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文檔簡介
解析幾何解答壓軸題
22/T
1.(內蒙古赤峰市?三月考(文))已知橢圓石:=+與=1(。>匕〉0)的離心率空,其左,右點為
ab3
耳,心,過點耳的直線/與橢圓E交于兩點、口MN&的周為4".
(1)求橢圓E的標準方程:
(2)過E右焦點的直線1,2互相垂直,且分別交橢圓E于,和C,。四點,求恒回+|8|的最小值
22
【答案】(1)—+^=1;(2)最小值為2指.
62
【分析】
(1)利用橢圓離心率e=,,DMN月的周為4a=46
(2)分類討論直線4,4的斜率存在與否,當其中一條直線斜率為0.一條直線斜率不存在,可利用橢圓性
質求出3用+|。>|=津;當兩條直線斜率均存在,設出直線方程,與橢圓聯(lián)立,利用弦公式求出
\AB\,\CD\,再利用二次函數(shù)的值域求法與不等式的性質求得結果.
【詳解】
(1)由橢圓的定義知,口跖明的周為4a=4屈,:.a=&
由e=1,即£=如,得c=2
3a3
b"—cr—c1=2,b=y/2
22
故橢圓的方程為:土+匕=1
62
⑵由(1)得,橢圓右焦點為(2,0),設4(%,口),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)
①當直線4的斜率為0,直線,2的斜率不存在時,
直線6:y=0,止匕時|A用=2a=2指;直線6:x=2,止匕時仁力=也=^=孚;
|叫+3|=2幾+孚丹
276876
②當直線4的斜率為0,4直線的斜率不存在時,|AB|+|CD|=2j&H---------=--------
33
③當直線4,4的斜率都存在,設直線4的方程為x=my+2(〃zw0),則直線"的方程為工=—工y+2
m
聯(lián)立《62,整理得(加2+3)丁+4機y—2=0
x=my+2
4m
%+%=__
m+2
A=16m2+8(m2+3)〉0恒成立,則<
2
--F-
m+
Y加2[(—[_2指(〃72+1)
|AB\=y/l+m21%-%|=Jl+7"2網(wǎng)+城-幻%=Vl+m2j(-
ITT+3lr+3,-m2+3
2A/6(--)2+1
m2而二+1)
同理可得|CD|=
3m2+1
m
8向1+1)2
則仙/+仁。|=2八m+1m+1
^m2+33m2+3,3m4+10m2+3
令療+1=八則g(')=3『+4/_4=44=2八2.4?〉1)
ttt
2.=irii
當/ea,+s)時,-(--I)2+4e(3,4],則以“__(2_02+彳《
所以|AB|+|CD|e2灰,半
L3J
綜上可知,|A@+|CD|e2J&乎一」4同+|0)|的最小值為2#
【點睛】
思路點睛:解決直線與橢圓的綜合時,要注意:
(1)注意觀察應用設中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件;
(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)之的關系、弦、斜
率、三角形的積等
2.(河南新鄉(xiāng)市?三二模(理))已知橢圓C:=+與=l(a〉b>0)的左、右點分別為A,B,E為
ab
C上不同于A,B的動點,直線AE,3E的斜率&1E,kBE滿足Mur&E=—;,理?理的最小值為-
4
(1)求C的方程;
(2)。為坐標原點,過。的兩條直線〃滿足4〃AE,且4,4分別交。于M,N和尸,
Q.試判斷四邊形MPNQ的積是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
22
【答案】(1)—+^=1;(2)是定值,8A/2.
84
【分析】
⑴由A(—a,O),B(a,O),設現(xiàn)工,%),可得AE-BE=^x^-c1,結合已知列方
aa
程求參數(shù)。、b、c,寫出橢圓方程即可;
(2)由橢圓對稱性知:SMPNQ=4S-OMP,設/2的斜率分別為尢,k2,由設知匕?42=—;,討論直
線MP的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,應用根與系數(shù)關系確定S"取2是否為定值.
【詳解】
22
(1)設E(Xo,%),則與+四=1,故A(—a,0),8(。,0),
a2b12
b21-4
%笫_-ajb2,
L3在XQ—UXQ—4Xn一。2
_一<%2A2
222
又AE-BE=(x0+a)(/o-a)+y;=(x0+a)(x0—a^+b1y=—x^—c>—c,
\a)a
a2=8
由意知:<a22解得
b2=4
—c1=-4
22
橢圓C的方程為土+乙=1.
