計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第五章曲線和曲面

第五章曲線和曲面

5.1曲線的數(shù)學(xué)表示1）顯示表示：y=f(x)2）隱式表示：f(x,y)=03）參數(shù)表示：P(t)=[x(t),y(t)]

在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：（1）容易滿足幾何不變性（與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)）的要求。（2）有更大的自由度來(lái)控制曲線、曲面的形狀。（3）可對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換，而不需要逐點(diǎn)變換。（4）便于處理斜率為無(wú)窮大的情形，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。（5）便于把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間中去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t∈[0,1]，使得界定曲線、曲面的范圍十分簡(jiǎn)單。（7）易于用矢量和矩陣運(yùn)算，從而大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。5.2曲線分析

1）曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架設(shè)曲線為P(t)=[x(t),y(t),z(t)]，則：切矢量：P’(t)（當(dāng)t為弧長(zhǎng)時(shí)是單位矢），單位切矢記為T。法矢量：過(guò)曲線上任意一點(diǎn)，以切矢為法線的平面稱為法平面。主法矢：當(dāng)以弧長(zhǎng)為參數(shù)時(shí)，切矢的導(dǎo)矢是一個(gè)與切矢垂直的矢量，其單位矢稱為主法矢，記為N。副法矢（記為B）B=T×NT(單位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架；N、B構(gòu)成的平面稱為法平面；N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面（它與曲線最貼近）；B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。對(duì)于一般參數(shù)t，有：2）曲線的曲率和撓率曲率：由于T’(s)與N平行，令T’(s)=κN,κ(kappa)稱為曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。κ恒為正，又稱為絕對(duì)曲率。κ曲率的倒數(shù)ρ=1/κ，稱為曲率半徑。撓率：由B(s)·Ｔ(s)=0，兩邊求導(dǎo)，可得：B‘(s)·Ｔ(s)=0；又由|B(s)|2=1，兩邊求導(dǎo)，可得：B‘(s)·B(s)=0；所以，B’(s)∥N(s)，再令B’(s)=-τN(s)，τ(tau)稱為撓率，其幾何意義是副法矢方向?qū)τ诨￠L(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率。撓率大于0、等于0和小于0分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。 對(duì)于一般參數(shù)t，可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計(jì)算公式如下：TNB注意：曲率和撓率是幾何量，其值與參數(shù)的選擇無(wú)關(guān)。示例：左旋右旋螺旋線

當(dāng)圓柱軸線平放時(shí)，用手握住圓柱并伸直拇指，拇指代表動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的方向，其余四個(gè)手指代表動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，符合右手為右旋螺旋線，如圖(ɑ)所示；符合左手為左旋螺旋線，如圖(b)所示。(ɑ)右旋螺旋線(b)左旋螺旋線5.3曲面與曲面分析

1）曲面的表示P=P(u,v)，u1≤u≤u2，v1≤v≤v2固定其中一個(gè)參數(shù)例如v=v0，則曲面變成單參數(shù)u的矢函數(shù)P=P(u,v0)，表示曲面上的一條以u(píng)為參數(shù)的參數(shù)曲線，簡(jiǎn)稱u線。類似地，P=P(u0,v)表示曲面上的一條v線。所以，參數(shù)曲面上存在兩組等參數(shù)線，即一組u線和一組v線。在曲面上一點(diǎn)P(u0,v0)處，總存在一條u線和一條v線。u線在該點(diǎn)有一個(gè)切矢Pu(u0,v0)，稱為u向切矢。v線在該點(diǎn)也有一個(gè)切矢Pv(u0,v0)，稱為v向切矢。這兩個(gè)切矢的矢量積，決定了該點(diǎn)處的曲面法矢n(u0,v0)。將曲面上的每一點(diǎn)P(u,v)，沿法矢方向n移動(dòng)一個(gè)固定距離d，就得到該曲面的一個(gè)等距面P’(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。

