廣東省清遠市2025屆高三年級上冊教學質量檢測（一）數(shù)學試題（含答案解析）

廣東省清遠市2025屆高三上學期教學質量檢測（一）數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合/=,S=p|x-l<|j,則/口2=（）

a

-卜如噂b-{xlo<x4}c-[KD.0

-5+i

2.已知i是虛數(shù)單位，若i-2=上二，則復數(shù)z的虛部為（）

i

A.4B.2C.-2D.-4

3.已知向量2=（2,3）3=化—4）,且萬1B，則左的值為（）

8

A.—6B.6C.—

3

4.函數(shù)/（X）=X+/y在區(qū)間（1,+OO）上的最小值為（）

X—1

A.2B.3C.4D.5

5.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,+"）上單調遞增的是（）

A./(X)=-X2+3B./(x)=lg|x|C./(x)=sinxD.f(x)=x3

6.設函數(shù)/（叼="+,在區(qū)間（2,3）上單調遞減，則正數(shù)。的取值范圍為（）

ax

C.(2,3)D.[2,3]

兀3兀71

7.記函數(shù)/(x)=Jl+sinx+Jl-sinx,設ac，甲：，?r乙：/(tz)=2siny,

25Tae2

則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

8.已知a=2e-b=陰,0=普|,則（

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.已知函數(shù)〃x)=3sin[2x+]J,下列說法正確的是()

A.函數(shù)/("的最小正周期是兀

B.把函數(shù)[(X)的圖象向右平移1個單位長度可得到函數(shù)g(x)=3sin2x的圖象

C.函數(shù)/(x)的圖象關于點，己,0)中心對稱

D.函數(shù)/(x)的圖象在區(qū)間需)上單調遞增

10.現(xiàn)有一組各不相同且從小到大排列的樣本數(shù)據(jù)網(wǎng),超,項,…戶39，尤40，下列說法正確的是()

A.Xi，%,馬,…,》39，*40的下四分位數(shù)為X]o

55s

B.Xj,x25-^3",*^19*^205,^21的中位數(shù)為

C.X1/2,X3,…,X19,%20的平均數(shù)小于尤21,*22'*23,…>-^39>-^40的平均數(shù)

D.2X1+3,2%+3,2X]+3,???,2x40+3的方差是否,乙，%…，,廣皿的方差的4倍.

11.設/(X)與其導函數(shù)/'(X)的定義域均為R,g(x)=/'(x),若〃3x)=〃2—3x),g(x-2)

的圖象關于x=l對稱，g(x)在上單調遞減,且g⑺=3,則()

A.g(x-l)為偶函數(shù)B.g(x+l)的圖象關于原點對稱

C.g(2041)=3D.g(x)的極小值為3

三、填空題

12.林市高三年級1萬名男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(170,5),則身

高超過180cm的男生約有人.(參考數(shù)據(jù)：尸(〃-b4X4〃+b)a0.682,

P[/j-2a<X<〃+2cr)a0.954,尸(〃一3crWXW〃+3tz)q0.997)

13.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，f(x)=x(l+x),則

/(-3)=；當x<0時，f(x)=.

14.已知函數(shù)/'(力=2$皿0》+?)(①>0,￡<。<0)相鄰兩條對稱軸之間的距離為三，且

試卷第2頁，共4頁

(胃=夜，則/⑺在［0,2K］上的零點個數(shù)為.

四、解答題

3

15.在V48C中，角48,C所對的邊分別為a,6,c.EL知cos/=—,a=4,6sin8=5sinC.

4

⑴求6的值；

(2)求V/BC的面積.

16.已知每門大炮擊中目標的概率都是0.5,現(xiàn)有〃門大炮同時對某一目標各射擊一次.

(1)當〃=5時，求給好擊中目標2次的概率(精確到0.01)；

⑵如果使目標至少被擊中一次的概率超過80%,至少需要多少門大炮？(lg2?0.301)

17.如圖，在直四棱柱中，底面4BCQ為矩形，=6,48=4,/。=2.點

9

E,RG分別在棱44,耳G，耳8上，=3,8G=5.

(1)若用尸=g,證明：平面NCR〃平面EFG；

⑵若用尸=1,求直線/尸與平面NCR所成角的正弦值.

18.己知函數(shù)/卜)=》3+岳：2-》+。圖象的對稱中心為(0,1).

