概率初步（解析版）-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題05概率初步

施機(jī)事件

優(yōu)U的意義

選

整求?率的公式

升

利用麗估值息率

?列表法與酬次BB束嗔率

硼?的公事性

隨機(jī)事件

1.（2024春?金沙縣校級(jí)期末）下列成語(yǔ)描述的事件為隨機(jī)事件的是（）

A.守株待兔B.竹籃打水C.日出東方D.水漲船高

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：4守株待兔是隨機(jī)事件，故符合題意；

8、竹籃打水是不可能事件，故不符合題意；

C、日出東方是必然事件，故不符合題意；

D,水漲船高是必然事件，故不符合題意；

故選：A.

2.（2024春?織金縣期末）“北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本共170頁(yè)，某同學(xué)隨手翻開(kāi)，恰好翻到第66頁(yè)”,

這個(gè)事件是（）

A.隨機(jī)事件B.不可能事件

C.必然事件D.以上都不正確

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：“北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)課本共170頁(yè)，某同學(xué)隨手翻開(kāi)，恰好翻到第66頁(yè)”，這個(gè)事件

是隨機(jī)事件.

故選：A.

3.（2024春?金沙縣期末）下列事件是必然事件的是（）

A.打開(kāi)電視機(jī)，中央臺(tái)正在播放“嫦娥六號(hào)完成人類(lèi)首次背月采樣”的新聞

B.從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生擔(dān)任學(xué)校安全督查員，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)

C.小明在內(nèi)江平臺(tái)一定能搶到龍舟節(jié)開(kāi)幕式門(mén)票

D.從《西游記》《紅樓夢(mèng)》《三國(guó)演義》《水滸傳》這四本書(shū)中隨機(jī)抽取一本是《三國(guó)演義》

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：4打開(kāi)電視機(jī)，中央臺(tái)正在播放“嫦娥六號(hào)完成人類(lèi)首次背月采樣”的新聞是隨機(jī)事件,

不符合題意；

8、從兩個(gè)班級(jí)中任選三名學(xué)生擔(dān)任學(xué)校安全督查員，至少有兩名學(xué)生來(lái)自同一個(gè)班級(jí)是必然事件，符

合題意；

C、小明在內(nèi)江平臺(tái)能搶到龍舟節(jié)開(kāi)幕式門(mén)票是隨機(jī)事件，不符合題意；

。、從《西游記》《紅樓夢(mèng)》《三國(guó)演義》《水滸傳》這四本書(shū)中隨機(jī)抽取一本是《三國(guó)演義》是隨機(jī)事件,

不符合題意；

故選：B.

4.（2024春?貴州期末）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°

B.打開(kāi)電視機(jī)正在播放廣告

C.在一個(gè)沒(méi)有紅球的盒子里，摸到紅球

D.拋一枚硬幣正面向上

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷.

【解答】解：A、任意畫(huà)一個(gè)三角形，其內(nèi)角和為180°,是必然事件，符合題意；

B,打開(kāi)電視機(jī)正在播放廣告，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C、在一個(gè)沒(méi)有紅球的盒子里，摸到紅球，是不可能事件，不符合題意；

。、拋一枚硬幣正面向上，是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：A.

5.（2023秋?綏陽(yáng)縣期末）下列事件為隨機(jī)事件的是（）

A.太陽(yáng)從西方升起

B.你將長(zhǎng)到5根高

C.圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等

D.拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面朝上

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：4太陽(yáng)從西方升起，是不可能事件，不符合題意；

B、你將長(zhǎng)到5根高，是不可能事件，不符合題意；

C、圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等，是必然事件，不符合題意；

。、拋擲一個(gè)均勻的硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，符合題意；

故選：D.

6.（2024春?貴陽(yáng)期末）下列4個(gè)袋子中，裝有除顏色外都相同的10個(gè)小球，分別從每個(gè)袋子中任意摸出

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

【解答】解：4里面知有10個(gè)白球，從里面摸出紅球是不可能事件，不符合題意;

8、里面只有10個(gè)紅球，從里面摸出紅球是必然事件，符合題意；

C、里面有2個(gè)紅球，8個(gè)白球，從里面摸出紅球是隨機(jī)事件，不符合題意；

。、里面有9個(gè)紅球，1個(gè)白球，從里面摸出紅球是隨機(jī)事件，不符合題意；

故選：B.

