高考數(shù)學專項復習：幾何證明選講試題-理（含解析）

a

專題14.1幾何證明選講

【三年高考】

1.12016高考天津】如圖，是圓的直徑，弦與相交于點E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的

長為.

【答案耳

【解析】設=則由相交弦定理得%。七=月七5七，DE=L又BD=DE=L所以

xx

AC=AE=1因為45是直徑，則==20,,在圓中A5CESDAE,

則能=至，即-^==手，解得工=范

.IDAE413

2.12016高考新課標1卷】如圖,△。48是等腰三角形,NAQB=120。.以。為圓心一。4為半徑作圓.

2

(I)證明：直線AB與。相切;

(II)點C,。在0。上，且CQ四點共圓,證明：AB//CD.

1

a

【解析】(I)設E是.45的中點,連結。旦因為Qd=0B40B=120。：所以OE_L,?ZAOE=60。.在

Rt^iOE中：OE=(X。,即O到直線AB的距離等于圓O的半徑，所以直線AB與。O相切.

(II)因為。勻=2。＞,所以。不是4氏四點所在圓的圓心及?！?瓦C。四點所在圓的圓心作

直線。?！?由已知得。在線段的垂直平分線上:又O在線段的垂直平分線上:所以0O_LAB.同

理可證。。'_L.所以州＞!CD.

312016高考新課標2】如圖，在正方形ABCD中，E,G分別在邊DA,DC上(不與端點重合)，且OE=￡＞G,

過。點作。尸，CE,垂足為

(I)證明：B,C,G,尸四點共圓；

(II)若AB=LE為ZM的中點，求四邊形3CG廠的面積.

【解析】(D因為。尸，EC,所以ADEF?AC。工則有NGDE=/DEE=ZFCB,4-=—=—所

CFCDCB

以ADGF?ACBF,由此可得ZDGF=ZCBF,由此NCGF+ZCBF=180°,所以5C,G,尸四點共圓.

(II)由氏C,G,尸四點共圓，CGLCB知產GLEB,連結G5,由G為品△D/C斜邊CD的中點，知

GF=GC,故RtABCG?RtABFG,因此四邊形BCGF的面積S是AGCB面積S^GCB的2倍，即

S=2S&GCB=2x—X—xl=-

1

a

4.12016高考新課標3】如圖，。中AB的中點為P,肱PC,PD分別交A8于E,尸兩點.

(I)若NPFB=2ZPCD,求NPCD的大??；

(II)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G,證明OGLCD.

【解析】(I)連結尸氏BC,則/8P。=/。氏4+/875。,/?8=/?。8+/88.因為473=373,所

以NPBA=NPCB,又NBPD=NBCD,所以/BFD=NPCD.又

ZPFD+ZBFD=180°,ZPFB=2ZPCD,所以3NPCD=180°,因此ZPCD=60°.

(II)因為/PCD=ZBFD,所以NPCD+NEFE>=180。，由此知C,D,￡E四點共圓，其圓心既在CE

的垂直平分線上，又在。尸的垂直平分線上，故G就是過C,D,”E四點的圓的圓心，所以G在的垂

直平分線上，又。也在CD的垂直平分線上，因此OGLCD.

5.12015高考新課標2,】如圖，。為等腰三角形ABC內一點，圓。與AA5C的底邊交于V、N兩

點與底邊上的高AD交于點G,與A3、AC分別相切于E、歹兩點.

1

a

(I)證明：EF//BC；

(II)若AG等于O。的半徑，且AE=MN=2y^,求四邊形EBCF的面積.

【解析】(I)由于AA5C是等腰三角形，ADL6C,所以A。是NC4B的平分線.又因為(。分別與A3、

AC相切于E、尸兩點，所以AE=A尸，故ADJ_E尸.從而EF//BC.

(II)由(I)知，AE=AF,AD±EF,故AD是所的垂直平分線，又所是「0的弦，所以。在AD

上.連接0E,,則OE，AE.由AG等于。。的半徑得AO=2OE,所以ZOAE=30°.所以AABC

和AAER都是等邊三角形.因為AE=2^,所以40=4,OE=2.