84
(2)根據(jù)橢圓的對稱性,可知=ON,OP=OQ,
.?.四邊形MPNQ為平行四邊形,所以SMPNQ=4SOMP?
設乙,4的斜率分別為k2,Af(石,%),2(%,%),貝IX=左心①,%=42々②-
又1,2,即占42&1E左BE2,
當M尸的斜率不存在時,%=-%,占=%2.
122
由①x②,得—y;=匕左2片=一一七,結合土+江=1,解得㈤=2,聞=也.
284
SMPNQ=4S「OMP=4*5*|2%卜同=80.
當MP的斜率存在時,設直線MP的方程為〉=履+〃2,
y=kx+m
聯(lián)立方程組得%2y2,得(2左之+1)%?++2帆2—8—0,則
T+T-
4km2
A=(4M*2-4(2jt2+l)(2m2-8)=8(8^2+4-m2j>0,即石+%2m-8
2^+1,X1%2-2^+1
22
..‘I%y2kxx+mkx2+mkx1x2+km^+x2)+m1
左]?左2=----------------------------------,
石工22
e^L4km
+km+,m2
2k2+1{2k2+1
----=——,整理得:m2=4A:2+2.
2m2-82
2k2+1
由直線MP過(0,加),SMPNQ=45noMP=4x:x|m\\xi-x^=2\m\-
22m2-84^2Im\-y/sk2+4-m2
=21%一2%I-4x
<2k+12k2+12k2+1
2
將m=4/+2代入,整理得SMPNQ=8^/2.
綜上,四邊形MPNQ的積為定值,且為8啦.
【點睛】
關點點睛:
(1)應用兩點斜率公式、向量數(shù)量積的坐標表示,求心E^BE,理.而關于橢圓參數(shù)的代數(shù)式,結合
已知條件列方程求參數(shù),寫出橢圓方程;
(2)利用橢圓的對稱性,由直線與橢圓的位置關系,討論直線斜率的存在性,結合直線與橢圓方程及根
與系數(shù)關系,求四邊形的積并判斷是否為定值.
22
3.(天津濱海新區(qū)?三月考)已知橢圓C:=+與=1(?!?>0)過點P(2,l),耳、工分別為橢圓。的
ab
左、右焦點,且麗?用=-1.
(1)求橢圓c的方程;
(2)過P點的直線乙與橢圓C有且只有一個公共點,直線乙平行于OP(。為原點),且與橢圓。交于
4、8兩點,與直線x=2交于點M■介于/、8兩點之).
(z)當APAB積最大時,求4的方程;
3)求證:
【答案】(1)土+匕=1;(2)⑴y=-x-y[2-Qi)證明見解析.
822
【分析】
(1)根據(jù)條件求出力,即可寫出橢圓方程;
(2)(/)設直線4的方程為>=;%+/,聯(lián)立橢圓方程,表示出RPAB,可求出S"AB最大時?的值,即
可得出/2的方程;
\PA\\PB\
(ii)要證明結論,只證明三£=片£,即證直線x=2為NAPB的平分線,轉化成證明:
|MA||MB|
kpA+kpB=0.
【詳解】
(1)設耳(—c,0),乙(。,0),則尸耳二(—c—2,—1),PF2=(C-2-1),
■:PF、,PF?=—c2+4+1=—1,/.c-V6,
41
又尸(2,1)在橢圓上,故+=1,
ab
又“2=+6,解得〃2=8,b?=2,
22
故所求橢圓C的方程為—+^=1.
82
(2)(z)由于左OP=L,設6的方程為丁+Axy
22
1
y=—x+t
-2
由<消去y整理得/+2a+2產一4=0,
22
%.丁-i
I--8-----1----2---—1
Xj+x2=-It
由達定理可得:<XjX2=2/-4
△=—蟲―4)〉O=〃<4
則|AB|=
當且僅當4—/=/,即〃=2時,等號成立.
又M介于A、8兩點之,故/=-J5.
故直線AB的方程為:y=;x—垃.
\PA\\PB\
⑺要證結論成立,只證明而
\MB\
由角平分線性質即證:直線x=2為NAPB的平分線,
轉化成證明:kPA+kPB=0.
