《高考數(shù)學(xué)壓軸題通法訓(xùn)練•高分必刷系列》專題16平面向量（選填壓軸題）含答案及解析

專題16平面向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①向量模問題（定值，最值，范圍） 1②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍） 3③向量夾角（定值，最值，范圍） 5④向量的其它問題 6①向量模問題（定值，最值，范圍）1．（2023春·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（

）．A．2 B．4或 C．5 D．2或52．（2023春·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，為上一點，且滿足，若，則的值為（

）

A． B． C． D．3．（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄浚瑵M足，，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．14．（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知O為坐標(biāo)原點，，設(shè)動點C滿足，動點P滿足，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．25．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．（2023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B為平面上兩點，且，M為線段AB中點，其坐標(biāo)為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023春·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量，，滿足，，，則對任意實數(shù)t，的最小值為．10．（2023春·浙江金華·高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，向量滿足，則的最小值為．11．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)校考期末）已知平面向量，，，滿足，，，，且對任意的實數(shù)，均有，則的最小值為.12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，其中為單位向量，若，則的取值范圍是.②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）1．（2023春·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（接近點），點為的中點，則（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知向量與是兩個單位向量，且與的夾角為，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東河源·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（

）A．8 B．4 C．16 D．124．（2023春·北京石景山·高一北京市第九中學(xué)?？计谀┤鐖D，，是半徑為的圓上的兩點，且若是圓上的任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點在對角線上運動時，的最小值為（

）

A．-2 B． C．-1 D．6．（2023春·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）已知點O為△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，過O作OD垂直AB于點D，點E為線段OD的中點，則的值為（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學(xué)中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有八條邊、八個角．八邊形可分為正八邊形和非正八邊形．如圖所示，在邊長為2正八邊形中，點為正八邊形的中心，點是其內(nèi)部任意一點，則的取值范圍是（

）

A． B．C． D．8．（2023春·江西吉安·高一江西省峽江中學(xué)校考期末）在中，，，，設(shè)，（），則的最大值為（

）A． B． C． D．9．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）在直角中，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為.10．（2023春·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）在中，為的重心，，，則的最大值為.11．（2023春·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）圓：上有兩定點，及兩動點C，D，且，則的最大值是.12．（2023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）四邊形中，點分別是的中點，，，，點滿足，則的最大值為.13．（2023春·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習(xí)）已知平面向量，，，對任意實數(shù)x，y都有，成立．若，則的最大值是．14．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二中?？计谀┲校?，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動點，交于點.若面積為面積的一半，則的最小值為③向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2023春·福建福州·高一?？计谀┤?，且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．03．（2023春·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．（2023春·江西宜春·高一灰埠中學(xué)?？计谥校┮阎獑挝幌蛄浚膴A角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在平面中，已知單位向量、的夾角為，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）A． B．C． D．6．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江西九江·高一?？计谥校┰O(shè)為平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，且，若對于任意實數(shù)，都有，則向量與的夾角為.8．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知均是單位向量，若不等式對任意實數(shù)都成立，則與的夾角的最小值是.9．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知是平面內(nèi)一組基底，，，則與所成角的最大值為．10．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是．④向量的其它問題1．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點．點從原點出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進，每次跳躍的長度都是且落在整點處．則點到達點所跳躍次數(shù)的最小值是（

）A． B．C． D．2．（2023·河南鄭州·校聯(lián)考二模）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測）在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心4．（2023·河南·河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，與的夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍.5．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知點，，若圓上存在點P滿足，則實數(shù)a的取值的范圍是．6．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，點是邊上一點且，是邊的中點，直線和直線交于點，若是的平分線，則.

專題16平面向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①向量模問題（定值，最值，范圍） 1②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍） 12③向量夾角（定值，最值，范圍） 21④向量的其它問題 27①向量模問題（定值，最值，范圍）1．（2023春·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（