因為QW=0E=2,DM=-MN=y[3,所以。D=1.于是A￡)=5,=所以四邊形EBCF

23

的面哆畔樣一加如圣哈

6.12015高考陜西一,】如圖，AB切。Q于點B,直線AD交。于D,E兩點，BC±DE,垂足為C.

(I)證明：NCBD=ZDBA；

(II)若AD=3DC,BC=J5,求.：0的直徑.

1

a

【解析】(D因為DE為圓O的直徑,則ABED+ZEDB=9(T,又BC，DE,所以NCBD+zEDB=90,

從而NCBD=NBED.又AB切圓O于點B,得/DBA=NBED,所以NCBD=/DBA.

(ID由⑴知BD平分NCBA,則巴=些=3又BC=0,從而.45=30,所以

BCCD

AC=^4BZ-BCZ=4,所以，D=3.由切割線定理得AB:=AD-AE，即,江=理1=6,故

DE=AE-AD=3,即圓O的直徑為3

7.12015高考新課標1】如圖，AB是一。的直徑，AC是。的切.線，BC交。于E.

(I)若。為AC的中點，證明：DE是O的切線；

(II)若OA=6CE,求NACB的大小.

【解析】(I)連結AE,由已知得，AELBC,AC±AB,在放AAEC中，由已知得QE=Z)C,：.ZDEC=Z

DCE,

連結OE,ZOBE=ZOEB,,：ZACB+ZABC=90°,：..ZDEC+ZOEB=90°,：.ZOED=90°,是圓。的

切線.

(II)設CE=1,AE=x，由已知得A8=2g,BE=4T2—￡,由射影定理可得，AE?=CE.BE,

8.12015高考湖南】如圖，在圓。中，相交于點E的兩弦A3,CD的中點分別是N,直線與

直線

1

a

CD相交于點R,證明：

(1)/MEN+ZNOM=180；

(2)FEFN=FMFO

【解析】(1)如圖a所示，'：M,N分別是弦A3,CD的一中點，ONLCD,

即NOME=90,ZENO=90,NOME+NENO=180,又四邊形的內角和等于360,故

ZMEN+ZNOM；

(2)由(D知，O,M,E,N四點共圓，故由割線定理即得=

9.12014高考遼寧第22題】如圖，EP交圓于E、C兩點，PD切圓于D,G為CE上一點且PG=PD,連

接。G并延長交圓于點A,作弦A8垂直EP,垂足為足

(I)求證：AB為圓的直徑；

(II)若AC=B。，求證：AB=ED.

1

a

【解析】（I）因為尸Q=PG,所以/PDG=/PGD由于PD為切線，i^ZPDA=ZDBA,又由于/PGO=/

EGA,故/DBA=NEGA,所以/DBA+NBAZ）=NEGA+/BA。,從而/BD4=/尸剛.由于AP垂直EP,所以/

PFA=90°,于是NBZM=90。，故A2是直徑.

（11）連接8。OC由于AB是直徑，故/BZM=NACB=90。，在BDA與ACB中,AB=BA,AC=BD,

從而RtABDA義RfAACB,于是RdBZX4與NZMB=NCA4.又因為NOC8=NZMB,所以/￡>CB=/C3A,故

DC//AB.

由于ED是直徑，由（I）得ED=AB.

10.12014高考全國2第22題】如圖，P是e。外一點，PA是切線，A為切點，割線PBC與e。相交于點

B,C,PC=2PA,D為PC的中點，AD的延長線交e。于點E.

證明：（I）BE=EC；

（II）ADDE=2PB2

1

a

【解析】(I)連結AB,AC,由題意知？A=PD,故因為/尸。X=NZUC+NOC"

/.PAD=MAD+NPAB,ZDCA=APAB,所以ADAC=ABAD,從而BE=EC,因此BE=EC.

