等比數(shù)列及其前n項和（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學一輪復習

第26講等比數(shù)列及其前n項和

（9類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

考題示例考點分析

2024年天津卷，第19題,15由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關性質等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等

分比數(shù)列前n項和裂項相消法求前n項和

2023年天津卷，第19題,15等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差

分數(shù)列前n項和寫出等比數(shù)列的通項公式

2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項公式的基本量計算利用等比數(shù)列的通項公式求數(shù)列中的項

2022年天津卷，第18題,15等差數(shù)列通項公式的基本量計算等比數(shù)列通項公式的基本量計算錯位

分相減法求和分組（并項）法求和

2021年天津卷，第19題,15等差數(shù)列前n項和的基本量計算由定義判定等比數(shù)列錯位相減法求和

分數(shù)列不等式恒成立問題

2020年天津卷，第19題,15等差數(shù)列通項公式的基本量計算求等差數(shù)列前n項和等比數(shù)列通項公

分式的基本量計算分組（并項）法求和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分

【備考策略】L理解、掌握等比數(shù)列的概念

2.能掌握等比數(shù)的通項公式與前n項和公式

3.具備類比的思想，會借助函數(shù)的圖像與特征求解數(shù)列的最值與單調性問題

4.會解等比數(shù)的通項公式與前n項和問題

【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列的遞推關系式，求解數(shù)列的通項公式與前

n項和公式。

CL考點梳理?

考點一、等比數(shù)列基本量的計算

1.定義

r知識點一.等比數(shù)列有關的概念

2.等比中項｛考點二、等比數(shù)列的判斷與證明

知識點二.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公考點三、等比數(shù)列項的性質

式考點四、等比數(shù)列前n項和的性質

等比數(shù)列及其前n項和J考點五、奇偶項求和問題

知識點三.等比數(shù)列的常用性質考點六、等比數(shù)列實際應用

考點七、等比數(shù)列綜合應用

知識點四.等比數(shù)列前n項和的常用性質考點八、集合中元素的特性

知識點五.等比數(shù)列的常用結論考點九、等比數(shù)列的單調性與最值

知識講解

知識點一.等比數(shù)列有關的概念

1.定義：如果一個數(shù)列從第1項起，每一項與它的前一項的比都等于同二仝常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)

列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母式行。)表示.

2.等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與6的等比中項，

此時，G^=ab.

知識點二.等比數(shù)列的通項公式及前"項和公式

1.若等比數(shù)列｛斯｝的首項為的，公比為q,則其通項公式為

nm

2.等比數(shù)列通項公式的推廣：an^amq-.

，nalt(Q=1)

3.等比數(shù)列的前"項和公式：%=al-anQz,-1\

(不一二下小豐1)

4.①等比數(shù)列的前〃項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前“項和時，首先要判斷公比q是否為1,再由q的

情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比q是否為1時，要分q=1與q豐1兩種情況討論求解.

②已知a1,q(q41),打(項數(shù))，則利用Sn=陪蟲求解；已知的,即,q(q41),則利用Sn=四產求解.

1—Q1—Q

③Sn=華蘆=言口”+言=kq"一k(k片Q,qH1),Sn為關于砂的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互為相反

數(shù).

知識點三.等比數(shù)列的常用性質

1.等比中項的推廣.

若m+7i=p+q時，則九=,勾，特別地，當租+ri=2pm+〃=2〃時，aman=a^.

2.4女，dk+rn，四+2刈，…仍是等比數(shù)列，公比為貯(％,ZW^N*).

3.若數(shù)列｛斯｝，｛為｝是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列｛6斯｝,1斯?辦｝｛片｝也是等比數(shù)列(6,p,療0).

4.若仁i或｛o?i則等比數(shù)列｛如｝遞增.

若｛o裳;或心;:則等比數(shù)列僅"｝遞減.

知識點四.等比數(shù)列前〃項和的常用性質

若等比數(shù)列｛四｝的公比分一1,前“項和為S”則S”S2nSn，甌二題L仍成等比數(shù)列，其公比為

知識點五.等比數(shù)列的常用結論

1.等比數(shù)列｛斯｝的通項公式可以寫成斯=修"，這里存0,#0.

