湖南省衡陽市衡陽縣某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

衡陽縣一中2025屆高三上學(xué)期期中考試

學(xué)

第I卷（選擇題）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1.已知集合用={%|小工0},（2={%6刈|%|工2},則MClQ=（）

A.{-1,0,1}B.[0,1]C.（-2,1]D.{0,1}

2.已知復(fù)數(shù)2=H，則萬表示的點所在象限是（）

N十1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知命題p：V%ER,ax2—ax+1>0；q：BxER,/一%+a=0,均為真命

題，貝Ua的取值范圍是（）

A.（—8,4）B.[0,4）

C.（0,i]D.[0,1]

4.已知同=1,|討=",且五一行與2垂直，則石與石的夾角為（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

5.橢圓^■+[=!.,若橢圓上存在不同的兩點M,N關(guān)于直線y=3久+m對稱，則

實數(shù)m的取值范圍（）

A.（―竽,孚）B.（一竽，竽）C.（一日，竽）D.（一字，歲）

6.某學(xué)校組織學(xué)生開展研學(xué)旅行，準(zhǔn)備從4個甲省景區(qū)，3個乙省景區(qū)，2個丙

省景區(qū)中任選4個景區(qū)進(jìn)行研學(xué)旅行，則所選的4個景區(qū)中甲、乙、丙三個省的

景區(qū)都有的概率是（）

AB.3C.|D.1

7.沙漏是古代的一種計時儀器，根據(jù)沙子從一個容器漏到另一容器的時間來計

時.如圖，沙漏可視為上下兩個相同的圓錐構(gòu)成的組合體，下方的容器中裝有沙

子，沙子堆積成一個圓臺，若該沙漏高為6,沙子體積占該沙漏容積的《，則沙

子堆積成的圓臺的高（）

R/—4

A.1B.-C.73D.-

8.已知函數(shù)/（%）=sin%%+cos4^%—焉在（0,號上有且僅有兩個零點，則3的取

值范圍是（）

A.亭|]B.g.1）C.（|-]D.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

9.造型，可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中的曲線C的一部分，已知C過坐

標(biāo)原點。，且C上的點滿足橫坐標(biāo)大于一1,到點F（l,0）的距離與到定直線久=a

（a<0）的距離之積為1,則（）

A.CL=-1

B.點（湍,0）在C上

c.C在第一象限點的縱坐標(biāo)的可以為]

D.當(dāng)點（%o，y（））在C上時，yo>（Xo+

10.如圖，邊長為1的正方形4BCD所在平面與正方形2BEF在平面互相垂直，動

點M,N分別在正方形對角線2C和BF上移動，且CM=BN=a（0<a<M）,則下

列結(jié)論中正確的有（）

A.BaG（0,72）,使麗=癡

B.線段MN存在最小值，最小值為凈

C.直線MN與平面2BEF所成的角恒為45。

D.Vae（O,"）,都存在過MN且與平面BEC平行的平面

11.設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,前〃項和為%,前〃項積為Tn,則下列選

項正確的是（）

A.S9=S4+q4s5

B.若72025=72020，則。2023=1

C.若￡1逆9=4,則當(dāng)遍+a看取得最小值時,西="

D.若（a催+1）">7。則的<1

第n卷（非選擇題）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

31

12.已知2a+b=l（a〉0,b>0）,則R+時■的最小值為.

13.已知某三棱臺的高為2小，上、下底面分別為邊長為4群和6烈的正三角形,

若該三棱臺的各頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為.

14.已知/（%）=｛野'葭*；，若M，c互不相等，且/⑷=/㈤=/?，則a+

2

b+J的范圍是.

四、解答題(本題共5小題，共77分)

-1

15.(13分)已知數(shù)列｛a＞和等比數(shù)列出下,斯=1+亞行，若｛a〈的最大項和

最小項分別是｛g｝中的人2-1和/一9的值.