(II)由切割線定理得：尸/=PBPC,因為尸C=2PA,所以PA=?PB,PC=APB,

由相交弦定理得:ADDE=BDDC=(PD-PB)PD=&PC-PB)qPC

=(2PB-PB)-2PB=2PBZ,所以等式成立.

11.12014高考全國1第22題】如圖，四邊形A5c。是二。的內接四邊形，A5的延長線與OC的延長

線交于點石，且CB=CE.

(1)證明：ZD=ZE：

(II)設不是匚O的直徑，AO的中點為M,且Affi=MC,證明：AM)石為等邊三角形.

【解析】(I)由題設知A,3,C,。四點共圓，所以ND=NCBE.由已知得NE=NCBE,故ND=/E.

(ID設ZC的中點為N,連接MN,則由MB=MC知跖VL5C,故。在直線上.又不是C。

的直徑，的中點為M,故即肱VLAD.所以AD/ABC,故NA=NCBE.又

ZE=ZCBE,故NE=/4.由(1)知，ZD=ZE,所以A4Z汨為等邊三角形.

1

a

【三年高考命題回顧】

縱觀前三年各地高考試題，高考對幾何證明的考查，主要考查有關三角形相似、全等、面積、線段長度及

角相等的求解及證明，以平行線等分線段定理，平行線截割定理，相似三角形的判定與性質定理，直角三

角形射影定理，圓心角、圓周角定理，圓內接四邊形的性質定理及判定定理，圓的割線定理，切割線定

理，弦切角定理，相交弦定理等為主要考查內容，題目難度一般為中、低檔，備考中應嚴格控制訓練題的

難度.

【2017年高考復習建議與高考命題預測】

由前三年的高考命題形式可以看出，高考對這部分要求不是太高，要求會以圓為幾何背景，利用直角三角形

射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理，相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定

定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長等，預測2017年高考還會以圓為幾何背景，考查相交

線定理，切割線定理，以及圓內接四邊形的性質定理與判定定理，考查學生的數(shù)形結合的能力.“幾何證明選

講”是選修系列4的一個專題，該專題在高考中只考查“相似三角形”和“圓”這兩部分平面幾何內容，且與另三

個選修4的專題一起命題，供考生選擇作答.其核心內容為:線段成比例與相似三角形，圓的切線及其性質，與圓

有關的相似三角形等.對同學們來說，“幾何證明選講”是初中所學知識的深化,因而倍感親切.試題題型為解答

題，且難度不大.題型以比例問題為主，平行線分線段成比例定理、相似形、角平分線定理、直角三角形中的

射影定理、圓中的割線定理、切割線定理和相交弦定理等，都涉及線段成比例，因此比例問題是本專題中所占

比重最大的題型.解決這類問題，主要方法就是設法利用上述定理，并靈活變形.復習建議：圓內接四邊形的重

要結論：內接于圓的平行四邊形是矩形；內接于圓的菱形是正方形；內接于圓的梯形是等腰梯形.應用這些

性質可以大大簡化證明有關幾何題的推證過程.與圓有關的比例線段的證明要訣：相交弦、切割線定理是法

寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比作介紹，代數(shù)方法不可少，分析

綜合要記牢，十有八九能見效.

1

a

[2017年高考考點定位】

幾何證明選講的內容涉及的考點可歸納為:①相似三角形的定義與性質;②平行線截割定理;③直角三角形射

影定理;④圓周角與圓心角定理;⑤圓的切線的判定定理及性質定理;⑥弦切角的性質;⑦相交弦定理;⑧圓內接

四邊形的性質定理和判定定理;⑨切割線定理.

【考點1】相似三角形的判定與性質

【備考知識梳理】

1.平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.

推論2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰.

2.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.

3.相似三角形的判定與性質

(1)判定定理：

內容

判定定理1兩角對應相等的兩個三角形相似

判定定理2兩邊對應成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似

判定定理3三邊對應成比例的兩個三角形相似

(2)性質定理:

1

a

內容

性質定理1相似三角形對應高、中線、角平分線和它們周長的比都等于相似比

性質定理2相似三角形的面積比等于相似比的平方

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似

結論

比的平方

直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中

射影定理

項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項

【規(guī)律方法技巧】

1.判定兩個三角形相似的常規(guī)思路

(1)先找兩對對應角相等；

(2)若只能找到一對對應角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例；

(3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對應成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞

性

2.借助圖形判斷三角形相似的方法

(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；

(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或對應邊成比例；

(3)有公共邊的可將圖形旋轉，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應邊.

