2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第五章 三角函數(shù)】十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）

2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第五章三角函數(shù)】十一大題型歸納（拔尖篇）（含答案）高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十一大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用1．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）某圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線(xiàn)部分），已知該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角α的大小為（

）

A．π2 B．3π4 C．52．（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）中國(guó)的扇文化有著極其深厚的人文底蘊(yùn)，折扇從明代開(kāi)始流行，扇面書(shū)畫(huà)、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛(ài)（如圖1）.制作折扇的扇面時(shí)，先從一個(gè)圓面中剪下扇形OBD，再?gòu)纳刃蜲BD中剪去扇形OAC（如圖2）.記圓面面積為S1，扇形OBD的面積為S2，把滿(mǎn)足S2S1-S2=5-1A．20(5+1)π B．20(3-5)π3．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r．(1)若α=150°,r=9，求扇形的弧長(zhǎng)：(2)若扇形的周長(zhǎng)為12，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形面積S最大？并求出最大面積．4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知OA=10，OB=x0<x<10，線(xiàn)段BA，CD與BC，AD?的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值.題型2題型2三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2023上·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）計(jì)算1-2sin10°A．-1 B．1C．sin10° D．2．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知sinα+cosα=35A．-25 B．52 C．-3．（2023下·四川樂(lè)山·高一期末）已知tanα=2(1)2sin(2)sinα4．（2023上·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知1-2sin(1)求tanα(2)求sinα+題型3題型3誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知π2<α<π，則1-2A．sinα-cosα B．sinα+cosα2．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎猼ana=12，則sinA．-13 B．13 C．3．（2023上·北京·高一校考期末）已知cosα=13，且-4．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A13,y0．將角α(1)求tanβ(2)求sinα-題型4題型4由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=tanωx+π6在-π3,A．-12 B．12 C．2．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+π3-3cosωx+πA．0,23 B．14,233．（2023下·湖北恩施·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域?yàn)?,24．（2023上·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)中心、單調(diào)減區(qū)間；(2)若定義在區(qū)間-π6,π4上的函數(shù)h題型5題型5三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題1．（2023上·河北唐山·高一?？计谀┖瘮?shù)fxA．fxgx是偶函數(shù) C．fxgx是奇函數(shù) 2．（2023下·寧夏中衛(wèi)·高一校考期末）下列關(guān)于函數(shù)y=tan-2x+πA．最小正周期為πB．圖像關(guān)于點(diǎn)5π12C．在區(qū)間-πD．圖像關(guān)于直線(xiàn)x=-π3．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx的最大值與最小值，并分別寫(xiě)出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)x(2)求函數(shù)gx4．（2023上·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考期末）已知函數(shù)fx=sinωx+π(1)求ω，θ的值；(2)若函數(shù)gx在0,π6題型6題型6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．（2022上·上海寶山·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知f(x)=sin①y=f(x)是偶函數(shù);