概率的意義

1.（2023秋?六盤(pán)水期中）如圖，某天氣預(yù)報(bào)軟件顯示“仙游明天的降水概率為85%”對(duì)這條信息的下列說(shuō)

法中，正確的是（）

仙游縣天氣

12-16℃

日出06：43日落17:18

體感溫度降水概率降水量空氣質(zhì)量

14285%1.0mm優(yōu)

A.仙游明天將有85%的時(shí)間下雨

B.仙游明天將有85%的地區(qū)下雨

C.仙游明天下雨的可能性較大

D.仙游明天下雨的可能性較小

【分析】根據(jù)概率的意義，即可解答.

【解答】解：如圖，某天氣預(yù)報(bào)軟件顯示“仙游明天的降水概率為85%”，對(duì)這條信息的上列說(shuō)法中，正

確的是仙游明天下雨的可能性較大，

故選：C.

2.（2023秋?黔東南州期末）下列事件是必然事件的是（）

A.打開(kāi)電視機(jī)，正在播放動(dòng)畫(huà)片

B.太陽(yáng)每天從東方升起

C.某彩票中獎(jiǎng)率是1%,買(mǎi)100張一定會(huì)中獎(jiǎng)

D.某運(yùn)動(dòng)員跳高的最好成績(jī)是10米

【分析】直接利用隨機(jī)事件以及必然事件的定義分析得出答案.

【解答】解：A、打開(kāi)電視機(jī)，正在播放動(dòng)畫(huà)片，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

2、太陽(yáng)每天從東方升起，是必然事件，故此選項(xiàng)符合題意；

C、某彩票中獎(jiǎng)率是1%,買(mǎi)100張一定會(huì)中獎(jiǎng)，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、某運(yùn)動(dòng)員跳高的最好成績(jī)是10米，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

1.（2023秋?花溪區(qū)期中）從“數(shù)學(xué)”的英文單詞“mathematics”中隨機(jī)抽取一個(gè)字母，抽中字母m的概

率為（）

A.AB.AC.AD.2

64511

【分析】“加a〃管was”中共11個(gè)字母，字母機(jī)有2個(gè)，根據(jù)概率公式可得答案.

【解答】解：?.?單詞“相〃洗6根CS”，共11個(gè)字母，字母根有2個(gè)，

抽中字母機(jī)的概率為2.

11

故選：D.

2.（2023秋?南明區(qū)期中）現(xiàn)有四張完全相同的不透明卡片，其正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,0,1,3,把這四

4

張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上，從中隨機(jī)抽取一張卡片，則抽取的卡片上的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為

（）

A.3B.Ac.3D.A

5442

【分析】一共有4種等可能性，負(fù)數(shù)有1種等可能性，根據(jù)概率公式計(jì)算即可

【解答】解：一共有4種等可能性，負(fù)數(shù)有1種等可能性，根據(jù)概率公式計(jì)算可得：抽取的卡片上的數(shù)

字是負(fù)數(shù)的概率為工.

4

故選：B.

3.（2023秋?關(guān)嶺縣期末）小明有兩根長(zhǎng)度分別為5c機(jī)和8c機(jī)的木棒，他想釘一個(gè)三角形的木框.現(xiàn)在有5

根木棒供他選擇，其長(zhǎng)度分別為3cm>5cm>10cm>13on、14cm.小明隨手拿了一根，恰好能夠組成一

個(gè)三角形的概率為（）

A.2B.Ac.2D.1

525

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，確定出第三邊長(zhǎng)，再由概率求解.

【解答】解：小明隨手拿了一根，有五種情況，由于三角形中任意兩邊之和要大于第三邊，任意兩邊之

差小于第三邊，故只有這根是5cm或10cm,

...小明隨手拿了一根，恰好能夠組成一個(gè)三角形的概率=2.

5

故選：A.

4.（2023秋?鐘山區(qū)期末）有6張完全相同的卡片，每張卡片的正面都寫(xiě)有一種常見(jiàn)的生活現(xiàn)象，將所有卡

片背面朝上，從中任意抽出一張，抽到的“生活現(xiàn)象”只有物理變化的概率是（）

鐵

燈

光

塊

泡

電

發(fā)

成

生

發(fā)

用

霉

冰

銹

光

A.AB.Ac.AD.2

6323

【分析】利用概率公式求解即可.

【解答】解：???共6張卡片，屬于物理變化的有水結(jié)成冰、燈泡發(fā)光兩種，

，從中任意抽出一張，抽到的“生活現(xiàn)象”只有物理變化的概率是2=」，

63

故選：B.