(1)求。和6的值;

⑵若對于任意的x>0,都有/(力+62,-2蛆》尤3_苫+2恒成立.求實數(shù)機的取值范圍.

22/T

19.已知橢圓C:二+4-l(a>6>())的離心率為"，短軸長為2,過圓心在原點，半徑為

aa2

石的圓。上一動點P作橢圓C的兩條切線尸4P5,切點分別為A,B,延長尸N與圓交于另

一點、M,延長心與圓交于另一點N.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)假設向量部的夾角為9,定義：依同=同卡「出火

試卷第3頁，共4頁

⑴證明：|而X而卜0；

(ii)求|03x礪|的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDBDBAACACDBCD

題號11

答案AB

1.C

【分析】通過解含絕對值的不等式得出集合5,再由集合交集的定義得出結果.

【詳解】因為3==1六1T31，又八x0<x<；

X

故選：C.

2.D

【分析】由復數(shù)的四則運算及虛部概念即可求解

【詳解】由題得j_z=（5+）（T）=]+5i,z=_]_4i.

-1

所以復數(shù)Z的虛部為-4.

故選：D.

3.B

【分析】由向量垂直坐標公式可得答案

【詳解】由5得5=0=2左一12=0=左=6.

故選：B.

4.D

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】由于x〉l,所以％—

44I4―

故/（X）=XH------=x-l-\--------F1>2J（x-l）-------+1=5'

X1X1yX1

4

當且僅當=—,即x=3時取等號，故函數(shù)的最小值為5.

X-1

故選：D.

5.B

【分析】先根據(jù)奇函數(shù)排除C,D,再根據(jù)二次函數(shù)得出單調性判斷A,最后應用偶函數(shù)定義及

對數(shù)函數(shù)單調性判斷B.

【詳解】由題可知C、D是奇函數(shù)，故排除；

答案第1頁，共13頁

對于選項A,圖像是開口向下的拋物線，在(0,+8)上單調遞減，故排除；

對于選項B,/(-x)=lg|-Jr|=lg|x|=/(x),所以函數(shù)/(x)=lg國在定義域內(nèi)是偶函數(shù),

當x>0時，/(力=回聞=1改,/卜)在(0,+8)上單調遞增,

故選：B.

6.A

【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，結合題意即可求.

【詳解】由/(x)=ax+，得/(x)=a-3(<7X+l)(t7X-l)

axaxaxax'

因為％>0,。>0,所以QX〉0,tzx+1>0,

由/'(x)>0解得箸>工,

a

由/'(無)<o解得O<X<L

a

所以/'(X)在(0,￡|上單調遞減，在B，+:|上單調遞增，

因為函數(shù)/口)="+,在區(qū)間(2,3)上單調遞減，

ax

故3VL解得

a3

故選：A

7.A

【分析】利用三角恒等變換公式化簡/(c),判斷甲乙命題之間的邏輯推理關系，即可得答

案.

【詳解】由題得，乙:

.a2a.aa\-2a->a.aa

f(cz)=Jl+sine+Jl-sine=./sin2—Fcos—F2sin—cos—F/sin—cos2sin—cos—

V2222V42222

.aci\.a&

sin—+cos—+sin--cos--

24I2i

s,兀,,a7i7i.aa.aa?

因m為甲m：aG—,7i,故一￡—,所以sm—+cos—>0,sm-----cos—>0,

_2」2|_42」2222

所以f(a)=sin—+cos—+sin--cos—=2sin—,故甲是乙的充分條件；

v722222

答案第2頁，共13頁

,,..7兀.71兀V6+V2a7兀兀71A/2—y/b

故sin—=sin——=sm—+—cos—=cos——=cos—+—

212344212344

品.aa5/2c.aa員>0，

改sm——Feos-=---->0,sin—cos—=

222222

L(

,R\.cccc.acc_.a‘L,7K71

故/(a=sin—+cos—+sm-----cos—=2sm—,-,

')22222612」

因此甲不是乙的必要條件，因此甲是乙的充分不必要條件,

故選：A.

8.C

0Irip91Tl4ITIY

【分析】根據(jù)題意，化簡得到。=",6=手，構造函數(shù)/'a)=V>xNe,利用導數(shù)求

e4x

得/(X)在［e,+8)上單調遞減，得到a>b,再由log3Jln64-ln29

>0，得到，即可

121n2

求解.

