高考數(shù)學專項復習：不等式與復數(shù)（練習）（解析版）

專題02不等式與復數(shù)

目錄

01基本不等式二元式................................................................1

02和式與積式......................................................................3

03柯西不等式二元式.................................................................7

04齊次化與不等式最值.............................................................10

題型05復數(shù)的四則運算..................................................................13

06復數(shù)的幾何意義..................................................................14

一題型01基本不等式二元式

.._41

1.（2023?山東青島?圖一青島大學附屬中學校考階段練習）若無>0,y>0且x+y=l,則一+一的最小值

為（）

A.7B.8C.9D.16

【答案】C

【解析】由題設，-+-=f-+l|j+y)=5+^+->5+2

xy\xy)xy

當且僅當-^=一,即元=彳,丁二彳時等號成立.

Xy33

故選：c

2.（2023?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考期中）若x>0,y>l,則空+J的最小值為（）

xy-1

A.1B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】設曳+二=乙貝Ij4y2—（4+枕）、+7+打=0,

Xy-1

由△?（），得（4+比丫—16（/+比）之0,即（比—4『216/,

則比一424/，r>4x+—>2=8,當且僅當4無=3,即元=1時，等號成立，

x\xx

故選：C.

3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)X、y滿足工-y+5二孫，則工+y的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

x+5

【解析】因為正實數(shù)X、y滿足~+5=孫，則孫+尸川,可得W一

所以XIV-XI%+5―兀|(%+1)+4=(x+l)+，-之+4

//1KAf%十y—%十—%十=4,

x+1x+1(7x+1Vx+1

4

當且僅當1+1=——a>o)時，即當元=1時，等號成立，此時，y=3,

X+1

故工+y的最小值為4.

故選:B.

0A

4.(2023?浙江金華?校聯(lián)考模擬預測)已知。>0力>0,2。+6=。"則上+——的最小值為(

a-1b-2

A.4B.6C.472D.3+20

【答案】D

u

【解析】由。>0,Z?>0,2a+/?=ab,a=--—>o即方>2,易知〃>1,

b—2f

所以2-+〃-=烏-+a=3+:-+0-123+2、/二-<a-1)=3+2&,

ci—1b—2a—1a—1yci—1

當且僅當。=&+l時等號成立，此時6=2+0,

所以-+-―-的最小值為3+20.

a-1b-2

故選：D

5.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測）已知正實數(shù)x,y滿足2x+y=孫，貝1|2盯-2x-y的最小值為

A.2B.4C.8D.9

【答案】C

12

【解析】因為正實數(shù)x,y滿足2兄+〉=孫，所以一+一=1,

%y

貝U2孫一21一》=2x+y=（2x+y）—+—=4+—+—>4+2I---=8,

y）y'%y

當且僅當y=2元且L+2=i,即％=2,y=4時取等號.

%y

故選：C.

6.（2023?廣西玉林?高三博白縣中學?？奸_學考試）若正數(shù)x,y滿足,+工=1,貝口+2〉的最小值是

xy

A.6B.2+3應C.3+20D.2+2石

【答案】C

【解析】由題意，x+2y=（x+2y）3n=3+0+33+2,匡2=3+2也，

vy）xy\xy

當且僅當殳=土，即工=夜+1,>=出2時取等號.

兀y2

故選：c

題型02和式與積式

7.（多選題）（2023?山東濰坊?高三統(tǒng)考期中）已知。，b為方程舐?-x^tn=0^>的兩個實根，則

)

A.4Z2+/?2>8B.ab>4

113+272

C.yfa+yfb<2^2D.--------------1---------之-----------

a+22b12

【答案】ACD

【解析】由題意得：a+》=4,ab^-,a>0,b>0；

2

22

對于A項：a+b=(a+b^-lab-lab，

27、2

a+ba+b].