5.（2023秋?紅花崗區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有5張卡，正面圖案標(biāo)有“神舟十四”，“5G基站建設(shè)”，“工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)”,

“大數(shù)據(jù)”，“人工智能”，它們除此之外完全相同，把這5張卡，背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，則

剛好抽到卡片正面圖案恰好是“人工智能”的概率是1.

一5一

【分析】利用概率公式求解即可.

【解答】解：???共5張卡片，其中一張標(biāo)有“人工智能”，

從中隨機(jī)抽取一張，則剛好抽到卡片正面圖案恰好是“人工智能”的概率是工，

5

故答案為：1.

6.（2024春?金沙縣校級(jí)期末）在一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球、18個(gè)黃球和12個(gè)黑球，這些球除顏

色外都相同，將袋子中的球充分搖勻后，隨機(jī)摸出一球.

（1）求摸出的球是紅球的概率；

（2）為了使摸出黃球和黑球的概率相等，再往袋中放入共10個(gè)同樣的黃球或黑球，則這10個(gè)球中黃球

的個(gè)數(shù)是多少？

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）設(shè)這10個(gè)球中黃球的個(gè)數(shù)是x個(gè)，則黑球的個(gè)數(shù)是（10-x）個(gè)，由題意：摸出兩種球的概率相同，

列出方程，解方程即可.

【解答】解：（1）摸出的球是紅球的概率=一一

5+18+127

（2）設(shè)這10個(gè)球中黃球的個(gè)數(shù)是x個(gè)，則黑球的個(gè)數(shù)是（10-x）個(gè).

根據(jù)題意得，一在業(yè)——=12+10-x,

5+18+12+105+18+12+10

解得x—2.

答：這10個(gè)球中黃球的個(gè)數(shù)是2個(gè).

列表法與樹(shù)狀圖求概率

1.（2023秋?貴陽(yáng)期中）“十一”期間，小胡和小劉兩家準(zhǔn)備從黃果樹(shù)大瀑布、織金洞、龍宮中選擇一景點(diǎn)

游玩，他們通過(guò)抽簽方式確定景點(diǎn)，則兩家抽到同一景點(diǎn)的概率是（）

A.1B.Ac.AD.A

3694

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果，找出兩家抽到同一景點(diǎn)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)

算.

【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：（用A、8、C分別表示黃果樹(shù)大瀑布、織金洞、龍宮）

開(kāi)始

所以兩家抽到同一景點(diǎn)的概率=§=1.

93

故選：A.

2.（2023秋?水城區(qū)期中）經(jīng)過(guò)某十字路口的汽車(chē)，它可以繼續(xù)直行，也可以向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種

可能性大小相同，則兩輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的概率是（）

A.AB.AC.AD.A

9632

【分析】列舉出所有情況，看兩輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的情況占總情況的多少即可.

【解答】解：列表得：

右（直，右）（左，右）（右，右）

左（直，左）（左，左）（右，左）

直（直，直）（左，直）（右，直）

直左右

一共有9種情況，兩輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的有一種，

，兩輛汽車(chē)經(jīng)過(guò)這個(gè)十字路口全部繼續(xù)直行的概率是工，故選A.

9

3.（2023秋?六盤(pán)水期中）“宮商角徵羽”是中國(guó)古樂(lè)的五個(gè)基本音階（相當(dāng)于西樂(lè)的1,2,3,5,6）,是

采用“三分損益法”通過(guò)數(shù)學(xué)方法獲得.現(xiàn)有一款“一起聽(tīng)古音”的音樂(lè)玩具，音樂(lè)小球從A處沿軌道

進(jìn)入小洞就可以發(fā)出相應(yīng)的聲音，且小球進(jìn)入每個(gè)小洞中可能性大小相同.現(xiàn)有一個(gè)音樂(lè)小球從A處先

后兩次進(jìn)入小洞，先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是（）

2520105

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的結(jié)果有1種，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意畫(huà)圖如下：

開(kāi)始

\25

1235612356123561235612356

共有25種等可能的情況數(shù)，其中先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的有1種，

則先發(fā)出“商”音，再發(fā)出“羽”音的概率是-L.

25

故選：A.