2.等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和S”可以寫成&=陽"一4(A/),"1,0).

3.設數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，S,是其前〃項和.

n=m

(1)5祖+〃=5八+qSmSm-\-qSn.

(2)若,…,斯=G，則乙，等，善■，…成等比數(shù)列.

1Nn

(3)若數(shù)列｛斯｝的項數(shù)為2"，則獸=q；若項數(shù)為2〃+1,則鏟=%

b奇、偶

考點一、等比數(shù)列基本量的計算

典例引領

1.(2020?全國?高考真題)記Sn為等比數(shù)列｛an｝的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則記二()

A.2n-lB.2-21-nC.2-2n-lD.21-n-l

2.(2019?全國?高考真題)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%J的前4項和為15,且劭=3a3+4ai，則的=

A.16B.8C.4D.2

即時啊

1.(2024.全國.高考真題)己知等比數(shù)列｛即｝的前幾項和為無,且2Sn=3廝+1-3.

(1)求｛a九｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛SJ的前n項和.

2.(2024?浙江?模擬預測)公比為q的等比數(shù)列｛a九｝滿足/i>0,a4=2a3+3a2，貝叼=()

A.-1B.1C.3D.9

3.(24-25高三上?寧夏銀川?開學考試)若｛&J為等比數(shù)列，a5+a8=-3,a4a9=-18,則q3=.

考點二、等比數(shù)列的判斷與證明

典例引領

L(2022?全國?高考真題)記治為數(shù)列｛即｝的前n項和.已知§+n=2廝+1.

(1)證明：｛an｝是等差數(shù)列；

(2)若明,。7，。9成等比數(shù)列，求％的最小值.

2.(2022.全國.高考真題)已知｛冊｝為等差數(shù)列，也九｝是公比為2的等比數(shù)列，且g-b2=a3-b3=b4-a4.

(1)證明:=瓦；

(2)求集合｛々IM=am+alfl<m<500｝中元素個數(shù).

??即時檢測

1.(21-22高三上?云南昆明?階段練習)設數(shù)列｛心｝的前n項和為治,若52=4,an+1=2Sn+1(neN*).

⑴證明：數(shù)列5+分是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

2.(21-22高三上?陜西渭南?期中)已知數(shù)列｛&J的前n項和為工,%=1,an>0,=a^+1-ASn+1,其

中2為常數(shù).

⑴證明：Sn+1=2Sn+2；

(2)若數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，求2的值.

3.(2021?全國?模擬預測)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足an+2=2an+l+3an.

⑴證明:數(shù)列｛an+an+1｝為等比數(shù)列;

(2)若al=5a2=|,求｛an｝的通項公式.

4.(20-21高三下?江蘇南京?開學考試)某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步

上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為右每步上兩個臺階的概率為|,為了簡

便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記

甲登上第n個臺階的概率為分，其中neN*,且nW998.

(1)若甲走3步時所得分數(shù)為X,求X的概率分布；

(2)證明：數(shù)列｛Pn+i-匕｝是等比數(shù)列；

(3)求甲在登山過程中，恰好登上第99級臺階的概率.

考點三、等比數(shù)列項的性質

典例引領

1.(2025?安徽?模擬預測)在等比數(shù)列｛的J中，若a2a3al3=8,則a4a8=()?

A.2B.2A/2C.4D.8

2.（2024?貴州貴陽?二模）記等比數(shù)列｛。九｝的前幾項和為右,為a2a3=27,的=81,則S5=（）

A.121B.63C.40D.31

1.（2024?廣西南寧?三模）已知｛an｝是等比數(shù)列，a3=2,a7=18,則=（）

A.10B.-10C.6D.-6

2.（2024?山東淄博?二模）已知等比數(shù)列｛aja2=4,QIO=16,則與=（）

A.8B.±8C.10D.±10

a

3.（2024?陜西西安?三模）已知5n是等比數(shù)列的前n項和，at+a4+a7=2,a2+a5+8=4,則S9=

（）

A.12B.14C.16D.18

4.（2024?山東濟南?模擬預測）已知等比數(shù)列｛&J中所有項均為正數(shù)，若?即=退（科71€*），則'+:的

最小值為（）

357

A.-B.-C.-D

246-1

考點四、等比數(shù)列前n項和的性質

典例引領

+

1.（2020?全國?高考真題）數(shù)列中，的=2,對任意mfnEN,am+n=aman,若以+i+以+2+…+

以+io—215—25,貝!Jk=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2017?全國?高考真題）記Sn為等比數(shù)列｛際｝的前n項和，已知S2=2,S3=-6.

