導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解答題）-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 （原卷版）

4<04導(dǎo)敷融盛用(解答盤J

五年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情(2020-2024)命題趨勢(shì)

2024全國(guó)甲卷I卷

考點(diǎn)1利用導(dǎo)2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

數(shù)求函數(shù)單調(diào)

2021甲卷［卷含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題

性，求參數(shù)

2020I卷II［卷是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必

考點(diǎn)，通過函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒

成立問題或者存在使成立問題以

2023甲卷

及其他問題，可直接求導(dǎo)或者是利

考點(diǎn)2恒成立2022甲卷I卷II卷

用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化。

問題2021乙卷II卷

2020IIHII卷

2023II卷甲卷

考點(diǎn)3與三角2022天津卷與三角函數(shù)相關(guān)問題隨著新高考

函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)2021I卷新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類題目一壓軸題

問題2020II卷甲卷出現(xiàn)的頻率會(huì)變大。

2024北京天津?qū)?shù)綜合類問題一直是高考數(shù)學(xué)

2023乙卷北京I卷天津的壓軸題一般牽扯到不等式的證

考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)

2022甲卷III卷明問題，極值點(diǎn)偏移問題，拐點(diǎn)偏

綜合類問題

2021乙卷I卷移問題，隱零點(diǎn)問題，函數(shù)放縮問

2020IIIII卷題。未來也是高考重難點(diǎn)

考點(diǎn)05新定隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。

2024上海卷

義問題導(dǎo)數(shù)新定義問題將成為高頻考點(diǎn)

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)

一、解答題

1.(2024?全國(guó)?高考I卷)已知函數(shù)/(x)=ln上+ax+伙x-l)3

2-x

(1)若6=0,且f(x)W0,求〃的最小值；

(2)證明：曲線y=/(x)是中心對(duì)稱圖形；

⑶若/(x)>-2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,求6的取值范圍.

2.(2024.全國(guó).高考H卷)已知函數(shù)/(x)=e'-ax-/.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線>=/(尤)在點(diǎn)(1J(D)處的切線方程;

(2)若f(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

3.(2024?全國(guó)?高考甲卷理)已知函數(shù)〃x)=(l-ox)ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=—2時(shí)，求的極值；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>0,求。的取值范圍.

4.(2023?年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)=a(e，+a)-x.

⑴討論“力的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)。>0時(shí),/(x)>21na+-.

5.(2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)/(x)=］：+ajln(l+x).

⑴當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)(lj(x))處的切線方程.

(2)若函數(shù)〃尤)在(0,+8)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

6.(2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)/(無)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求“X)的最大值;

(2)若Ax)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

7.(2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)=V-x,g(x)=/+。，曲線y=/(%)在點(diǎn)(%,"%))

處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若玉=-1,求生

(2)求。的取值范圍.

8.(2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)試題)設(shè)函數(shù)/(均=4/+at-31nx+1,其中a>0.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若y=的圖象與無軸沒有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

9.(2020年全國(guó)高考I卷(文)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(尤)=/-。(》+2).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

10.(2020年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)，(x)=aei-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若不等式/(尤)21恒成立，求a的取值范圍.

11.(2023?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/(x)=[g+a]ln(l+x).

(1)當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線y=在點(diǎn)。"⑴)處的切線方程；

(2)是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(0,+動(dòng)存在極值，求。的取值范圍.

12.(2022?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)〃x)=ln(l+尤)+◎△

⑴當(dāng)°=1時(shí)，求曲線y=『(x)在點(diǎn)(o,F(o))處的切線方程；

⑵若/■")在區(qū)間(-1,0),(0,內(nèi))各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

13.(2021?全國(guó)甲卷)已知a>0且awl,函數(shù)/(x)=—(》>0).

a'

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求”力的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=i有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

14.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知a>0,函數(shù)/(x)=ax-xe,.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程：

(II)證明存在唯一的極值點(diǎn)

(III)若存在。，使得了(無)工。+》對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

15.(2020年全國(guó)高考I卷)已知函數(shù)/(%)=/+以2一元.

(1)當(dāng)時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)史0時(shí),f(x)>-|-%5+1,求〃的取值范圍.

考點(diǎn)02恒成立問題

一、解答題

1.(2024.全國(guó),局考甲卷文)已知函數(shù)/(x)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí),證明：當(dāng)x>l時(shí),"x)<e*T恒成立.

2.(2023全國(guó)新高考I卷)已知函數(shù)/

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，/(x)>21na+-.

3.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e，ln(l+無).

⑴求曲線>=，(尤)在點(diǎn)(0"(。))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=7'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明:對(duì)任意的s,欠(0,+8),有/(s+r)>/(s)+/Q).

4.(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(a—x),已知x=0是函數(shù)y=^(x)的極值點(diǎn).

(1)求a；

X+f(x^)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=":.證明:g(無)<1.

5.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(力=12.

(1)若a=0,求曲線y=在點(diǎn)(1,〃功處的切線方程；

(2)若f(x)在x=-1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

6.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知。>0,函數(shù)/(x)=ax-xe".

(D求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程：

(ID證明存在唯一的極值點(diǎn)

(III)若存在。，使得/(x)Va+6對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

7.(2020年全國(guó)新高考I卷)設(shè)函數(shù)/(x)=x3+bx+c,曲線>=/(尤)在點(diǎn)弓，八會(huì))處的切線與y軸垂直.

(1)求。.

(2)若/(幻有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(%)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

8.(2023年全國(guó)新高考H卷(文))

(1)證明：當(dāng)0v%vl時(shí)，x-x2<sinx<x;

(2)已知函數(shù)〃x)=cosax-ln(l-,若x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求〃的取值范圍.