3.比例線段常用平行線產生，利用平行線轉移比例是常用的證題技巧，當題中沒有平行線條件而有必要轉移

比例時，也常添加輔助平行線，從而達到轉移比例的目的.

4.判定兩個三角形相似要注意結合圖形特征靈活選擇判定定理,特別要注意對應角和對應邊.在一個題目中，

相似三角形的判定定理和性質定理可能多次用到.相似三角形的性質可用來證明線段成比例、角相等；也

可間接證明線段相等.

5..在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉化為相似三角形中的“比例式”.證題時，要注意作

垂線構造直角三角形是解直角三角形時常用的方法.

6.相似關系的證明中，經常要應用比例的性質：

1

a

,,ac?.??b?,,^a+bc+d?a-bc-d^a+bc+d?aa+c

若一=-,則①一=-；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥一=-----.

bdcdbdbda-bc-dbb+d

7.輔助線作法：幾何證明題的一個重要問題就是作出恰當?shù)妮o助線，相似關系的基礎就是平行截割定理，故

作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點取中點連線利用中位線定理，見比例點取等比的分點構造平行

關系，截取等長線段構造全等關系，立體幾何中通過作平行線或連結異面直線上的點化異為共等等都是常

用的作輔助線方法.

【考點針對訓練】

1.【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】如圖所示，已知圓O外有一點P,作圓O的切線PM,M為切

點，過PM的中點N作割線NAB,交圓。于A,B兩點，連接PA并延長，交圓。于點C,連接PB交圓O

于點D,若MC=BC.

(1)求證：△APMs△ABP；

(2)求證：四邊形PMCD是平行四邊形.

【解析XD因為PM是圓。的切線,NAB是圓。的割線，N是PM的中點，所以MA*=PNZ=NA-NB,

PV\A

所以j=上.又因為APNA=乙BNP,所以APAN8A5XP.所以^4PX=乙PBX,即

BNPN

UPNI=APBA

因為MC=BC,所以NAL4c=ABAC,所以ZSL4P=NPAB.所以MPMs&4BP

(2)因為乙4C0=APBN,所以乙4CD=乙PBN=AAPN,即APCD=ZCPM.所以PM〃8.因為

Z14PJ/8SABP,所以RPMA=ABPA

因為PM是圓。的切線，所以NR也d=NMCP所以ZPM4=ABPA=ZA/CP,即ADPC=Zi/CP

所以，所以四邊形RUCO是平行四邊形.

1

a

2.【2016年山西省右玉一中高考沖刺壓軸卷三】如圖，已知。。和。/相交于A、B兩點,AO為。M的

直徑，直線30交。。于點.C,點G為弧3。中點，連結AG分別交。。、BD于點E、F,連結CE.

(I)求證：AGEF=CEGD；

GFEF2

(II)求證:

~AG~CEi

【解析】(I)連結為。"的直徑，NA3D=90°,為。。的直徑，

ZCEF=ZAGD,,/NDFG=ZCFE,：.NECF=ZGDF,:G為弧3。中點，，ZDAG=ZGDF,

AG

?:ZECB=ZBAG,：.ZDAG=ZECF,：.ACEF-AAGD,=：.AGEF=CEGD.

EFGD

(II)由(I)知/DAG=NGDF,ZG=ZG,：.ADFG-AADG,：.DG2^AGGF,由(I)

八EF2GD2.GFEF2

知---7=-------,??------=-------■

CE2AG2AGCE2

【考點2］圓的有關問題

【備考知識梳理】

1.圓周角定理

(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角.

(2)圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

(3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù).

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑.

2.圓內接四邊形的性質與判定定理

1

a

⑴性質：

定理1:圓內接四邊形的對角互補.