22Inelg21c21n221n4

【詳解】由指數(shù)幕與對數(shù)的運算法則，可得。=一=——,b==ln2=------=-----

eeIge24

my1-lux

構造函數(shù)/(x)=「px2e,則/''(x)=?0在［e,+8)上恒成立,

x2

所以〃x)=7在［e,+⑹上單調遞減，所以故書>誓，即a>b,

lg63ln6341n6-91n2In64-ln29

又由。=--=log6,而log6—

lg88&8431n24121n2121n2

其中64=1296且29=512,所以皿64-ln293

一〉0,即log86>“

121n2

因為M弋>1,所以消，所以…，所以—

故選：C.

9.ACD

【分析】對于A,由周期公式即可判斷，對于B,由平移可判斷，對于C,代入驗證即可，對

于D,求得單調區(qū)間即可判斷.

2兀

【詳解】函數(shù)/(x)=3sin2x+1的最小正周期是T-f所以A正確;

71

函數(shù)/(%)=3sin2x+fj的圖象向右平移］個單位長度可得到

5

7171(的圖像，所以錯誤;

g(x)=3sin2x+—=3sin2xgB

55

0,所以C正確;

答案第3頁，共13頁

jrjrjr/jrSjr

由2E<2x+—<2左兀+—,kGZ,解得ku---<x<kn-\----,keZ,

2522020

所以函數(shù)"x)=3sin(2x+:|的增區(qū)間是也一畀而+為卜eZ,

.T4口Rl、一.「33兀43兀1_s,(9TI21兀)「33兀4371n

令人=2,倚到增區(qū)間WPWT,因為歹記臼獷三r卜所以D正確,

乙U4U\JLUJI/U4UI

故選：ACD.

10.BCD

【分析】對于A：根據(jù)百分位數(shù)的定義分析判斷；對于B：根據(jù)中位數(shù)的定義分析判斷；對

于C：根據(jù)平均數(shù)的定義分析判斷；對于D：根據(jù)方差的性質分析判斷.

【詳解】對于選項A：下四分位數(shù)為第25百分位數(shù)，且40x25%=10,

所以七/2，打…Eg,%的下四分位數(shù)為汽^故A錯誤；

對于選項B：演,%2，％3,…，*19，%20，％21共有21個數(shù)據(jù),

所以中位數(shù)是這組數(shù)據(jù)的第11項為％,故B正確；

對于選項C：因為數(shù)據(jù)是從小到大排列，則為+々?+%。<.21+%2：L+\。,

2020

所以匹戶2，七,…,匹9，/0的平均數(shù)小于孫，工22，冬，…，％9，尤40的平均數(shù)，故C正確；

對于選項D：因為叫+6,ax2+b,ax3+b,---,axw+b的方差是和孫孫…，七①/皿的方差的力

倍，

所以2%+3,2工2+3,2匹+3,-、2乙0+3的方差是尤1，工2戶3，-一/39，%的方差的4倍,故D正確.

故選：BCD.

11.AB

【分析】利用函數(shù)對稱性的恒等式來證明函數(shù)奇偶性和周期性，從而問題得解.

【詳解】因為g(x-2)的圖象關于x=l對稱，所以g(x-2)=g(2-x-2)=g(-x),

即g(x-l)=g(-x-l),則g(x-l)為偶函數(shù)，故A正確；

由/(3x)=/(2-3x)得,f(x)=f(2-x),兩邊取導數(shù)得，f'(x)=-f'(2-x),

即g(x)=-g(2-x),所以g(x+l)=-g(-x+l),則g(x+l)是奇函數(shù)，

所以g(尤+1)圖象關于點原點對稱，故B正確；

答案第4頁，共13頁

由上可知，g(x-2)=g(-x),又由g(x)=-g(2-x)得g(-尤)=-g(2+尤)，

所以g(x-2)=-g(2+x),貝!jg(x+4)=-g(x),

所以有g(x+8)=-g(4+x)=g(x),即函數(shù)g(x)是一個周期函數(shù)且周期為8；

又由g(x+l)=_g(-x+l),令x=0得，g(l)=O,

則g(2041)=g(255x8+l)=g⑴=0,故C錯誤；

由g(x)在［-U］上單調遞減，又g(x)的圖象關于點。⑼對稱可知，

g(x)在［1,3］上單調遞減，所以g(x)在『1,3］上單調遞減,

又g(x)的圖象關于x=-1對稱，所以g(x)在［-5,-1］上單調遞增,

由周期性可知，g(x)在［3,7］上單調遞增,

所以當x=3時，g(x)取得極小值，即8⑶:-8㈠卜-8⑺=-3,故D錯誤,

故選：AB.

