津高考數學一輪復習

第11講導數的概念與切線方程

（6類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第20題,16利用導數證明不等式利用導數研究不等式恒成立問題由導數求求在曲

分線上一點處的切線方程（斜率）函數的最值（含參）

2023年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數證明不等式利用導數研究

分不等式恒成立問題

2022年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）利用導數研究不等式恒成立問題利

分用導數研究函數的零

2021年天津卷，第20題,16求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

分利用導數研究能成立問題函數極值點的辨析

2020年天津卷，第20題,16

利用導數證明不等式

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為16分

【備考策略】L理解、掌握導數的定義，能夠運用導數求解基本初等函數的導數

2.能掌握導數的幾何意義與切線的性質

3.具備數形結合的思想意識，會求在一點與過一點的切線方程

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出函數求導數的切線方程。

12.考點梳理*

知識講解

知識點一.導數的定義

1.函數y=/(x)在x=xo處的導數：

稱函數y=/(%)在％=%0處的瞬時變化率A?叱“久°+￡-/(⑹=A照言為函數y=/(%)在X=%0處的

導數，記作/(&)或：T|久=為即/(%。)=lim絲=lim"x2-f(x。)

△x-8△%Ax—>00△%

2.函數y=/(%)的導數:

f(%+△%)-/(x)

G)==lim

fy△%T8△x'

3.利用定義求導數的步驟:

①求函數的增量:Ay=/(x0+△%)-/(%o)；

②求平均變化率："=回竺匕3

△%△%

③取極限得導數：fGo)=lim?

Ax^ooAx

知識點二.導數的幾何意義

函數y=/U)在點尤=xo處的導數的幾何意義是曲線y=/(x)在點P(xo,兀⑹)處的切線的斜率.也就是說，曲線

y=/(x)在點尸(沏，的))處的切線的斜率是"總.即k=Jim"工藝-"-=?匕)相應地，切線方程為匚

AK—TH

/ko)=〃xo)(x-Xo).

曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多.

與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線.

知識點三.導數的運算

1.導數公式表(其中三角函數的自變量單位是弧度)

函數導函數函數導函數

y=c(c是常數)y,=Qy=sinxy'=cosx

y=xa(a為實數)y'=axL2y=cosxy'=—sinx

片十

yr=axlnaJxlna

x

y=a(a>0,a?l)y=logax(a>0,a#l)

特別地(ex)，=ex特別地(Inx)，=:

2.導數的運算法則

(1)[f(x)±g(x)](x)士g，(x)；

(2)[f(x)-g(x)]'=?(x)g(x)+f(x)gr(x)；

(3)‘，戈"Y"(了)(g⑴關o).

Lg〈町」Lg⑴」

3.復合函數的導數

復合函數y=f(g(x))的導數和函數y=f(u),u=g(x)的導數間的關系為yx'=yJux-

即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

規(guī)律：從內到外層層求導，乘法鏈接

考點一、導數的定義

典例引領

1.(2025高三?全國?專題練習)設函數/(久)可導，尸⑴01則忠/(':7⑴=.

2.(2024?湖北黃石?三模)已知函數/(x)=log2*,則lim，⑴,⑵=

即時檢測

1.(2025?四川內江?模擬預測)已知函數f(x)=+則由⑴的值為()

J2Ax^O△%

A.eB.-2C.--D.0

2

2.(23-24高三上?上海青浦?期中)已知a￡R,曲線y=/(久)經過點(1,2)且在該點處的切線方程為a久+y-5=

0,則lim/(1+ft)~2^

九TOh

3.(2024.全國?模擬預測)已知符號“l(fā)im”代表極限的意思，現給出兩個重要極限公式：①lim酗=1；②

%T0X

1.1

lim(l+x)x=e,則依據兩個公式，類比求lim”維匹=_____；lim(l+sin2%)sinxcosx=_______.

、TOXx-?0

4.(20-21高三上?北京?期中)為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現有關部門對該藥物在人體血管中的藥物

濃度進行測量.設該藥物在人體血管中藥物濃度c與時間t的關系為c=f(t),甲、乙兩人服用該藥物后，血

管中藥物濃度隨時間t變化的關系如下圖所示.