由于PA
$一2%—2
(%1-2)(x2-2)
_再々+(/-2)(再+%2)—4?-1)_2t2-4-2?(?-2)-4(r-l)_-4+4?-4?+4
(%;-2)(x2-2)(X[-2)(%2-2)(%1-2)(x2-2)
因此結論成立.
【點睛】
本考查橢圓方程的求法,考查弦公式,考查點到直線的距離公式,考查橢圓中三角形積利用基本不
等式求最值,考查了學生的邏輯推理能力與運算能力,屬于.
22
4.(山東泰安市?三月考)已知橢圓C:?+g=l(a>b>0)過點P(2,l),耳,鳥分別為橢圓C的
左、右焦點且兩?理=-1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過尸點的直線4與橢圓C有且只有一個公共點,直線4平行于OP(。為原點),且與橢圓C交于兩
點/、B,與直線x=2交于點Af(M介于4、B兩點之).
(力當△PA5積最大時,求,2的方程;
5)求證:|「/伙例=|「訓肱4|,并判斷/1,/2,PA,P3的斜率是否可以按某種序構成等比數(shù)列.
221
【答案】(1)土+匕=1;(2)⑴y=-x+y/2;Qi)證明見解析,不可能構成等比數(shù)列.
822
【分析】
(1)設月(-60),工(c,0).求出兩,班的坐標,根據(jù)理.可[=—1,求出c.把點P(2,l)代入橢
圓方程,結合a=b+c,求出。,b,即得橢圓C的方程;
⑵(i)設4方程為>=g%+/,A(Xi,%),5(%,%)?把直線4的方程代入橢圓方程,由達定理、
弦公式求出|AB|.由點到直線的距離公式求出點尸到/的距離d,則S=-\AB\d,根據(jù)基本不等
式求積的最大值,即求4的方程;(而)要證結論成立,只證明三三=三S,即證直線1=2為
ZAPB的平分線,轉化成證明kPA+kPB=0.
又4與c有一個公共點,即4為橢圓的切線,可求&=yL=2=—L又見=;.由意—L:,
kpA,-4以四個數(shù)按某種序成等比數(shù)列,推出矛盾,故不可能構成等比數(shù)列.
【詳解】
⑴設耳(-c,0),工(c,0),
則麗i=(_c_2,_l),PF2=(c-2,-l).
?.?兩尾=-。2+4+1=一1,;.c=娓.
又尸(2,1)在橢圓上,故E+7T=1,
ab
又a?=/+$,解得/=8,b?=2,
22
故所求方程為工+匕=1.
82
(2)(z)由于左op=g,
設,2方程為y=gx+%,人(%1,,2),區(qū)(%2,%).
1
y=—x+t
2
由<消整理得必+
22y2a+2/—4=0,
%J-1
[82
芯+%2=-2%
再%2=2/一4
A=—4(2_4)〉0n2<4
當且僅當4—/=/,2/=4,即/=2時,等號成立.
故直線月8的方程為:y=-x±V2.
2
\PA\\PB\_
(ii)要證結論成立,只證明:而
\MB\
由角平分線性質即證:直線x=2為NAPB的平分線,
轉化成證明:kPA+kPB=0.
71Vl—1必一1
因為左6+kpB——~
再_2x2-2
[]尤1+,_1(尤2-2)+Qx2+^-1(尤1-2)
(%1-2)(々-2)
玉,2+('—2)(玉+%2)—4(,-1)
(x;-2)(x2-2)
_2t2-4-2f?-2)-4(/-1)——4+4/-由+4
(%-2)(%-2)(%1—2)(%2-2)
因此結論成立.
又/與。有一個公共點,即/為橢圓的切線,
221
由工+匕=1得/=2-工/
824
令x>0,y>0,
_£
Ii,-2%~x
則y=2'/,y=/=
V42^17J32.4-
所以了壺=—g,所以勺=—]
故所研究的4條直線的斜率分別為-工,kpA,-kPA,
若這四個數(shù)成等比數(shù)列,且其公比記為q,
則應有q=T或/=—1,或/=—i.
因為/=一1不成立,所以q=T,
而當q=-1時,左PA=;,kPB=>
此時直線P8與4重合,不合意,
故/-4,PA,P8的斜率無論怎樣排序都不可能構成等比數(shù)列.
