高考數(shù)學(xué)重難點專練：導(dǎo)數(shù)必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】

重難點06導(dǎo)數(shù)必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】

【新高考專用】

?題型梳理

【題型1函數(shù)的切線問題】.....................................................................3

【題型2（含參）函數(shù)的單調(diào)性問題】...........................................................4

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】..............................................................5

【題型4函數(shù)零點（方程根）問題】............................................................6

【題型5不等式的證明】.......................................................................7

【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】.....................................................9

【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】...........................................................10

【題型8雙變量問題】........................................................................11

【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題】...........................................................12

【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】..........................................................13

【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】......................................................14

?命題規(guī)律

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，是高考必考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，在解答題中試

題的難度較大，主要涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性問題、函數(shù)的極值和最值問題、函數(shù)零點問題、

不等式恒成立與存在性問題以及不等式的證明等內(nèi)容，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，屬綜合性問

題，解題時要靈活求解.

其中，對于不等式證明中極值點偏移、隱零點問題和不等式的放縮應(yīng)用這三類問題是目前高考導(dǎo)數(shù)壓

軸題的熱點方向.

?知識梳理

【知識點1切線方程的求法】

1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)產(chǎn)絲)在產(chǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)心)在點(沏加0))處切線的斜率；

②在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(x0)(x-x0).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點坐標(biāo)7的加o))(不出現(xiàn)K)；

②利用切點坐標(biāo)寫出切線方程：y=/(xo)4/(xoXx-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

1.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y=/a)在(0力)上單調(diào)，則區(qū)間缶力)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求用為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的讓①必都有f(x)>0(/(x)<0),且在36)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識點3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)人處極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)兀T)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(X)；

(3)解方程/(x尸0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗/(x)在/(x)=0的根XQ左右兩側(cè)值的符號;

⑸求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

⑴利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/)在口用上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值八°),?；

③將函數(shù)人x)的各極值與人a),人力比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性

和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識點4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)於)的最值，轉(zhuǎn)化為段)圖象與x軸的交點問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由兀0=0分離參變量，得斫且⑴，研究產(chǎn)。與尸g(x)圖象的交點問題.

2.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證外)>g(x)在區(qū)間(a,6)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)尸(?=危)一g(x),通過分析尸(x)在端

點處的函數(shù)值來證明不等式.若F(a)=0,只需證明尸(x)在(a,3上單調(diào)遞增即可；若尸(6)=0,只需證明

F(x)在(a,6)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題.

3.導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問題

解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路:

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另

一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分

類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.

4.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

5.極值點偏移的相關(guān)概念

所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對

稱性.

極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間伍力）內(nèi)只有一個極值點看,方程/a）的解分別為

Xpx2且Q<匹<<b

、1+%2J%

（i）若2°,則稱函數(shù)在區(qū)間a，/）上極值點/偏移；

匹+一2〉/

（2）若2°,則函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（下，》2）上極值點X。左偏，簡稱極值點X。左偏；

X1+-2—0

（3）若2°,則函數(shù)V=/（x）在區(qū)間（下，》2）上極值點X。右偏，簡稱極值點X。右偏.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問題】

[例1](2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=a(e%-l)-lnx.

(1)當(dāng)a=1時，求”外的圖象在點(1/(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)。之1時，證明：f(x)>sinx.

【變式1-1](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)"%)=碇'+/?%+。在％=1112時有極小值.曲線)7=/(%)

在點(0/(。))處的切線方程為X+y=0.

(1)求見瓦c的值；

(2)若對任意實數(shù)%/(%)>(e-2)%+zn恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

2

【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)/(%)"+In%在％=4處的切線方程為y=/i(%).

(1)求九(%)；

(2)已知過力)可作/(%)的三條切線，證明：/i(a)<b<f(a).

【變式1-3]（2023?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（*）=alnx-?a-1*之-2x+ga+1.

（1）當(dāng)a=4時，求八幻的極值及曲線y=f（外在點（1/（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)人幻有兩個零點，求實數(shù)”的取值范圍.

【題型2（含參）函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例2】（2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=%Inx-aJ.

（1）當(dāng)a=l時，討論函數(shù)/（久）的單調(diào)性；

（2）若不等式/'（%）>aex+（1-a）d-比恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1]（2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)“公=斑：久6氏

⑴求函數(shù)/（幻單調(diào)區(qū)間；

（2）若過點P（l,t）GGR）可以作曲線y=/（幻的3條切線，求實數(shù)t的取值范圍.

x

【變式2?2】(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=2e-axtaER.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=e時，求證：/(%)>e(l-cosx).

【變式2-3](2023?河北邢臺?寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/0)=。(丁+屋')-1(0是非零常數(shù)，e

為自然對數(shù)的底數(shù))

⑴討論函數(shù)/O)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>。時，若在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【題型3函數(shù)的極值、最值問題】

【例3】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/■(久)=xlnx+(t-l)(x-t)(teR).

