備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)真題題源解密專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題（8類重點(diǎn)考向）含答案及解析

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四解直角三角形?考向五解直角三角形的應(yīng)用?考向六解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題?考向七解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題?考向八解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角；3.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實(shí)質(zhì)是基本的定義和應(yīng)用.有時(shí)比較簡(jiǎn)單，有時(shí)難點(diǎn)較大不易得分，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵。?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2023?大連模擬）下列選項(xiàng)中是有理數(shù)的是：（）①2cos245°﹣sin60°?tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤2．（2023?封丘縣模擬）計(jì)算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系3．（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB4．（2023?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+cosB的值為．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)5．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．6．（2022?成都）（1）計(jì)算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式組：7．（2022?張家界）計(jì)算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．?考向四解直角三角形解題技巧/易錯(cuò)易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k（有時(shí)也可設(shè)為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．3.正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長．4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān).8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為cm．10．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．?考向五解直角三角形的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混1.解直角三角形的應(yīng)用此類題的一般方法：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關(guān)系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.2.解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．12．（2023?廣西）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础?，“蘭州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點(diǎn)共線，BD⊥AB，結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）?考向六解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題14．（2023?長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)B處，再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D處．已知點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）19．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）?考向七解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題20．（2023?黃石）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°，飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是米（結(jié)果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量奇樓AB的高度，測(cè)量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測(cè)得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）?考向八解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是海里．24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測(cè)船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測(cè)石油資源，堪測(cè)發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測(cè)得角樓A在北偏東68.2°方向，南關(guān)橋C在南偏東56.31°方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）1．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內(nèi)角，，則cosA的值是（）A． B． C． D．4．（2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．5．（2023?道縣校級(jí)模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（）A． B． C． D．6．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．8．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米9．（2023?婁星區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則cosA＝．10．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．13．（2023?黃石）“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對(duì)的弧長約為km（結(jié)果保留π）．14．（2023?城西區(qū)校級(jí)二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．初中階段，我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問題：（1）計(jì)算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請(qǐng)你求出AC和BC的長．15．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．16．（2022?貴港）（1）計(jì)算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式組：17．（2022?濰坊）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：解：＝＝＝﹣2小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號(hào)：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④＝；．請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．18．（2023?婁底）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點(diǎn)B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即BE＝20米，測(cè)得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點(diǎn)間的距離．