②y=f(x)在π2③y=f(x)在(π,2π)上為增函數(shù);④y=f(x)的最大值為22其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④2．（2023上·江蘇無(wú)錫·高一?？计谀┖瘮?shù)fx=2sinωx+φω>0圖像上一點(diǎn)Ps,t-2<t<2向右平移2π個(gè)單位，得到的點(diǎn)Q也在fx圖像上，線(xiàn)段PQ與函數(shù)fx的圖像有5個(gè)交點(diǎn)，且滿(mǎn)足fπ4-x=fA．-2,-2 B．-2,-2 C．2,23．（2023下·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=4sin（1）求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心；（2）設(shè)常數(shù)ω>0，若函數(shù)f(ωx)在區(qū)間-π2,（3）若函數(shù)g(x)=12f(2x)+af(x)-afπ24．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，①函數(shù)fx向左平移π6個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且②函數(shù)fx的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=-π3(1)求函數(shù)fx(2)若x∈π2,17π題型7題型7利用和（差）角公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值1．（2023下·山西長(zhǎng)治·高二統(tǒng)考期末）已知cosα-β=13,A．12 B．16 C．192．（2023下·貴州·高二校聯(lián)考期末）已知sinα=35,α∈π2,A．167 B．47 C．-163．（2023下·甘肅蘭州·高一?？计谀┗?jiǎn)：(1)sinα-β(2)sinα+β4．（2023上·重慶九龍坡·高一?？计谀?）已知cosα-β2（2）化簡(jiǎn)求值：2題型8題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sinα-π4=3210A．-2721 B．-16412052．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若α,β∈π2,π，且1-A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 3．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）已知sin(1)化簡(jiǎn)2sin(2)若α∈π,3π24．（2023下·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=23(1)當(dāng)x∈[0?,?(2)若銳角α，β滿(mǎn)足f(α2-π6題型9題型9與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問(wèn)題1．（2023下·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)fx=12sinA．向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移πC．向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移π2．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=cos①fx的最小正周期是π②fx在區(qū)間π③將fx圖象上的所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．① B．② C．①② D．①②③3．（2023下·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈-π4．（2023下·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈0,π時(shí)，求函數(shù)(2)將函數(shù)fx的圖象先向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象.若gθ=13題型10題型10函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．（2023下·河南安陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=2cosA．將函數(shù)fx的圖象向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)gxB．x=-π8是函數(shù)C．函數(shù)fx在5D．fx=1在-2．（2022上·陜西安康·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx①函數(shù)fx的最小正周期是2②函數(shù)fx在區(qū)間π③函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=④函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)y=2sin其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023上·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)y=fx的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，當(dāng)x∈-π4．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=2cosx(3(1)求實(shí)數(shù)a的值和函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心；(2)將f(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)的圖象，若g(x)-m=2在x∈π題型11題型11三角函數(shù)的應(yīng)用1．（2023上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，所以至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中被使用.如圖，假定在水流穩(wěn)定的情況下，一個(gè)直徑為10米的筒車(chē)開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，筒車(chē)的軸心O距離水面的高度為52米.