定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角.

(2)判定:

判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓.

推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓.

另外：若兩點在一條線段同側且對該線段張角相等，則此兩點與線段兩個端點共圓，特別的，對定線段張

角為直角的點共圓.

3.圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

直線與圓交點的個數(shù)直線到圓心的距離d與圓的半徑廠的關系

相交兩個

相切一個d=r

相離無4r

(2)圓的切線性質及判定定理

性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.

推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

(3)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線長相等.

3.弦切角

(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切,另一邊與圓相交的角.

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半.

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相篁，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.

1

4.與圓有關的比例線段

定理名稱基本圖形條件結論應用

(1)B4P8=(1)在以、PB、PC、

弦AB、C￡＞相交PCPD；尸￡＞四線段中知三

相交弦定理

&于圓內點P(2)AACPs求一；

△DBP(2)求弦長及角

⑴

抬切。。于A,(1)已知B4、PB、

PBPC；

切割線定理P8C是。。的PC知二可求一；

(2)APAB^^x

割線(2)求解AB、AC

PCA

⑴求線段小、尸8、

PC、PD及AB、

PAB,PCD是。PCPD；

割線定理CD-,

0的割線(2)ABAC^A

(2)應用相似求

PDB

AC,BD

(1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.

(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項.

(4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾

角.

【規(guī)律方法技巧】

1.與圓有關的比例線段：(1)應用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角

形、圓的切線及其性質、與圓有關的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關的比例線段的計算與證明.解決問題時要注意相似三角形

知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關知識的綜合應用.

1

a

（3）相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理統(tǒng)稱為圓幕定理：圓的兩條弦或其延長線若相交，各

弦被交點分成的兩條線段長的積相等.當兩交點在圓內時為相交弦定理，當兩交點在圓外時為割線定理，兩

交點重合時為切線，一條上兩點重合時為切割線定理，兩條都重合時為切線長定理，應用此定理一定要分

清兩條線段是指哪兩條.

2.弦切角定理及推論的應用

（1）圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線

段或角的大小.

（2）涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線（或半徑）或向弦（?。﹥啥水媹A周角

或作弦切角.

3.證明多點共圓，當兩點在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距

離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補.

4.涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直徑（或半徑）或向弦（?。﹥啥水媹A周角

或作弦切角.

5.一般地，涉及圓內兩條相交弦時首先要考慮相交弦定理，涉及兩條割線時要想到割線定理，涉及切線和割

線時要注意應用切割線定理，要注意相交弦定理中線段之間的關系與切割線定理線段關系之間的區(qū)別.

6.在平面幾何的有關計算中往往要使用比例線段，產生比例線段的一個主要根據是兩三角形相似.在涉及兩

圓的公共弦時，通常是作出兩圓的公共弦.如果有過公共點的切線就可以使用弦切角定理.在兩個.圓內實

現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個圓相交且在交點處有圓的切線問題的基本思考方向.

【考點針對訓練】

1.12016屆湖北七市教研協(xié)作體高三4月聯(lián)考】已知AABC中，AB=AC,。是AA6C外接圓劣弧AC上

的點（不與點AC重合），延長5D至E,延長AD至尸.

1

a

(2)若NA3C=75,AABC中BC邊上的高為2+6,求AABC外接圓的面積.

【解析】(1)如圖，由A5=AC得NA5C=NACB,；NACfi與NADS都是同弧A3所對的圓周角,

；.NACB=NADB且NADB=/EDF,故ZABC=/EDF.

(2)設。為外接圓圓心，連接A0交于H,則連接。C,由題意易得/BAC=30°,

NQ4C=NOC4=15°,且NACfi=75°NOCH=60°,設圓半徑為廠，則廠+理r=2+退，

2

解得廠=2,故外接圓面積為4》.

2.【2016屆陜西省高三下學期教學質檢二】如圖，己知圓。與。2相交于A3兩點，過點A作圓。1的切線

交圓。2于點C，過點8作兩圓的割線，分別交圓。1、圓。2于點。、E,OE與AC相交于點P.

