湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P,使得|PA|=2|PB|,則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.2.已知,則下列說(shuō)法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題3.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與l相交4.在的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.5.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.6.設(shè),命題“存在,使方程有實(shí)根”的否定是()A.任意,使方程無(wú)實(shí)根B.任意,使方程有實(shí)根C.存在,使方程無(wú)實(shí)根D.存在,使方程有實(shí)根7.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,設(shè),則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.20178.已知的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)()A.2 B.-2 C.-3 D.39.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.10.若函數(shù)()的圖象過(guò)點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸11.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.12.已知函數(shù),滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù),都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)(滿分分),已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于分,將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說(shuō)法中正確的是________(填序號(hào)).①;②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為;③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為.14.已知,則_____。15.3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng).甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________.16.給出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,結(jié)果為的式子的序號(hào)是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的方程;(2)假設(shè)直線l:y=kx+m與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).①若A為橢圓的上頂點(diǎn),M為線段AB中點(diǎn),連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N,并且ON=62OM,求OB的長(zhǎng);②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1,并且19.(12分)已知如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D為AC中點(diǎn),AEBD于E,延長(zhǎng)AE交BC于F,將△ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,如圖2所示。(Ⅰ)求證:AE平面BCD;(Ⅱ)求二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比(只需寫出結(jié)果,不要求過(guò)程).20.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點(diǎn),且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.21.(12分)在四棱椎中,四邊形為菱形,,,,,,分別為,中點(diǎn)..(1)求證:;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)如圖,在三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點(diǎn)在線段上移動(dòng)(不與重合),是的中點(diǎn).(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí),證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)點(diǎn),由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍,即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn).,即,整理得,則,解得或..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,屬于中檔題.2、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)題.3、D【解析】

通過(guò)條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯(cuò)誤,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.4、D【解析】

根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,5、B【解析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2x.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”,有實(shí)根改成無(wú)實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實(shí)根”的否定是“任意,使方程無(wú)實(shí)根”.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,此類問(wèn)題要注意在兩個(gè)方面作出變化:1.量詞,2.結(jié)論,是一道基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算,,,計(jì)算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,故,,,,故,當(dāng)時(shí),,,,,當(dāng)時(shí),,故前項(xiàng)和最大.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.8、A【解析】

先求的展開式,再分類分析中用哪一項(xiàng)與相乘,將所有結(jié)果為常數(shù)的相加,即為展開式的常數(shù)項(xiàng),從而求出的值.【詳解】展開式的通項(xiàng)為,當(dāng)取2時(shí),常數(shù)項(xiàng)為,當(dāng)取時(shí),常數(shù)項(xiàng)為由題知,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題,其中對(duì)所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過(guò)點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù),可知函數(shù)為減函數(shù),且,由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù),于是有,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、②③【解析】

由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為,故②正確;設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說(shuō)法正確的序號(hào)是②③.14、【解析】

由已知求,再利用和角正切公式,求得,【詳解】因?yàn)樗詂os因此.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。15、【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有:種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.16、①②③【解析】

由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案為:①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,屬于中檔試題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得的表達(dá)式,再去掉絕對(duì)值即可解不等式;(2)對(duì),不等式成立等價(jià)于,去絕對(duì)值得不等式組,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.18、(1)x22+y2【解析】

(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2,b2;(2)聯(lián)立直線和橢圓,利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離,從而可求得三角形面積,再用單調(diào)性求最值可得值域.【詳解】(1)因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2,得到a2解得a=2,c=1,所以所以,橢圓C的方程為x2(2)①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上,所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線l的距離為1,得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程:y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時(shí),S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法:(1)幾何法:若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決;(2)代數(shù)法:若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮:①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍;④利用函數(shù)的值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.19、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ);(Ⅲ)1:5【解析】

(Ⅰ)由平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,AE⊥BD于E,能證明AE⊥平面BCD;(Ⅱ)以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;(Ⅲ)利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積,再作比寫出答案即可.【詳解】(Ⅰ)證明:∵平面ABD⊥平面BCD,交線為BD,又在△ABD中,AE⊥BD于E,AE?平面ABD,∴AE⊥平面BCD.(Ⅱ)由(1)知AE⊥平面BCD,∴AE⊥EF,由題意知EF⊥BD,又AE⊥BD,如圖,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EF、ED、EA所在直線為x軸,y軸,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,設(shè)AB=BD=DC=AD=2,

則BE=ED=1,∴AE=,BC=2,BF=,則E(0,0,0),D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,),

F(,0,0),C(,2,0),,,由AE⊥平面BCD知平面BCD的一個(gè)法向量為,設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量,則,取x=1,得,∴,∴二面角A-DC-B的平面角為銳角,故余弦值為.

(Ⅲ)三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比為:1:5.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明、幾何體體積計(jì)算、二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,屬于中等題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)連接,設(shè),連接.通過(guò)證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,因?yàn)?,所以,所以,在中,因?yàn)?,所以,且平面,故平?(2)因?yàn)?,,,,,所以,因?yàn)?,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由已知可得,,,,所以,因?yàn)椋?,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,,設(shè)為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個(gè)法向量.,同理可求得平面的一個(gè)法向量為所以所以二面角的正弦值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)證明,得到平面,得到證明.(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅问橇庑?,且,所以是等邊三角形,又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,又因

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