以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，設(shè)筒車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)t秒后盛水筒P到水面的距離為h米（規(guī)定：若盛水筒P在水面下，則h(1)寫(xiě)出h（單位：米）關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0，ω>0，(2)若盛水筒P在t1，t2時(shí)刻距離水面的高度相等，求2．（2023下·四川綿陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻1:004:007:0010:0013:0016:0019:0022:00水深(米)68.563.568.563.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)ft(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)ft(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為5.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙(船底與洋底的距離)，該船在一天內(nèi)0:00～24:00何時(shí)能進(jìn)入港口？3．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π4的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠POC=α（1）用角α表示AB，BC的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.4．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）“灣區(qū)之光”摩天輪位于深圳市華僑城歡樂(lè)港灣內(nèi)，摩天輪總高128米，轉(zhuǎn)輪直徑約為114米，共有28個(gè)酷似太空艙膠囊的全景式進(jìn)口轎廂，每個(gè)轎廂可容納25人.“灣區(qū)之光”旋轉(zhuǎn)一圈時(shí)間是28分鐘，開(kāi)啟后摩天輪按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，設(shè)開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)t（單位；min）后距離地面的高度為H（單位：m）(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式H(t)；(2)若甲、乙兩人進(jìn)艙時(shí)間相差143分鐘，則在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）第一次達(dá)到最大時(shí)所需要的時(shí)間t

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第五章十一大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用1．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高一統(tǒng)考期末）某圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線(xiàn)部分），已知該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角α的大小為（

）

A．π2 B．3π4 C．5【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的面積公式，列出方程，即可求求解.【解答過(guò)程】由該扇環(huán)的面積為π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得12α×2即扇環(huán)的圓心角α的大小為2π故選：D.2．（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）中國(guó)的扇文化有著極其深厚的人文底蘊(yùn)，折扇從明代開(kāi)始流行，扇面書(shū)畫(huà)、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜愛(ài)（如圖1）.制作折扇的扇面時(shí)，先從一個(gè)圓面中剪下扇形OBD，再?gòu)纳刃蜲BD中剪去扇形OAC（如圖2）.記圓面面積為S1，扇形OBD的面積為S2，把滿(mǎn)足S2S1-S2=5-1A．20(5+1)π B．20(3-5)π【解題思路】首先求出OA，設(shè)圓心角∠BOD=α，圓的半徑為R，表示出S2，S1，根據(jù)S2【解答過(guò)程】依題意OB=20，OAAB=5-12所以AB=105-1，則設(shè)圓心角∠BOD=α，圓的半徑為R，則S2=1所以S1因?yàn)镾2S1-S2=所以弧AC的長(zhǎng)為α?OA=3-故選：D.3．（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）已知扇形的圓心角為α，所在圓的半徑為r．(1)若α=150°,r=9，求扇形的弧長(zhǎng)：(2)若扇形的周長(zhǎng)為12，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形面積S最大？并求出最大面積．【解題思路】（1）將圓心角化為弧度，再由弧長(zhǎng)公式求解即可；（2）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，則l+2r=12，即l=12-2r(0<r<6)，扇形的面積S=1【解答過(guò)程】（1）∵a=150°=150×π（2）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，則l+2r=12，即l=12-2r(0<r<6)，扇形的面積S=1所以當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)，S有最大值9，此時(shí)l=12-2×3=6,∴α=l4．