19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪之間無滑動(dòng)，當(dāng)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)140°時(shí)，傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計(jì)）20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達(dá)B處的三龍?zhí)镀俨迹傺仄陆菫?7°的山坡向上走了30m到達(dá)C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）21．（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點(diǎn)E，C，B在同一直線上．此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B的俯角α＝22°，點(diǎn)A的仰角β＝16.7°，并測(cè)得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點(diǎn)F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）22．（2023?襄陽）在襄陽市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)C處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m，從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45°，看銅像底部B的俯角為63.4°．已知底座BD的高度為4m，求銅像AB的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41）．23．（2023?海南）如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔M位于A的北偏東30°方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東60°方向上，測(cè)得港口C位于B的北偏東45°方向上．已知港口C在燈塔M的正北方向上．（1）填空：∠AMB＝度，∠BCM＝度；（2）求燈塔M到輪船航線AB的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（3）求港口C與燈塔M的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．24．（2023?內(nèi)蒙古）為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為A→B→C→A．B點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏東25°方向3km處，C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80°方向，行進(jìn)路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°．（1）求行進(jìn)路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)B和C之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．25．（2023?株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)A處等候“綠燈”，一輛轎車從被山峰POQ遮擋的道路②的點(diǎn)B處由南向北行駛．已知∠POQ＝30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，線段AO的延長線交直線BC于點(diǎn)D．（1）求∠COD的大??；（2）若在點(diǎn)B處測(cè)得點(diǎn)O在北偏西α方向上，其中，OD＝12米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)D處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A處的貨車）

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°解直角三角形1.在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：（1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；（2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；（3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3.科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.解直角三角形的應(yīng)用1．仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.5．解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問題的解．

主題四平面幾何專題17銳角三角函數(shù)與解三角形問題目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四解直角三角形?考向五解直角三角形的應(yīng)用?考向六解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題?考向七解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題?考向八解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角；3.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．該板塊主要考查銳角三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，尤其是應(yīng)用主要在綜合題中考查，是考查重點(diǎn)，每年都有一道三角函數(shù)的綜合題，看似考查解題的綜合能力，實(shí)質(zhì)是基本的定義和應(yīng)用.有時(shí)比較簡(jiǎn)單，有時(shí)難點(diǎn)較大不易得分，分值為12分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將以選題和綜合題的形式出現(xiàn)，在牢固掌握定義的同時(shí)，一定要理解基本的方法，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，是得分的關(guān)鍵。?考向一同角三角函數(shù)的關(guān)系1．（2023?大連模擬）下列選項(xiàng)中是有理數(shù)的是：（）①2cos245°﹣sin60°?tan60°；②sin215°+cos215°﹣π；③sin45°+π；④sin90°+（π﹣3）0+12023；⑤．A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，同角三角函數(shù)的關(guān)系，實(shí)數(shù)的運(yùn)算等分別計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：①2cos245°﹣sin60°?tan60°＝＝1﹣＝，是有理數(shù)，故①符合題意；②sin215°+cos215°﹣π＝1﹣π，是無理數(shù)，故②不符合題意；③sin45°+π＝，是無理數(shù)，故③不符合題意；④sin90°+（π﹣3）0+12023＝1+1+1＝3，是有理數(shù)，故④符合題意；⑤＝，是無理數(shù)，故⑤不符合題意，綜上所述，有理數(shù)有①④，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，同角的三角函數(shù)的關(guān)系，零指數(shù)冪，有理數(shù)和無理數(shù)，熟練掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?封丘縣模擬）計(jì)算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．【思路點(diǎn)撥】（1）先算乘方和開方以及零指數(shù)冪，再算加減法；（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入，再算乘方，然后計(jì)算乘法，最后算加減．【規(guī)范解答】解：（1）＝﹣4﹣1+1＝﹣4；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．【真題點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．?考向二互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系3．（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，則下列式子成立的是（）A．