⑴求數(shù)列｛既｝的通項公式；

(2)若/=-1--b,求數(shù)列｛”｝的前〃項和.

un,n

16.(15分)如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面P4D1平面ZBCD,PA1PD,AB

LAD,PA=PD,AB=1,AD=2,AC=CD=木.

(1)求證：PD1平面P4B.

(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值.

(3)在棱R4上是否存在點M,使得BM//平面PCD?若存在，求出黑的值若不存在,

請說明理由.

17.(15分)在學(xué)校食堂就餐成為了很多學(xué)生的就餐選擇.學(xué)校為了解學(xué)生食堂就

餐情況，在校內(nèi)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，其中男生和女生人數(shù)之比為1：1,現(xiàn)

將一周內(nèi)在食堂就餐超過3次的學(xué)生認(rèn)定為，喜歡食堂就餐”，不超過3次的學(xué)生

認(rèn)定為“不喜歡食堂就餐”.“喜歡食堂就餐”的人數(shù)比“不喜歡食堂就餐”人數(shù)多20

人，“不喜歡食堂就餐”的男生只有10人.

男生女生合計

喜歡食堂就餐

不喜歡食堂就餐10

合計100

(1)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，分析學(xué)

生喜歡食堂就餐是否與性別有關(guān)；

(2)該校甲同學(xué)逢星期二和星期四都在學(xué)校食堂就餐，且星期二會從①號、②號

兩個套餐中隨機(jī)選擇一個套餐，若星期二選擇了①號套餐，則星期四選擇①號套

餐的概率為小若星期二選擇了②號套餐，則星期四選擇①號套餐的概率為，求

甲同學(xué)星期四選擇②號套餐的概率.

參考公式：%2=9+以；黑渣裝+砌，其中律=a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

XQC2.7063.8416.6357.87910.828

18.(17分)如圖，已知橢圓C:，+，=l(a>5>0)過點P(3,l),焦距為4也，

斜率為一￡的直線，與橢圓C相交于異于點P的M,N兩點，且直線PM,PN均不與%軸

垂直.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若用可=①，求MN的方程；

(3)記直線PM的斜率為七，直線PN的斜率為七，證明:七B為定值.

19.(17分)已知函數(shù)/'(%)=知一3m%+m2.

(1)當(dāng)1時，求/(%)在點(0/(0))處的切線方程；

(2)討論/?(%)的單調(diào)性;

(3)若/(%)有三個不相等的零點巧,%2,%3，且/(%)在點(//(修))處切線的斜率為自

111

(、i=1,2,/3),求TH的取值范圍及7+/v，2+n7-3的值.

數(shù)學(xué)(答案)

1.【答案】D

【解析】由51工0,可得產(chǎn)解得一2<光<1,

??.M={久|—2<%W1},又Q={0,1,2},

所以MCIQ={0,1},

故選：D.

2.【答案】A

1-i（1-i）（2-j）2-i-2i-l13

【解析】Z=2+i=（2+i）（2-i）---------5---------1'

所以萬=9+右，所以萬表示的點所在象限是第一象限，

故選：A

3.【答案】D

【解析】a/一0%+1>0恒成立，

當(dāng)a=0時，1>0,滿足要求，

當(dāng)aw0時，需滿足{△=2ita<0,解得°<a<4,

故p為真命題，需滿足0Wa<4,

1

3xER,x2—x+a=0則△=!_—。之解得。工了,

940,4

i

故q為真命題，需滿足。工“

綜上，a的取值范圍為[0,4)n(—8用=[0月

故選：D

4.【答案】D

【解析】由題設(shè)（五—b>）-a=a2—a-b=On五?6=a2=1,

所以cosQl）乎,而0。W（五,初W180。,

''\cL\\b\2

所以@而=45°.