4.（2023秋?貴陽(yáng)期中）合作小組的4位同學(xué)坐在課桌旁討論問(wèn)題，學(xué)生A的座位如圖所示，學(xué)生2,C,

D隨機(jī)坐到其他三個(gè)座位上，則學(xué)生B坐在2號(hào)座位的概率是

怎||0

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，找出所有可能的情況數(shù)，找出學(xué)生8坐在2號(hào)座位的情況數(shù)，即可求出

所求的概率.

【解答】解：根據(jù)題意得：

所有可能的結(jié)果有6種，其中學(xué)生8坐在2號(hào)座位的情況有2種，

則尸=2=2.

63

故答案為：1

3

5.（2023秋?鐘山區(qū)期中）為落實(shí)教育部辦公廳和中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國(guó)中小學(xué)生推

薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神.我市某校八、九年級(jí)分別從《我和我的父輩》《童年周恩來(lái)》《我心飛揚(yáng)》

《向著明亮那方》四部影片中，隨機(jī)選取一部影片組織本年級(jí)學(xué)生觀看，則這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同

的概率是1.

一4一

【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式

可得出答案.

【解答】解：分別將《我和我的父輩》《童年周恩來(lái)》《我心飛揚(yáng)》《向著明亮那方》記為A,B,C,D,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

共有16種等可能的結(jié)果，其中這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的結(jié)果有4種,

.?.這兩個(gè)年級(jí)選擇的影片相同的概率為_(kāi)!_=」.

164

故答案為：1.

4

6.(2023秋?貴陽(yáng)期中)隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，移動(dòng)支付已成為一種常見(jiàn)的支付方式.在一次購(gòu)物中，

小紅和小星隨機(jī)從“微信”“支付寶”“現(xiàn)金”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付(假設(shè)每種支付方式

等可能且無(wú)關(guān)聯(lián)).

(1)小紅隨機(jī)選擇一種支付方式，選到“支付寶”支付的概率是1；

-3-

(2)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求小紅和小星恰好都選擇“微信”支付的概率(依次記“微信”“支付寶”

“現(xiàn)金”為A、B、C).

【分析】(1)直接利用概率公式可得答案.

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小紅和小星恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果數(shù)，再利用概率

公式可得出答案.

【解答】解：(1)由題意得，小紅隨機(jī)選擇一種支付方式，選到“支付寶”支付的概率是工.

3

故答案為：1.

3

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

ABC

小/K小

ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中小紅和小星恰好都選擇“微信”支付的結(jié)果有：(A,A),共1種，

小紅和小星恰好都選擇“微信”支付的概率為

9

7.(2023秋?紅花崗區(qū)校級(jí)期中)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2,0,2,3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其

余全部相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗均勻.

(1)隨機(jī)抽出一張卡片，則抽到數(shù)字絕對(duì)值為2的卡片概率為1；

一2一

(2)隨機(jī)抽出一張卡片，記下數(shù)字后放回并攪勻，再隨機(jī)抽出一張卡片，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，

求兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和是0的概率.

【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

(2)根據(jù)題意畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出兩次數(shù)字和為。的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即

可得出答案.

【解答】解：(1)隨機(jī)抽出一張卡片，則抽到數(shù)字絕對(duì)值為2的卡片概率為2=1,

42

故答案為：1

2

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如圖:

開(kāi)始

-2023-2023-2023-2023

和3-201-202302451356

共有16個(gè)等可能的結(jié)果，兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和是0的結(jié)果有3個(gè)，

兩次抽出的卡片上的數(shù)字之和是0的概率為2.

16

8.（2023秋?水城區(qū)期中）在“陽(yáng)光體育”活動(dòng)時(shí)間，小英、小麗、小敏、小潔四位同學(xué)進(jìn)行一次羽毛球單

打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場(chǎng)比賽.

（1）若已確定小英打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳煌瑢W(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中小麗同學(xué)的概率；

（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好選中小敏、小潔兩位同學(xué)進(jìn)行比賽的概率.