(I)求證：ADEC；

(II)若AD是圓。2的切線，且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的長.

D

【解析】（I）連接B4.〈AC是圓。的切線，???/BAC=ND.又???NH4C=NE,???NO=NE,???

1

a

ADEC.

(II)證明：設==9：PA=6,PC=2,?,?孫=12.又???ADEC,：.—=——，

PEPC

9+x6

——=—.又???x>0,y>0,聯(lián)立上述方程得到％=3,y=4,DE=9+x+y=16.???AD是圓。2的切

y2

線，AAD2=DB-DE=916.：.AD=12.

【應試技巧點撥】

1.輔助線作法：

幾何證明題的一個重要問題就是作出恰當?shù)妮o助線，相似關系的基礎就是平行截割定理，故作輔助線的主

要方法就是作平行線，見中點取中點連線利用中位線定理，見比例點取等比的分點構造平行關系，截取等

長線段構造全等關系，立體幾何中通過作平行線或連結異面直線上的點化異為共等等都是常用的作輔助線

方法.

2.比例的性質的應用

相似關系的證明中，經常要應用比例的性質：

,,ac??Z??,,?a+Z?c+d?a-bc-d^a+bc+d?

若一=一,則①一=一；②ad=bc；③------=-----；④-----=-----；⑤-----=-----；⑥

bdcdbdbda-bc-d

a_a+c

bb+d

3.同一法：先作出一個滿足命題結論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設條件

所指的圖形相同，從而證明命題成立.

4.證明多點共圓，當兩點在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離

相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補.

1

a

5.與圓有關的比例線段

(1)應用相交弦定理、切割線定理要抓.住幾個關鍵內容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質、

與圓有關的相似三角形等.

(2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關的比例線段的計算與證明.解決問題時要注意相似三角形

知識及圓周角、弦切角、圓的切線等相關知識的綜合應用.

二年模擬

1.【2016年山西榆林高三二次?？肌咳鐖D所示，在AABC中，是NACfi的平分線，AACD的外接圓

交BC于點、E,AB=2AC.

(1)求證：BE=2AD；(2)當AC=1,EC=2時，求AD的長.

【解析】(1)連接OE,因為四邊形ACED是圓內接四邊形，所以NBDE=NBCD,所以ADfiEACBA,

BEDE

即有——=——，又A6=2AC,所以BE=2DE，又是NACB的平分線，所以4。=￡)石，從而

BACA

BE=2AD-,

(2)由條件得AB=2AC=2,設=根據割線定理得：BD.BA=BE.BC,即

1

a

(AB-AD)?BA=2AD.(2AD+CE),所以有(2T)x2=212f+2),解得：Z=1,所以=

2.【2016年湖北八校高三四次聯(lián)考】如圖，在銳角三角形ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓。與邊

3cAe另外的交點分別為D,E,且。尸，AC于F.

(I)求證：。尸是。。的切線；

7

(II)若CD=3,EA=-,求AB的長.

5

【解析】(I〉連結則加_L3C,又看=M?,.'D為的中點，而。為看中點，

又DFLAC,：.ODLDF,而OD是半徑，二.D尸是。。的切線.

(II)連DE,貝ijNCED=N3=NC,貝49。尸經AD￡F,二CF=莊，設CF=fZ=x,貝i]D尸：=9-x：,

Z

由切割線定理得：DF=FE-FAf即9-x：=x：t-?,解得：x：=g,三=-：(舍)，...耶=皿？=5.

\5J52

B

3.【2016年安徽安慶二?！咳鐖D，以AABC的邊A3為直徑作圓。，圓。與邊的交點。恰為BC邊的中

點，過點。作DE_LAC于點E.

(I)求證：DE是圓。的切線；

A17

(II)若N5=30，求上的值.

DC

1

a

【解析】（1）如圖，連接.因為。是AB的中點.Z）是BC的中點師以OD/C.因為DE，KC所以

DE_8,所以DE是。。的切線.

