《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題24拋物線（解答題壓軸題）含答案及解析

專題24拋物線（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①拋物線焦點(diǎn)弦（弦長）問題 1②拋物線中點(diǎn)弦問題 3③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 5④拋物線中定點(diǎn)、定值、定直線問題 7⑤拋物線綜合問題 9①拋物線焦點(diǎn)弦（弦長）問題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.2．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，拋物線E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求弦AB所在直線方程．4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，求及的面積.5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎獟佄锞€是它的焦點(diǎn).(1)過焦點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長；(2)為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)，求的最小值.6．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，且經(jīng)過．(1)求的方程；(2)若直線過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，，求的方程．②拋物線中點(diǎn)弦問題1．（2023秋·陜西商洛·高二校考期末）直線：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.4．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點(diǎn)S，使得直線MN恒過該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線C上一點(diǎn)，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線；過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，曲線在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).(1)證明：；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的面積的最小值.2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，求的最小值.3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線m與焦點(diǎn)在x軸上的拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：（）上的一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的方程；(2)若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．5．（2023秋·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．6．（2023·湖南長沙·長沙一中校考一模）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上.已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，若的面積為.(1)求的值；(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正實(shí)數(shù)，直線和拋物線相切于點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.④拋物線中定點(diǎn)、定值、定直線問題1．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個(gè)點(diǎn)，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.2．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，滿足.拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線相切于點(diǎn).(1)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值.

3．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)若，證明：直線過定點(diǎn)．(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

4．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；(2)過點(diǎn)A的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，，若點(diǎn)M滿足，證明：點(diǎn)M在一條定直線上．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．⑤拋物線綜合問題1．（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)P，Q，N.(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點(diǎn)M（1）求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；（2）已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程．3．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓以點(diǎn)為圓心，半徑為1.若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線及圓自上而下依次交于，，，四點(diǎn)，則.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于，兩點(diǎn)，直線分別交軸正半軸、軸正半軸于，兩點(diǎn)，求面積的最小值.4．（2023秋·上海普陀·高三曹楊二中校考階段練習(xí)）已知拋物線為拋物線上四點(diǎn)，點(diǎn)在軸左側(cè)，滿足.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為.證明：直線與軸垂直；(3)設(shè)圓，若點(diǎn)為圓上動點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最大值.5．（2023秋·福建漳州·高三校考階段練習(xí)）如圖，已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切，點(diǎn)關(guān)于圓心的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡為.

(1)求曲線的方程；(2)一條直線經(jīng)過點(diǎn)，且交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動點(diǎn).①求證：不可能是鈍角；②是否存在這樣的點(diǎn)，使得是正三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，說明理由.

專題24拋物線（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①拋物線焦點(diǎn)弦（弦長）問題 1②拋物線中點(diǎn)弦問題 7③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題 12④拋物線中定點(diǎn)、定值、定直線問題 20⑤拋物線綜合問題 28①拋物線焦點(diǎn)弦（弦長）問題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，直線的方程設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，，可得，設(shè),，,，，，因?yàn)?，所以，可得，可得，所以直線的方程為：．即．（2）直線的方程設(shè)為，

令，可得，所以，所以,，,，因?yàn)?，所以?,，所以，，，，，化簡可得，，，可得，，，．2．（2023秋·湖南邵陽·高三湖南省邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，

設(shè)，.將代入，消去整理得.當(dāng)時(shí)，，.，化簡得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，故.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，拋物線E上一點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為5，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)求拋物線E的方程；(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦AB，當(dāng)AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離最短時(shí)，求弦AB所在直線方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）∵H縱坐標(biāo)為5，不妨設(shè)在第一象限內(nèi)，∴，過H做軸于M，∵，∴，∴，解得．∴所以拋物線E的方程為．

（2）根據(jù)題意直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，AB中點(diǎn)，由，，，，，∴，則∴，∵AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于，∴當(dāng)最小時(shí)，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離最短．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得，則．所以直線AB的方程為或.4．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，求及的面積.【答案】12，【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故過F且傾斜角為的直線方程為，

聯(lián)立，得，，設(shè)，則，故；直線AB的方程為，即，則原點(diǎn)O到的距離為，故的面積為.5．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中?？计谥校┮阎獟佄锞€是它的焦點(diǎn).(1)過焦點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長；(2)為拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立，整理可得：，，弦長.（2）設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，根據(jù)拋物線的定義可知.所以，要使最小，只需要最小即可.由在拋物線內(nèi)，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，故最小值為.6．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對稱軸為軸，且經(jīng)過．(1)求的方程；(2)若直線過的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，，求的方程．【答案】(1)(2).【詳解】（1）設(shè)的方程為，因?yàn)榻?jīng)過，所以，即，所以的方程為.（2）由（1）知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)（舍）.②當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，，將代入得，所以.所以，解得.所以直線的方程為②拋物線中點(diǎn)弦問題1．（2023秋·陜西商洛·高二?？计谀┲本€：與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求的斜率．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)镸的焦點(diǎn)為，且直線l：經(jīng)過點(diǎn)，所以經(jīng)過的焦點(diǎn)．聯(lián)立，得．設(shè)，，則，則，解得．所以M的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減，得．因?yàn)椋詌＇的斜率為.