【分析】（1）由題意可得共有小麗、小敏、小潔三位同學(xué)，恰好選中小英同學(xué)的只有一種情況，則可利

用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好選中小敏、小潔兩位同學(xué)的

情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：（1）若已確定小英打第一場(chǎng)，再?gòu)钠溆嗳煌瑢W(xué)中隨機(jī)選取一位，共有3種情況，

而選中小麗的情況只有一種，所以P（恰好選中小麗）=］；

3

（2）列表如下：

小英小麗小敏小潔

小英（小英，小麗）（小英，小敏）（小英，小潔）

小麗（小麗，小英）（小麗，小敏）（小麗，小潔）

小敏（小敏，小英）（小敏，小麗）（小敏，小潔）

小潔（小潔，小英）（小潔，小麗）（小潔，小敏）

所有可能出現(xiàn)的情況有12種，其中恰好選中小敏、小潔兩位同學(xué)組合的情況有兩種，所以P（小敏，小

潔）=2=工

126

游戲公平性

1.（2023春?南明區(qū)校級(jí)期中）三名同學(xué)分別站在一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的位置上，他們?cè)谕鎿尩首拥挠螒?

要求在他們中間放一個(gè)凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚?/p>

()

A.三條角平分線的交點(diǎn)

B.三邊中線的交點(diǎn)

C.三邊上高所在直線的交點(diǎn)

D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等可得答案.

【解答】解：二?三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

...為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢迷谌切蔚娜叺拇怪逼椒志€的交點(diǎn)，

故選：

2.(2023秋?六盤(pán)水期中)為決定誰(shuí)獲得僅有的一張電影票，甲和乙設(shè)計(jì)了如下的游戲：在三張完全相同的

卡片上分別寫(xiě)上字母A,B,B,背面朝上，每次抽取之前先洗勻，甲說(shuō)：“我隨機(jī)抽取一張，抽到字母2,

電影票歸我.”乙說(shuō)：“我隨機(jī)抽取一張后放回，再隨機(jī)抽取一張，若兩次抽取的字母相同，電影票歸我

試問(wèn)：此游戲?qū)φl(shuí)更有利？并說(shuō)明理由.

【分析】分別利用概率公式和畫(huà)樹(shù)狀圖計(jì)算各自的概率，然后比較即可.

【解答】解：此游戲?qū)σ腋欣?，理由如下?/p>

甲獲得電影票的概率=2;

3

畫(huà)樹(shù)狀圖為：

/T\/1\/1\

ABBABBABB

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽取的字母相同的結(jié)果數(shù)為5,

所以乙獲得電影票的概率=互.

9

.._2>A

'~39"

此游戲?qū)赘欣?

3.(2023秋?花溪區(qū)期中)在一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)紅球，1個(gè)黃球，它們除顏色外，其余都相同.小

明和小英做摸球游戲，約定游戲規(guī)則是：小英先從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回?fù)u勻，小明再?gòu)?/p>

中隨機(jī)摸出一個(gè)球.如果兩人摸到球的顏色相同，小英贏，否則小明贏.

(1)請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表格法表示一次游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；

(2)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)利用樹(shù)狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果；

(2)先找出兩球的顏色相同的結(jié)果數(shù)和兩球的顏色不相同的結(jié)果數(shù)，再計(jì)算出小英贏的概率和小明贏的

概率，然后比較兩概率大小可判斷該游戲規(guī)則是否公平.

【解答】解：(1)畫(huà)樹(shù)狀圖為：

開(kāi)始

共有9種等可能的結(jié)果；

(2)這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

理由如下：

兩球的顏色相同的結(jié)果數(shù)為5,兩球的顏色不相同的結(jié)果數(shù)為4,

所以小英贏的概率=§,小明贏的概率=4,

99

因?yàn)?>2,

99

所以這個(gè)游戲規(guī)則不公平.

優(yōu)選提升題

求幾何概率

1.(2024春?金沙縣期末)如圖，飛鏢游戲板由含大小相等的等腰直角三角形格子構(gòu)成，小東向游戲板隨機(jī)

投擲一枚飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是1.

一2一

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.

【解答】解：???假設(shè)每個(gè)正方形的面積都為1,總面積為4,其中陰影部分面積為工義4=2,

2

???擊中黑色區(qū)域的概率是2=工.

42

故答案為：1.

2

2.（2023春?貴州期末）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛

鏢，（每次飛鏢均落在紙板上），則擊中陰影區(qū)域的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

2345

【分析】設(shè)圖中每個(gè)小正方形的面積為1,則大正方形的面積為9,根據(jù)題意圖中陰影部分的面積為3,

應(yīng)用幾何概率的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：設(shè)圖中每個(gè)小正方形的面積為1,則大正方形的面積為9,

根據(jù)題意圖中陰影部分的面積為3,

則P（擊中陰影區(qū)域）=1=1.

93

故選：B.