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知OA=10，OB=x0<x<10，線(xiàn)段BA，CD與BC，AD?的長(zhǎng)度之和為30，圓心角為(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值.【解題思路】（1）根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于θ、x的等式，即可得出θ關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得y的最大值，即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）解：根據(jù)題意，可算得BC=θxm，因?yàn)锳B+CD+BC+AD所以，θ=2x+10（2）解：根據(jù)題意，可知y==x+5當(dāng)x=52m綜上所述，當(dāng)x=52m題型2題型2三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1．（2023上·重慶銅梁·高一校聯(lián)考期末）計(jì)算1-2sin10°A．-1 B．1C．sin10° D．【解題思路】利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【解答過(guò)程】解：因?yàn)?<sin1-2sin故選：B.2．（2023下·江西上饒·高一統(tǒng)考期末）已知sinα+cosα=35A．-25 B．52 C．-【解題思路】直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα+平方得sin2α+2故sinα則tanα+故選：B.3．（2023下·四川樂(lè)山·高一期末）已知tanα=2(1)2sin(2)sinα【解題思路】（1）同除以cosα（2）先添加分母sin2α+cos【解答過(guò)程】（1）2sin（2）sinα4．（2023上·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知1-2sin(1)求tanα(2)求sinα+【解題思路】（1）根據(jù)給定等式，利用同角正余弦平方和為1，化簡(jiǎn)變形，再借助齊次式法計(jì)算作答.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合同角公式計(jì)算作答.【解答過(guò)程】（1）依題意，1-2sinαcos所以tanα=（2）由（1）知，tanα=13由sin2α+cos2α=1當(dāng)α為第一象限角時(shí)，sinα+當(dāng)α為第三象限角時(shí)，sinα+題型3題型3誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知π2<α<π，則1-2A．sinα-cosα B．sinα+cosα【解題思路】利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系化簡(jiǎn)即可.【解答過(guò)程】因?yàn)棣?<α<π，所以sinα>0，所以1-2===sin故選：A.2．（2023上·浙江杭州·高二?？计谀┮阎猼ana=12，則sinA．-13 B．13 C．【解題思路】對(duì)所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用弦化切即可求解.【解答過(guò)程】∵tan則sinα+故選：D.3．（2023上·北京·高一校考期末）已知cosα=13，且-【解題思路】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tanα【解答過(guò)程】解：因?yàn)閏osα=13，且-所以，tanα=故cos-α-4．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A13,y0．將角α(1)求tanβ(2)求sinα-【解題思路】（1）由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果．（2）法一：由題意，利用誘導(dǎo)公式，計(jì)算求得結(jié)果；法二：根據(jù)β=π2+α【解答過(guò)程】（1）由A13,又α∈(0,π2)由題可知β=π2+α，所以sin則tanβ=sinβ（2）（法一）原式=由（1）得cosα=13，cosβ=-所以原式=1（法二）sin==sinβ=-題型4題型4由三角函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)y=tanωx+π6在-π3,A．-12 B．12 C．【解題思路】由正切函數(shù)的性質(zhì)，得到ω<0且-π3ω+【解答過(guò)程】由題意，函數(shù)y=tanωx+π可得ω<0且-π3ω+當(dāng)k=0時(shí)，解得ω=-1故選A．2．（2023上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+π3-3cosωx+πA．0,23 B．14,23【解題思路】化簡(jiǎn)函數(shù)y=fx的解析式為fx=2sinωx，結(jié)合函數(shù)y=f【解答過(guò)程】∵fx由于函數(shù)y=fx在區(qū)間-3π4,π∵0∈-3πω4,πω所以，函數(shù)y=fx在-3π4所以，-3πω4≥-當(dāng)x∈0,2π時(shí)，0≤ωx≤2πω由于函數(shù)y=fx在區(qū)間0,2π內(nèi)恰好取得一次最大值2所以，π2≤2πω<5π綜上所述，實(shí)數(shù)ω的取值范圍是14故選：B.3．（2023下·湖北恩施·高一?？计谀┮阎瘮?shù)fx(1)若f5π6(2)若fx在區(qū)間0,π3上的值域?yàn)?,2【解題思路】（1）根據(jù)條件可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)5π6（2）首先求ωx+π6的范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可列不等式求【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒5π所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)5π則ω?5π解得ω=-1又ω>0，故當(dāng)k=1時(shí)，ω取得最小值1．（2）當(dāng)x∈0,π3因?yàn)楹瘮?shù)fx在區(qū)間0,π3上的值域?yàn)?,2解得：1≤ω≤2．