因為：ab<I,所以：—ab>—----二-4,

22

所以得：/+〃=16—2^216-8=8,當且僅當〃二人=2時取等號，故A項正確;

對于3項：由。+人=43所以得：ab<4,故3項錯誤;

對于C項：+=a+b+2y[ab=4+2yfab<4+(tz+Z?)=8,

所以得：4a+4b<2y/2,故。項正確;

對于。項:

111111ba+2b〃+23+2立

---------1-----=—H---J----3+2.x-----

a+22b6a+22b62。+22b62〃+22b)12

當小r.時取等號’故0項正確.

故選：ACD.

8.（多選題）（2023?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┮阎?gt;0力>0,〃4，且a+b=2,則

11「11

A.-+->2B.>2

ab/+廬

C.2〃+2)>2D.log2^+log2Z?>2

【答案】ABC

【解析】-+7=^-|-+y+=2+—+y2+2J-y=2,當且僅當“=g即a二8時取等號,

ab21ab)2(ab)2(\ab)ab

由于a】b,所以—1-->2,A正確，

ab

由于旌d=l,'+*2舊京=六2,當且僅當,二,且〃“時，即〃4時取等號，由于

U1b,所以w+yy>2,3正確，

ab

由〃+/?-2以及a>0力>0,〃wZ?可得2"+2。之2：2“2,=2-20+"=4，

當且僅當2"=2"，即〃二方時取等號，由于b,所以2"+2'〉4>2，故C正確,

log^z+logZ?=logab<log1=0,當且僅當幺=￡即〃二方時取等號，由于相b,1(^2。+log?)<。所以

2222ab

。錯誤,

故選：ABC

9.（多選題）（2023?云南迪慶?高一統(tǒng)考期末）設正實數(shù)%,〉滿足x+2y=3,則下列說法正確的是

9

A.,的最小值為4B.孫的最大值為z

人y8

C.6+必的最大值為2D./+4y2的最小值為，

【答案】ABD

【解析】對于A,?.?x>0，y>0,x+2y=3,.?.1+』=』+^^=』+2+2?2匣+2=4,

xyxyxyyxy

vx

當且僅當2=一,即％=y=i時等號成立，故A正確；

%y

,___Q33

對于5,3=x+2y>2y]2xy,/.xy<-,當且僅當x=2y,即％=—,y=—時等號成立，

824

9

所以孫的最大值為二，故3正確；

8

對于C,因為+=x+2y+2y/2xy=3+2^j2xy<3+2^2=6,

所以?+后的最大值為新，故C錯誤；

QQ

對于因為/+4/=（1+2?。?-4xy=9-4xy>9-4x—=—,故￡）正確.

82

故選：ABD.

10.（多選題）（2023?全國?高三校聯(lián)考階段練習）若。>0,b>0,且2〃+b=l,則下列說法正確的是

（）

A.而有最大值:B.瘍+加有最大值2

C.工+：有最小值4D.4/+片有最小值正

ab2

【答案】AC

【解析】對于A,ab=-^ab<-^a+b^

2248

當且僅當2a=b=工時取等號，

2

所以就有最大值:，故A正確；

0

又寸B,因為｝2a+Z?之2T2ab,^fr以2（2a+0）22a+Z?+2j2aZ?=（JZa+,

所以缶+限J2（2a+b）=0,

當且僅當2〃二8=，時取等號，

2

所以病+"有最大值拉，故8錯誤；

TT-la2a+babalba

對于C,-+-=------+-=2+-+->2+2J------=4A,

ababab\ab

當且僅當2=即a=b=g時取等號，

ab3

所以工+f有最小值4,故C正確；

ab

對于。，因為4/+〃22x2ab，所以2（4a?+/）24/+/+2x2a匕=（2。+/?）?,

所以4a2+〃。+"）-=J_,當且僅當2a=b=工時取等號，

—222

所以4后+廿有最小值;，故。錯誤.

故選：AC.