（1）求的通項公式;

（2）求Sn,并判斷Sn+LSn,Sn+2是否成等差數(shù)列.

1.（2024.江蘇?三模）設等比數(shù)列｛&J的前幾項和為Sn,a5+a6=16,S6=21,則S2=（）

A.1B.4C.8D.25

2.（2024?西藏林芝?模擬預測）等比數(shù)列｛an｝的前n項和%=乎一1+3貝亞=（）

A.-LB.-1C.|D.|

3.（2024.山西晉中.模擬預測）設等比數(shù)列｛時｝的前幾項和為分,若%=>3九-1—1,則”（）

A.-3B.3C.1D.-1

4.（2024?湖北襄陽?模擬預測）已知等比數(shù)列｛即｝的前幾項和為%,若Sg+S24=140,且S24=13s8,貝伊第=

（）

A.40B.-30C.30D.-30或40

考點五、奇偶項求和問題

典例引領

1.（20-21高三上?陜西寶雞?階段練習）已知等比數(shù)列中，的=1,a[+的+—H。21+1=85,的++

—I-a2k=42,則々=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2020.安徽.模擬預測）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列｛&J的首項為1,奇數(shù)項之和為21,偶數(shù)項之和為10,

則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（）

A.5B.7C.9D.11

即時檢測

5■1---9=

1.（21-22高三上?山東聊城?期末）已知等比數(shù)列｛&J的公比q=且%+%+。H的90,則的+a2+

的"I-----H%.00=-

n

2.（2020?全國?一模）已知數(shù)列｛冊｝中，的=1,anan+1=2,則的前200項和S?。。=L

-CL-n+Tl,九天/奇數(shù),

3.（23-24高三上?福建廈門?階段練習）設先是數(shù)列｛%J的前幾項和，已知的=1,。九+1=卜n

an-2n,71為偶數(shù).

（1）求。4，并證明：｛。2九-2｝是等比數(shù)列；

（2）求滿足S2九＞0的所有正整數(shù)九

n，

4.（2024?山東青島.模擬預測）已知數(shù)列｛廝｝的前項和為先,且滿足的=l,an+1=[廝+為號數(shù)則

I2M,71為偶數(shù)

Sioo=----------

考點六、等比數(shù)列實際應用

典例引領

1.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

2.（2024.陜西西安.模擬預測）某人從銀行貸款100萬，貸款月利率為0.5%,20年還清，約定采用等額本息按

月還款（即每個月還相同數(shù)額的款，240個月還清貸款的利息與本金），則每月大約需還款（）（參考數(shù)據：

1.OO5240?3.310

A.7265元B.7165元C.7365元D.7285元

即時性測

1.（2024?天津紅橋?二模）某同學于2019年元旦在銀行存款1萬元，定期儲蓄年利率為1.75%,以后按約定

自動轉存，那么該同學在2025年元旦可以得到本利和為（）

A.10000X1.01756B.10000x1.01757

C10000（l-1.75%6）D10000（1-1.75%7）

,1-1.75%,1-1.75%

2.（2024?河南洛陽?模擬預測）折紙是一種用紙張折成各種不同形狀的藝術活動，起源于中國，其歷史可追

溯到公元583年，民間傳統(tǒng)折紙是一項利用不同顏色、不同硬度、不同質地的紙張進行創(chuàng)作的手工藝.其

以紙張為主材，剪刀、刻刀、畫筆為輔助工具，經多次折疊造型后再以剪、亥h畫手法為輔助手段，創(chuàng)作

出或簡練、或復雜的動物、花卉、人物、鳥獸等內容的立體幾何造型作品.隨著一代代折紙藝人的傳承和

發(fā)展，現(xiàn)代折紙技術已發(fā)展至一個前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其復雜而又栩栩如