【點睛】結論點睛：函數(shù)的對稱性與周期性：

(1)若〃x+a)+〃-x+b)=c,則函數(shù)/⑺關于［+,2中心對稱；

(2)若〃x+a)=/(-x+b),則函數(shù)/(x)關于》=審對稱；

(3)若/(x+a)=〃x-a),則函數(shù)/(x)的周期為2a；

(4)若/(x+a)=-/(x),則函數(shù)/(x)的周期為2a.

12.230

【分析】由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.

【詳解】X~N(170,52),貝iJ"=170,b=5,

/、/、l-P(it-2o-<X<u+2(y}1-0,954

P(X>180)=P［X>〃+2cr)=----------------------1—--=0.023,

身高超過180cm的男生的人數(shù)約為0.023x10000=230.

故答案為：230.

13.-12x-x2

【分析】根據(jù)題意結合奇函數(shù)的定義運算求解即可.

答案第5頁，共13頁

【詳解】因為函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當xNO時，/(x)=x(l+x),

所以/(一3)=-/(3)=-[3x(l+3)]=-12；

當x<0,貝lJ-x>0,所以/(x)=-/(-x)=-[-x(l-x)]=x-x2.

故答案為：-12；x—x2.

14.6

【詳解】由函數(shù)〃x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為不得？=與，故。=半=3.

又因為血，即/1)=2sin3+T=西，

TTTTTTSITTV

所以一+夕=—+2E,左wZ或一+°=一+2左兀,kEZ,所以夕=——+2左兀,左6Z或

24244

71

(P=—+2左兀,左EZ,

4

因為_g＜夕＜0,所以夕=一二,

24

故"x)=2sin(3x-B,

冗jr23冗

因為石［0,2兀］,故3x-,結合正弦函數(shù)的圖象可知，

L」444

函數(shù)在［0,2可上的零點個數(shù)為6.

故答案為：6.

15.(1)5

⑵1^1

4

【分析】(1)由6sin5=5sinC,得6=當，代入/=〃+，一2bccosZ,解得c=6,6=5；

(2)由cos/求出sin/,面積公式國四0=；6csim4求V/5c的面積.

【詳解】(1)6sin5=5sinC,由正弦定理得66=5c,「力=

答案第6頁，共13頁

222

由余弦定理/=b+c-2bccosA，得16=■!!■，+c-2x-^xcx^-,

3664

c2=36.,.c=6(負值舍去),

：.b='x6=5.

6

(2)?：0<A<n,sitk4=Jl-cos。=

164

??.S“8c=；6csiiL4=

244

16.(1)0.31

(2)3

【分析】(1)由題意得到X~3(5,0,5),從而利用二項分布的求概率公式進行求解;

(2)先求出擊中0次的概率為(1-0.5)"=0.5",則至少擊中一次的概率為1-0.5",從而得

到不等式，求出答案.

【詳解】(1)5門大炮同時對某一目標各射擊一次,

設擊中目標的次數(shù)為X,

則X~8(5,0,5),

故恰好擊中目標2次的概率為C；X0.52X(1-0.5)3?0.31.

(2)由題意，〃門大炮同時對某一目標各射擊一次,

擊中0次的概率為(1-0.5)"=0.5",

則至少擊中一次的概率為1-0.5",

貝打一0.5”>80%，

即nlg0.5<lg0.2,

lg0.2_lg2-1_1-lg2?1-0.301?

解得">

lg0.5-lg2lg20.301

因為〃eN*,所以如果使目標至少被擊中一次的概率超過80%,至少需要3門大炮.

17.(1)證明見解析

。、18屈

---

371

【分析】(1)利用線面平行與面面平行的判定定理即可得證;

(2)通過建立空間直角坐標系，先求出平面的法向量亢，進而求出直線NF與平面

答案第7頁，共13頁

NCR所成角的正弦值.

【詳解】（1）由題得，在直四棱柱44GA中，

91

AA]=6,AB=4,AD=2,4E=3,BG=于B1F=3,

所以=*=1再Ff?=^,Bfi=*=|,

所以EF//4]C],GF//BCi,

又因為ZC//4G，/2//BG，故EFUAC,GF//AD1,

因為近7a平面ZCQ],ZCu平面ZCA，所以￡F//平面4CZ>],

同理G尸//平面/cn，又因為￡FIGb=尸，￡尸,6尸<2平面跖6,

所以平面4C0"/平面斯G.