2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).(1)若直線過點(diǎn)，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點(diǎn)，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又因直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：，即，聯(lián)立得，設(shè)，，所以，，所以（2）因、在拋物線上，所以，，兩式相減得：，得，故直線的斜率為4，所以直線的方程為：，即3．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB恰好被點(diǎn)平分.(1)求直線l的方程；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)C和D，使得C，D關(guān)于直線l對稱?若存在，求出直線CD的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【詳解】（1）依題意，直線l的斜率存在，且不為0，設(shè)直線l的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則有，由，得，于是直線l的方程，即，所以直線l的方程為.

（2）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)C，D滿足條件，由（1）設(shè)直線的方程為，由消去x得：，有，解得，設(shè)，則，于是線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然點(diǎn)在直線上，即，解得，所以拋物線上不存在點(diǎn)C，D，使得C，D關(guān)于直線l對稱.4．（2023·四川成都·三模）已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點(diǎn)S，使得直線MN恒過該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，，其中．由，得．化簡得．

，即．線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為．（2）設(shè)y軸上存在定點(diǎn)，由題意，直線MN斜率存在且不為0，設(shè)直線，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三點(diǎn)共線，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直線MN恒過定點(diǎn)．5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)，直線分別與拋物線相交于兩點(diǎn)（異于）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)，其中，由，得，化簡得，，即，線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為；（2）證明：設(shè)，，直線的方程為，化簡可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點(diǎn)．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線C上一點(diǎn)，，且．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槭菕佄锞€C上一點(diǎn)，，且，所以根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，解得，故拋物線C的方程為．（2）設(shè)，，則兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，故直線l的方程為．③拋物線中參數(shù)范圍與最值問題1．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線；過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，曲線在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).(1)證明：；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）

由題意得，圓心到點(diǎn)的距離和直線的距離相等，由拋物線的定義知，曲線的軌跡為拋物線，由焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，可得方程為，設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)，，則①，②切線方程為：③，切線方程為：④，由③?④得，所以，③-④，得，即，所以.當(dāng)時(shí)，顯然有，當(dāng)時(shí)，，所以，所以.（2）由題意得：，得，結(jié)合①?②得，，從而，因?yàn)椋?，所?設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而可得.2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，求的最小值.【答案】16【詳解】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為，焦準(zhǔn)距，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則，的斜率都存在且不為0，故設(shè)，則直線，設(shè)，聯(lián)立，則，，則，同理，故，同理可得,故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故的最小值為16.3．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線上．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線m與焦點(diǎn)在x軸上的拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或(2)或【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)焦點(diǎn)為，即此時(shí)拋物線焦點(diǎn)在軸，開口向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線方程為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)焦點(diǎn)為，即此時(shí)拋物線焦點(diǎn)在軸，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線方程為；（2）設(shè)過點(diǎn)直線m的方程為，設(shè)直線m與拋物線的交點(diǎn)分別為聯(lián)立方程消去得，即，；AB的中點(diǎn)為；；則以線段AB為直徑的圓的方程為若原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，則化簡得，即或.4．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線：（）上的一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的方程；(2)若正方形的三個(gè)頂點(diǎn)、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．【答案】(1)(2)2【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，結(jié)合拋物線的定義得，∴，拋物線的方程為.（2）方法一：如圖設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)在軸的右側(cè)（包括軸），設(shè)在拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，的斜率為（）．則有

，，即，．所以，，①又，所以即,代入①，得,即,∵，，，∴，化簡得，正方形的面積為，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，∴.方法二：的斜率為（），點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，得，∴，，又，∴，即，∴，即，∴，正方形的面積，令，，則，設(shè)，，則，，∵，∴，∴單調(diào)遞增，.5．（2023秋·廣東佛山·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析；【詳解】（1）由題可知，解得.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.設(shè)，則，同理可得，，則，即.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，整理得.所以，即，所以直線過定點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得.綜上，直線過定點(diǎn).（ii）設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，消去得，由題意，所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，.由拋物線定義知.故的最小值為.