sinA＝sinB B．sinA＝cosB C．tanA＝tanB D．cosA＝tanB【思路點(diǎn)撥】本題利用銳角三角函數(shù)的定義求解．【規(guī)范解答】解：A、sinA＝，sinB＝，sinA≠sinB，故不符合題意；B、sinA＝，cosB＝，sinA＝cosB，故B符合題意；C、tanA＝，tanB＝，tanA≠tanB，故不符合題意；D、cosA＝，tanB＝，則cosA≠tanB，故不符合題意；故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題時(shí)熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．4．（2023?蘭山區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，則sinA+cosB的值為．【思路點(diǎn)撥】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出sin30°，cos60°的值，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°，則sinA+cosB＝sin60°+cos30°＝+＝．故答案為：．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)5．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：tan45°的值等于1，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．6．（2022?成都）（1）計(jì)算：（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|．（2）解不等式組：【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對(duì)值以及實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用解一元一次不等式組的解法進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝2﹣3+3×+2﹣＝﹣1++2﹣＝1；（2）解不等式①得，x≥﹣1，解不等式②得，x＜2，把兩個(gè)不等式的解集在同一條數(shù)軸上表示如下：所以不等式組的解集為﹣1≤x＜2．【真題點(diǎn)撥】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對(duì)值，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算以及一元一次不等式組，掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，算術(shù)平方根、特殊銳角三角函數(shù)值、絕對(duì)值，實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的方法以及一元一次不等式組的解法是正確解答的前提．7．（2022?張家界）計(jì)算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：原式＝＝．【真題點(diǎn)撥】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握特殊銳角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，絕對(duì)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)是正確解答的前提．?考向四解直角三角形解題技巧/易錯(cuò)易混1.分清直角三角形中的斜邊與直角邊.2.正確地表示出直角三角形的三邊長，常設(shè)某條直角邊長為k（有時(shí)也可設(shè)為1），在求三角函數(shù)值的過程中約去k．3.正確應(yīng)用勾股定理求第三邊長．4.應(yīng)用銳角三角函數(shù)定義，求出三角函數(shù)值．5.銳角三角函數(shù)值與三角形三邊的長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān).8．（2023?陜西）如圖，在6×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1．若點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sinB的值為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】連接AD，得到∠ADB＝90°，由勾股定理求出AD＝2，AB＝，即可求出sinB＝＝．【規(guī)范解答】解：連接AD，則∠ADB＝90°，∵AD＝＝2，AB＝＝，∴sinB＝＝＝，故選：A．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，勾股定理，關(guān)鍵是由勾股定理求出AD，AB的長．9．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．【思路點(diǎn)撥】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到OB＝BD＝2cm，由平行線的性質(zhì)推出BC＝OB，即可求出CD長，得到OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)．【規(guī)范解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．故答案為：（2+2）．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)，推出BC＝OB，即可解決問題10．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【思路點(diǎn)撥】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【規(guī)范解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解題的關(guān)鍵．?考向五解直角三角形的應(yīng)用解題技巧/易錯(cuò)易混1.解直角三角形的應(yīng)用此類題的一般方法：（1）構(gòu)造直角三角形；（2）理清直角三角形的邊角關(guān)系；（3）利用特殊角的三角函數(shù)值解答問題.2.解直角三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題：（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義；（2）找出要求解的直角三角形．有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形；（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進(jìn)行近似計(jì)算，檢驗(yàn)是否符合實(shí)際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位．11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形較短的直角邊為a，則較長的直角邊為a+1，再利用勾股定理得到關(guān)于a的方程，解方程可求出直角三角形的兩個(gè)個(gè)直角邊的邊長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出cosα的值．【規(guī)范解答】解：∵小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長為1，大正方形的邊長為5，設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a，則較長的直角邊是a+1，其中a＞0，由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，整理得：a2+a﹣12＝0解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合題意，舍去）．∴a+1＝4，∴．故選：D．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)是設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．12．（2023?廣西）如圖，焊接一個(gè)鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約21m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案為：21．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023?蘭州）如圖1是我國第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“龍”字雕塑CD高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A處測(cè)得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m，求“龍”字雕塑CD的高度．