故選：D

5.【答案】B

【解析】橢圓方+,=1,即：5/+9y2—45=0,

設(shè)橢圓上兩點4（巧,、1）,8（久2少2）關(guān)于直線）/=3%+m對稱，中點為M（%o，yo）,

則5妊+9資-45=0,5脛+9羽-45=0,

所以5（巧+%2）（%i一久2）+9（yi+y2）（yi-y2）=。，

yi—y2XpP所以、0=|久0,

欠1—欠2yo

代入直線方程y=3%+zn得%.=—等，yo=—早，即M（—羊，—答），

因為（祝儀））在橢圓內(nèi)部，所以5X得+9x瑞＜45,

解得一竽＜旭〈字，

故選：B.

6.【答案】B

【解析】設(shè)樣本空間為Q,則n（Q）=c[=126,

設(shè)所選的4個景區(qū)中甲、乙、丙三個省的景區(qū)都有為事件4

則n（4）=C4C3C2+C4C3C2+C4C3C2=72,

故選：B.

7.【答案】B

【解析】設(shè)沙漏下半部分的圓錐的容積為匕沙子堆成的圓臺體積為七，

該圓錐內(nèi)沙子上方的剩余空間體積為，2=展匕由題意可知言=看，即2=

則■=、則下半部分圓錐剩余空間的高為圓錐高的一半，即沙子堆成的圓臺的

高為圓錐高的一半，即圓臺的高為|.

故選：B

8.【答案】B

【解析】因為/(%)=sin為久+cos4o)x—|=(sin2a)x+cos2a)x)2—2sin2a)xcos2

11111

令4o）%=€（0⑷兀],則y=R4-ost+三0,令R4,ost+三o=0,得到cost=一入Z

所以t=申+2k兀,kGZ或t=5+2在九,汰GZ,令k=0,得到t=夸或t=段,令k

=1,得到"號或t=等，

又/（%）在（0,用上有且僅有兩個零點，所以y=[cost+5在（0,3出上有且僅有兩個

零點，

所以當(dāng)工3兀＜爭得到3e[D

故選：B.

9.【答案】ABC

【解析】對于A,因為。在曲線上，所以。到￡=。的距離為一a,而=所

以有—展1=1,故a=—1,故A正確，

對于B,因為曲線的方程為（久+1）”（%—1尸+產(chǎn)=1,代入（艱/））知滿足方程;

故B正確，

對于C,由（％+lW（%—l）2+y2=i,將（if代入方程滿足，故（1,習(xí)在曲線上,

故C正確，

對于D,曲線的方程為（％+1WG—1）2+—=1,可化為（％一1）2+y2=（，）2,

,X+1

即V=（*）2—（%—I）?，因為羽=（三if-（%。一$（三TV，故D錯

X-r1XQ十1XQ十1

誤，

故選：ABC.

10.【答案】AD

【解析】因為四邊形ZBCD正方形，故CB14B,

而平面2BCD1平面4BEF,平面ABC。n平面4BEF=AB,

CB^^^ABCD,故CB1平面4BEF,而BEu平面2BEF,

故CB1BE.

設(shè)標(biāo)=2則麗=2而，其中2=定6（0,1）,

由題設(shè)可得標(biāo)=標(biāo)+4+前=XAC+CB+XBF,

=A（BC-BA）+~CB+A（BA+函=（2-1）BC+ABE,

對于A,當(dāng)2=[即a=子時，MW=-|BC+|BE=|CE,故A正確；

對于B,而2=（入-I）2+M=2M-22+1=2（A-|）2+1，

故|麗|2字當(dāng)且僅當(dāng)"押a=爭寸等號成立，故I麗京=中，故B錯誤;

對于C,由B的分析可得標(biāo)=（4—1）阮+2族，

而平面4BEF的法向量為近且麗?阮=（2—1）前,=2一1,

____?___,2_1

故cos（MN,BC）”二…，此值不是常數(shù)，

故直線MN與平面2BEF所成的角不恒為定值，故C錯誤；

對于D,由B的分析可得標(biāo)=（入—1）阮+入雇，故而，阮，靛為共面向量，

而MNC平面BCE,故MN//平面BCE,故D正確；

故選：AD

11.【答案】AB

【解析】因為數(shù)列｛時｝為正項等比數(shù)列,則的>0q>0,7\>0,

對于選項A:因為S9=+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8+。9

—S4+q4（（2]+CL2+（I3++。5）=S4+04s5,

所以S9=S4+q4s5,故A正確;