所以ω的取值范圍為1,2．4．（2023上·浙江杭州·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)的最小正周期、對(duì)稱(chēng)中心、單調(diào)減區(qū)間；(2)若定義在區(qū)間-π6,π4上的函數(shù)h【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)周期、對(duì)稱(chēng)中心、單調(diào)區(qū)間的求法，直接計(jì)算即可；（2）分類(lèi)討論a的范圍，列出方程組，解出即可.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x所以函數(shù)的最小正周期為T(mén)=π令2x-π得x=5所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為(5令2kπ得π6故函數(shù)的減區(qū)間為[π（2）hx又當(dāng)x∈-π6則-1若a>0，則有3a-2a+b=6-3a2當(dāng)a<0時(shí)，3a-2a+b=-3-3a2又a=0明顯不符合題意，故a=2b=4或者a=-2題型5題型5三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題1．（2023上·河北唐山·高一?？计谀┖瘮?shù)fxA．fxgx是偶函數(shù) C．fxgx是奇函數(shù) 【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義逐項(xiàng)分析即得.【解答過(guò)程】選項(xiàng)A:因?yàn)閒x又f(-x)g(-x)=sin所以fx選項(xiàng)B:因?yàn)閒x又|f(-x)|g(-x)=sin所以fx選項(xiàng)C:因?yàn)閒(x)|g(x)|=sin又f(-x)|g(-x)|=sin所以fx選項(xiàng)D:因?yàn)閨f(x)g(x)|=sin又f(-x)g(-x)=所以fx故選：C.2．（2023下·寧夏中衛(wèi)·高一?？计谀┫铝嘘P(guān)于函數(shù)y=tan-2x+πA．最小正周期為πB．圖像關(guān)于點(diǎn)5π12C．在區(qū)間-πD．圖像關(guān)于直線(xiàn)x=-π【解題思路】根據(jù)函數(shù)y=tan【解答過(guò)程】解：函數(shù)y=tan當(dāng)x=5π12時(shí)，2×5π函數(shù)的最小正周期為T(mén)=π當(dāng)x∈-π3,-π正切函數(shù)不是軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)，所以D錯(cuò)誤．故選：B．3．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx的最大值與最小值，并分別寫(xiě)出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)x(2)求函數(shù)gx【解題思路】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f0=0，結(jié)合0<θ<π可求θ=（2）g(x)=2sin【解答過(guò)程】（1）依題意有f即fx當(dāng)2x=2kπ+π2即當(dāng)2x=2kπ-π（2）依題意g(x)=2sin若g(x)單調(diào)遞減，則2k∴k又x∈-令k=-1,k=0得其減區(qū)間為-π6,-4．（2023上·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)fx=sinωx+π(1)求ω，θ的值；(2)若函數(shù)gx在0,π6【解題思路】（1）根據(jù)題意可知兩函數(shù)周期相同，即可求得ω的值；根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，即可求得θ的值；（2）根據(jù)函數(shù)gx在0,π6【解答過(guò)程】（1）若兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心相同，則函數(shù)周期必然相同，則ω=2，故f(x)=sin由2x+π6=k數(shù)fx=sin2x+π則2×(k則θ=(m-k)π+2π（2）因?yàn)楹瘮?shù)fx=sin所以f(x)=g(x)或f(x)=-g(x)，若函數(shù)g(x)在0,π對(duì)于函數(shù)f(x)=sin(2x+π6)由于y=sinx在π6,π所以f(x)=-g(x)，故令2kπ-π即f(x)=sin(2x+π則函數(shù)gx的單調(diào)減區(qū)間為[k令2kπ+π2即f(x)=sin(2x+π則函數(shù)gx的單調(diào)增區(qū)間為[k題型6題型6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．（2022上·上海寶山·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知f(x)=sin①y=f(x)是偶函數(shù);

②y=f(x)在π2③y=f(x)在(π,2π)上為增函數(shù);④y=f(x)的最大值為22其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④【解題思路】利用偶函數(shù)的定義即可判斷①；利用舉反例即可判斷②和③；分四個(gè)范圍對(duì)f(x)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值域，即可得到x≥0時(shí)的最值，結(jié)合偶函數(shù)即可判斷【解答過(guò)程】解：對(duì)于①，易得f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閒(-x)=sin|-x|+|sin-x|+對(duì)于②和③，因?yàn)閒5πf7π且π<7π6<5π4<3π對(duì)于④，當(dāng)2kπ≤x<π2+2kπ,k∈N時(shí)，因?yàn)?kπ≤x<π2+2kπ,k∈所以22≤sin當(dāng)π2+2kπ≤x<π+2kπ,k∈N時(shí)，f(x)=因?yàn)棣?所以0<sinx≤1，所以當(dāng)π+2kπ≤x<3π2+2kπ,k∈N時(shí)，當(dāng)3π2+2kπ≤x<2π+2kπ,k∈N時(shí)，f(x)=因?yàn)?