3.（2023秋?威寧縣期末）如圖，轉(zhuǎn)盤(pán)中四個(gè)扇形的面積都相等，小明隨意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次，指針指向的數(shù)字

為偶數(shù)的概率為（）

A.AB.立C.之D.A

4642

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其

發(fā)生的概率.

【解答】解：???共4個(gè)數(shù)，數(shù)字為偶數(shù)的有2個(gè)，

指針指向的數(shù)字為偶數(shù)的概率為2=工.

42

故選：D.

統(tǒng)計(jì)與概率的應(yīng)用

1.（2023秋?貴陽(yáng)期中）某校為了解學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查，將調(diào)

查結(jié)果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表(如圖所示).

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)表

平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)力加〃人數(shù)

0-020

20VA<40a

40<x<6025

60〈尤W8015

x>8010

根據(jù)以上提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)表中。=30.

⑵求扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60<xW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù).

(3)若全校共有1400名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生人數(shù).

(4)該校某同學(xué)從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書(shū)中選擇兩本進(jìn)行閱讀，這四本書(shū)

分別用相同的卡片A,B,C,。標(biāo)記，先隨機(jī)抽取一張卡片后不放回，再隨機(jī)抽取一張卡片，請(qǐng)用列表

法或畫(huà)樹(shù)狀圖法，求該同學(xué)恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率.

學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)

情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

【分析】(1)將40<xW60組的人數(shù)除以其百分比即可求出抽取的人數(shù)；將抽取的人數(shù)乘以20VxW40

組的百分比即可求出a的值；

(2)將60Vx<80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以360。即可求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)

長(zhǎng)為“604W80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；

(3)將x>80組的人數(shù)除以抽取的人數(shù)，再乘以1400即可估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“尤>80”的學(xué)生人

數(shù)；

(4)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的

結(jié)果，再利用等可能事件的概率公式求出即可.

【解答】解：（1）?..40<xW60組的人數(shù)為25,占比為25%,且25+25%=100,

本次調(diào)查共抽取了100名學(xué)生；

：20<xW40組占比30%,30%X100=30,

.".47=30,

故答案為：100,30；

（2）:樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60〈尤W80”有15名，

且15+100X360°=54°,

扇形統(tǒng)計(jì)圖中學(xué)生平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“60<xW80”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為54。；

（3）.??樣本中平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“x>80”的學(xué)生人數(shù)為10人，

且10?100X1400=140（名），

估計(jì)平均每天閱讀時(shí)長(zhǎng)為“比>80”的學(xué)生人數(shù)為140名；

（4）《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書(shū)分別用相同的卡片A,B,C,D標(biāo)記，畫(huà)樹(shù)

狀圖如下：

開(kāi)始

ABCD

/1\Zl\/N

BCDACDABDABC

一共有12種等可能的情況，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即。有2種可能的情況，

：.p（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的）=2=1.

126

2.（2023秋?南明區(qū)期中）中秋節(jié)期間，某商場(chǎng)銷(xiāo)售四種不同口味的月餅，分別是火腿、蛋黃、豆沙、五仁

四種口味（分別記作A、B、C、。），商場(chǎng)為了了解顧客對(duì)這幾種月餅的喜愛(ài)情況，隨機(jī)調(diào)查了部分顧客,

要求顧客從這四種不同的月餅中選出一種自己喜歡的月餅.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖：

月餅種類(lèi)頻數(shù)（人）頻率

Ab0.3

B800.4

C40a

D200.1

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

（1）a=0.2,參與本次調(diào)查的顧客共有200人;

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

（3）小明的媽媽買(mǎi)了3個(gè)月餅裝在了一個(gè)不透明的袋中，3個(gè)月餅包含1個(gè)火腿月餅、1個(gè)蛋黃月餅、1

個(gè)豆沙月餅，若小明從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)月餅，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求摸出的這兩個(gè)月餅是

火腿月餅和蛋黃月餅的概率.

【分析】（1）用統(tǒng)計(jì)表中8的頻數(shù)除以頻率可得參與本次調(diào)查的顧客人數(shù)，再用統(tǒng)計(jì)表中C的頻數(shù)除以

參與本次調(diào)查的顧客人數(shù)可求得a的值.

（2）求出b的值，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可.

（3）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及摸出的這兩個(gè)月餅是火腿月餅和蛋黃月餅的結(jié)果數(shù)，再利用概

率公式可得出答案.