13

11.（多選題）（2023?江蘇無錫?高三統(tǒng)考期中）已知a>0,b>Q,一+丁=1，則下列說法正確的是

ab

（）

A.曲的最小值為12

B.〃+/?的最小值為48

C./+/的最小值為24

13

D.—-+-~^的最小值為2

a-1b-3

【答案】AD

【解析】A選項：-+1>2./4，即2啟Ml,解得次?》12,當且僅當工=g,即4=2,8=6時等號成

立，A選項正確；

3選項：a+b-（a+b）（-+^-\=\+^-+—+3>4+=4+2\/3,當且僅當細=2,gpa=~~,b=-~—

\ab）ba\baba22

時等號成立，2選項錯誤；

C選項：由工+3=1,得°=上，.1>3,貝|/+廿=（占］+/，

abb-3

令八上I」他解得彳=3+竽，

所以函數(shù)/■（*）在（3,3+3］上單調(diào)遞減，在［3+3：,+/上單調(diào)遞增,

所以〃蟲"=/13+3"N24,C選項錯誤；

_L+J_-_^+J_-^2+J_>2b-33

〃選項：a-1b-3-b.b-3-3b-3~，當且僅當k=：,即8=6,。=2時等號成

…3人3

立，。選項正確；

故選：AD.

一題型03柯西不等式二元式

12.（2023?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知心yeR,且x+y=3,則&7I+23rz的最小值

是.

【答案】3垂

【解析】湊配口+2次百二底Q+.亞亞=亞牙g+尸w7百

,進而根據(jù)

有V5

柯西不等式結(jié)合已知求解即可.根據(jù)柯西不等式得：（22+12）卜2+1）“2%+1）2,

（y2+22）（22+42）>（2y+8）2,

當且僅當x=2,y=l時，上述兩不等式取等號，

所以7?77777132工+1,也2+42廳+22.2y+8

因為x+V=3,

所以內(nèi)+2戶=回五笆四

_也2+12+打+42Q『+2?〉2x+l+2y+8_2（x+y）+9_

—A/5一小一小一

當且僅當x=2,y=l時，等號成立.

故答案為：375.

13.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）已知實數(shù)九,丁滿足（2%-））2+今2=1,則2彳+）；的最大值為

【答案】亞

【解析】直接利用柯西不等式得到答案.根據(jù)柯西不等式：⑶—4+中玲叱：+2才,故

2x+y<V2,

當2x—y=2y,即I=述，,=正時等號成立.

84

故答案為：也.

14.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考一模）已知M=xjl-y2+八/1-爐,則M的最大值為

【答案】L

【解析】利用柯西不等式求解.由柯西不等式得：

卜J]_y2+yVl-^2|4X2+^J1-X2j）+y2=1,

當且僅當業(yè)二d即Y+y2=i取等號.

X

故M的最大值為1

故答案為：1

is.（2023?浙江金華?高三校聯(lián)考期末）已知實數(shù)％,y滿足ja+iy+y.一ly+y=4,則產(chǎn)十產(chǎn)的

取值范圍為.

【答案】[3,5]

【解析】由柯西不等式可得，

『1）+y*而方7.而干7=44心31^±￡,

所以44+1）2+q（1）"、/+9+1,即3CW5

所以Y+y2e[3,5].

故答案為：[3,5]

16.（2023?浙江?高三校聯(lián)考階段練習）己知實數(shù)。力滿足：2b—,則|。-2闿的最小值為.

【答案】2

【解析】方法一：距離問題

問題理解為：由對稱性，我們研究“雙曲線上的點（?；ǎ┑街本€"2。=0的距離的6倍”問題

若相切，貝IJ2/—（2方+z『二4有唯一解

2b2+4zb+z2+4=0,△=16z之-8(z?+4)=0=z?=4=忖=2

兩平彳亍線a-2b=0與a-26-z=0的星巨離d且=2

A/5V5

所以-2耳=A/5x—j==2

方法二：柯西不等式法

補充知識：二元柯西不等式

已知兩組數(shù)。力;則（/+/）卜2+力2（狽+加2

+b1^（x2+y~^>^ax+by^<^a2x2+a2y2+&2x2+b2y2>a2x2+b2y~+2abxy

ocry1+Z?2x2>2abxyo（ay->0

已知兩組數(shù)a』；％，y,則（/一句⑺一力《（辦一辦）2

（/-匕2）（%2-y2）4（歐-0y）2o/f-a2y2-廿彳2+^2y2?+/卜2一？"孫

oa2y+加工2>2abxy臺（ay-ferf>0

所以4=（2/-/）（2-1）久4-292,所以|0—羽W2.