（2）以。為坐標原點，〃所在直線分別為％，%z軸建立空間直角坐標系,

則A（0,0,6）,/（2,0,0）,C（0,4,0）,尸（1,4,6）,

則刃=（2,0,-6）,玩=（0,4,-6）,

n-D,A=2x-6z=0

設平面ACD｝的法向量元=（x,y,z）,則—

n-DIC=4y-6z=0

令z=l,得x=3,y=|>二萬=[3,|>1

又尸=（-1,4,6）,

\n-AF918753

gs瓦/尸|=

同同371'

答案第8頁，共13頁

故直線AF與平面ACDX所成角的正弦值為呸H.

371

18.⑴。=1,6=0

⑵加￡(一8,1]

【分析】(1)由題意可得出/(x)+/(-x)=2,代入化簡即可得出答案.

(2)將題意轉化為對于任意的x>0,6-2加工21恒成立.令〃(x)=e2,-2s,分類討論加,

求出h(x)的最小值即可得出答案.

【詳解】(1)由/(尤)=x，+加-x+a,

因為函數(shù)/3=%3+成-苫+。圖象的對稱中心為(0,1),

所以/■(x)+/(-x)=2,

以+bx^—x+。—X，+bx~+x+。=2，

化簡可得：2bxi+2a=2,即/+a=1,

6=0

因此

d—\

(2)由(1)可知/(無)=x'-x+l,對于任意的x>0,都有/(x)+e?*12gNx&-x+2恒

成立，即e2x-2mx>1恒成立.

令訪(x)=e?，-2mx,可得=2e"—,

令訪'(x)=0,BP2e2'—2m=0,e2v=m,

①當%VO時，/i'O)>0,則h(x)在(0,+8)上單調遞增，〃3>〃(0)=1,符合題意;

②當0<加41時，e2x=m,貝!!x=』ln〃zWO,

2

則〃(x)>0,〃(x)在(0,+8)上單調遞增,A(x)>A(O)=l,符合題意；

③當機>1時，e2A=m,則xInm>0,

2

當xe]o,gln機j時，/i'(x)<0，則八(x)在上單調遞減，

當xe]；出機,+8)時，％'(X)>0,則h(x)在[g1"%+e)上單調遞增,

所以〃(力士力仁歷加卜金麗

-2m—Inm=m-nAnrr),

2

答案第9頁，共13頁

令g(加)=加一加Inm,加>1,貝Ug'(7n)=-In加<0,

所以g(加)在(L+8)上單調遞減，所以g(M<g⑴=1,不合題意；

綜上所述，me(-00,1].

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

(1)通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范

圍；

(2)利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到

分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題,

就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

19.(1)￡-+/=1

-O-

⑵(i)證明見解析；(ii)不2

【分析】(1)利用橢圓的基本性質，以及恒等式〃=/-c2,即可求得橢圓方程；

(2)(i)利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，由相切可得判別式等于0,得到左/2=-1，從而利用

幾何意義證明"N經(jīng)過原點，即可求得口必x而卜0；

(ii)由|方x礪|可轉化幾何意義是|ax礪|=2S.〃B，從而利用弦長公式和距離公式來求

面積，最后求出取值范圍即可.

22

【詳解】(1)橢圓C:=+4=l(a>6>0),短軸長為2,所以6=1,

ab

離心率e=g=@,yLb2=a2-c2=l,解得。=2,

a2

橢圓C的標準方程為《+/=1.

4

(2)

答案第10頁，共13頁

\Nx

（i）證明：設P（%o，yo），

①當直線尸4田的斜率都存在時，設過尸與橢圓相切的直線方程為＞=%）+%,

y=k（x-x0）+y0

聯(lián)立直線與橢圓的方程

x2+4y2-4=0，

整理可得（1+4左2）_8左—京+4（%-kx。）—4=0,

A=64k2（%-左飛）2_4（］+4,2）［4（%—左飛丫_彳］,

由題意可得△=0,整理可得（4-片）左之+2xQyQk+1-＞；=0,

設直線尸4尸2的斜率分別為左，月，所以w=^4

4一天

1-（5-x；）

又x；+y；=5所以kk