【點睛】
本考查橢圓的方程,考查弦公式、點到直線的距離公式、基本不等式和等比數(shù)列等知識,考查學生的
邏輯推理能力和運算能力,綜合性強,屬于.
22
5.(浙江紹興市?三一模)已知拋物線6:必=4'和橢圓。2:、+(=1如圖,經過拋物線G焦點產
的直線/分別交拋物線G和橢圓于/,B,C,。四點,拋物線G在點/,8處的切線交于點尸.
y
(i)求點P的縱坐標;
(2)設M為線段A3的中點,PM交G于點。,3。交AP于點?.記口TC。仙Q3P的積分別為
品52.
(i)求證:。為線段的中點;
S.8
(ii)若寸=7,求直線/的方程.
)2'
【答案】(1)-1;(2)(i)證明見解析;(ii)y=x+l或y=—x+1.
【分析】
(1)假設點A3坐標并得到直線/的方程,同時得到點2處的切線方程,然后得到點尸的坐標,根據(jù)
直線/與拋物線聯(lián)立方程,使用達定理可知結果.
2
(2)(i)得到的坐標,然后根據(jù)中點坐標公式可得結果;(ii)依據(jù)S/AB=§SRB,得到
8\CD\....
A了扃,然后利用弦公式計算最后根據(jù)等式進行計算即可.
S?
【詳解】
(Qc
(1)解:設點A再,才,Bx2,直線/的方程為丁=履+1.
(4J
2
x2=4y=>y=—=>yr=—>可知拋物線在點8處的切線的斜率分別為‘■,土
4222
22
拋物線。在點/,8處的切線方程分別為y=2x-2產=迤%-
2424
聯(lián)立方程組,解得點尸的坐標為
y~kX+i,得7-4區(qū)-4=0,A,=16(Zr2+l)>0,
由<
[x=4y
所以西+々=4瓦=-4,所以點P的坐標為(2左,一1),
即點尸的縱坐標為1
(2)(i)證明:由⑴得P(2h—1),M(2左,2左2+1),。(2人/2),
因為(2左2+1)+(—1)=2左2,
所以,點。是線段RW的中點.
(ii)解:因為。分別為線段ABPM的中點,所以
2113
所以STAB=]S—PAB,所以邑=QBP=5SQMBP=ZS|3PAB=&^UTAB,
Si_STD_8S^TCD_8CD\
所以S23s3S/AB3AB\
8
設點C。的橫坐標分別為W,所,
\y=kx,+\
由〈得(4左2+3)x?+8H—8=0,42=96(2左2+1)>0,
崗1+■)廳―012=0
b?8k8
所以『"一EX"E'
所以?再0F=4指?巨膽曰
由⑴得|A@=J1+左2.,(再+%)2_4再尤2=4('+11
S]_8CD\_876以2+1
所以,同=§.布=亍.(4公+3)病+]
2x+l-16f—20x-5
設/(%)=(SO),則/'(%)=<0,
(4x+3)2(x+1)(4x+3)3(x+1)2
所以/(%)在[0,+8)上單調遞減.
因為之一"⑹斗所以/(X)=5占,所以左2=1,即八±1,
經檢,符合條件,所以直線/的方程為>=x+l或y=-x+1.
【點睛】
思路點睛:第(1),①假設直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立,使用達定理;②得到在A,B處切線
S8CD\
方程并聯(lián)立得到點P坐標;③計算即可.第(2),①得到積的比值”=三丹;②利用弦公式
S23AB\
得到③計算得到女.
6.(江蘇鹽城市?三二模)已知直線/:y=x+加交拋物線
(1)設直線/與x軸的交點為T.若有=2歷,求實數(shù)小的值;
(2)若點M,N在拋物線C上,且關于直線/對稱,求證:四點共圓.
【答案】(1)機=一8;(2)證明見解析.
【分析】
(1)設A(XI,%),B(X2,%),直線方程代入拋物線方程后由判別式得根的范圍,由達定理得
再由向量的數(shù)乘可得%+2%=0,結合達定理可得%,%,機值;
(2)設/(%,%),"(5,%),由對稱性得”=一4-%,x4=-4-2m-x3.再由M,N在拋物線上,代入
變形得力與機的關系,然后計算應5.麗,得
同理NALNB,得證四點共圓.
【詳解】
y=x+m。
解:由<得y—4y+4m=0.