【解答】解：（1）參與本次調(diào)查的顧客共有80?0.4=200（人），

a=40+200=0.2.

故答案為：0.2；200.

（2）6=200X0.3=60,

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下.

ABc

A(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,C)

C(C,A)(C,B)

由表可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中摸出的這兩個(gè)月餅是火腿月餅和蛋黃月餅的結(jié)果有：（A,B）,

（B,A）,共2種，

...摸出的這兩個(gè)月餅是火腿月餅和蛋黃月餅的概率為2=工.

63

3.(2023秋?觀山湖區(qū)校級(jí)期中)為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動(dòng)大眾旅游，文化和旅游部決

定開(kāi)展2023年“579中國(guó)旅游日”活動(dòng).青海省某旅行社為了解游客喜愛(ài)的旅游景區(qū)的情況，對(duì)“五

一”假期期間的游客去向進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，并繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖1,圖2中所給

的信息，解答下列問(wèn)題:

A.青海湖景區(qū)

B.塔爾寺景區(qū)

C.茶卡鹽湖景區(qū)

D.坎布拉景區(qū)

(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量是200

(2)將圖1中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個(gè)景區(qū)共接待游客約19萬(wàn)人，請(qǐng)估計(jì)前往青海湖景區(qū)的

游客約有多少萬(wàn)人；

(4)若甲、乙兩名游客從四個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)景區(qū)旅游，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出他們選擇同一景區(qū)的

概率.

【分析】(1)用C組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量；

(2)先計(jì)算出8組的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(3)用19萬(wàn)乘以樣本中A組人數(shù)所占的百分比即可；

(4)畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩人選擇同一景區(qū)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)

算.

【解答】解；(1)此次抽樣調(diào)查的樣本容量為50?25%=200；

故答案為：200；

(2)B組的人數(shù)為200-70-20-50=60(人)，

條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充為：

人數(shù)

圖1

(3)19X^L=6.65(萬(wàn))，

200

所以估計(jì)前往青海湖景區(qū)的游客約有6.65萬(wàn)人;

(4)畫(huà)樹(shù)狀圖為:

開(kāi)始

所以他們選擇同一景區(qū)的概率=-a=』.

164

4.(2023秋?鐘山區(qū)期中)隨著中國(guó)第一部反電信詐騙電影《孤注一擲》的熱播，電信詐騙的常見(jiàn)陷阱和欺

騙案例著實(shí)令人唏噓，“校園防電信詐騙安全”也受到全社會(huì)的廣泛關(guān)注.某中學(xué)對(duì)九年級(jí)學(xué)生就防電信

詐騙安全知識(shí)的了解程度，采用隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行了調(diào)查，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制了如

所示的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題：

(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)若從對(duì)校園防電信詐騙安全知識(shí)達(dá)到“了解”程度的2名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加“校

園防電信詐騙安全”知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率；

(3)請(qǐng)幫助該校寫(xiě)一句防電信詐騙的宣傳標(biāo)語(yǔ).

【分析】(1)用了解程度為C的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，再分別減去8,

C,。的人數(shù)，可得了解程度為A的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可.

(2)畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可

得出答案.

(3)寫(xiě)一句防電信詐騙的宣傳標(biāo)語(yǔ)即可.

【解答】解：(1)調(diào)查的人數(shù)為30?50%=60(人)，

了解程度為A的人數(shù)為60-5-30-10=15(人).

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下.

(2)記2名男生分別為A,B,3名女生為C,D,E,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

開(kāi)始

共有20種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的結(jié)果有：AC,AD,AE,BC,BD,BE,

CA,CB,DA,DB,EA,EB,共12種，

二恰好抽到i名男生和1名女生的概率為」2=旦.

205

(3)答案不唯一，如：時(shí)刻繃緊防范之弦，嚴(yán)防電信網(wǎng)絡(luò)詐騙.