π2所以0≤cosx<1，所以所以，綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)的最大值為22，由于f(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的最大值也為22，故y=f(x)的最大值為故選：D.2．（2023上·江蘇無(wú)錫·高一?？计谀┖瘮?shù)fx=2sinωx+φω>0圖像上一點(diǎn)Ps,t-2<t<2向右平移2π個(gè)單位，得到的點(diǎn)Q也在fx圖像上，線(xiàn)段PQ與函數(shù)fx的圖像有5個(gè)交點(diǎn)，且滿(mǎn)足fπ4-x=fA．-2,-2 B．-2,-2 C．2,2【解題思路】首先根據(jù)已知條件分析出PQ=2π=2T，可得ω=2，再由fπ4-x=fx可得y=fx對(duì)稱(chēng)軸為x=π8【解答過(guò)程】如圖假設(shè)P0,0，線(xiàn)段PQ與函數(shù)fx的圖像有5個(gè)交點(diǎn)，則所以由分析可得PQ=2π=2T，所以T=π可得ω=2π因?yàn)閒π4-x=fx所以x=π8是所以2×π8+φ=f-所以sinφ<0，可令k=-1得φ=-所以fx當(dāng)x∈0,π2時(shí)，令2x-3π作ft當(dāng)t=-3π4即x=0時(shí)y=-2，當(dāng)t=-π2由圖知若y=fx，x∈0,π2與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，則故選：A.3．（2023下·黑龍江大慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=4sin（1）求f(x)的對(duì)稱(chēng)中心；（2）設(shè)常數(shù)ω>0，若函數(shù)f(ωx)在區(qū)間-π2,（3）若函數(shù)g(x)=12f(2x)+af(x)-afπ2【解題思路】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=2sin（2）求出函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)[-π（3）化簡(jiǎn)g(x)=sin【解答過(guò)程】（1）f(x)=2[1-=sin對(duì)稱(chēng)中心為(kπ,0)k∈Z．（2）∵f(ωx)=2sinωx，由解得-π∴f(ωx)的遞增區(qū)間為[-π∵f(ωx)在[-π∴當(dāng)k=0時(shí)，有[-π∴{ω>0-π2ω≤-π2（3）g(x)=sin令sinx-cosx=t∴y=1-t∵t=sin∵x∈[-π4,π2①當(dāng)a2<-2時(shí)，即a<-2令-2a-a②當(dāng)-2≤aymax=a24-a③當(dāng)a2>1時(shí)，即a>2時(shí)，在t=1處由a2-1=2，得a=6．因此4．（2022下·安徽宿州·高一碭山中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ（ω>0，①函數(shù)fx向左平移π6個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且②函數(shù)fx的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=-π3(1)求函數(shù)fx(2)若x∈π2,17π【解題思路】（1）由最小正周期先求出ω．選①：利用函數(shù)fx向左平移π6個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)求得φ的可能取值為-5π6、π6，再由選②：由函數(shù)fx的一條對(duì)稱(chēng)軸x=-π3，求出φ的可能取值為-5π6、π6（2）令t=fx，由x∈π2,17π12得，3π2由t2+4-at+3-a=0得：t1=-1，【解答過(guò)程】（1）由題意可知，函數(shù)fx的最小正周期為T(mén)=4×π4選①，將函數(shù)fx向左平移π6個(gè)單位，所得函數(shù)為由于函數(shù)y=2sin2x+π3+φ的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得π3+φ=∵φ<π，所以，φ的可能取值為-5若φ=-5π6，則f若φ=π6，則fx所以，fx選②：因?yàn)楹瘮?shù)fx的一條對(duì)稱(chēng)軸x=-π3，則2×解得φ=7π6∵φ<π，所以，φ的可能取值為-5若φ=-5π6，則f若φ=π6，則fx所以，fx（2）令t=fx，由x∈π2所以t=fx=2sin2x-5π6∈-2,2．其中x滿(mǎn)足π解方程t2+4-at+3-a=0要使方程f2當(dāng)t1=-1，即2sin故t2=a-3取值范圍應(yīng)在1,2或在-2,-1或即1≤a-3<2或-2<a-3<-1或-1<a-3≤0解得：4≤a<5或1<a<2或2<a≤3故所求的a的取值范圍是1,2∪題型7題型7利用和（差）角公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值1．（2023下·山西長(zhǎng)治·高二統(tǒng)考期末）已知cosα-β=13,A．12 B．16 C．19【解題思路】由cosα-β=cos【解答過(guò)程】cosα-βcosα+β①-②可得2sinαsinβ=-故選：D.2．（2023下·貴州·高二校聯(lián)考期末）已知sinα=35,α∈π2,A．167 B．47 C．-16【解題思路】先求得tanα,tanβ【解答過(guò)程】由于sinα=35,α∈πsin=35cos所以tanα+β故選：D.3．（2023下·甘肅蘭州·高一?？计谀┗?jiǎn)：(1)sinα-β(2)sinα+β【解題思路】（1）直接由兩角和的正弦公式逆用即可化簡(jiǎn).（2）直接由兩角和的正弦公式、切弦互化商數(shù)關(guān)系即可化簡(jiǎn).【解答過(guò)程】（1）由題意，由兩角和的正弦公式逆用可得sinα-β（2）由題意，由兩角和的正弦公式、切弦互化商數(shù)關(guān)系可得sin==24．（2023上·重慶九龍坡·高一校考期末）（1）已知cosα-β2（2）化簡(jiǎn)求值：2【解題思路】（1）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系先求出sinα-β2（2）由已知結(jié)合兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)即可得出答案.