[y?=4%
設Aa,%),*%,%),
則%+%=4,%%=4加.
因為直線/與C相交,
所以A=16-16加>0,
得m<1.
(1)由才了=2TB,得X+2%=0,
所以4+%=0,解得%=一4,
從而%=8,
因為必為=4加,
所以4m=-32,解得機=-8.
(2)設〃(七,丁3)川(》4。4),
因為M,N兩點關于直線y=x+m對稱,
=4=1
22
則迎一退y4y3%+為
44
解得乂二-4-%.
又&±%=皿+加
22
于是土&±叢=土乜+機
22
解得》4=-4-2"-%3.
又點N在拋物線上,
于是(-4-%)2=4(-4-2加-%).
2
因為y3=4x3,
2
所以y3+4y3+16+47n=0,
于是庇?礪=(再-退)(馬-九3計(X-%)(%一%)
2222
=%-?(牛-%)(%-%)
="%處F[(x-%)(%-%)+16]
"%)[弘>2+%(乂+%)+^+16]
lo
因此
同理M41,NB
于是點M,N在以AB為直徑的圓上,
即A,5,M,N四點共圓.
【點睛】
方法點睛:本考查直線與拋物線相交,解方法是設而不求的思想方法,如設交點坐標為
4(和乂),8(%,%),直線方程代入拋物線方程后應用達定理可得%+%,%%,再利用向量的線性運
算求得M,%關系,從而可求得%,為,機值.
7.(內蒙古赤峰市?三月考(理))已知橢圓£:[+,=l(a〉b〉0)的離心率為半,且過點
(V3,l).
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)過橢圓E右焦點的直線h4相互垂直,且分別交橢圓E于48和C、。四點,求|4卻+|。。|的最
小值.
22
【答案】(1)土+匕=1;(2)276.
62
【分析】
(1)設橢圓的標準方程為W+/=l,將點(6,1)代入方程,由5=9,結合a2=〃+c2即可求解.
(2)當直線4的斜率為0時,分別求出|A創(chuàng),|8|,可得|AB|+|CZ)|;當直線4的斜率不存在時,求出
\AB\+\CD\;當直線4的斜率存在且不為。時,直線4的方程可設為%=切+2(m。0),可得直線4的方
程為工=-1丁+2,分別將直線與橢圓聯(lián)立,利用弦公式求出|。必,可得
m
2
8mlm2+1,2
\AB\+\CD\=,令加?+1=八構造函數(shù)g(f)=3/;由4即可求解.
3m+10m2+3
【詳解】
解:(1)由意可設橢圓的標準方程為二+二1
a
V6cV6
由e即
再由/=/+,
可得a=6b①
將點(G』)代入橢圓方程,可得/+3=i②
由①②可解得=J5
故橢圓的方程為三+上=1
62
(2)由(2)知,橢圓右焦點為(2,0),
設A(%,%),8(%2,%),。(%3,%),。(X4,%)
當直線4的斜率為。時,|A用=2。=2指,直線,2:X=2,可得g力=平
876
所以|AB|+|CD|=2#+=
亍
當直線4的斜率不存在時,直線人的斜率為o,|A@+|cq=乎
當直線人的斜率存在且不為0時,直線k的方程可設為x=my+2(m^0),
則直線,2的方程為工=—,y+2
m
[22
二+匕=]
?.<62整理得(加2+3)y2+4m>-2=0
x=my+2
A=16加2+8(加之+3)>0恒成立,
4m
%+%=_
m2+3
則<
2
%%=一
m~+3
而=Vl+m2=Vl+m2+%『—4%%
2
/—f7M2+1療+1'8V6(m+l
則|AB|十|CD|=^m2+3+3m2+l
73m4+10m2+3
令療+i=f
d_1_1
令gU尸3r+4"4=44=~(2~V~
V+7+3-H+4
所以|AB|+|CD|e276,—,
L3,
綜上"AB|+|CD|e2瓜崢
當相2=1時,|AB|+|CD|的最小值為2的.
【點睛】
關點點睛:本考查了直線與橢圓的位置關系,弦公式,解的關是利用弦公式以及達定理得
中86(療+1)一老杳了物-—管”后辦.H?八咕田相
出|八§||1。刈=、______-_,考查了數(shù)學運算以及分類討論的思想.