(1)當(dāng)1=o時，討論函數(shù)/(幻的極值；

(2)若F(x)=/(幻-7有兩個不同的極值點，求t的取值范圍.

【變式3-1](2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)/(0=ad+bx2+ex在x=1處取得極大值2.

(1)求f(久)的解析式；

(2)求f(x)在[-4,3]上的最值.

【變式3-2](2023?寧夏固原?寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知實數(shù)a>0,函數(shù)/(%)=必n

a-alnx+(x-e)2,e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=e時，求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(%)存在極值點久。,并求，的最小值.

【變式3-3](2023?吉林長春?東北師大附中?？级?已知函數(shù)/(%)=mxe-%%-lnx(meR).

⑴討論函數(shù)/(%)的極值點個數(shù)；

(2)若m>0,/(%)的最小值是1+Inm,求實數(shù)zn的取值范圍.

【題型4函數(shù)零點(方程根)問題】

【例4】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2%+F~+

X

(1)當(dāng)a=1時，求曲線/(x)在點(1/(1))處的切線方程.

(2)若fQ)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

1

【變式4-1](2023?廣東廣州?廣東廣雅中學(xué)?？级?已知函數(shù)f(x)=lnx+1-l.

(1)求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若g(x)=x2[/(x)+l-a]-x+a,求函數(shù)g(x)的零點個數(shù).

【變式4-2](2023,全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=x+1-alnx.

(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

(2)若fCt)=1有兩個不相等的實根勺,￡2，且叼<￡2，求證:x1+x2>a.

17

【變式4-3](2023?廣西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=21n(%+1)+,%-2%+zn有三個零點，meR.

(1)求zn的取值范圍；

(2)記三個零點為%1，%2以3,且汽1<%2<%3，證明：%3一%1<2.

【題型5不等式的證明】

【例5】(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)"%)=2eJe%.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：/(%)>e(lnx+cos%).

【變式5-1](2023?全國,模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%-?nln%(7neR).

⑴討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若存在不相等的實數(shù)%1，%2，使得/(%1)=/(%2)，證明：0<血<%1+%2,

【變式5-2](2023?四川成都?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)fO)=e”-asin%(a>0),曲線y=/(%)在(0/(0))處的

切線也與曲線y=2%-￥相切.

⑴求實數(shù)。的值；

(2)若%1是/(%)的最大的極小值點，叼是/(%)的最大的極大值點，求證：2</(xi)+/(x2)<~T~'

【變式5-3](2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=泡11%-??1%2一1.

(1)當(dāng)寸，討論/(%)在(0,+8)上的單調(diào)性；

2

(2)已知％1，叼是/(%)的兩個零點，證明：x1x2>y[6e.

【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】

.17

【例6】(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=產(chǎn)%-In%.

(1)當(dāng)。=1時，求/(%)的極值;

(2)若不等式f(x)2討亙成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式6-1](2023,全國?模擬預(yù)測)已知/(%)=ae"+ln(x+1),a為任意實數(shù).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)令a=2,對均有f(x)2kx+2恒成立，求k的取值范圍.

【變式6-2](2023,云南紅河?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=mK-Inx-eR).

(1)討論函數(shù)f(久)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于％的不等式e'T+alnx-(a+l)x+a>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式6-3](2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=aeJe，(aeR).

(1)若/'G)為偶函數(shù)，求此時/G)在點(0/(0))處的切線方程;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在%1，比2分別為g(x)的極大值點和極小值點.

(i)求實數(shù)a的取值范圍；

(ii)若a6(0,1),且g(xj+kg(/2)〉。，求實數(shù)k的取值范圍.

【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】

【例7】(2023,寧夏銀川??？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=for-ln(l+久)(k>0).

(1)當(dāng)k=1時，求曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)如果存在％6(0,+8),使得當(dāng)久6(0,%)時，恒有f(x)<%2成立，求k的取值范圍.

【變式7-1](2023?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=(e-a)e，+x(aeR).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若存在實數(shù)a,使得關(guān)于久的不等式恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【變式7-2](2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知/'(無)=(x-a-+a?%-].(aeR)

(1)討論外幻的單調(diào)性；

17_

(2)若a=-l,且存在xe(O,+8),使得/'GOwlnx+ix+(6+l)x,求b的取值范圍.

【變式7-3](2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=eax-x.

(1)當(dāng)a=1時，求曲線y=f(x)在點(0)(0))處的切線方程；

(2)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在/，叼€[TH，使得於4)4(%2)29,求a的取值范圍.

【題型8雙變量問題】

[例8](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t-l)x(teR).