、72025

對于選項B：若72025=72020，則元嬴=。2021.。2022,。2023,。2024,。2025=

a2023=1'

所以G2023=1,故B正確；

對于選項C：因為的的=a4a6=4,則成+凝之2G較6=8,

當(dāng)且僅當(dāng)。4=曲=2時，等號成立，

若瑞+成取得最小值,則。4=@6=得

艮噫或步3解得｛3;3故C錯誤；

對于選項D：例如ai=l,q=2,

n（n—1）

172—11+2+,，+n—1

則冊=2九—1,Tn=必做…冊=2°x2X---X2=2,=2-2-,

rc/n（n—1）、2

可得（冊+1尸=（2n）n=2n淺=（2^?。?2n-n,

因為nCN*,B'Jn2>n2-n,可得2后>2/—"，即（即+1）">7'

符合題意，但ai=l,故D錯誤;

故選：AB.

12.【答案】寧塞

4

【解析】占+占=；(-^+，)(2a+2+b+l)=；[7+^^+^^]

a+lb+1412a+2b+1八74L2a+2b+1」

、7+2/

--4-'

當(dāng)且僅當(dāng)竽著=*,即6(5+17=(2a+2產(chǎn)，

即當(dāng)a=上手山="q二方寸等號成立.

故答案為：與立

4

13.【答案】144兀

【解析】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺ABC—4B￡i，如圖，

上底面正△4B￡外接圓的半徑是。遇1=|X9X4價=4,3為正△4B￡

外接圓圓心，

下底面正△4BC外接圓的半徑是。2人=|X^X6A/3=6,外為正△4BC外接

圓圓心，

由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心。在直線。1。2上，令該球半徑為R,

于是_42+通2_62=2且或通2_42_"2_62=2且解得R?=36,

所以球。的表面積是S=4兀爐=4兀x36=14471.

故答案為：144兀

1

14.【答案】(3,2e+2

'—lnx,0<%<1

【解析】函數(shù)/(%)=，ln%,l<%We在(0,1],(e,+8)上單調(diào)遞減，在(1,可上單

、2—In%,%>e

調(diào)遞增，/(e2)=0,/(1)=0，

畫出/(%)=［喂憶e的圖象,如圖,

1

2

令a<b<c,由/(a)=/(b)=/(c),得l<b<e,e<c<e>

由|lna|=|lnb|,得lna+lnb=O,即ab=l,由In匕=2—Inc,^bc=Q2,

于是a+b+^=^+b+:=：+2匕，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，y=：+2b在(l,e)上遞

增，則3<w+2b<2e+-，

。e

21

所以a+b的范圍是(3,2e+-).

故答案為：(3,2e+；)

15.【解析】(1)由題意，an=l+缶』(neN*),

結(jié)合函數(shù)/(%)=1+五三的單調(diào)性，

可知。5>。6>。7>…>。九>1>>@2>。3>。4(幾6N*),

所以數(shù)列｛&J中的最大項為的=2,最小項為。4=。，

所以力2—1=2力3—9=0,即匕2=3力3=9,

n2n-1

所以等比數(shù)列出九｝的公比q=￡=3,所以砥=b2-q~=3

i

⑵4=K4=(2n-9).3f

n—

Sn=t?i+。2+。3T—+C/t=(—7)x30+(一5)xH—+(2n—11)x3

+(2n-9)x3nt,

12n

3Sn=(-7)x3+(-5)x3+???+(2n-ll)x3計1+(2n-9)x3,

123n

兩式相減得：-2Sn=-7+2x(3+3+3+???+3"一1)-(2n-9)X3

=-7+2x3(1^^-(2n-9)x3n=-10+3n(10-2n),

故%=5+3/律—5).