11113m4+10/7?2+3
8.(全國大聯(lián)考(理))已知拋物線C:/=2px(p〉0)的焦點為尸,過點歹且垂直于X軸的直線與C交
于A,3兩點,[]A03(點。為坐標原點)的積為2.
(1)求拋物線C的方程;
()()的傾斜角互補,直線4與拋物線C交于”,N兩點,直線4與
拋物線C交于P,Q兩點,口FMN與△尸尸。的積相等,求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】(1)/=4%;(2)(0,l)U(l,V2).
【分析】
(1)由焦點/1?l,。],求得點A3的坐標,然后根據(jù)DAOB的積為2求解;
(2)設直線/]:x=/(y-a),聯(lián)立方程可得「結合達定理,利用弦公式求得MN,以
x=tyy-a)
及焦點/到直線4的距離,求得S:FMN,將f用T替換,得到S:FP2,由力,=SAFP。,可得f與。的關
系,然后再結合判別式大于求解.
【詳解】
(1)因為焦點歹已o],所以點43的坐標分別為,,“,,,-p)
所以S^°B=:2P£=2,故°=2.
故拋物線C的方程為:/=4x.
(2)由意可知直線4的斜率存在,且不為o,設直線乙:x=/(y-。).
點Ng%).
y2=4x,
聯(lián)立方程可得</消去了,可得好―4k+4G=0.
x=tyy-av)
則A[=16t2-16at>0.
因為M+%=4,X%=4G,
所以|=Jl+/卜i—=Jl+/J16(/2—=4,1+1?~~at,
11+^1
焦點尸到直線k的距離d=,
2
所以S^FMN=7x4,1+/J/一或xI!=2yJt—at11+以|.
2,1+產
A=16t+16at>0,
將,用T替換,可得S“p0=2獷嬴憶―1|
由S△尸皿=§△尸PQ可得2-at|1+tc^—2J/+at^tci—1|,
即上g=絲乙,兩邊平方并化簡可得/=」^,
\t-ata-12-a
所以2—〃〉0,解得0<q<血.
又由4>。且4>。得,<一?;?>。,可知產〉片,
所以」方>/,即/I)所以awl,
所以實數(shù)a的取值范圍是(O」)U(1,0).
【點睛】
方法點睛:(1)解決直線與曲線的位置關系的相關,往往先把直線方程與曲線方程聯(lián)立,消元、化
簡,然后應用根與系數(shù)的關系建立方程,解決相關.涉及弦中點的常常用“點差法”解決,往往會
更簡單.
(2)解決直線與曲線的弦時,往往設直線與曲線的交點坐標為N(xi,刃),8(X2,y2),
則\AB\=J(l+左2)[包+々)2-=J(1+:T)](X+—4%.為]也為直線斜率).
注意:利用公式計算直線被橢圓截得的弦是在方程有解的情況下進行的,不要忽略判別式大于.
22
9.(江西八校4月聯(lián)考(理))已知橢圓E:0+方=1(。>/,〉0).左焦點E(TO),點"(0,2)在
橢圓E外部,點N為橢圓E上一動點,且口凡〃尸的周最大值為2百+4.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)點8、C為橢圓E上關于原點對稱的兩個點,A為左點,若直線A3、AC分別與》軸交于尸、。
兩點,試判斷以PQ為直徑的圓是否過定點.如果是請求出定點坐標,如果不過定點,請說明理由.
22
【答案】(1)3+專=1;(2)是,定點為(6,0)和卜6,0).
【分析】
(1)口尸的三邊有一邊已經確定,轉化為,何時另外兩邊之和最大,結合橢圓的定義,以及三角
形兩邊之差小于第三邊即可確定思路;
(2)分直線3c斜率存在與不存在分別研究,不存在容易得出定點,存在時,可以設出斜率左,再聯(lián)立橢
圓方程,求出P,Q坐標,最后求出以尸。為直徑的圓的方程,方程里含有3再令0即可.
【詳解】
(1)設右焦點為耳,則閨+2?=百=產町|
.■.(|W|+|A^F|)max=4+275-75=4+V5
xv|2VF|=2。-四|
\MN\+1N用=|MNI-1Nf;I+2a<\MFt\+2a
即N點為“可與橢圓的交點時,周最大
,/\MF^=A/5,所以2a+A/5=4+y[5=>a=2,c=1
b=y/a2—c2=A/3
22
所以橢圓E的標準方程為工+匕=1
43
⑵由⑴知A(-2,0),設8(%,%),則C(-%,-%)
當直線斜率存在時,設其方程為丁=履
y=kx
12
聯(lián)立口匚戶9;MF
[43
設尸。中點為S,則s
所以以PQ為直徑的圓得方程為
即尤2+y2+_y_3=0
k
令y=o,得了=土也
所以過點(6,0)和卜6,0),且為定點.
