《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題（全題型壓軸題）含答案及解析

專題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①對(duì)稱化構(gòu)造法 1②差值代換法 3③比值代換法 4④對(duì)數(shù)均值不等式法 5①對(duì)稱化構(gòu)造法1．（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極小值B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．若，恒成立，則D．若，，，，則2．（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個(gè)解為、，求證：.3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為其極小值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，使得，求證：．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．②差值代換法1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求證：方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)和，設(shè)，證明：（為的導(dǎo)函數(shù)）.③比值代換法1．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.2．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．3．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.④對(duì)數(shù)均值不等式法1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.2．（2023春·福建莆田·高二?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知方程有兩個(gè)不同的根、，求證：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.

專題11導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①對(duì)稱化構(gòu)造法 1②差值代換法 7③比值代換法 10④對(duì)數(shù)均值不等式法 17①對(duì)稱化構(gòu)造法1．（多選）（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極小值B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．若，恒成立，則D．若，，，，則【答案】AD【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，所以設(shè)，所以，又因?yàn)椋?；?duì)于A，因?yàn)?，所以，令，得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對(duì)于B，令，得，所以有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以時(shí)，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，且，所以若，，，，可以設(shè)，假設(shè)正確，下證明，即證，因?yàn)?，在單調(diào)遞減，所以即證，即證，構(gòu)造，則，因?yàn)椋?，，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即得證，原式成立，故D正確.故選：AD2．（2023春·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若方程的兩個(gè)解為、，求證：.【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；(2)證明見解析【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值.（2）解：設(shè)，其中，則，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，可得，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，設(shè)，則，即且，要證，即證，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，只需證明：，即證，令，其中，則，因?yàn)椋瑒t，所以，，故函數(shù)在上為減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，?duì)任意的恒成立，則，即，故成立.3．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，證明：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，(2)證明見解析【詳解】（1）由題可知的定義域?yàn)椋?令，則的兩根分別為，．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）原方程可化為，設(shè)，則，．令，得．∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且當(dāng)，趨向于0時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于．則在和上分別有一個(gè)零點(diǎn)，，不妨設(shè)，∵，∴，設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時(shí)，，，即．∵，∴．∵在上單調(diào)遞減，∴，即．4．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為其極小值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若存在，使得，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，依題意得，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，故，在內(nèi)單調(diào)遞增，故在處取得極小值，符合題意.綜上所述：.（2）由（1）知，，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)，時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)，時(shí)，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)榇嬖冢沟茫?，要證，只要證，因?yàn)?，所以，又在?nèi)單調(diào)遞減，所以只要證，又，所以只要證，設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，在上為減函數(shù)，所以，即，所以在上為減函數(shù)，所以，即.綜上所述：.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．(2)若，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；極大值為，極小值為(2)證明見解析【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令，解得：或，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.（2）由（1）知：，，．令，，則；令，則；令，則，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意恒成立．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，即；令，，則；在上單調(diào)遞增，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，對(duì)任意恒成立．，．又，，在上單調(diào)遞增，且，，；由得：，，.②差值代換法1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)，．其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，函數(shù)恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，證明：．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析．【詳解】解：（1），，（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，函數(shù)在遞減，在遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：，依題意，不妨設(shè)，則，兩式相減得，，因?yàn)椋C，即證，即證，兩邊同除以，即證.令，即證，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，，在上遞減，，即，故．2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為.(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若，求證：方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以令，得，即.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，故a的取值范圍是.（2）要證在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.即證方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即證方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，，所以方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且.因?yàn)?，所以，又，所以，（點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到的范圍）易知，，兩式分別相加、相減得，，得，設(shè)，則，，所以.（換元，將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題）設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，得證.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)和，設(shè)，證明：（為的導(dǎo)函數(shù)）.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，若，對(duì)任意的，則，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；若，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）證明：不妨令，由題設(shè)可得，兩式相減整理可得.所以，要證，即證，即證，令，即證，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故原不等式得證.③比值代換法1．（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑒t，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；接下來(lái)證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，綜上，.2．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．【答案】(1)答案見解析(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，其?①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由可得.所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）解：（i）方程可化為，即．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則.作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）要證，只需證，即證．因?yàn)椋灾恍枳C．由（?。┲环猎O(shè)．因?yàn)?，所以，即，作差可得．所以只需證，即只需證．令，只需證．令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證．3．（2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍．(2)若的兩個(gè)相異零點(diǎn)為，，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，所以，即，，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，則．所以時(shí)，恒成立，a的取值范圍為.（2）由題意知，，不妨設(shè)，由得，則，令，則，即：．要證，只需證，只需證，即證，即證（），令（），因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以成立，故．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）.(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不存在最小值；所以不合題意，故.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，解得.所以，的值為.（2）解：方法一：由（1）知，，.因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以①；②.①－②得：，即，所以，令，有，所以，從而得.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，即，又，所以，恒成立，即，得證.方法二：由（1）知，，.因?yàn)闉榉匠痰膬蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.令，，則，.令，得.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所?令，，則.所以在上單調(diào)遞減，所以，即.所以，所以.又在上單調(diào)遞增，所以.即，得證.④對(duì)數(shù)均值不等式法1．（2023春·福建廈門·高二廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以，又f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，解得..（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），因?yàn)閒（x）在定義域上為增函數(shù)，所以在（0，+∞）上恒成立.即恒成立.，即，令，所以，時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不合題意.當(dāng)時(shí)，在（0，）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是，即，又，所以在（1，）上存在一個(gè)零點(diǎn)（）.當(dāng)時(shí)，，所以在（，+∞）上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.不妨設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)由，所以，所以，所以，要證，只需證，只需證，由，只需證，只需證，只需證，令，只需證，令，，∴H（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，即成立，所以成立.2．（2023春·福建莆田·高二校考期中）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方