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廣東省顏錫祺中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1202.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)是的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),以為直徑的圓過(guò)且交的左支于兩點(diǎn),若,的面積為8,則的漸近線方程為()A. B.C. D.3.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.5.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.7.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.8.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國(guó)物流與采購(gòu)聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國(guó)制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%9.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.23310.若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的不小于103的概率是()A. B. C. D.12.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最小值為_(kāi)_____.14.展開(kāi)式的第5項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)____.15.已知向量,,則______.16.在中,角所對(duì)的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學(xué)生在語(yǔ)數(shù)外3門(mén)全國(guó)統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門(mén)科目中必選且只選1門(mén),再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、地理、政治4門(mén)科目中任選2門(mén),后三科的高考成績(jī)按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地,高校在招生時(shí)可對(duì)特定專(zhuān)業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計(jì)表:序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學(xué)規(guī)定:每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班(當(dāng)且僅當(dāng)一門(mén)科目的選課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí),允許這門(mén)科目的1位老師只教1個(gè)班).已知雙超中學(xué)高一年級(jí)現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,用樣本估計(jì)總體,則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表,運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行分析,探究是否有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門(mén)人文專(zhuān)業(yè)的招生簡(jiǎn)章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門(mén)中至少選修了1門(mén)的考生報(bào)名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)具備高校專(zhuān)業(yè)報(bào)名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計(jì)概率,求的分布列與期望.18.(12分)已知曲線,直線:(為參數(shù)).(I)寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;(II)過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線,交于點(diǎn),的最大值與最小值.19.(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè),是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時(shí),證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).20.(12分)已知函數(shù),記不等式的解集為.(1)求;(2)設(shè),證明:.21.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;(2)已知直線與曲線交于,滿足為的中點(diǎn),求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題。2、B【解析】
由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可得即,又,從而可得的漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為,由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性,四邊形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的漸近線方程為.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想與計(jì)算能力,屬于中檔題.3、D【解析】
設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.4、B【解析】
利用復(fù)數(shù)除法、加法運(yùn)算,化簡(jiǎn)求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算、加法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.6、C【解析】
先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.7、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.8、D【解析】
根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.10、A【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),求得,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)z滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行,直至不滿足條件退出循環(huán)體,求出的范圍,利用幾何概型概率公式,即可求出結(jié)論.【詳解】程序框圖共運(yùn)行3次,輸出的的范圍是,所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,同理,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處,聯(lián)立,解得點(diǎn)B坐標(biāo),即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于簡(jiǎn)單題.14、70【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項(xiàng)為故第5項(xiàng)的的系數(shù)為故答案為:70.【點(diǎn)睛】本題考查的是二項(xiàng)式定理,屬基礎(chǔ)題。15、【解析】
求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算.16、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡(jiǎn)得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)不需調(diào)整(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析;有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)(3)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)可估計(jì)高一年級(jí)選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2,推理得對(duì)應(yīng)開(kāi)設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.推理知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算觀測(cè)值,根據(jù)臨界值表可得結(jié)論.(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門(mén)中至少選修了一門(mén)的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計(jì)概率,則,根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)可知,樣本40人中,選修化學(xué)、生物的人數(shù)分別為24,11,則可估計(jì)高一年級(jí)選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2.根據(jù)每個(gè)選修班最多編排50人,且盡量滿額編班,得對(duì)應(yīng)開(kāi)設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,根據(jù)每位教師執(zhí)教2個(gè)選修班,當(dāng)且僅當(dāng)一門(mén)科目的選課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí),允許這門(mén)科目的一位教師執(zhí)教一個(gè)班的條件,知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后,制作列聯(lián)表如下:選物理不選物理合計(jì)選化學(xué)19524不選化學(xué)61016合計(jì)251540則,有的把握判斷學(xué)生”選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門(mén)中至少選修了一門(mén)的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計(jì)概率,則,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、(I);(II)最大值為,最小值為.【解析】試題分析:(I)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè),得橢圓的參數(shù)方程為,消去參數(shù)即得直線的普通方程為;(II)關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系.過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線,垂足為,則在中,,故將的最大值與最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn),到定直線的最大值與最小值問(wèn)題處理.試題解析:(I)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線的普通方程為.(II)曲線C上任意一點(diǎn)到的距離為.則.其中為銳角,且.當(dāng)時(shí),取到最大值,最大值為.當(dāng)時(shí),取到最小值,最小值為.【考點(diǎn)定位】1、橢圓和直線的參數(shù)方程;2、點(diǎn)到直線的距離公式;3、解直角三角形.19、(1)或;(2)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)【解析】
(1)設(shè),由題意可知,對(duì)的正負(fù)分情況討論,從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,所以,所以直線的方程可表示為,即,所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【詳解】(1)設(shè),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多,,時(shí),解得,時(shí),解得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或(2)證明:如圖,設(shè),,由題意得(否則)且,所以直線的斜率存在,設(shè)其方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達(dá)定理知,,①顯然,,,,將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為,即,所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡,考查了直線與拋物線的綜合,是中檔題.20、(1);(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式,由此解不等式求得不等式的解集.(2)將不等式坐標(biāo)因式分解,結(jié)合(1)的結(jié)論證得不等式成立.【詳解】(1)解:,由,解得,故.(2)證明:因?yàn)?,所以,,所以,所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,
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