當直線BC斜率不存在時,容易知道5(0,5,C(o,-V3)
此時P(0,石),Q(0,—石)
所以以PQ為直徑的圓是以原點為圓心,石為半徑的圓,顯然也過定點(6,0)和卜6,0)
綜上,此圓過定點(G,o)和卜6,0)
【點睛】
方法點睛:對于過定點的,可以先通過特殊情況得到定點,再去證明一般得情況.
22
10.(天津南開區(qū)?三一模)已知橢圓T+與=l(a〉b>0)的左、右焦點分別為耳,F(xiàn)2,右點為點
ab~
A,點E的坐標為(0,4),延線段1交橢圓于點M,MB,》軸.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設拋物線丁=彳笈的焦點為b,8為拋物線上一點,忸同=《。,直線W交橢圓于尸,。兩
42
點,若|AP「9+|AQ『9=歹,求橢圓的標準方程.
22
n%?y7
【答案】(1)(2)504126
2-----------
3131
【分析】
⑴由意可得E為耳M的中點,從而有閨閭=2|OE|=g,則有之=《,得:=(,進而可求出橢
圓的離心率;
(2)由拋物線的定義可得/=?人,從而可求得點3(亞b,四或3(亞瓦-約5與,當
8(孝5,苧時,可得直線3斤的方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,消去%,再利用根與系數(shù)的關系得
y+%=—X5瓦%為=—§/,從而把|AP「+|AQ「表示出來,列方程得求出
515133
b-=—,進而可求出橢圓的方程
31
【詳解】
解:(1)由意得在△耳8M中有4耳心,OE,耳耳,
因為。為片心中點,則E為耳”的中點,
(hh
因為E的坐標為Oq,所以|。目="寓M|=2|O同=5,
b2
令兀=。,得y=±_,
a
h1bh1
則意得y”〉o,所以幺=2,得一=:
設2(國,%),。(尤2,%),
因為忸耳所以九5=1~人,代入中得,y=±12后8,
3335
12小匕
當3(亞瓦坦6。)時,kBF—=與,則直線8斤的方程為x=^y+[。,
55——萬一
5
A1丫22
因為一==,所以。=26,則橢圓方程為二+與=1,即/+4丫2=4〃,
a24/72h2
x2+4/=4b-
-2424,64"c
由<26,得彳y2+-=by--b-=O,
x=-j=y-\--b55,7525
貝UM+%=-豐",
212212412368,
所以尤1+%=而(/+%)+二匕=一1>+二》=2。,再々=1%%+法(%+%))+石9>,
所以|AP「+|AQ-=(七一2?2+y:+(9—26)2+
二/2+yj+X,+y2_4Z?(X1+x0)+Sb
22-2
=(玉+x2)+(%+y2)-2xrx2-2%%4b(x1+x2)+8b
1,16,16,3142
=4b92+-b2——b2+—b2-4b-2b+Sb92=—b92=—,
5515155
得八M
當3(日瓦—今5。)時,同理可得從=號,
…,21262504
綜上,b=---,a=4b=----,
3131
3131
【點睛】關點點睛:此考查拋物線的定義的應用,考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓的位置關
系,解的關是由已知條件求出點B的坐標,求出直線BF的方程,再與橢圓方程聯(lián)立方程組,然后利
用根與系數(shù)的關系,再由+|AQ『=日列方程求出126
力,屬于較
22
11.(四川成都市?三二模(文))已知橢圓C:.+%=i(a>b>0)經過點,其半軸
為2.
(1)求橢圓。的方程;
(II)設經過點8(-1,0)的直線/與橢圓C相交于。,E兩點,點E關于%軸的對稱點為歹,直線。尸與
x軸相交于點G,求DBEG與DBDG的積分別為加,邑,求應-S?1的最大值.
r23
【答案】(I)---1-2=1;(II)—.
44
【分析】
(I)由軸知〃=2,結合橢圓過/點,求
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