如果曲面的兩族等參數(shù)線：u線與v線中，有一組是直線，則稱該曲面為直紋面。它可以看成直線段在空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)掃出的軌跡。直紋面上的直線族稱為母線。在直紋面上取一條曲線與所有母線相交，稱之為準(zhǔn)線。 在準(zhǔn)線ρ=ρ(u)每一點(diǎn)的母線方向上給定一個(gè)非零矢量τ(u)。則直紋面方程可以寫為P(u,v)=ρ(u)+vτ(u)。當(dāng)τ(u)為固定時(shí)，直紋面為柱面。當(dāng)τ(u)為變矢量，且準(zhǔn)線縮為一點(diǎn)時(shí)，直紋面為錐面。機(jī)翼表面通常為直紋面。 如果直紋面沿它的每一條母線只有唯一的切平面（或者說(shuō)沿直母線,法向量平行），則稱該直紋面為可展曲面?？烧骨婵梢酝ㄟ^(guò)簡(jiǎn)單的彎曲來(lái)展平。圓柱面和圓錐面都是可展的，曲線的切線曲面（曲線上所有點(diǎn)的切線的集合）也是可展的，但機(jī)翼的直紋面就不一定。2）直紋面與可展曲面單葉雙曲面和雙曲拋物面都不是可展曲面3）曲面的曲率性質(zhì)研究曲面的彎曲程度，通常是通過(guò)研究法截線的曲率來(lái)實(shí)現(xiàn)的。通過(guò)曲面上一點(diǎn)法線的平面與曲面的交線稱為法截線，法截線的曲率κn稱為法曲率，圍繞法線旋轉(zhuǎn)的每一個(gè)平面會(huì)產(chǎn)生一個(gè)法截線，因此曲面上一點(diǎn)的法曲率有無(wú)窮多個(gè)，這些法曲率的最大值和最小值稱為主曲率，而且兩個(gè)主曲率所在的方向是相互垂直的，稱為主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率計(jì)算：Κn＝κ1cos2θ＋κ2sin2θ其中θ為該方向與主曲率的κ1所在主方向的夾角。兩個(gè)主曲率的乘積稱為高斯曲率（Gaussian）或全曲率、總曲率。兩個(gè)主曲率的均值稱為平均曲率或中曲率。如果曲面上的一條曲線，其切線方向總是在一個(gè)主方向，這樣的曲線稱為曲率線。5.4曲線的插值、逼近與擬合

插值：給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0,1,…,n，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。逼近：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線稱為逼近曲線。擬合：插值與逼近統(tǒng)稱為擬合。多項(xiàng)式插值：通過(guò)n＋1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi（i＝0，1，···n）和對(duì)應(yīng)的參數(shù)ti（i＝0，1，···n）可以構(gòu)造n次插值多項(xiàng)式

其中ai是與Pi維數(shù)一致的向量，例如三維。 多項(xiàng)式逼近： 隨著控制點(diǎn)增多，多項(xiàng)式的次數(shù)不斷增高，擺動(dòng)劇烈，穩(wěn)定性降低。而且常常數(shù)據(jù)點(diǎn)是帶有誤差的，沒(méi)有必要嚴(yán)格通過(guò)，這時(shí)可以用低階多項(xiàng)式進(jìn)行逼近，逼近時(shí)采用的方法通常是最小二乘法：

為一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)(P0,P1,…Pn)賦予相應(yīng)的一組參數(shù)值(t0<t1<…<tn，每個(gè)參數(shù)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn))稱之對(duì)這組數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化。對(duì)一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(P0,P1,…Pn)實(shí)行參數(shù)化的常用方法有以下幾種：均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)，在型值點(diǎn)不均勻時(shí)不理想。累加弦長(zhǎng)參數(shù)化，考慮到弧長(zhǎng)因素：向心參數(shù)化法，又稱平方根法：修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法，在四種方法中效果最好：5.5參數(shù)化