9.（2020年全國(guó)高考H卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（x）=ae'T-lnx+lna.

（1）當(dāng)”=e時(shí)，求曲線y=〃x）在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

（2）若不等式/（x）N1恒成立，求a的取值范圍.

考點(diǎn)03三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問題

一、解答題

1.（2023年全國(guó)高考n卷）（1）證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<sinx<x;

（2）已知函數(shù)〃x）=cos（2x-ln（l-x2）,若x=0是“X）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.（2023?全國(guó)甲卷）已知函數(shù)/（x）=ax-當(dāng)上,

cosxv2）

⑴當(dāng)a=8時(shí)，討論/（x）的單調(diào)性；

⑵若/（元）<sin2無恒成立，求。的取值范圍.

3.(2022.天津?統(tǒng)考高考真題)已知a,Z?eR,函數(shù)/(x)=e*-asinx,g(x)=ba

(1)求函數(shù)y=〃x)在(0,/(0))處的切線方程；

(2)若y=〃x)和y=g(x)有公共點(diǎn)，

(i)當(dāng)a=0時(shí)，求6的取值范圍；

(ii)求證：a2+b2>e.

4.(2020年全國(guó)高考H卷)已知函數(shù)/(x)=sin2xsin2x.

(1)討論“r)在區(qū)間(0,九)的單調(diào)性；

(2)證明：|/(x)區(qū)半；

3"

(3)設(shè)幾￡N*,證明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

5.(2021年全國(guó)高考I卷數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(X)=2sinx—xcosx-x,f(x)為于Qx)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：f(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若x￡[0,兀]時(shí)，/(x)>ax,求〃的取值范圍.

考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)類綜合問題

1(2024?北京?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=x+曲i(l+x)(左羊0),直線/是曲線y=『(x)在點(diǎn)⑺)。>0)處的

切線.

⑴當(dāng)左=—1時(shí),求外力的單調(diào)區(qū)間.

⑵求證：/不經(jīng)過點(diǎn)(0,0).

(3)當(dāng)％=1時(shí)，設(shè)點(diǎn)A?,〃r))(r>0),C(O,/(Z)),0(0,0),5為/與，軸的交點(diǎn)，S“c°與山B。分別表示

△ACO與AABO的面積.是否存在點(diǎn)A使得2s△.。=152鉆。成立？若存在，這樣的點(diǎn)A有幾個(gè)？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

2.(2024.天津?高考真題)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程；

⑵若〃尤)2。(尤-石)在xe(O,+w)時(shí)恒成立，求。的值;

⑶若%,當(dāng)S(0,1),證明,(xj-/(工2)|<|Xj-X2|2.

3.(2023?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/(x)=(：+a]ln(l+x).

⑴當(dāng)a=T時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(L/⑴)處的切線方程；

⑵是否存在a,b,使得曲線y=關(guān)于直線X=b對(duì)稱，若存在，求a,b的值，若不存在，說明理由.

(3)若在(。,+e)存在極值，求。的取值范圍.

4.(2022?全國(guó)甲卷)已知函數(shù)y(x)=9--\nx+x-a.

⑴若"x)Z0,求a的取值范圍；

(2)證明：若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)占,馬，貝也無2<L

5.(2022年全國(guó)新高考I卷)已知函數(shù)f(x)=e，-融和g(x)=6-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線丫=匕，其與兩條曲線、=/(幻和>=8。)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

6.(2022年全國(guó)高考n卷)已知函數(shù)/(x)=xe"-e，.

⑴當(dāng)。=1時(shí),討論了(X)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，求a的取值范圍；

111,,,、

⑶設(shè)“cN*，證明：言+>77+…

7.(2021?全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a—x),已知％=0是函數(shù)y=4(元)的極值點(diǎn).

(1)求〃；

X+f(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=，證明:g(x)<l.

xj(制

8.(2022年全國(guó)新高考I卷)已知函數(shù)/(x)=x(l-Inx).

(1)討論"%)的單調(diào)性;

(2)設(shè)。，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且Z?lna-alnb=a-〃，證明：2<—+y<e.

ab

9.(2022年全國(guó)新高考H卷)已知函數(shù)/(x)=(x-l)ex-ax1+b.

(1)討論〃幻的單調(diào)性;

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：人九)只有一個(gè)零點(diǎn)

?—<a<—b>2a；

229

?0<a<—,b<2a.

2

10.(2020年全國(guó)高考III卷)設(shè)函數(shù)/。)=/+法+/曲線y=/(x)在點(diǎn)弓，加^))處的切線與y軸垂直.

(1)求6.

(2)若/(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(X)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

11.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=x-x3cax+b，曲線y=/(%)在點(diǎn)d,/(D)處的切線方程為y=-X+1.

⑴求a,b的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x),求g(無)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求了⑺的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

ln(x+l).

⑴求曲線y=在％=2處切線的斜率;

⑵當(dāng)x>0時(shí),證明：/(%)>1；

(3)證明：f<

H+—In(")+〃<1.

O

13.(2021?全國(guó)乙卷)已知函數(shù)/(x)=尤3+依+1.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)求曲線y=/(x)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=〃x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).

14.(2021年全國(guó)高考H卷(文))已知函數(shù)〃x)=(x-l)/-加+6.

(1)討論Ax)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：Ax)只有一個(gè)零點(diǎn)

?—<a<-,b>2a；?0<a<—,b<2a.

22

15.(2020?全國(guó)高考H