6．（2023·湖南長沙·長沙一中校考一模）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上.已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，若的面積為.(1)求的值；(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交拋物線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為正實(shí)數(shù)，直線和拋物線相切于點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)準(zhǔn)線l與y軸交于S,因?yàn)?由對稱性可知:FS=PS=QS=p,設(shè)A到準(zhǔn)線l的距離為d,則d=FA=FQ=，，解得：.（2）由（1）設(shè)，從而因?yàn)?所以又，所以，又，得①，，所以直線m的方程為，令，得②，由直線DM與拋物線C相切于點(diǎn)D,則切線方程為由切線過點(diǎn)M,令，得③，由①②③得，即，又存在滿足上式,則，又，則，又，得.綜上,正實(shí)數(shù)t的取值范圍為④拋物線中定點(diǎn)、定值、定直線問題1．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn).(1)求拋物線T的方程：(2)已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個(gè)點(diǎn)，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.【答案】(1)(2)是定值16．【詳解】（1）拋物線T的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過，，，四點(diǎn)中的兩點(diǎn)，由對稱性，點(diǎn)和點(diǎn)不可能同時(shí)在拋物線T上，點(diǎn)和點(diǎn)也不可能同時(shí)在拋物線T上，則拋物線只可能開口向上或開口向右，設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，拋物線過點(diǎn)，∴符合題意；設(shè)，若過點(diǎn)，則，得，∴，但拋物線不過點(diǎn)，不合題意．綜上，拋物線T的方程為．（2），設(shè)直線，即，由AB與圓相切得，∴，

設(shè)，同理可得，∴是方程的兩根，．聯(lián)立，消y得，∴，同理，∴所以為定值16．2．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，滿足.拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線，分別與拋物線相切于點(diǎn).(1)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，得，則.又橢圓：的離心率為，設(shè)橢圓的焦半徑為，則，解得，則，所以橢圓：.由直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，∴，，兩式作差得：，即：，由的中點(diǎn)為，可得：，，代入上式得，當(dāng)時(shí)，，，兩點(diǎn)重合，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，∴直線的方程為：，即.

（2）由（1）知，則拋物線的焦點(diǎn)為，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，由于點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，故可設(shè)，由直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)可知，直線，的斜率存在且都不為，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立消去,得關(guān)于的方程，若過點(diǎn)的直線與拋物線相切，則其判別式，化簡得到關(guān)于的二次方程，由題意知，直線，的斜率即該關(guān)于的二次方程的兩根，即為、，則由韋達(dá)定理知，，故為定值，且定值為.

3．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)若，證明：直線過定點(diǎn)．(2)已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交于，兩點(diǎn)，試問是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即．聯(lián)立得，

由，設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過定點(diǎn)．（2）聯(lián)立得，則且，即，，設(shè)，同理可得．

因?yàn)橹本€在的右側(cè)，所以，則，即．所以，即，解得，因?yàn)椋詽M足條件的存在，.4．（2023春·福建福州·高二校聯(lián)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4．已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為A，D，兩條漸近線分別為直線BE，CF．

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；(2)過點(diǎn)A的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)，，若點(diǎn)M滿足，證明：點(diǎn)M在一條定直線上．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，即，，，，直線方程：，，則，，則，解得，，雙曲線.（2）由題意，直線的斜率存在，則其方程可設(shè)為，聯(lián)立可得，消去可得：，，，化簡得，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)，，，，，則，，，，，，，解得，由，，則在同一直線上，即，故在直線上.5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）解：當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，可得，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，直線的方程為，即，化簡可得，同理可知，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，

交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因?yàn)橹本€與相交，則，解得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.⑤拋物線綜合問題1．（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)P，Q，N.(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍.【答案】(1)，證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)，，，則，，由于，，三點(diǎn)共線，則，整理得，，則，同理可得則，，則，即證.（2）若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上即，則，化簡得，又因?yàn)?，則，，則直線斜率的取值范圍為：.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心為點(diǎn)M（1）求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；（2）已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點(diǎn)，若過M，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由于拋物線C1：x2=y準(zhǔn)線方程為：y=﹣，圓C2：x2+（y﹣4）2=1的圓心M（0，4），利用點(diǎn)到直線的距離公式可以得到距離d==．（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22）；由題意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，設(shè)過點(diǎn)P的圓c2的切線方程為：y﹣x02=k（x﹣x0）即y=kx﹣kx0+x02①則，即（x02﹣1）k2+2x0（4﹣x02）k+（x02﹣4）2﹣1=0設(shè)PA，PB的斜率為k1，k2（k1≠k2），則k1，k2應(yīng)該為上述方程的兩