5.6幾何連續(xù)性

設(shè)計(jì)一條復(fù)雜形狀曲線時(shí)，一般是通過(guò)多段簡(jiǎn)單曲線的拼接完成的。這就涉及曲線在拼接處的連續(xù)性問(wèn)題。拼接曲線的連續(xù)性（或稱光滑性）有兩類度量方式：一類稱為參數(shù)連續(xù)性：如果曲線函數(shù)對(duì)表達(dá)它的特定參數(shù)（并非所有參數(shù)）具有直達(dá)n階的連續(xù)導(dǎo)矢，則稱該曲線具有n階參數(shù)連續(xù)性，簡(jiǎn)稱Cn連續(xù)。另一類稱為幾何連續(xù)性：如果曲線函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)參數(shù)具有直達(dá)n階的連續(xù)導(dǎo)矢，則稱該曲線具有n階幾何連續(xù)性，簡(jiǎn)稱Gn連續(xù)。 曲線光滑度的兩類度量并無(wú)因果關(guān)系，都能描述曲線的光滑性。由于弧長(zhǎng)是幾何量，所以幾何連續(xù)性更能夠代表曲線的光滑性。5.6幾何連續(xù)性（續(xù)） 對(duì)于一般參數(shù)表達(dá)的多項(xiàng)式曲線的拼接，要想達(dá)到G2連續(xù)，在連接點(diǎn)處必須滿足：G0連續(xù)：即兩段曲線首尾相接。G1連續(xù)：要求兩條曲線在首尾相接處的切矢方向相同。 因?yàn)閮蓷l曲線對(duì)弧長(zhǎng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是單位矢，再加上方向相同，就意味著兩條曲線在首尾相接處的弧長(zhǎng)參數(shù)一階導(dǎo)矢連續(xù)。G2連續(xù)：要求曲率相同，并且副法矢方向相同。 曲率相同保證了在首尾相接處弧長(zhǎng)參數(shù)的二階導(dǎo)矢大小相同，副法矢方向相同又保證了弧長(zhǎng)參數(shù)的二階導(dǎo)矢方向（主法矢）相同，即在首尾相接處弧長(zhǎng)參數(shù)的二階導(dǎo)矢連續(xù)。對(duì)一般參數(shù)來(lái)說(shuō)，主法矢是副法矢與切矢的矢量積。5.7參數(shù)三次樣條曲線（插值）

通過(guò)n+1數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi（i＝0，1，···n）的一條分段連續(xù)的3次多項(xiàng)式曲線，如果在兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間表示為一個(gè)三次多項(xiàng)式，各段多項(xiàng)式在數(shù)據(jù)點(diǎn)處（連接處）保持C2連續(xù)性，這種曲線稱為參數(shù)三次樣條曲線，這種樣條曲線使用非常普遍。 具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，設(shè)其參數(shù)分割為u0<u1<…<un，并假設(shè)在端點(diǎn)處的切矢為P’0,P’1,…P’n。則每段曲線的方程可表示為：5.7參數(shù)三次樣條曲線（續(xù)）為了求出P’i，對(duì)參數(shù)u兩次求導(dǎo)得：5.7參數(shù)三次樣條曲線（續(xù)）將上式中的下標(biāo)i換成i-1，得：由二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)得三切矢方程：這里有n+1個(gè)未知量（P’i,i＝0，1，···n），n-1組方程，再加兩個(gè)邊界條件（往往是關(guān)于導(dǎo)數(shù)的），就可以解出未知量，從而得到參數(shù)三次樣條曲線。5.8Bezier曲線1）定義：給定空間n+1個(gè)點(diǎn)的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），則Bezier參數(shù)曲線上各點(diǎn)坐標(biāo)的插值公式是:其中，Pi(i=0,1,…,n)構(gòu)成該Bezier曲線的特征多邊形，Bi,n(t)(i=0,1,…,n)是n次Bernstein基函數(shù)：這里規(guī)定：00=1,0!=1。2）Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)正性：端點(diǎn)性質(zhì)：權(quán)性：對(duì)稱性：遞推性：導(dǎo)函數(shù)：最大值：升階公式：積分性質(zhì)：Bernstein基函數(shù)的圖形(n=5)（基函數(shù)的遞推）3）Bezier曲線的性質(zhì)

端點(diǎn)性質(zhì)：曲線端點(diǎn)就是特征多邊形端點(diǎn)；端點(diǎn)切線與特征多邊形的起始和終止邊走向一致（r階導(dǎo)矢只與(r+1)個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)關(guān)）。對(duì)稱性：將控制頂點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行對(duì)調(diào)，生成的Bezier曲線，形狀不變，走向相反。凸包性：對(duì)于空間分布的點(diǎn)，可以想像一封閉的橡皮膜包住這些點(diǎn)，任其彈性收縮所形成的空間區(qū)域既是該點(diǎn)集的凸包。幾何不變性：Bezier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)的位置有關(guān)，不依賴坐標(biāo)系的選擇。變差縮減性：Bezier曲線與任意平面的交點(diǎn)數(shù)不多于它的特征多邊形與該平面的交點(diǎn)數(shù)。此性質(zhì)反映了Bezier曲線比其特征多邊形的波動(dòng)小，也就是說(shuō)Bezier曲線比特征多邊形的折線更光順。仿射不變性：在仿射變換(保持“直線性”和“平行性”的變換。一般的變換，例如：旋轉(zhuǎn)、平移、放大等都屬于仿射變換，但透視投影就不是)下，Bezier曲線的形式不變，即對(duì)任意的仿射變換A：4）Bezier曲線的遞推算法