B，C，D三點(diǎn)共線，BD⊥AB，結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路點(diǎn)撥】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB?tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB?tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．【規(guī)范解答】解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，∵，∴BC＝AB?tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，∵，∴BD＝AB?tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），∴CD＝BD﹣BC＝23.94﹣14.04＝9.9（m）．答：“龍”字雕塑CD的高度約為9.9m．【真題點(diǎn)撥】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．?考向六解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題14．（2023?長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面，如圖所示．已知彩旗繩與地面形成25°角（即∠BAC＝25°），彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即AC＝32米），則彩旗繩AB的長度為（）A．32sin25°米 B．32cos25°米 C．米 D．米【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行解答即可．【規(guī)范解答】解：如圖，由題意得，AC＝32m，∠A＝25°，在Rt△ABC中，∵cosA＝，∴AB＝＝（m），故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．15．（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山．需要登頂600m高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)B處，再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂D處．已知點(diǎn)A，B，D，E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，山坡AB的坡角為30°，纜車行駛路線BD與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）求登山纜車上升的高度DE；（2）若步行速度為30m/min，登山纜車的速度為60m/min，求從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要多少分鐘（結(jié)果精確到0.1min）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出BM，進(jìn)而求出DE即可；（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出BD的長，再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AF于點(diǎn)M，由題意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，∴BM＝AB＝150m＝EF，∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），答：登山纜車上升的高度DE為450m；（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，∴BD＝≈＝562.5（m），∴需要的時(shí)間t＝t步行+t纜車＝+≈19.4（min），答：從山底A處到達(dá)山頂D處大約需要19.4分鐘．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．19．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【思路點(diǎn)撥】（1）作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，先求出B′E的長，再求出B′E+AO的長即可；（2）過C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行線間的距離處處相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：車后蓋最高點(diǎn)B′到地面的距離為2.15m．（2）沒有危險(xiǎn)，理由如下：如圖，過C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m．∵平行線間的距離處處相等，∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴沒有危險(xiǎn)．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．?考向七解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題20．（2023?黃石）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到某地面目標(biāo)在點(diǎn)B處，此時(shí)飛行高度AC＝1200米，從飛機(jī)上看到點(diǎn)B的俯角為37°，飛機(jī)保持飛行高度不變，且與地面目標(biāo)分別在兩條平行直線上同向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)飛機(jī)飛行943米到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，地面目標(biāo)此時(shí)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處，從點(diǎn)E看到點(diǎn)D的仰角為47.4°，則地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為423米．（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈，tan47.4°≈）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得到∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC＝≈＝1600（米），過D作DH⊥BC于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，解直角三角形即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：由題意得，∠C＝90°，∠ABC＝37°，AC＝1200米，∴BC＝≈＝1600（米），過D作DH⊥BC于H，則四邊形ACHD是矩形，∴CH＝AD＝943米，DH＝AC＝1200米，在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，∠E＝47.4°，∴＝1080（米），∴BE＝CH+HE﹣BC＝943+1080﹣1600＝423（米），答：地面目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的距離BE約為423米．故答案為：423．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的定義和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023?岳陽）2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°，儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高度AB為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是9.5米（結(jié)果精確到0.1米，sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈0.9285，tan21.8°≈0.4000）．【思路點(diǎn)撥】由題意得，四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，解直角三角形即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：由題意得，四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1.5m，AD＝BC＝20m，在Rt△ADE中，∵AD＝BC＝20m，∠EAD＝21.8°，∴DE＝AD?tan21.8°≈20×0.4000＝8（m），∴CE＝CD+DE＝1.5+8＝9.5（m），答：氣球頂部離地面的高度EC是9.5m．故答案為：9.5．