人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓《圓 單元整 理復(fù)習(xí)》示范公開課教學(xué)課件

第24章

圓

整理與復(fù)習(xí)請(qǐng)你帶著下面的問(wèn)題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

1．圓的位置及大小由哪些要素確定？如何從點(diǎn)的集合的角度理解圓的概念？

2．垂直于弦的直徑有什么性質(zhì)？在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角以及它們所對(duì)的弧、弦有什么關(guān)系？這些關(guān)系和圓的對(duì)稱性有什么聯(lián)系？

3．同弧所對(duì)的圓周角和它所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系？你能舉出一些它們的實(shí)際應(yīng)用嗎？請(qǐng)你帶著下面的問(wèn)題，進(jìn)入本課的復(fù)習(xí)吧！

4．點(diǎn)和圓有怎樣的位置關(guān)系？直線和圓呢？你能舉出這些位置關(guān)系的一些實(shí)例嗎？你能用哪些方法刻畫這些位置關(guān)系？

5．你能用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)三角形的外接圓和內(nèi)切圓嗎？圓的內(nèi)接四邊形有什么性質(zhì)？正多邊形和圓有什么關(guān)系？

6．怎樣由圓的周長(zhǎng)和面積公式得到弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式？由題意，知

OA＝OD＝1

m，EA＝0.6

m，根據(jù)勾股定理，得

OE＝0.8

m．

∵EF＝0.2

m，∴OF＝0.6

m．在

Rt△ODF中，F(xiàn)D＝

＝0.8

m，

∴CD＝1.6

m．

例1

一條排水管的截面如圖，已知排水管的半徑

OA為

1

m，水面寬

AB為1.2

m，某天下雨后，水管水面上升了

0.2

m，則此時(shí)排水管水面寬

CD等于_______m．考點(diǎn)一垂徑定理及其推論DBACFEO

解析：如圖，連接

OD，作

OE⊥AB，垂足為

E，與

CD交于點(diǎn)

F．

1.6考點(diǎn)一垂徑定理及其推論常用的輔助線：在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常過(guò)圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，在弦長(zhǎng)、弦心距、半徑三個(gè)量中，已知任意兩個(gè)可求另一個(gè)．M考點(diǎn)一垂徑定理及其推論

1．如圖，在

⊙O中，AB為

⊙O的弦，C，D是直線

AB上的兩點(diǎn)，且

AC＝BD．求證：△OCD是等腰三角形．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)

O作

OM⊥AB，垂足為

M．DACOB

∵OM⊥AB，∴AM＝BM．

∵AC＝BD，∴CM＝DM．又∵OM⊥AB，

∴OC＝OD，

∴△OCD為等腰三角形．垂徑定理及其推論的四個(gè)應(yīng)用（1）計(jì)算線段的長(zhǎng)度：常構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算；（2）證明線段相等：根據(jù)垂徑定理平分線段推導(dǎo)線段相等；（3）證明等弧；（4）證明垂直：根據(jù)垂徑定理的推論證明線段互相垂直．考點(diǎn)一垂徑定理及其推論考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

例2

如圖，AB是⊙O

的直徑，點(diǎn)

C，D，E

在⊙O

上，若∠AED＝20°，求∠BCD的大?。?/p>

分析：進(jìn)行與圓有關(guān)的角度的相關(guān)計(jì)算時(shí)，一般先判斷角是圓周角還是圓心角，再轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角或圓心角，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半等關(guān)系求解．DACBEO考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

解：連接

AC，則∠ACD＝∠E＝20°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB

＝20°＋90°＝110°．見到直徑，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，這是圓中重要的輔助線作法．DACBEO考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

例3

如圖，圓內(nèi)接四邊形

ABCD兩組對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)