計(jì)算Bezier曲線上的點(diǎn)，可用Bezier曲線方程，但使用deCasteljau（德卡斯特里奧）遞推算法則要簡(jiǎn)單得多，實(shí)際上該算法先于曲線方程：上式中：Pi0=Pi是定義Bezier曲線的控制點(diǎn)，P0n即為曲線P(t)上具有參數(shù)t的點(diǎn)，k+max(i)=n。幾何遞推：給定參數(shù)t∈[0,1]，就把定義域分成長(zhǎng)度為t:(1-t)的兩段。依次對(duì)原始控制多邊形每一邊執(zhí)行同樣的定比分割，所得分點(diǎn)就是第一級(jí)遞推生成的中間頂點(diǎn)Pi1(i=0,1,...,n-1)，對(duì)這些中間頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形再執(zhí)行同樣的定比分割，得第二級(jí)中間頂點(diǎn)Pi2(i=0,1,...,n-2)。重復(fù)進(jìn)行下去，直到n級(jí)遞推得到一個(gè)中間頂點(diǎn)P0n即為所求曲線上的點(diǎn)P(t)。5）Bezier曲線的拼接

Bezier曲線是由n+1個(gè)頂點(diǎn)控制的n次多項(xiàng)式。由于多項(xiàng)式曲線的次數(shù)不易過(guò)高，所以當(dāng)n較大時(shí)，通常采用分段設(shè)計(jì)的方法，將各段曲線相互連接起來(lái)，并在接合處保持一定的連續(xù)條件。給定兩條Bezier曲線P(t)和Q(t)，相應(yīng)控制點(diǎn)為Pi(i=0,1,...,n)和Qi(i=0,1,...,m)，則：（1）要使它們達(dá)到G0連續(xù)，充要條件：Pn=Q0

（2）要使它們達(dá)到G1連續(xù)，充要條件：Pn-1，Pn=Q0，Q1三點(diǎn)共線。（3）要使它們達(dá)到G2連續(xù)，必要條件：Pn-1，Pn=Q0，Q1三點(diǎn)共線（G1連續(xù)）。Pn-2、Pn-1、Pn=Q0、Q1和Q2五點(diǎn)共面，且Pn-2和Q2位于Pn-1Q1直線的同一側(cè)。更高階的連續(xù)要求更多…1）定義：設(shè)Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)為(m+1)×(n+1)個(gè)空間點(diǎn)，則m×n次的Bezier曲線為：寫成矩陣形式：5.9Bezier曲面

uv2）Bezier曲面的性質(zhì)

Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bezier曲面的四個(gè)角點(diǎn)，即：P(0,0)=P00，P(1,0)=Pm0，P(0,1)=P0n，P(1,1)=Pmn。Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條邊界；Bezier曲面邊界的跨界切矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰一排頂點(diǎn)有關(guān)；其跨界二階導(dǎo)矢只與定義該邊界的頂點(diǎn)及相鄰兩排頂點(diǎn)有關(guān)。幾何不變性：只依賴頂點(diǎn)Pij(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)，不依賴坐標(biāo)系的選擇。對(duì)稱性：將控制頂點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行對(duì)調(diào)，生成的Bezier曲面形狀不變。凸包性：曲面在凸包內(nèi)。遞推性：使用曲線的遞推方法，先在u方向的n+1個(gè)控制多邊形上（每個(gè)多邊形上m+1個(gè)點(diǎn)）確定n+1個(gè)m階Bezier曲線點(diǎn)，然后再利用這n+1個(gè)點(diǎn)使用曲線遞推的方法最后確定曲面上的點(diǎn)。先v方向再u方向也一樣。對(duì)曲面片的拼接要求條件較高（G0除外）。5.10B樣條曲線

以Bernstein基函數(shù)構(gòu)造的Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：Bezier曲線或曲面不能作局部修改。Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。

B樣條方法，在保留Bezier方法幾乎全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。1）B樣條曲線的定義

其中，Pi(i=0,1,...,n)為控制頂點(diǎn)(又稱德布爾點(diǎn))，Ni,k(t)(i=0,1,...,n)稱為k次B樣條基函數(shù)，其中每一個(gè)稱為B樣條。每個(gè)B樣條是由同一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列T（t0≤t1≤…≤tn+k+1，共(n+1)+(k+1)個(gè)）所決定的k次分段多項(xiàng)式。由于其連續(xù)性，也稱為k次多項(xiàng)式樣條。 由于B樣條基是多項(xiàng)式樣條空間中具有最小支撐的一組基，故被稱為基本樣條（basisspline），簡(jiǎn)稱B樣條。