方法三：判別式法

設a-2b=tna=2b+t,將其代入2/_/=4,下面仿照方法一即可.

方法四：整體換元

根據(jù)對稱性，不妨設岳-a>0,>/2b+a>0

x=42b-a、

設《L,則◎=4（x>0,y>0）,且

y=yJ2b+a

方法五：三角換元

Z?=A/2sec0

由對稱性，不妨設<（。為銳角）

。=2tan。

所以卜-2耳=歷2110-2&$6（:0|=2任紀旦=2叵*^225^=2

11cos0cos3cos0

所以|。-2闿的最小值為2

17.（2023?河北衡水?高三河北安平中學校考期末）已知2x+3y+z=8,則＞+于+z?取得最小值時,

%,y,z形成的點(%,y,z)=.

【-答3案】(匕81,2川4、

【解析】由于(22+32+儼)卜2+y2+z2)“2x+3y+z)2=64,ax2+y2+z2=y.當且僅當

812…、「8124、

x==3，z=,時等節(jié)成乂，故(x,y,z)=Iy,—I.

故答案為［于7,亍J

04齊次化與不等式最值

18.（2023?山東日照?高一?？计谥校┮阎?xT+y4=l（x,yeR）,則無?+2y2的最小值是.

【答案】g

【解析】根據(jù)題設條件可得可得/+2丁=口+2y2=白+”，利用基本不等式即可求解.；

5y5y5y5

5x2y2+y4=1

6

-

5-

當且僅當上=號，即y=微,產(chǎn)=；時取等號.

5y5153

二f+J的最小值為，

故答案為：y.

19.（2023?浙江?高二校聯(lián)考階段練習）若實數(shù)。，方滿足/一4廿=4,則/+他的最小值

為.

【答案】V3+2/2+V3

2

【解析】因02_止=4,則幺-〃=1,

4

即加"=1,

令@+b=x(xwO),貝,

2v72x

所以〃=x+Lb=g

X,

所以/+而=[3+，

14X

-X2+-^V+2>2.3，/+2=員2,

22x222x2

當且僅當3犬2=工，即彳2=逅時，等號成立.

2lx13

故/+疑的最小值為6+2.

故答案為：V3+2

20.（2023?寧夏銀川?高二寧夏育才中學?？计谥校┤鬘-孫+尸=l（x,yeR）,則爐+2y的最小值

為.

【答案]2友

3

,2_x2+2y2

【解析】設％二rCOS。，y=—rsinO,所以爐+2丁2=/，所以—+2y

2X1—xy+y2

,2

1

r2cos2x-r2sin0cos0+—r2sin20cos2x-sin0cos6,+—sin20

2222

11

；(I+c°s2e)/sinec°se+；(lY°s2e)：+*2"fsin2。

1

3石3in（28獷其中。滿足tan0=血，所以—lWsin（2<9—0）K1,所以

41

士衛(wèi)立sin（2j）〈方衛(wèi)-----<------

，所以3+后3_71

444v74sin(2。-0)"S.

44

即晨3Vx?+2/三六^，所以Y+2出^1=2（3J）=6不,所以Y+2/的最小值為

6-2百

3*

故答案為："8

3

21.（2023?天津濱海新?校聯(lián)考模擬預測）已知x>0,y>0,則3表/+不會的最大值

是.

【答案】羋

2?1x3Q+2)2

【解析】先化簡原式為二上空再換元設"一。>。)得原式——%,再換元設"二1+—("0)得

I'V254/

yxyxt+5+3

32xyxy_21

原式可化為一r,再利用函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的最大值.X2+4/+X2+/=X4J+777,設

u+——+——+—

uyXyX

x

r=-(r>0),

y

2

j212tt3(f+203Q+])

所以原式=-v+一f=蕓一T+——7=7—乙一7二------T

彳+^t+-'+4r+1r+5r+4產(chǎn)+5+巧

2

令〃=r+—Q>0),〃22A/2.

t

3〃_3/33_2A/2

所以原式=k=7-亳。=際=丁?