（ID因為且3是。。的直徑點。在。。上:所以.n）_3c.又。是BC的中點，所以-如=XC.故

乙4CD=NB=3（T.因為DE_/C.所以乙IDE=30:在直角三角形，回中土=tan30=；在直角三

DE

角形.,電器=向3°\于是言（

4.【2016年江西高三九校聯(lián)考】如圖所示，AC為e。的直徑，。為的中點，E為3C的中點.

(1)求證：DE//AB-,

(2)求證：ACBC=2ADX：D.

【解析】（I）連接OE,因為。為的中點，E為BC的中點，所以。ED三點共線.因為E為BC的

中點且。為AC的中點，所以OE//AB,故DE//AB.

（II）因為。為的中點，所以4LD^ZZMC,又NBAD=NDCB,NDAC=NDCB.又因為

AC47)

AD±DC,DE±C,ADACAECD.—=—ADCD=ACCE,2AD-CD=AC-2CE,

CDCE

2ADCD=ACBC.

1

a

5.【2016年安徽淮北一中高三?？肌咳鐖D，A,3是圓。上的兩點，P為圓。外一點，連結分別

交圓。于點C,。，且=連結并延長至E,使/PEB=/PAB.

(1)求證：PE=PD；

(2)若AB=EP=1,且/54。=120°,求AP.

【解析】(1)連結。C,因為NPCEMNACBMNAOB.NPCDMNAB。，又因為AB=A￡>,所以

ZABD=ZADB,所以NPCE=NPCD,由已知NPE5=NB45NPDC=NPAB,所以

ZPEC=ZPDC,且FC=PC,所以"EC合"DC,所以PE=PD.

(2)因為ZACB=NPBA,NBAC=NPAB,所以AABCAAPB,則AB?=AP.AC=AP(AP-PC),

所以AP2—AB?=AP.PC=PD.PB=PD(PD+BD),又因為PD=AB,AB=1,所以

6.【2016年江西南昌高三一?！咳鐖D，圓M與圓N交于A,B兩點，以A為切點作兩圓的切線分別

交圓M和圓N于C、D兩點，延長DB交圓M于點E,延長CB交圓N于點F.已知BC=5,DB=10.

(I)求AB的長；

1

a

CF

(II)求J

DE

【解析】(I)根據弦切角定理，知NB4C=NADA,/ACB=/DAB,：?叢ABCs4DBA,貝(j

—,故AB?=8。-5。=50,43=5后.

DBBA

「42「RCF

(II)根據切割線定理，知CA2=CBCF,DA2=DBDE,兩式相除,得一-=--------(*).由△ABC

DA2DBDE

AC_AB_572V2C421cB51CF

s'DBA,/H____—_,----------由(*)得J=L

^~DA~~DB~~[G~^rZM2-2DB102DE

7.【2016年河南八市高三三?！恳阎?，AABC內接于圓，延長A3到。點，使得￡＞。=2。&￡＞。交圓于E

點.

(1)求證：AD=2DE；

(2)若AC=DC,求證：DB=BE.

r)DnF

【解析】(1)如圖，連結BEDBDA=DEDC..——=——.又DC=2DB,DA=2DE.

DCDA

(2)■,AC=DC,：.ZD=ZA/BED=ZA,：./BED=ZD.：.BD=BE.

1

a

A

8.12016屆河北省石家莊市高三二?！咳鐖D，H7AABC內接于O。，NC=90。，弦3歹交線段AC于E,

E為AC的中點，在點A處作圓的切線與線段OE的延長線交于。，連接。尸.

(I)求證：DE-EO=FE-EB；

(II)若NCE3=45°,。。的半徑r為2芯，求切線的長.

【解析】〈D證明：???在。。中，弦AC、BF相交于E,，F(xiàn)E-￡B=TE-EC,又E為AC的中點，所

以FEEB=㈤,又因為OS:OE^AE,根據射影定理可得

AE1=DEEO,:.DEEO=FEEB;

<ID因為45為直徑，所以NC=90：,又因為NC3E=451所以A5CE為等腰直角三角

形.二XC=2BC,根據勾股定理得AC'+SC：=53C：=80,解得3C=4,所以=4,OE=2,

由(1)得所以DE=8,所以，切=4AE，+DE：=+針=4在.