B樣條有多種等價(jià)定義，標(biāo)準(zhǔn)算法是deBoor-Cox（德布爾－考克斯）遞推定義（基函數(shù)的遞推），又稱為deBoor-Cox公式（約定0/0=0）： 這個(gè)遞推公式表明：欲確定第i個(gè)k次B樣條Ni,k(t)，需要用到ti,ti+1,...,ti+k+1共k+2個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱區(qū)間[ti,ti+k+1）為Ni,k(t)的支承區(qū)間，在此區(qū)間外Ni,k(t)為零。曲線方程中，n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)，要用到n+1個(gè)k次B樣條Ni,k(t)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一組B樣條基的節(jié)點(diǎn)矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]。(5.1)(5.2)記憶方法：K次B樣條Ni,k(t)可以由兩個(gè)k-1次B樣條Ni,k-1(t)與Ni+1,k-1(t)遞推得到。其線性組合系數(shù)分別是兩個(gè)系數(shù)的分母恰好是兩個(gè)K-1次B樣條的支撐區(qū)間的長(zhǎng)度，分子恰好是參數(shù)t把第i個(gè)k次B樣條Ni,k(t)的支撐區(qū)間劃分成兩部分的長(zhǎng)度。1）B樣條曲線的定義（續(xù)）Ni,1零次B樣條：平臺(tái)函數(shù)一次B樣條：山形函數(shù)二次B樣條ti-1titi+1ti+2Ni,0ti-1titi+1ti+2Ni,0Ni+1,0ti+3ti+3Ni,1ti-1titi+1ti+2ti+3Ni+1,1Ni,22）B樣條舉例111n＝5時(shí)的均勻二次B樣條基：t0t1t2t3t4N0,22）B樣條舉例（續(xù)）1t5t6t7t8N1,2N2,2N3,2N4,2N5,23）B樣條基性質(zhì)（1）遞推性：即deBoor-Cox公式（2）規(guī)范性（權(quán)性，在定義區(qū)間中）：（3）局部支撐性質(zhì)（包含了非負(fù)性）：（4）可微性：在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)部無(wú)限次可微；在節(jié)點(diǎn)處k-r次可微（r為節(jié)點(diǎn)重復(fù)度，至少為1）。4）B樣條曲線的性質(zhì)

局部性由于B樣條的局部（支撐）性，K次B樣條曲線上參數(shù)t∈[ti,ti+1)的一點(diǎn)P(t)至多與k+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pj(j=i-k,...,i)有關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無(wú)關(guān)；移動(dòng)該曲線的第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間[ti,ti+k+1)上那部分曲線的形狀，對(duì)曲線的其余部分不發(fā)生影響。連續(xù)性

P(t)在r重節(jié)點(diǎn)ti(k≤i≤n)處的連續(xù)階不低于k-r，整條曲線P(t)的連續(xù)階不低于k-rmax，其中rmax表示節(jié)點(diǎn)的最大重?cái)?shù)。定義域節(jié)點(diǎn)矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]所包含的n+k+1個(gè)區(qū)間并非都是曲線的定義域，其中兩端各k個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間不能作為B樣條曲線的定義區(qū)間，即B樣條曲線的定義域?yàn)椋簍∈[tk,tn+1)凸包性P(t)在區(qū)間[ti,ti+1），k≤i≤n上的部分位于k+1個(gè)點(diǎn)Pi-k,……,Pi的凸包Ci內(nèi)，整個(gè)曲線則位于這n-k+1個(gè)凸包的并集內(nèi)。所以B樣條曲線比Bezier曲線更貼近控制點(diǎn)。分段參數(shù)多項(xiàng)式P(t)在區(qū)間[ti,ti+1），k≤i≤n上都是次數(shù)不高于k的參數(shù)t的多項(xiàng)式，P(t)是參數(shù)t的k次分段多項(xiàng)式。變差縮減性B樣條曲線與任意平面的交點(diǎn)數(shù)不多于它的特征多邊形與該平面的交點(diǎn)數(shù)。幾何不變性及仿射不變性B樣條曲線的形狀與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)；先生成曲線再作仿射變換與先對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行仿射變換然后再生成曲線等價(jià)。造型的靈活性通過(guò)節(jié)點(diǎn)重復(fù)、控制點(diǎn)調(diào)節(jié)等手段，用B樣條曲線可以構(gòu)造出直線段、尖點(diǎn)等。