【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)棣?<α<π所以sinα-所以sinα+β==21（2）因?yàn)?=3題型8題型8三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知sinα-π4=3210A．-2721 B．-1641205【解題思路】本題首先可根據(jù)sinα-π4=3210得出sin【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα-π4兩邊同時(shí)平方，得sin2α+cos因?yàn)?<α<π，所以sinα>0，cos則sinα+sinπ-2α故選：C.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若α,β∈π2,π，且1-A．2α+β=5π2 C．α+β=7π4 【解題思路】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+【解答過(guò)程】∵α,β∈π2,π由1-cos2α1+即sinα∴sin∴cos∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π根據(jù)函數(shù)y=cosx易知：α+β=π故選：A.3．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）已知sin(1)化簡(jiǎn)2sin(2)若α∈π,3π2【解題思路】（1）根據(jù)題意，由二倍角公式將原式化簡(jiǎn)可得2sinαcos（2）根據(jù)題意，由同角平方關(guān)系可得sinα+β，然后由cos【解答過(guò)程】（1）原式=2sin由sinα-cosα=713∴2sin（2）由2sinαcosα=120又∵0<β<π2,cosα+β=-∴cos=-44．（2023下·山東威海·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=23(1)當(dāng)x∈[0?,?(2)若銳角α，β滿(mǎn)足f(α2-π6【解題思路】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)fx（2）根據(jù)同角關(guān)系求解cosα=35【解答過(guò)程】（1）f(x)=23cos2因?yàn)閤∈[0,?π2所以sin(2x+π3（2）由第（1）問(wèn)知f(α所以sinα=因?yàn)棣痢?0,?π2因?yàn)棣?，β為銳角，所以α+β∈(0?,?π)，因?yàn)樗詓in=5題型9題型9與三角恒等變換有關(guān)的圖象變換問(wèn)題1．（2023下·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）要得到函數(shù)fx=12sinA．向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移πC．向左平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移π【解題思路】根據(jù)題意，由輔助角公式可得fx【解答過(guò)程】因?yàn)閒x即只需要把函數(shù)gx=cos故選：D.2．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=cos①fx的最小正周期是π②fx在區(qū)間π③將fx圖象上的所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．① B．② C．①② D．①②③【解題思路】根據(jù)題意利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)成f(x)=3【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)==3所以函數(shù)的最小正周期T=2當(dāng)π6<x<π2時(shí)，0<2x-π將fx圖象上的所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位長(zhǎng)度后，可得所以結(jié)論正確的為①②，故選：C.3．（2023下·重慶長(zhǎng)壽·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)f(x)=(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，當(dāng)x∈-π【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到f(x)=2sin（2）先求出g(x)的解析式，從而利用整體法求解函數(shù)的值域.【解答過(guò)程】（1）f(x)=3則函數(shù)f(x)的周期為2π2（2）函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6得：g(x)=2因?yàn)閤∈-π6,π當(dāng)x=-π6時(shí)，sin2x=-32g(x)=2sin故函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇-34．（2023下·四川綿陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)x∈0,π時(shí)，求函數(shù)(2)將函數(shù)fx的圖象先向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=gx的圖象.若gθ=13【解題思路】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，然后代入正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間結(jié)論結(jié)合已知范圍求解；（2）利用圖象變換法則求出y=gx，進(jìn)一步求出sin【解答過(guò)程】（1）f==1由-π2+2k即-π因?yàn)閤∈0,π，所以函數(shù)fx（2）先將函數(shù)fx=12sin再橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得函數(shù)gx因?yàn)間θ=1又cosα+θ=-1114，且θ為銳角，所以cos=-11題型10題型10函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用1．