(1)當(dāng)t=0時，討論函數(shù)/(%)的極值；

x

(2)已知F(%)=/(%)-e,函數(shù)F(%)存在兩個極值點％Jx2,證明：.+%2V。.

【變式8-1](2023?四川自貢?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(幻=。不-/有兩個極值點叼、%2

(1)求G的取值范圍；

(2)若%223%1時，不等式%1+Xx2>2久1%2恒成立，求4的最小值.

1291

【變式8-2](2023?河南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(%)=刖％+(m-l)x-lnx(mGR),g(%)=%--+1.

乙2e

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m>0時，若對于任意的％1￡(0,+8),總存在%2￡[1,+8),使得之^(勺)，求血的取值范圍.

x

【變式8-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=p+lnx-ax,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

e

(1)當(dāng)。=1時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(%)=/(%)-W有兩個零點%V%2)，證明：

【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題】

【例9】(2023?貴州畢節(jié)??？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(2x+a)lnx-3(x-a),a>0.

(1)當(dāng)久21時，求a的取值范圍.

1

2

(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點叼,久2，證明：x1+x2>2e.

【變式9-1](2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=xlnx--x+a(a￡R)在其定義域內(nèi)有兩

個不同的極值點.

(1)求a的取值范圍；

(2)記兩個極值點為久1，乂2，且,〈久2?若4N1,證明：ei+'v/，：.

(x+l)(a+Inx)

【變式9-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(幻=x

(1)若函數(shù)/(%)在定義域上單調(diào)遞增，求Q的最大值；

(2)若函數(shù)/(%)在定義域上有兩個極值點%1和%2，若%2>%i，A=e(e-2),求入4+%2的最小值?

【變式9-3](2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)fG)=d(lnx-|a),a為實數(shù).

⑴求函數(shù)汽幻的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在x=e處取得極值，/(%)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)，且/(%)=/(%2)，x1<x2,證明：2<x1+

x2<e

【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】

【例10】(2023,四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/■(久)=ad+2sinx-XCOSK.

(1)若a=0,判斷人功在(-：：)上的單調(diào)性，并說明理由；

(2)當(dāng)a>0,探究/(%)在(0,兀)上的極值點個數(shù).

【變式10-1】(2023?四川成都?成都七中?？家荒?設(shè)函數(shù)F(x)=(1-4)cosx+；lcosa-二一|吧，其中

(1)若a=i,討論F(%)在(。熱上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)無^(見與時，不等式尸(%)<。恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【變式10-2】(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(%)=ad+2sin%-%cos%(其中a為實數(shù)).

(1)若@=一W僅3),證明：/(%)>0；

(2)探究/(%)在(-Tim)上的極值點個數(shù).

【變式10-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e'(cos%+&)-(%+l)sin%,其中e是自然對數(shù)的底

數(shù).

⑴求函數(shù)/(%)的圖象在點(0/(0))處的切線方程；

(2)若無>-1,求證：/(%)>0.

【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】

【例11】(2023?山東濟南?校考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)-久)==Q>-1),已知/(%)>1恒成立.

(1)求實數(shù)爪的值;

(2)若數(shù)列｛%｝滿足4+1=1叭與)，且ai=l-ln2,證明：

【變式11-1】(2023?海南??？谛Ｂ?lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)魯=lnx-*^

(1)若函數(shù)/(久)在［1,+8)上只有一個零點，求a的取值范圍；

2

-7T1

(2)若4=，；,記數(shù)列｛aj的前n項和為工,證明：2Sn<ln(i+3幾+2).

［布，心2"

eX—1

【變式11-2］(2023?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=丁.

（1）證明：當(dāng)久＜0時，/（%）＜1；當(dāng)x＞0時，/（久）＞1.

X+1

（2）正項數(shù)列｛4｝滿足：e"=/（xn）,x1=1,證明：

（i）數(shù)列｛4｝遞減；

「711

5）百=1久—2-尹

jx3/

【變式11-3]（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)圖（久）=-1+無+^+9+…+水

⑴求函數(shù)片（幻在點（1%（1））處的切線方程；

（2）證明:對每個nGN*,存在唯一的46[|1]，滿足北（久?）=°；

（3）證明:對于任意peN*,由（2）中久.構(gòu)成的數(shù)列｛久J滿足0

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/■（久）=g+a）ln（l+久）.

（1）當(dāng)a=-1時，求曲線y=/0）在點（1,/（幻）處的切線方程.

(2)若函數(shù)f(x)在(O,+8)單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

sin%(

2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)一二,％E(0萬b

cosX\〃

(1)當(dāng)a=l時，討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)+sin%V0,求a的取值范圍.

3.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/Q)=x-deax+b,曲線y=/(%)在點(1/。))處的切線方程為

y=-x+1.

(1)求a,b的值；

(2)設(shè)函數(shù)gQ)=/(%)，求g(x