B樣條曲線的節(jié)點(diǎn)矢量對(duì)曲線形狀是有影響的，它對(duì)節(jié)點(diǎn)矢量的基本要求是非遞減。由等距節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的B樣條曲線稱為均勻B樣條曲線。但節(jié)點(diǎn)可以是非均勻的，這包含兩個(gè)含義：①節(jié)點(diǎn)區(qū)間的長(zhǎng)度不等；②重節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)區(qū)間的長(zhǎng)度為零。 （注意：節(jié)點(diǎn)矢量的整體平移和整體比例變換對(duì)B樣條曲線的形狀是沒(méi)有影響的。） 我們把順序r個(gè)節(jié)點(diǎn)相重稱為該節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度r或稱該節(jié)點(diǎn)為r重節(jié)點(diǎn)，它具有以下性質(zhì)：（1）在B樣條曲線定義域內(nèi)的內(nèi)重節(jié)點(diǎn)，重復(fù)度每增加1，曲線段數(shù)減1，樣條曲線在該重節(jié)點(diǎn)處的可微性或參數(shù)連續(xù)階降1。因此，k次B樣條曲線在重復(fù)度為r的節(jié)點(diǎn)處是Ck－r連續(xù)的。一條位置連續(xù)的曲線，其內(nèi)節(jié)點(diǎn)所取的最大重復(fù)度等于曲線的次數(shù)k，端點(diǎn)的最大重復(fù)度為k＋1。使用這一性質(zhì)，可以在B樣條曲線內(nèi)部構(gòu)造尖角（零次連續(xù)）。（2）當(dāng)端節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度為k＋1時(shí)，k次B樣條曲線就具有k次Bezier曲線相同的端點(diǎn)幾何性質(zhì)。（3）由節(jié)點(diǎn)矢量U＝[0,…,0,1,….,1]（k+1個(gè)0，k+1個(gè)1）構(gòu)造的B樣條曲線就是Bezier曲線。（4）內(nèi)節(jié)點(diǎn)為均勻分布，端節(jié)點(diǎn)有重復(fù)度k＋1的節(jié)點(diǎn)向量稱為準(zhǔn)均勻的。5）重節(jié)點(diǎn)對(duì)B樣條曲線的影響6）B樣條曲線舉例零次B樣條：就是控制頂點(diǎn)點(diǎn)列本身。一次B樣條：在節(jié)點(diǎn)不重復(fù)的情況下，一次B樣條曲線就是控制多邊形自身。二次B樣條：7）B樣條曲線的生成Ⅰ）生成第一段曲線： 從n＋1個(gè)控制頂點(diǎn)中選取前k＋1個(gè)控制點(diǎn)Pi(i=0,1,...,k)；從節(jié)點(diǎn)矢量（共n＋k＋2個(gè)節(jié)點(diǎn)）中選取前2k＋2個(gè)節(jié)點(diǎn)ti(i=0,1,...,k,...,2k+1)；按定義可以構(gòu)造一條B樣條曲線： 其定義域?yàn)閇tk，tk+1)。(5.3)Ⅱ）生成第二段曲線： 從n＋1個(gè)控制頂點(diǎn)中再選取k＋1個(gè)控制點(diǎn)，其編號(hào)為Pi(i=1,...,k,k+1)；從節(jié)點(diǎn)矢量中再選取2k＋2個(gè)節(jié)點(diǎn)，其編號(hào)為ti(i=1,...,k,...,2k+1,2k+2)；按定義又可以構(gòu)造一條B樣條曲線。 這段曲線的定義域是[tk+1，tk+2)。它與前一段曲線是首尾相接的，在連接點(diǎn)處有k-1次的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，原因是它與第一段曲線有大量相同的控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)。7）B樣條曲線的生成（續(xù)）Ⅲ）生成n－k＋1段曲線 如此反復(fù)進(jìn)行，每次k＋1個(gè)控制點(diǎn)和2k＋2個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)向后移動(dòng)一，并構(gòu)造一段B樣條曲線，直到用完所有的控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)（不能向后移了），則一共生成光滑連接的n－k＋1段曲線。它們的定義域依次相連但不重疊，并集為[tk,tn+1)。Ⅳ）生成的n－k＋1段連續(xù)曲線就是一條B樣條曲線 由于支撐區(qū)間的存在，由所有n+1個(gè)控制點(diǎn)和n+k+2個(gè)節(jié)點(diǎn)按定義構(gòu)造的，在定義域[tk,tn+1)上的B樣條曲線，與上面分段構(gòu)造的光滑連接的n-k+1段曲線是同一條曲線。8）deBoor曲線遞推算法