E，F(xiàn)，且∠A＝55°，∠E＝30°，則∠F＝_______．

解析：∵四邊形

ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ECD＝∠A＝55°．

∵∠E＝30°，

∴∠EDC＝180°－∠E－∠ECD＝95°，

∴∠CBA＝∠EDC＝95°．又∵∠BCF＝∠ECD＝55°（對(duì)頂角相等），

∴∠F＝∠CBA－∠BCF＝40°．40°DACBEOF利用圓周角定理及其推論證明時(shí)常用的思路（1）在同圓或等圓中，要證明弧相等，考慮證明這兩條孤所對(duì)的圓周角相等．（2）在同圓或等圓中，要證明圓周角相等，考慮證明這兩個(gè)圓周角所對(duì)的弧相等．（3）當(dāng)有直徑時(shí)，常利用直徑所對(duì)的圓周角為直角解決問(wèn)題．（4）涉及圓的外部的角時(shí)，可利用圓內(nèi)接四邊形轉(zhuǎn)到圓的內(nèi)部處理．考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

1：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝(180°－64°)＝58°．DACBO考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

2：如圖，連接

AB，則∠B＝∠D＝32°，DACBO

∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝58°．

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝58°．考點(diǎn)二與圓心角、圓周角有關(guān)的計(jì)算

2．如圖，A，D是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑．若∠D＝32°，則∠OAC等于（）．

A．64°

B．58°

C．72°

D．55°

解析：方法

3：如圖，延長(zhǎng)

AO交⊙O于點(diǎn)

E．DACBOBE

∵∠D＝32°，∴

所對(duì)的圓心角為

64°，

∵AE為⊙O的直徑，

∴

所對(duì)的圓心角為180°，

∴

所對(duì)的圓心角為116°，

∴∠OAC＝58°．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定

例4

小紅家的鍋蓋壞了，為了配一個(gè)鍋蓋，需要測(cè)量鍋的直徑（鍋沿所形成的圓的直徑），而小紅家只有一把長(zhǎng)為

20

cm的直尺，怎么辦呢？小紅想了想，采取了以下辦法：如圖，首先把鍋平放到墻根，鍋沿剛好靠到兩墻，用直尺緊貼墻面量得

MA的長(zhǎng)，即可求出鍋的直徑，請(qǐng)你說(shuō)明她這樣做的理由．AMB考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定

解：假設(shè)圓心為O，如圖，連接

OA，OB．

∵M(jìn)A，MB與⊙O分別相切于點(diǎn)

A，B，

∴∠OAM＝∠OBM＝90°．又∵∠BMA＝90°，OA＝OB，

∴四邊形

AOBM為正方形．

∴先量得

MA的長(zhǎng)，再乘

2就是鍋的直徑．AMBO切線在現(xiàn)實(shí)生活中是大量存在的，運(yùn)用切線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是作出過(guò)切點(diǎn)的半徑，從而構(gòu)造出直角三角形、正方形等，進(jìn)而結(jié)合相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定

例5

如圖，在

Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交

BC于點(diǎn)

D，以

D為圓心，DB的長(zhǎng)為半徑作

⊙D．

求證：AC與

⊙D相切．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)

D作DF⊥AC于點(diǎn)

F．ACBD

∵∠B＝90°，

∴DB⊥AB．

∵AD平分∠BAC，

∴BD＝DF，

∴AC與⊙D相切．F考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定證明一條直線是圓的切線的方法（1）當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，只需“連半徑、證垂直”即可；（2）當(dāng)已知條件中沒(méi)有指出圓與直線有公共點(diǎn)時(shí)，常運(yùn)用“d＝r”進(jìn)行判斷，輔助線的作法是過(guò)圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定

3．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)

C，D在圓上，且四邊形

AOCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)

D作

⊙O的切線，分別交

OA延長(zhǎng)線與

OC延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E，F(xiàn)，連接

BF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）已知圓的半徑為

1，求

EF的長(zhǎng)．

解：（1）連接OD．∵四邊形AOCD是平行四邊形，∴AD∥OC．∴∠FOB＝∠DAO，∠FOD＝∠ODA．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠FOB＝∠FOD．又∵OB＝OD，OF＝OF，∴△FOB≌△FOD，∴∠FBO＝∠FDO．∵EF是⊙O的切線，∴∠FDO＝90°，∴∠FBO＝∠FDO＝90°．∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定