①在tl時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同；

②在t2時刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時變化率相同；

③在山/3］這個時間段內，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同;

④在兩個時間段內，甲血管中藥物濃度的平均變化率不相同.

其中所有正確結論的序號是—.

考點二、導數的運算與求值

典例引領

1.(2022?全國?高考真題)當x=l時，函數f(x)=aln久+(取得最大值一2,則f(2)=()

A.一1B.-jC.1D.1

2.(2020?全國?高考真題)設函數〃久)=高.若尸(1)=3，則2=.

即幽性測I

1.(2025高三?全國?專題練習)已知函數/。)=2/(3)x—/2+inx(r(x)是/(切的導函數)，則f(l)=_

2.(2024.西藏林芝.模擬預測)已知函數/(無)=用，若尸(1)=2,則a=—.

3.(2025高三?全國?專題練習)在等比數列｛即｝中，％,013=2,若函數/(x)=|x(x-ct1)(x-a2)???(x-a2025)?

則/'(0)=()

2025

A.—22024B.22024C.~2D.22025

4.(2025高三?全國?專題練習)已知三次函數/(%)=%3+2%-1,若％1+&=0，則/(%i)+

/(%2)=?

考點三、在一點處的切線方程

典例司也

1.(2023?全國?高考真題)曲線y=W在點(1,|)處的切線方程為()

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-%+—

y4）2z44z24

2.（2020.全國.高考真題）函數/O）=%4—2/的圖像在點（1,/（D）處的切線方程為（）

A.y=—2%—1B.y=—2%+1

C.y=2%—3D.y=2%+1

1.（22-23高三上?天津紅橋?期中）已知/（久）=/+/—x+2,則曲線y=/（久）在點處的切線方程

為（）

A.y=x+2B.y=—4x+1C.y=—x+4D.y=4%—1

2.（21-22高三上?天津?期中）曲線y=W在點（1,，處的切線方程為（）

1

A.y=x—1B.y=xC.y=0D.y=-

3.（23-24高三下?天津?階段練習）已知f（%）=/一］口%在汽=1處的切線與圓C:（%-a/+y2=4相切，則

a=.

4.（23-24高三上?天津濱海新?期中）函數y=Inx-|的導數為二曲線y=Inx-|在x=1處的切線

方程為-

考點四、過一點的切線方程

典例引領

1.（2024高三.全國?專題練習）已知函數f（x）=x2.

⑴求f（x）在區(qū)間［2023,2024］上的平均變化率；

（2）求曲線y=f（x）在點（2/（2））處的切線方程；

（3）求曲線y=f（x）過點（2,0）的切線方程.

2.（2021?全國.高考真題）若過點（a,b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

即時檢測

1.（2025?四川內江?模擬預測）若過點0n,n）（zn>0）可以作兩條直線與曲線y=［lnx相切，則下列選項正確

的是（）

A.2n<InmB.2n>Inm

C.2m>Inn>0D.2m<Inn<0

2.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線y=M—31n%的一條切線方程為y=—%+zn,則實數m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024高三?全國?專題練習）過點（3,0）作曲線f（%）=的兩條切線，切點分別為（//6））,但廳（%2）），

則久1+型=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

考點五、切線的傾斜角與斜率

典例引領

1.（全國?高考真題）曲線丫=短—2x+4在點（1,3）處的切線的傾斜角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.（重慶?高考真題）曲線丫=2-之久2與丫=；/一2在交點處切線的夾角是.（用弧度數作答）

即時性測I

1.（23-24高三上?云南?階段練習）已知函數f（x）=/一/（1）/+3的導數為尸（乃，則/（久）的圖象在點

（1,/（1））處的切線的斜率為-

2.（23-24高三上.天津?階段練習）曲線y=|-lnx在x=1處的切線的傾斜角為a,貝服0$卜戊一（）=.