給定控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,...,n)及節(jié)點(diǎn)矢量T=[t0,t1,...,tn+k+1]后，就定義了k次B樣條曲線。欲計(jì)算B樣條曲線上對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P(t)，可以利用式(5.1)或(5.3)計(jì)算該點(diǎn)的坐標(biāo)，但是采用deBoor算法，計(jì)算更加快捷。deBoor算法的導(dǎo)出即是說(shuō)：（1）每次遞推共有k－r＋1個(gè)區(qū)間（即控制點(diǎn)），所有區(qū)間長(zhǎng)度均為k－r＋1（特別地，第一次遞推共有k個(gè)區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為k）。每次遞推區(qū)間個(gè)數(shù)和長(zhǎng)度減一，最后一次遞推區(qū)間長(zhǎng)度為1。（2）第一區(qū)間的右端點(diǎn)為j＋1，第二區(qū)間將第一區(qū)間右推一次，以后依次右推，直到最后區(qū)間的左端點(diǎn)為j。（3）每個(gè)區(qū)間用來(lái)進(jìn)行插值的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)區(qū)間的左端點(diǎn)i和其左側(cè)的一個(gè)點(diǎn)i-1。舉例：生成3次B樣條(k=3)，這時(shí)第一段的定義域?yàn)閇t3,t3+1)，j=3;r=1時(shí)，共有三個(gè)區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為3r=2時(shí)，共有兩個(gè)區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為2r=3時(shí)，共有一個(gè)區(qū)間，區(qū)間長(zhǎng)度為1②deBoor算法的幾何意義

t0t1t2t3t4t5t6t7r=1r=2r=3tP0P1P2P3P11P12P13P33P22P23三次B樣條的實(shí)際遞推過(guò)程，t0,t7用不上說(shuō)明： 兩個(gè)端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)用不上意為著它們可以任意選取，它們的意義在于數(shù)學(xué)公式的表達(dá)，而不在于曲線的形狀。 由控制點(diǎn)計(jì)算B樣條曲線時(shí)，端點(diǎn)節(jié)點(diǎn)t0和tn＋k＋1是用得上的；由控制線段計(jì)算B樣條曲線時(shí)，這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)用不上。9）反算B樣條曲線的控制頂點(diǎn)雖然控制頂點(diǎn)（和節(jié)點(diǎn)）決定B樣條曲線的形狀，但B樣條曲線通常不透過(guò)控制頂點(diǎn)。使構(gòu)造的B樣條曲線通過(guò)指定的點(diǎn)，即反算插值曲線的B樣條控制頂點(diǎn)，稱為B樣條曲線的逆過(guò)程或逆問(wèn)題。為了使一條k次B樣條曲線通過(guò)一組數(shù)據(jù)點(diǎn)di(i=0,1,…,n)，反算過(guò)程一般使曲線首末端點(diǎn)分別與首末數(shù)據(jù)點(diǎn)一致，使曲線的分段連接點(diǎn)分別與相應(yīng)的內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)一致。因此數(shù)據(jù)點(diǎn)di將依次與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即di點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)值tk+i(i=0,1,…,n)。該B樣條插值曲線將由n+k個(gè)控制頂點(diǎn)Pi(i=0,1,…,n+k-1)定義，節(jié)點(diǎn)矢量對(duì)應(yīng)為T(t0,t1,…,tn+2k)，定義域?yàn)閇tk,t(n+k-1)+1)。首先需要確定與數(shù)據(jù)點(diǎn)di對(duì)應(yīng)的參數(shù)值tk+i(i=0,1,…,n)，其實(shí)需要確定整個(gè)節(jié)點(diǎn)矢量T(t0,t1,…,tn+2k)。然后就可以給出以n+k個(gè)控制頂點(diǎn)為未知矢量的由n+1個(gè)矢量方程組成的線性方程組：因方程數(shù)小于未知頂點(diǎn)數(shù)，還必須補(bǔ)充k-1個(gè)由合適的邊界條件給出的附加方程，才能聯(lián)立求解。在實(shí)際工作中常采用C2連續(xù)的三次B樣條曲線作為插值曲線。5.11B樣條曲面

給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,···,um+p+1]和V=[v0,v1,v2,···,vn+q+1]，p×q次B樣條曲面定義如下：