∵∠EDO＝90°，∠DOA＝60°，∴∠FEB＝30°，∴EF＝2BF＝2．

解：（2）∵OA＝OC，四邊形AOCD是平行四邊形，∴?AOCD是菱形．∴AD＝AO＝OD，∴∠DAO＝∠DOA＝60°，∴∠FOB＝60°．在Rt△OBF

中，∵OB＝1，∠FBO＝90°，∠BFO＝30°，∴OF＝2OB＝2，∴BF＝＝＝．考點(diǎn)三切線的性質(zhì)和判定考點(diǎn)四正多邊形和圓

例6已知圓的半徑是2

，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）．A．3

B．9

C．18

D．36

解析：如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF，⊙O的半徑為2．

連接OA，OB，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AB，垂足為點(diǎn)G．

∵OA＝OB＝2

，∠AOB＝

＝60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB＝2．GOFEDCABC

∵OG⊥AB，∴AG＝

AB＝

．在

Rt△AOG中，根據(jù)勾股定理，得考點(diǎn)四正多邊形和圓GOFEDCAB

OG＝

＝3，

∴S△AOB＝

AB·OG＝×2×3＝3．

∴S正六邊形ABCDEF＝6S△AOB＝6×3＝18．考點(diǎn)四正多邊形和圓

在進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵要明確正多邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距之間的關(guān)系及正多邊形的內(nèi)角和中心角的求法．往往將正n

邊形的一邊與圓的半徑組成一個(gè)等腰三角形，再過(guò)圓心作該邊的垂線，從而得到兩個(gè)全等的直角三角形，最后應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題．考點(diǎn)四正多邊形和圓

4．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則它的內(nèi)切圓的半徑為（）．

A．1

B．C．2

D．2

解析：如圖，由正六邊形的性質(zhì)，知△AOB為等邊三角形，

∴OA＝OB＝AB＝2，AC＝1，由勾股定理，得內(nèi)切圓半徑

OC＝．B

解析：連接

BC．考點(diǎn)五與圓有關(guān)的計(jì)算

例7

如圖，從一塊直徑為

24

cm的圓形紙片上剪出一個(gè)圓心角為

90°的扇形

ABC，使點(diǎn)

A，B，C在圓周上，則剪下的扇形的弧長(zhǎng)是________cm（結(jié)果保留

π）．ACBO

∵∠BAC＝90°，

∴BC是直徑．

∵AB＝AC，BC＝24

cm，

∴AB＝AC＝12

cm，

∴

的長(zhǎng)＝

＝6

π

cm．6

π考點(diǎn)五與圓有關(guān)的計(jì)算

例8

如圖，AB是半圓

O的直徑，C，D是半圓

O的三等分點(diǎn)，若弦

CD＝2，則圖中陰影部分的面積為________．

解析：如圖，連接

OC，OD，BD．

∵C，D是半圓

O的三等分點(diǎn)，

∴∠1＝∠2＝∠3＝60°．

∴△OCD與△OBD都是等邊三角形，∴∠4＝60°，OB＝CD＝2．

∵∠3＝∠4＝60°，∴CD∥AB，∴S△OBD＝S△OCD＝S△BCD，

∴S陰影＝S△BCD＋S弓形＝S△OBD＋S弓形＝S扇形OBD＝

＝

π．ODCAB3214

π考點(diǎn)五與圓有關(guān)的計(jì)算與圓有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題包括圓的面積和周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積等．求弧長(zhǎng)及扇形面積時(shí)，一要準(zhǔn)確記憶相關(guān)公式；二要會(huì)合理轉(zhuǎn)化圖形，即化立體圖形為平面圖形，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形．考點(diǎn)五與圓有關(guān)的計(jì)算

5．如圖，分別以五邊形

ABCDE的頂點(diǎn)為圓心，1為半徑作五個(gè)圓，則圖中陰影部分的面積之和為（）．A．π

B．3π

C．π

D．2π

解析：∵五邊形的內(nèi)角和為(5－2)×180°＝