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，矩形的性質(zhì)，正確地理解仰角的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無人機(jī)測(cè)量奇樓AB的高度，測(cè)量方案如圖：先將無人機(jī)垂直上升至距水平地面225m的P點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端A的俯角為15°，再將無人機(jī)沿水平方向飛行200m到達(dá)點(diǎn)Q，測(cè)得奇樓底端B的俯角為45°，求奇樓AB的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【思路點(diǎn)撥】延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，根據(jù)題意得到BC＝225m，PQ＝200m，解直角三角形即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：延長BA交PQ的延長線于C，則∠ACQ＝90°，由題意得，BC＝225m，PQ＝200m，在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴CQ＝BC＝225m，∴PC＝PQ+CQ＝425（m），在Rt△PCA中，tan∠APC＝tan15°＝，∴AC＝114.75m，∴AB＝BC﹣AC＝225﹣114.75＝110.25≈110（m），答：奇樓AB的高度約為110m．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．?考向八解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題23．（2023?眉山）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是6+6海里．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．證得BH＝CH，在Rt△ACH中，解直角三角形求出CH的值即可．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．∵∠DAC＝60°，∠CBE＝45°，∴∠CAH＝90°﹣∠CAD＝30°，∠CBH＝90°﹣∠CBE＝45°，∴∠BCH＝90°﹣45°＝45°＝∠CBH，∴BH＝CH，在Rt△ACH中，∠CAH＝30°，AH＝AB+BH＝12+CH，tan30°＝，∴CH＝（12+CH），解得CH＝6（+1）．答：漁船與燈塔C的最短距離是6（+1）海里．故答案為：6+6．【真題點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，正確根據(jù)題意畫出輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．24．（2023?濰坊）如圖，l是南北方向的海岸線，碼頭A與燈塔B相距24千米，海島C位于碼頭A北偏東60°方向．一艘勘測(cè)船從海島C沿北偏西30°方向往燈塔B行駛，沿線堪測(cè)石油資源，堪測(cè)發(fā)現(xiàn)位于碼頭A北偏東15°方向的D處石油資源豐富．若規(guī)劃修建從D處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，從而可得∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，然后利用平角定義可得∠ACB＝90°，從而在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)可得AC＝12千米，BC＝12千米，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，從而求出BD的長，最后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE的長，即可解答．【規(guī)范解答】解：如圖：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，由題意得：∠BAD＝15°，∠BAC＝60°，∠BCF＝30°，AB∥FG，∴∠ACG＝∠BAC＝60°，∠BCF＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACG﹣∠BCF＝90°，∵AB＝24千米，∴AC＝AB＝12（千米），BC＝AC＝12（千米），在Rt△ACD中，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°，∴CD＝AC?tan45°＝12（千米），∴BD＝BC﹣CD＝（12﹣12）千米，在Rt△BDE中，∠ABC＝30°，∴DE＝BD＝（6﹣6）千米，∴輸油管道的最短長度是（6﹣6）千米．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023?聊城）東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠(yuǎn)處的角樓、城門樓、龍堤、南關(guān)橋等景觀遙相呼應(yīng)．如圖所示，城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關(guān)橋C在城門樓B的正南方向1200m處．在明珠大劇院P測(cè)得角樓A在北偏東68.2°方向，南關(guān)橋C在南偏東56.31°方向（點(diǎn)A，B，C，P四點(diǎn)在同一平面內(nèi)），求明珠大劇院到龍堤BC的距離．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）【思路點(diǎn)撥】過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DE＝AB＝520m，設(shè)PD＝xm，解直角三角形即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，過P作PE⊥BC于E，過A作AD⊥PE于D，則四邊形ADEB是矩形，∴DE＝AB＝520m，設(shè)PD＝xm，在Rt△APD中，∵∠PAD＝68.2°，∴AD＝≈m，∴BE＝AD＝m，∴PE＝PD+DE＝（x+520）m，CE＝BC﹣BE＝（1200﹣）m，在Rt△PCE中，tanC＝tan56.31°＝，解得x＝800，∴PD＝800m，∴PE＝PD+DE＝800+520＝1320（m），答：明珠大劇院到龍堤BC的距離約為1320m．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，矩形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，1．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α，則每爬1m耗能（1.025﹣cosα）J，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414）A．58J B．159J C．1025J D．1732J【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°），進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能＝1000×（1.025﹣cos30°）＝1000×（1.025﹣）≈159（J），故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提供導(dǎo)航服務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)小組的同學(xué)要測(cè)量燈塔的高度，如圖所示，在點(diǎn)B處測(cè)得燈塔最高點(diǎn)A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前進(jìn)至C處測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3m，則燈塔的高度AD大約是（）（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）A．31m B．36m C．42m D．53m【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：AD⊥BD，然后設(shè)CD＝xm，則BD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，再在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：AD⊥BD，設(shè)CD＝xm，∵BC＝15.3m，∴BD＝BC+CD＝（x+15.3）m，在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，∴AD＝BD?tan45°＝（x+15.3）m，在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝CD?tan60°＝x（m），∴x＝（x+15.3），解得：x≈21.0，∴AD＝x+15.3≈36（m），∴燈塔的高度AD大約是36m，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023?泉港區(qū)模擬）已知∠A是銳角△ABC的內(nèi)角，，則cosA的值是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cosA＝或cosA＝﹣（舍去），故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，由勾股定理得到sin2α+cos2α＝1是解題的關(guān)鍵．