其中，Pij(i=0,1,···,m;j=0,1,···,n)是給定的空間(m+1)(n+1)個(gè)點(diǎn)列，構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。Ni,p(u)和Nj,q(v)是B樣條基，分別由節(jié)點(diǎn)矢量U和V按deBoor-Cox遞推公式?jīng)Q定。B樣條曲線的一些幾何性質(zhì)可以推廣到B樣條曲面。

5.12NURBS曲線與曲面

B樣條方法在表示與設(shè)計(jì)自由型曲線、曲面形狀時(shí)顯示了強(qiáng)大的威力，然而在表示與設(shè)計(jì)初等曲線、曲面時(shí)卻遇到了麻煩。因?yàn)锽樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線；B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表出。 提出NURBS（非均勻有理B樣條）方法的首要理由是：為了找到與描述自由型曲線、曲面的B樣條方法相統(tǒng)一，又能精確表示二次曲線與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。1）NURBS曲線的定義

NURBS曲線是由分段有理B樣條基函數(shù)定義的：

其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）稱為k次有理基函數(shù)；Ni,k(t)是k次B樣條基函數(shù)；Pi（i=0,1,…,n）是特征多邊形控制頂點(diǎn)位置矢量；wi是與Pi對(duì)應(yīng)的權(quán)因子，首末權(quán)因子w0，wn>0，其余wi≥0，以防止分母為零、保留凸包性質(zhì)及曲線不致權(quán)因子而退化為一點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)矢量為T＝[t0,t1,…,ti,…,tn+k+1]，節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)是m=n+k+2（n＋1為控制項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)，k為B樣條基函數(shù)的次數(shù)）。2）NURBS曲線有理基函數(shù)的性質(zhì)Ri,k(t)具有k次B樣條基函數(shù)類似的性質(zhì)：3）NURBS曲線的性質(zhì)

NURBS曲線與B樣條曲線也具有類似的幾何性質(zhì)(1)局部性質(zhì)：k次NURBS曲線上參數(shù)為t∈[ti,ti+1)?[tk,tn+1)的一點(diǎn)P(t)至多與k+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pj及權(quán)因子ωj，j=i-k,i-k+1,…,i有關(guān)，與其它頂點(diǎn)及權(quán)因子無(wú)關(guān)；另一方面，若移動(dòng)k次NURBS曲線的一個(gè)控制頂點(diǎn)Pi或改變所聯(lián)系的權(quán)因子，將僅僅影響定義在區(qū)間[ti,ti+k+1)?[tk,tn+1)上那部分曲線的形狀，對(duì)NURBS曲線的其它部分不發(fā)生影響。(2)變差減小性質(zhì)。(3)強(qiáng)凸包性：定義在非零節(jié)點(diǎn)區(qū)間∈[ti,ti+1)?[tk,tn+1)上那一曲線段位于定義它的k+1個(gè)控制點(diǎn)Pi-k,Pi-k+1,…,Pi的凸包內(nèi)。整條NURBS曲線位于所有定義各曲線段的控制頂點(diǎn)的凸包的并集內(nèi)。所有權(quán)因子大于零保證凸包性質(zhì)的成立。(4幾何不變性及仿射不變性。(5)在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性。(6)如果某個(gè)權(quán)因子ωi為零，那么相應(yīng)控制頂點(diǎn)Pi對(duì)曲線沒(méi)有影響。(7)若ωi→∞，則當(dāng)t∈[ti,ti+k+1)時(shí)，P(t)=Pi。(8)非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況。4）NURBS曲線的幾何意義以二維NURBS曲線為例：

根據(jù)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=0,1,…,n）的權(quán)值wi將它表示為其次坐標(biāo)（wi·xi，wi·yi，wi）。在其次坐標(biāo)空間中，作出數(shù)據(jù)點(diǎn)的B樣條曲線：

顯然，將得到的三維空間中的B樣條曲線，從齊次坐標(biāo)返回原來(lái)的二維空間，得到的就是NURBS曲線。 很容易將二維情況推廣到n維，這種幾何解釋也被稱為NURBS曲線的齊次坐標(biāo)表示。 據(jù)此，可以通過(guò)研究其次坐標(biāo)空間中的B樣條曲線性質(zhì)，研究NURBS曲線。5.13NURBS曲面

1）NURBS曲面的定義

由雙參數(shù)變量、分段有理多項(xiàng)式定義的NURBS曲面是：