生的折紙作品是由一張完全未經裁剪的正方形紙張所創(chuàng)作出來的，是我們中華民族的傳統(tǒng)文化，歷史悠久，

內涵博大精深，世代傳承.在一次數(shù)學實踐課上某同學將一張腰長為1的等腰直角三角形紙對折，每次對折

后仍成等腰直角三角形，則對折6次后得到的等腰直角三角形斜邊長為（）

A.—B.-C.—D.-

8844

3.（2024高三下?全國?專題練習）在等腰直角三角形ABC中，B=鼻,AB=a,以AB為斜邊作等腰直角三

角形4B1B,再以4名為斜邊作等腰直角三角形482%,依次類推，記△ABC的面積為S1，依次所得三角形的

面積分別為52,S3……若S1+S2+…+S8=等，則a=（）

A.2B.2V2C.3D.4

4.（23-24高三下.山東濟南.開學考試）已知甲植物生長了一天，長度為a（a>0）,乙植物生長了一天，長度

為16a.從第二天起，甲每天的生長速度是前一天的弓倍，乙每天的生長速度是前一天的|,則甲的長度第一次

超過乙的長度的時期是（）（參考數(shù)據：取lg2=0.3,lg3=0.48）

A.第6天B.第7天C.第8天D.第9天

考點七、等比數(shù)列綜合應用

典例引領

1.（2024?山西太原?二模）已知｛an｝，也｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，其前n項和分別是S“和加且的=&=1,

+⑦=4,&=3,則S3=（）

A.9B.9或18C.13D.13或37

2.(2024.湖北.模擬預測)已知數(shù)列為等差數(shù)列，｛,｝為等比數(shù)列，a4=b4=3,貝!!()

A.brb7>ara7B.+b7>at+a7

C.brb7<ara7D.br+b7<+a7

1.(2024?陜西寶雞?三模)已知數(shù)列｛廝｝是公差不為0的等差數(shù)列，G4=5,且%,。3，a7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項公式；

(2)設“=Gtncos詈，求數(shù)列｛%?｝的前2024項和.

2.(2024.全國.模擬預測)已知數(shù)列｛&J滿足口即｝是等差數(shù)列，｛丹是等比數(shù)列.

(1)證明：的=口2；

(2)記的前幾項和為Sn,若對于任意n6N*,Sne[1,6],求的的取值范圍.

3.(2024?四川達州.二模)等差數(shù)列的前幾項和為%,的=8,當n=4和5時,取得最大值.

⑴求工；

(2)若｛%｝為等比數(shù)列，b1=^,b2=-a6,求｛6n｝通項公式.

4.(2024.四川內江?三模)己知等差數(shù)列｛%J的公差為4,且。2+2,。3,。5-2成等比數(shù)列，數(shù)列也｝的前n

項和為Sn,瓦=2且％=2Sn_i+2(n>2).

(1)求數(shù)列｛an｝、｛,｝的通項公式；

(2)設S=anbn(neN*),求數(shù)列｛cn｝的前n項和兀

考點八、集合中元素的特性

典例引領

1.(2023?全國?模擬預測)已知正項等比數(shù)列｛a九｝中，ara2a3=8,a5a7=64,數(shù)列也｝滿足既=log迎火

則使得不等式熹+高+熹+…+武二2霆成立的n的最小值為()

A.2023B.2024C.2025D.2026

aa

2.(2024?陜西商洛?模擬預測)已知正項等比數(shù)列｛an｝中，的=4,a3=1,則滿足的的+a2a3T--卜nn+i2

§成立的最大正整數(shù)兀的值為.

即時性測

1.(24-25高三上?云南?階段練習)已知在數(shù)列｛a九｝中，的=2,且對任意的m,nGN+,都有為n+九=aman,

*23n

設/（%）=arx+a2x+a3x4------卜anx,記函數(shù)f（%）在%=1處的導數(shù)為尸（1）,貝!J使得（⑴>2025成立

的n的最小值為—.