16.【解析】(1)?.?平面PAD1平面4BCD,且平面PADCl平面ZBCD=4。，

S.ABLAD,ZBu平面ABC。，

"Bl平面PAD,

,?PDu平面PAD,I.AB1PD,

又PD1P4且panZB=4P42BU平面P4B,

.?.PD1平面PZB；

(2)取2。中點為。，連接CO,P。，

又；PA=PD,：.P01AD.則49=P0=L

,:CD=AC=y^,：.CO1AD,則CO=44c2_0_2=$_1=2,

以。為坐標(biāo)原點，分別以沆，就，而所在直線為X,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系。一xyz,

則P(0,0,l),5(1,1,0),0(0,-1,0),C(2,0,0),

則而=(1,1,一1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1)-CD=(-2,-l,0),

設(shè)元=(%,y,z)為平面PCD的一個法向量，

則喉蒙。得以二M2,令z=l，則元=&-I」).

設(shè)PB與平面PCD的夾角為仇

則sin。=|cos伍，麗,P8

\n\\PB\Ji+1+1X^/3

(3)假設(shè)在棱P4上存在點M點,使得BM//平面PCD

設(shè)俞=入麗，Ae[0,1],

由(2)知，2(0,1,0),5(1,1,0),P(0,0,l),則而=(0,—1,1),B2=(-1,0,0),

~BM=~BA+AM=~BAA-AAP=(-1,0,0)+(0,-A,A)=(-1,-A,A),

由(2)知平面PCD的一個法向量五=g,—1,1).

若BM〃平面PCD,則BM,元=-3+2+4=24—g=0,

解得2=又BMC平面PCD,

故在棱P4上存在點M點，使得BM//平面PCD,止匕時若=；.

/ir4

17?【解析】(1)喜歡食堂就餐的人數(shù)為吟生=60,則不喜歡的人數(shù)為

60—20=40人，

則不喜歡食堂就餐的女生為40-10=30人，因為男女生人數(shù)比為1：1,

則男女生各50人，則喜歡堂食就餐的女生為50-30=20人，

喜歡堂食就餐的男生為50-10=40人，

則列聯(lián)表見圖，

男生女生合計

喜歡食堂就餐402060

不喜歡食堂就餐103040

合計5050100

零假設(shè)”0：假設(shè)食堂就餐與性別無關(guān),

由列聯(lián)表可得％*=聯(lián)寂哉學(xué),16,667>10.828,

根據(jù)小概率a=0.001的獨(dú)立性檢驗推斷“°不成立，

即可以得到學(xué)生喜歡食堂就餐與性別有關(guān).

(2)記事件4小林同學(xué)星期二選擇了①號套餐，

_-141

事件B：小林同學(xué)星期四選擇了②號套餐,P(4)=P(Z)=5，P(BM)=1#(B

—12

⑷=1-w=w，

—111213

由全概率公式可得尸(B)=尸(力),尸(引力)+尸Q4),P(B\A)=-x-+-x-=—

91_

r—?——1i.a=2A/3

b2

18.【解析】(1)由題意得'2c』4"解得b=2

a2=b2+c2[c=

故橢圓C的方程為5+1.

1Z4

(2)設(shè)直線2的方程為y=—/+m,M(x1,y1),N(x2,y2)

y=--lx+Im

2y2得4/—6THX+9租2—36=0,

—x+—=1

f124

由A=(6m)2—144(m2—4)>0,得——!一<m<,

則+x=—=97n2—36

24

\MN\=Jl+1?+%2)2—4%I%2=邛--716-3m2=710,

解得TH=2或TH=—2

當(dāng)m=2時，直線Ly=—9+2經(jīng)過點尸(3,1),不符合題意，舍去;

當(dāng)Tn=—2時，直線［的方程為y=—%—2.

(3)直線尸M,PN均不與％軸垂直，所以巧。3,3,則mW0且mW2,

所以的3=至|丫2—1(一+m—1)(—■1%2+m—1)

犯—3(%1-3)(%2-3)