u2V24

(函數(shù)y=W+—it[2A/2,+OO)上單調(diào)遞增)

U

故答案為：還

3

22.(2023?全國?高一專題練習)已知正數(shù)名"。滿足"=廿+，，且/—3//—4/=0,求工的值.

a

【解析】???a4-3aV-4^=0，

二兩邊同時除以"得1一3(￡|14(￡|4=0,

設x=得4了2+3%一1=0,解得x=；或％=—1(舍去)，

Va2=b2+c2，

a2

?題型05復數(shù)的四則運算

23.（2023?上海?高三上海市宜川中學?？计谥校┮阎獜蛿?shù)z滿足z2=Z，則復數(shù)z的個數(shù)為（）

【答案】D

【解析】設z=a+bi（4力eR）,

??,復數(shù)z滿足z2=J

，（〃+折『=a-bi,

化為a2-b1+2abi=a-bi,

6Z2—Z?2=a.fb=O

/J,7解得?_八十［，

2ab=—b-0或1

.,.2=0,或1,或」土立i.

故選：D.

24.（2023?江西?高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）已知復數(shù)z滿足z（3+4i）=|2#-i|,貝氏=（）

【答案】A

J（2?y+（-_5（3-4i）

【解析】由z（3+4i）=|2#-i|,得2=

------1,

（3+4i）（3-4i）5

所以-z3=4+.i,

故選：A.

25.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足（4+3i）z=-i,貝卜的虛部為（）

【答案】A

-i-i（4-3i）34

［解析］因為（4+3i）z=—i,所以z=------=-~7=-----------i,

4+3i（4+3i）（4-3i）2525

4

所以z的虛部為-二.

故選：A.

26.（2023?四川成都?校聯(lián)考一模）已知i為復數(shù)單位，過9=2+i,貝|z=l+tri的模為（）

1-1

A.6B.1C.2D.4

【答案】A

【解析】由苧%=2+i可得3+〃i=（2+i）（l—i）=3-i,所以q=-l,

1-1

所以Z=l—i，則上|=J12+（_1）2=叵.

故選：A.

27.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考一模）已知復數(shù)-3+2i是方程2/+12x+4=0的一個根，則實數(shù)Q的值是

（）

A.0B.8C.24D.26

【答案】D

【解析】由復數(shù)-3+2i是方程2/+12x+g=0的一個根，

得2（-3+2i『+12（-3+2i）+q=0,

解得=26,

故選：D.

?題型06復數(shù)的幾何意義

28.（2023?江西贛州?統(tǒng)考二模）已知復數(shù)z滿足|z+i|=l（i為虛數(shù)單位），則|z-i|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】設復數(shù)Z在復平面中對應的點為Z，

由題意可得：|z+i|=|z-（-i）|=l,表示復平面中點z到定點c（o，T）的距離為1,

所以點Z的軌跡為以c(o，-0為圓心，半徑r=l的圓，

因為|z-i|表示表示復平面中點Z到定點8(0,1)的距離，

所以伊Cj+r=2+l=3,即|z—i|的最大值為3.

故選：C.

29.(2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預測)設復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限，且目=2,卜+目=2,

則］的值為()

A.1-亞B.1+瘋

C.V2-V2iD.V2+V2i

【答案】A

【解析】由題意設z=a+bi(a>0,3>0),

由|z+三|=|2。|=2,

得a=1,

因為忖=2,

所以J/+〃=6+k=2O>o),

解得b=>13,

所以z=1+A/3?,

所以三=1一行.

故選：A.

?2023

30.(2023?江蘇常州?常州市第三中學?？寄M預測)已知復數(shù)2=2泮2+=，,為虛數(shù)單位，則復數(shù)z

1+i

在復平面內(nèi)所對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】因為復數(shù)z=2i?022+土=-2--—=-2-z=-2-—=

kg"，一々軍以i+il+i(l+i)(l-i)222

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)所對應的點為(-*-：,該點位于第三象限.

故選：C.

31.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考二模)棣莫弗公式［r(cos9+isin初"=r〃(cos〃仇isii)M,(i是虛數(shù)單