2.（2024.河北.一模）已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列｛b九｝的公比相等，且瓦一的=1,b2-a2=l,

%一。4=1，貝昉九=；若數(shù)列｛。九｝和｛g｝的所有項合在一起，從小到大依次排列構成一個數(shù)列&｝,

數(shù)列｛5｝的前n項和為目,則使得旦>12成立的ri的最小值為.

cn+l

3.（2024高三?江蘇?專題練習）己知正項數(shù)列滿足的=1；且對任意的正整數(shù)也都有%=!（2成+an-1）

成立，其中立是數(shù)列｛%J的前n項和，t為常數(shù).

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

（2）若4=會證明：數(shù)列｛cn｝的前n項和7；<|.

4.（2024.全國?模擬預測）已知數(shù)列的首項的=1,且滿足外計1+an=3n+l.

（1）證明｛an—|幾+；｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在正整數(shù)使得對任意的正整數(shù)J1,即1+an=Gtjn+n總成立？若存在，求出zn的值；若不存在，

請說明理由.

考點九、等比數(shù)列的單調性與最值

.典例引領

1.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）已知｛%J,｛加｝為公比相同的遞減等比數(shù)列，且=4,%=3,則as>b5

的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

4334

2.（23-24高三下?湖北.開學考試）已知數(shù)列｛斯｝是等比數(shù)列，則“存在正整數(shù)鼠對于VteN*,4>利+左恒

成立”是：“｛即｝為遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

1.（2024高三.全國.專題練習）在等比數(shù)列中，公比為q,已知的=1,則0<。2九<嗎是數(shù)列｛即｝單調

遞減的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2.（23-24高三下?山東?開學考試）已知數(shù)列｛即｝是以內為首項,q為公比的等比數(shù)列，則“%（1-q）>0”是“｛即｝

是單調遞減數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（23-24高三下?北京?開學考試）在無窮項等比數(shù)列｛即｝中，Sn為其前n項的和，貝上｛an｝既有最大值，又

有最小值”是“｛S"既有最大值，又有最小值”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

4.（2024?四川綿陽?模擬預測）己知等比數(shù)列的前71項和為%,若Sn=-15XG）n+t,則由。2…廝取最

大值時，71的值為.

IN.好題沖關

基礎過關

1.（23-24高三上?天津?期末）已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和是Sn,且%=2,a3=6a2-18,則=（）

A.30B.80C.240D.242

2.（23-24高三上.天津和平.階段練習）在等比數(shù)列中，3%,引3,2。2成等差數(shù)列，則小2=（）

2Qy-FClg

1I

A.3B.-C.9D.-

39

3.（23-24高三上?天津和平?階段練習）已知等比數(shù)列｛an｝的前3項和為168,a?-a5=42,則CI4=（）

A.14B.12C.6D.3

4.（23-24高三上?天津南開?階段練習）設數(shù)列｛廝｝的公比為q,貝廣的>0且0<q<1”是氣即｝是遞減數(shù)歹U”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（23-24高三上?天津和平?期中）｛an｝為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列｛&J的前n項和，an+1=2Sn+2,則

6.（23-24高三上?河南?階段練習）已知等比數(shù)列｛a,J的前n項和為%.若S2為S3和S4的等差中項,a2+。3=2,

則Ss=—.

能力提升

1.（2023?天津和平?三模）已知數(shù)列｛%J滿足的=1,an+1=2an+l（nGW*）,S兀是數(shù)列的前幾項和，

則59=（）

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

2.（23-24高三下?天津?階段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為%,=1,lgan+lgan+1=

館22心1,n6N*,則S9=（）

A.511B.61C.41D.9

3.（23-24高三下.天津.階段練習）對于數(shù)列｛ajn€N*,"a—i=2a『是"數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2024?天津河西?模擬預測）甲、乙、丙三個人去做相互傳球訓練，訓練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，

每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.如果第一次由甲

將球傳出，設n次傳球后球在甲手中的概率為七，則03=；4=—.

5.（23-24高三下.天津.階段練習）已知｛即｝為等差數(shù)列，前n項和為&SeN*）,｛%｝是首