3.（2024高三下?全國?專題練習）已知三次函數/（%）有三個零點的，式2,右，且在點（%,/（%））處切線的斜率

為此（2=1,2,3）,則;+；+；=___________1

K，2k3

4.（2024?河南信陽?模擬預測）動點P在函數y=-例x+1）的圖象上，以P為切點的切線的傾斜角取值范

圍是（）

A.MB.[o,；]ug,K）C.（消D.加

5.（23-24高三下?山東青島?開學考試）已知直線y=a與函數/（久）=ex,g（x）=Inx的圖象分別相交于A,B

兩點.設備為曲線y=/（久）在點A處切線的斜率,B為曲線y=g（x）在點B處切線的斜率，則七伍最大值為（）

A.1B.eC.eaD.-

e

考點六、公切線

典例引領

1.（2024?全國?高考真題）若曲線y=e*+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=lnQ+l）+a的切線，則

a=.

2.（2022.全國.高考真題）已知函數/'（%）=/-%,〃（%）="+。，曲線y=f（%）在點處的切線也

是曲線y=g（%）的切線.

(1)若％i=—1,求a；

⑵求a的取值范圍.

即時便測

1.(2024?四川成都?模擬預測)已知函數y=百的圖象與函數y=/(a>0且。力1)的圖象在公共點處有

相同的切線，則公共點坐標為.

2.(2024?遼寧大連?一模)斜率為1的直線Z與曲線y=ln(x+a)和圓/+/=[都相切，則實數a的值為()

A.0或2B.-2或0C.-1或0D.0或1

___AaX-2___

3.(2024?黑龍江大慶?模擬預測)已知函數/(%)=-2x(%>0),函數g(x)=-%2+3ax-a2-3a(aG

R).若過點。(0,0)的直線1與曲線y=/(%)相切于點P,與曲線y=g(%)相切于點Q,當P、Q兩點不重合時，

線段PQ的長為-

4.(2024.全國.模擬預測)已知函數/(%)=e*T,g(、)=^ex2,若直線1是曲線y=/(、)與曲線y=g(%)的公

切線，則/的方程為()

A.ex—y=0B.ex—y—e=0

C.x—y=0D.%—y—1=0

IN.好題沖關.

基礎過關

1.(22-23高三上?天津?期中)若f⑺=--2久-41nx,則尸(%)>0的解集為()

A.(0,+8)B.(—8,—1)U(2,+8)C.(2,+oo)D.(—8,—1)

2.(21-22高三上?天津南開?階段練習)已知函數/(x)=挎：一品+1°，”若f(x)2保一刈恒成立,

(ezx+x—1,x<2

則實數小的取值范圍為()

A.[|,5-21n2]B.(-00,4-21n2]

C.[[,4—21回D.[1,5-21n2]

3.(22-23高三上?天津?期中)函數/。)=log了的導數為.

2

4.(22-23高三上?河南鄭州?階段練習)已知函數f(x)的導函數，滿足"%)=2久尸(1)+爐，則f(l)等

于.

5.(20-21高三上?天津?期中)設曲線y=a久-ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為3x-y=0,則

a=.

6.(22-23高三上?天津河北?期末)函數f(%)=%(lnx—=ax+b(a,bGR),若a=1時，直線y=g(%)

是曲線/（X）的一條切線，則b的值為

7.（20-21高三上?天津南開?期中）已知函數f（x）=金+&,則/"（X）在x=2處的導數尸（2）=

能力提升

1.（22-23高三上?重慶沙坪壩?階段練習）若曲線y=/+ain%在點（1,1）處的切線方程為、=-4,則@=

（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2021.天津寧河?一模）設曲線y=a%—ln（%2+i）在點（0,1）處的切線方程為y=2%+1,則

a=.

3.（22-23高;上?天津武清?階段練習）已知函數人幻的圖象在點（2,/（2））處的切線方程是x-2y+l=0,若h（x）=",

〃（2）的值為.

4.（23-24高三下?天津?開學考試）函數/⑺=1嗝％+2「蠢的圖象在x=1處切線的斜率為.

5.（21-22高三上?天津南開?期中）曲線y