5.(2023秋?水城區(qū)期中)隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們?nèi)ド虉?chǎng)購(gòu)物的支付方式更加多樣、便捷.某校數(shù)

學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問(wèn)卷，要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)

并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)結(jié)合圖中所給的信息解答下列問(wèn)題：

(1)這次活動(dòng)共調(diào)查了200人;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為

81°；

(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.觀察此圖，支付方式的“眾數(shù)”是“微信”；

(3)在一次購(gòu)物中，小明和小亮都想從“微信”、“支付寶”、“銀行卡”三種支付方式中選一種方式進(jìn)行

支付，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格的方法，求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

乃

60

45

30

15一

。

-

I—

銀

行

卡

【分析】(1)用支付寶、現(xiàn)金及其他的人數(shù)和除以這三者的百分比之和可得總?cè)藬?shù)，再用3600乘以“支

付寶”人數(shù)所占比例即可得；

(2)用總?cè)藬?shù)乘以對(duì)應(yīng)百分比可得微信、銀行卡的人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形，再根據(jù)眾數(shù)的定義求解可得;

(3)首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩人恰好選擇同一種支付方式的

情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：(1)本次活動(dòng)調(diào)查的總?cè)藬?shù)為(45+50+15)+(1-15%-30%)=200人，

則表示“支付寶”支付的扇形圓心角的度數(shù)為360。義匹=81°,

200

故答案為：200、81°；

(2)微信人數(shù)為200X30%=60人，銀行卡人數(shù)為200X15%=30人，

補(bǔ)全圖形如下：

由條形圖知，支付方式的“眾數(shù)”是“微信”，

故答案為：微信；

(3)將微信記為4支付寶記為8、銀行卡記為C,

畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

畫(huà)樹(shù)狀圖得:

?.?共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人恰好選擇同一種支付方式的有3種,

兩人恰好選擇同一種支付方式的概率為3=工.

93

1.（2023秋?貴陽(yáng)期中）在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其余均相同，通

過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則估計(jì)口袋中的總球數(shù)大約是（）

A.15B.20C.25D.30

【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)數(shù)即可.

【解答】解：設(shè)總球數(shù)為：x個(gè)，

:摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，

，5=0.2,

x

解得：x=25,

即所有球的個(gè)數(shù)為25個(gè)，

故選：C.

2.（2023秋?鐘山區(qū)期中）一個(gè)不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共10個(gè)，它們除顏色外其他都

相同.小明多次摸球后記錄并放回小球重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在04左右，由此可知

盒子中黃色小球的個(gè)數(shù)可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入

手，設(shè)袋中有黃色小球尤個(gè)，列出方程求解即可.

【解答】解：設(shè)袋中有黃色小球x個(gè)，由題意得四2=o小

10u

解得：x=6.

故選：D.

3.（2023秋?貴陽(yáng)期中）兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出的統(tǒng)

計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）

B.拋一枚硬幣，正面朝下的概率

C.從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球（3個(gè)球除顏色外均相同）的不透明口袋中，任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概

率

D.用一副去掉大、小王的撲克牌做摸牌游戲，隨機(jī)抽取一張牌，花色為“紅桃”的概率

【分析】由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.3附近波動(dòng)，最后穩(wěn)定在0.33附近，再分別計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的

概率，約為0.33者即為正確答案.

【解答】解：4擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)的概率是3」，故此選項(xiàng)不符合題意；

62

8、拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝下的概率為工，故此選項(xiàng)不符合題意；

2

C、從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球（3個(gè)球除顏色外均相同）的不透明口袋中，任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概

率是」，故此選項(xiàng)符合題意.

3

D、用一副去掉大、小王的撲克牌做摸牌游戲，隨機(jī)抽取一張牌，花色為“紅桃”的概率旦=工，故此

524

選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

4.（2023秋?水城區(qū)期中）在一個(gè)不透明的袋子中有若干個(gè)除顏色外形狀大小完全相同的球，如果其中有

20個(gè)紅球，且摸出紅球的概率是工，則估計(jì)袋子中大概有球的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

5

A.25B.50C.75D.100

【分析】根據(jù)題意可知有20個(gè)紅球，且摸出紅球的概率是』，從而可以求得袋子中的球的個(gè)數(shù).

5

【解答】解：由題意可得，

袋子中大概有球的個(gè)數(shù)是：204-1=20X5=100.

5

故選：D.

5.（2023秋?貴陽(yáng)期中）下列敘述不正確的是（

A.擲一枚骰子，向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4是隨機(jī)事件

B.某種彩票中獎(jiǎng)的概率為1%,那么買(mǎi)100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.某興趣小組14位同學(xué)中至少兩人的生日在同一月份是必然事件

D.在相同條件下，試驗(yàn)的次數(shù)足夠大時(shí)，某一隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定于某一數(shù)值

【分析】分別利用隨機(jī)事件的定義以及利用頻率估計(jì)概率的方法分析求出即可.

【解答】解：A.擲一枚骰子，向上的