9.【2016屆陜西省高三高考全真模擬四】如下圖,A3,CD是圓。的兩條互相垂直的直徑,E是圓。上的點,

過E點作圓。的切線交AB的延長

線于連結CE交AB于G點.

1

a

(1)求證：FG?=FA.FB；

(2)若圓。的半徑為2百,03='G,求EG的長.

【解析】(1)證明：連接OE,DE,由弦切角定理知NREG=N。，ZC+ZD=90ZC+ZFEG^90,

又NC+NCGO=90,ZCGO=ZFGE,ZC+ZFGE=90NPGE=NFEG,即尸G=FE.由切割

線定理得FE1=FA.FB，所以FG2=FA.FB.

(2)由03=百06=2石知，OG=2.在處AOCG中，由OC=20,OG=2得，CG=4,NC=30.

在RfACD石中，由C￡>=4g,NC=30得CE=6,于是EG=CE—CG=6—4=2.

10.12016屆山西右玉一中高三下學期模擬】已知如圖，四邊形ABC。是圓。的內接四邊形,對角線AC,8。

交于點E,直線AP是圓。的切線，切

點為A,ZPAB^ZBAC.

⑴若BD=5,BE=2,求AB的長;

1

a

(2)在AD上取一點E,若NFED=NCED,求4LF+NB防的大小.

【解析】(1)?..”是圓。的切線，；.々43=/406,由NQ45=NB4C,NADB=/B4C.又

A_BBD

/ARD=/ERA,：.AABDAEBA,：.——=—.又BD=5,BE=2,：.AB?=BD?BE=1。，：.

EBAB

AB=710.

(2)由(1)知，ZBAD=ZBEA,ZBEA=NCED=/FED,；.ZBAD=/FED,：.

ZBAF+ZBEF=ZBAD+ZBEF=ZFED+ZBEF=180.

11.【2015屆陜西西安西北工大附中高三下學期5月模擬】如圖，。和「。'相交于A,B兩點，過A作

兩圓的切線分別交兩圓于C,D兩點，連結并延長交00于點E.

證明：(I)ACBD^ADAB；(II)AC=AE.

【解析】(1)由AC與。相切于A,得NC鉆=NADfi,同理NACB=NZM5,

Ac47?

所以AACBAZM5從而=二￡2,即4€\8￡>=4￡>.他

ADBD

(2)由AD與。。相切于A,得NAED=NBAD,XZADE=ZBDA,得AEM>AABD

spAr)

從而一=——，即AE,BD=AD.AB,綜合(1)的結論，AC=AE

ABBD

12.12015屆陜西省西工大附中高三下學期模擬考試一】如圖,。。的直徑A5的延長線與弦CD的延長線相

交于點73,后為。。上一點八￡=人(2,。石交45于點R,且46=25。=4,

(I)求PR的長度.

(II)若圓F與圓。內切，直線PT與圓F切于點T,求線段PT的長度

1

a

【解析】(I)連結OCODOE,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系結合題中條件弧長AE等于弧長

AC可得ZCDE=NAOC,又NCDE=ZP+ZPFD,ZAOC=NP+NOCP,從而NPFD=NOCP,故APED-

APCO,,由割線定理知PCPD=RbP8=12,故尸產="￡2="=3.

PCPOPO4

(II)若圓F與圓。內切，設圓尸的半徑為r,因為OF=2—r=l即廠=1,所以08是圓尸的直徑，且

過P點圓P的切線為PT,則PT?=P5?PO=2x4=8,即PT=2J5

13.12015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】如圖，在△ABC中，ZB=90,以AB為直徑的。。交AC

于。，過點。作。O的切線交3C于E,AE交。。于點尸.

(I)證明：E是的中點；

(II)證明：ADAC=AEAF.

【解析】(I)證明：連接3。，因為45為。。的直徑，所以又