4．（2023?鐘樓區(qū)校級(jí)模擬）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，則cosA等于（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)tanA＝求出第三邊長的表達(dá)式，求出cosA即可．【規(guī)范解答】解：如圖：設(shè)BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故選：D．【真題點(diǎn)撥】本題利用了勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．5．（2023?道縣校級(jí)模擬）在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，則sinA的值是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系：sin2A+sin2B＝1解答．【規(guī)范解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin2A+sin2B＝1，sinA＞0，∵sinB＝，∴sinA＝＝．故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握sin2A+sin2B＝1是解題的關(guān)鍵．6．（2022?濱州）下列計(jì)算結(jié)果，正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝【思路點(diǎn)撥】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用二次根式的乘法法則對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)立方根對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【規(guī)范解答】解：A．（a2）＝a6，所以A選項(xiàng)不符合題意；B．＝＝2，所以B選項(xiàng)不符合題意；C．＝2，所以C選項(xiàng)符合題意；D．cos30°＝，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．也考查了冪的乘方．7．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】過C作CD⊥AB交AB延長線于D，計(jì)算出CD、AC的長，根據(jù)正弦計(jì)算方法計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故選：C．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，平面直角坐標(biāo)系，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．8．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走x米到達(dá)B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC＝α，則A，C兩處相距（）A．米 B．米 C．x?sinα米 D．x?cosα米【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得：BC⊥AB，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解答．【規(guī)范解答】解：由題意得：BC⊥AB，在Rt△ABC中，∠CAB＝α，AB＝x米，∴AC＝＝（米），∴A，C兩處相距米，故選：B．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023?婁星區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，則cosA＝．【思路點(diǎn)撥】利用銳角三角函數(shù)的定義得出互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而得出答案．【規(guī)范解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝＝cosA，所以cosA＝，故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，掌握互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義是正確判斷的前提．10．（2022?荊門）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣1．【思路點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【規(guī)范解答】解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1，故答案為：﹣1．【真題點(diǎn)撥】本題考查了立方根，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地化簡(jiǎn)各式是解題的關(guān)鍵．11．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【思路點(diǎn)撥】設(shè)AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【規(guī)范解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是用放t的式子表示相關(guān)線段的長度．12．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)C（a，0），結(jié)合A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長線于點(diǎn)D，利用平行線的性質(zhì)可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計(jì)算可求解a值，進(jìn)而可求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)C（a，0），∴OC＝a，∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長線于點(diǎn)D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)的綜合運(yùn)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2023?黃石）“神舟”十四號(hào)載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號(hào)運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對(duì)的弧長約為πkm（結(jié)果保留π）．【思路點(diǎn)撥】設(shè)OP＝OQ＝rkm．由FQ是⊙O的切線，可得cos∠FOQ＝，由此構(gòu)建方程求出r，再利用弧長公式求解．【規(guī)范解答】解：設(shè)OP＝OQ＝rkm．由題意，F(xiàn)Q是⊙O的切線，∴FQ⊥OQ，∵cos∠FOQ＝，∴0.9＝，∴r＝6400，∴的長＝＝π（km）．故答案為：π．【真題點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程求解．14．（2023?城西區(qū)校級(jí)二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．初中階段，我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，當(dāng)α、β為任意角時(shí)，sin（α+β）與sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°＝根據(jù)上述材料內(nèi)容，解決下列問題：（1）計(jì)算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，請(qǐng)你求出AC和BC的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)公式可求．（2）根據(jù)銳角的三角函數(shù)值，求AC和BC的值．【規(guī)范解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝×+×＝，故答案為：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝∴BC＝AB×＝4×＝∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°∵sin∠B＝sin15°＝＝∴AC＝AB×＝【真題點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用特殊的三角函數(shù)值求線段的長度是本題的關(guān)鍵．15．（2022?綏化）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．