（2023下·河南安陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=2cosA．將函數(shù)fx的圖象向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)gxB．x=-π8是函數(shù)C．函數(shù)fx在5D．fx=1在-【解題思路】先將函數(shù)fx利用兩角和的余弦公式和輔助角公式整理為fA選項(xiàng)根據(jù)y=AsinB選項(xiàng)由f-C選項(xiàng)判斷5π8,D選項(xiàng)求出fx=1在【解答過(guò)程】f=2===A選項(xiàng)：將函數(shù)fx的圖象向左平移π得到函數(shù)gx故函數(shù)gxB選項(xiàng)：f-C選項(xiàng)：因fx令-π2+2k故-3π8+k故函數(shù)fx在-3π8當(dāng)k=1時(shí)，可得函數(shù)fx在5π故C正確；D選項(xiàng)：令fx得sin2x+所以2x+π4=π4故x=kπ或x=π4故fx=1在-π8,故D錯(cuò)誤，故選：D.2．（2022上·陜西安康·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx①函數(shù)fx的最小正周期是2②函數(shù)fx在區(qū)間π③函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=④函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)y=2sin其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由題意知，fx【解答過(guò)程】fx①因?yàn)棣?2，則fx的最小正周期T=②當(dāng)x∈π8,5π8時(shí)，③因?yàn)閒π8=2為fx④設(shè)gx=2故選：B.3．（2023上·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)y=fx的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，當(dāng)x∈-π【解題思路】（1）由三角恒等變換可得fx（2）由三角函數(shù)的圖象變換可得gx=2sin4x+π3，令t=4x+π3∈0,π，可轉(zhuǎn)化為y=m【解答過(guò)程】（1）fx=2=sin故函數(shù)fx的最小正周期為2（2）將函數(shù)y=fx的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2再把橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍（縱坐標(biāo)不變），得到g當(dāng)x∈-π12,π當(dāng)x∈-π12即y=m與y=2sint的圖象在畫(huà)出y=2sint在由圖可得0≤m<2，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,2.4．（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=2cosx(3(1)求實(shí)數(shù)a的值和函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心；(2)將f(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)的圖象，若g(x)-m=2在x∈π【解題思路】（1）由題意，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，根據(jù)最大值求出a，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論．（2）由題意，根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)【解答過(guò)程】（1）由于函數(shù)fx∵函數(shù)f(x)的最大值為2，∴2-1+a=2，即a=1．由2x-π6=k∴fx的對(duì)稱(chēng)中心為（2）將f(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移π12個(gè)單位得f(x-再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的12可得g(x)=2sin∴2sin(4x-πy=2sin4x-π3與如圖為函數(shù)y=2sin4x-π

∵2π3≤4x-π3∴故m的取值范圍為(-4,-2-3題型11題型11三角函數(shù)的應(yīng)用1．（2023上·陜西榆林·高一統(tǒng)考期末）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，所以至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中被使用.如圖，假定在水流穩(wěn)定的情況下，一個(gè)直徑為10米的筒車(chē)開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，筒車(chē)的軸心O距離水面的高度為52米.以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，設(shè)筒車(chē)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)t秒后盛水筒P到水面的距離為h米（規(guī)定：若盛水筒P在水面下，則h(1)寫(xiě)出h（單位：米）關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)解析式h(t)=Asin(ωt+φ)+B（其中A>0，ω>0，(2)若盛水筒P在t1，t2時(shí)刻距離水面的高度相等，求【解題思路】（1）根據(jù)圖形，利用幾何知識(shí)和三角函數(shù)求解函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦方程，求解t1,t【解答過(guò)程】（1）如圖，過(guò)O作OC⊥PB交PB于點(diǎn)C，設(shè)筒車(chē)與水面的交點(diǎn)為M，N，連接OM.因?yàn)橥曹?chē)轉(zhuǎn)一周需要1分鐘，所以筒車(chē)每秒鐘轉(zhuǎn)2π60=