【思路點(diǎn)撥】把15°看成是45°與30°的差，再代入公式計(jì)算得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝×﹣×＝﹣＝．故答案為：．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022?貴港）（1）計(jì)算：|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°；（2）解不等式組：【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值解答即可；（2）分別解出兩個(gè)不等式，再寫出不等式組的解集即可．【規(guī)范解答】解：（1）原式＝﹣1+1+4﹣＝4；（2）解不等式①，得：x＜，解不等式②，得：x≥﹣1，∴不等式組的解集為﹣1≤x．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解一元一次不等式組，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022?濰坊）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過程如下：解：＝＝＝﹣2小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫在橫線上，并依次標(biāo)注序號(hào)：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0．請(qǐng)寫出正確的計(jì)算過程．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，零指數(shù)冪性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，一元二次方程的解法解答即可．【規(guī)范解答】解：（1）④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0，原式＝＝28，故答案為：④tan30°＝；⑤（﹣2）﹣2＝22；⑥（﹣2）0＝0；28；（2）原式＝（）?＝×＝，∵x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，所以x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∵x≠3，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝．【真題點(diǎn)撥】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程﹣因式分解法，分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及方程的解法是解本題的關(guān)鍵．18．（2023?婁底）幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景優(yōu)美，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道CD（如圖所示），使得∠ABC＝α，從點(diǎn)B出發(fā)按CD方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即BE＝20米，測(cè)得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B兩點(diǎn)間的距離．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，根據(jù)sinα的值設(shè)AF＝24x米，AB＝25x米，根據(jù)勾股定理求出BF的長，再根據(jù)tanβ的值即可求出x的值，從而求出A、B兩點(diǎn)間的距離．【規(guī)范解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，∴∠AFB＝90°，在Rt△ABF中，，∴設(shè)AF＝24x米，AB＝25x米，則由勾股定理得米，在Rt△AFE中，，∵BE＝20米，∴，解得x＝20，∴AB＝25x＝500米．答：A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．【真題點(diǎn)撥】本題考查了通過作輔助線構(gòu)建直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)值的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2023?寧夏）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪之間無滑動(dòng)，當(dāng)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)140°時(shí)，傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計(jì)）【思路點(diǎn)撥】設(shè)傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升到點(diǎn)B，構(gòu)建Rt△ABC，則AC∥MN，由弧長公式求出AB的長，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，設(shè)傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升到點(diǎn)B，構(gòu)建Rt△ABC，則AC∥MN，由弧長公式得：π（cm），∵AC∥MN，∴∠BAC＝∠NMA＝30°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝（cm），答：傳送帶上點(diǎn)A處的糧袋上升的高度是cm．【真題點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，弧長公式以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2023?連云港）漁灣是國家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋A處出發(fā)，沿著坡角為48°的山坡向上走了92m到達(dá)B處的三龍?zhí)镀俨迹傺仄陆菫?7°的山坡向上走了30m到達(dá)C處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌腁處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C為多少米？（結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)B作BE⊥AD，作BF⊥CD，分別在Rt△ABE和Rt△CBF中分別解三角形求出BE，CF的長，二者相加就是CD的長．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，∴BE＝ABsin∠BAE＝92×sin48°≈92×0.74＝68.08m，過點(diǎn)B作BF⊥CD于F，在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴CF＝BC×sin∠CBF≈30×0.60＝18.00m，∵FD＝BE＝68.08m，∴DC＝FD+CF＝68.08+18.00＝86.08≈86.1m．答：從A處的九孔橋到C處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨菵C約為86.1m．【真題點(diǎn)撥】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，熟練掌握把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題是解決問題的關(guān)鍵．21．（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓AB與CD的高度差．如圖所示，她站在自家陽臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過樓CD的頂端C看到樓AB的底端B，即點(diǎn)E，C，B在同一直線上．此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)B的俯角α＝22°，點(diǎn)A的仰角β＝16.7°，并測(cè)得EF＝48m，F(xiàn)D＝50m．已知，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，點(diǎn)F，D，B在同一水平直線上．求樓AB與CD的高度差．（參考數(shù)據(jù)：sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CG⊥EF于G，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，根據(jù)正切的定義分別求出EG、FB、AH，計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥EF于G，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，∴得矩形CDFG，矩形EFBH，∴CG＝FD＝50m，HB＝EF＝48m，在Rt△CGE中，CG＝50m，∠