）．A．2 B．4或 C．5 D．2或5【答案】D【詳解】因為平面向量，，兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況，即，，兩兩的夾角為或,當(dāng)夾角為時，，當(dāng)夾角為時，，所以或.故選：D．2．（2023春·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，為上一點，且滿足，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，由，為上一點，且滿足，則，又由三點共線，則，即，因為，則，則的值為.故選：C.3．（2023春·江西九江·高一德安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄浚瑵M足，，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】A【詳解】設(shè)，則，取的中點，由，即，即，即,即，所以，而，即，所以要使最小，也最小，顯然，此時、、三點共線，設(shè)，則，，，因為，所以由余弦定理得，即，即，由，即，所以，所以的最小值為.故選：A.4．（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知O為坐標(biāo)原點，，設(shè)動點C滿足，動點P滿足，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．2【答案】D【詳解】因為，所以點在圓的內(nèi)部或圓周上，又動點滿足，所以當(dāng)三點不重合時，點的軌跡是以為直徑的圓，如圖：當(dāng)點在圓內(nèi)時，延長交圓于點，設(shè)的中點為，的中點為，則，當(dāng)點在圓上時，兩點重合，兩點重合，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點在圓上時取等號，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，因為，當(dāng)且僅當(dāng)重合時取等號，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點在圓與軸的交點處時取等號，所以的最大值為，故選：D.5．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量均為單位向量，且．向量與向量的夾角為，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】向量,向量均為單位向量，,.如圖，設(shè).則是等邊三角形.向量滿足與的夾角為,.因為點在外且為定值,所以的軌跡是兩段圓弧,是弦AB所對的圓周角.因此：當(dāng)AC是所在圓(上述圓弧)的直徑時,取得最大值|AC|,在中,由正弦定理可得:.取得最大值2.故選：D6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標(biāo)系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.7．（2023秋·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B為平面上兩點，且，M為線段AB中點，其坐標(biāo)為，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，即以為直徑的圓過點O，因為M為線段AB中點，坐標(biāo)為，，則，幾何意義為圓M的半徑與點M到直線的距離相等，即圓M與直線相切，則圓M的半徑最小值為點到直線的距離的一半，即.故選：B8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，得：，即有，如圖示，設(shè)，故不妨設(shè)，則，則，設(shè)，則，因為，故可得，所以C點在以AB為直徑的圓上運動，在中，,AB的中點為，則以AB為直徑的圓的方程為，故的最大值為，最小值為，即的取值范圍是，故選：B9．（2023春·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量，，滿足，，，則對任意實數(shù)t，的最小值為．【答案】【詳解】因為，，則，而，于是，又，則，作，使，如圖，

由，得，即，令，則，因此的終點在以點為圓心，2為半徑的圓上，顯然對，的終點的軌跡是線段確定的直線，于是是圓上的點與直線上的點的距離，過作線段于，交圓于，所以.所以的最小值為.故答案為：10．（2023春·浙江金華·高二學(xué)業(yè)考試）已知向量，向量滿足，則的最小值為．【答案】【詳解】由向量數(shù)量積公式可得：，由基本不等式可得：，當(dāng)僅當(dāng)時等號成立，所以，即，所以，所以的最小值為．故答案為：11．（2023春·湖南邵陽·高一邵陽市第二中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄浚?，，滿足，，，，且對任意的實數(shù)，均有，則的最小值為.【答案】【詳解】如圖作，，如圖，以點為原點，為的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，因為，，，所以點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為作，設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，所以，所以，所以點在以為圓心，以為半徑的圓上，因為對任意的實數(shù)，均有，所以，又，所以恒成立，所以，所以，即，作，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，即，所以點在直線上，因為，又點在圓上一動點，點在直線上一動點，所以點到點的最小距離為點到點的距離減去圓的半徑，即，當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與圓的交點時等號成立，因為點到直線的距離，所以點到點的距離大于等于，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線且點為線段與圓的交點時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.

12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知非零平面向量、、滿足，，且，則的最小值是【答案】【詳解】解：如圖，，，則，，已知，即，所以，取BD的中點O，則有，而，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知則，所以，當(dāng)A，O，C三點共線時取等號，記向量的夾角為，則，同理，由，可得，則，當(dāng)，即時取等號，所以，即的最小值是，故答案為：.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，其中為單位向量，若，則的取值范圍是.【答案】【詳解】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，不妨設(shè)，由知，點在直線或上，由題意，可知，記，，則，由定弦所對的角為頂角可知點的軌跡是兩個關(guān)于軸對稱的圓弧，設(shè)，則，因為，即，整理得或，由對稱性不妨只考慮第一象限的情況，因為的幾何意義為：圓弧的點到直線上的點的距離，所以最小值為，故．故答案為：．②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）1．（2023春·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊中，點為中線的三等分點（接近點），點為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由已知，，，，所以.由已知是的中點，所以，，.所以，，所以，.故選：B.2．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知向量與是兩個單位向量，且與的夾角為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，是夾角為60°的兩個單位向量，所以，因為，，所以.故選：C.3．（2023春·廣東河源·高一校考階段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（

）A．8 B．4 C．16 D．12【答案】A【詳解】因為，所以，所以，

由，所以，化簡得到，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則的最小值為.故選：A．4．（2023春·北京石景山·高一北京市第九中學(xué)校考期末）如圖，，是半徑為的圓上的兩點，且若是圓上的任意一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，，所以即當(dāng)取最大值時，取得最大值．當(dāng)與同向時，取得最大值為，此時，取得最大值．故選：C．5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點在對角線上運動時，的最小值為（

）

A．-2 B． C．-1 D．【答案】B【詳解】由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當(dāng)時，有最小值為.故選：B6．（2023春·山東棗莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知點O為△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝120°，OA＝1，OB＝2，過O作OD垂直AB于點D，點E為線段OD的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知可得，，根據(jù)等面積法得，所以．故選：C

7．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學(xué)中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有八條邊、八個角．八邊形可分為正八邊形和非正八邊形．如圖所示，在邊長為2正八邊形中，點為正八邊形的中心，點是其內(nèi)部任意一點，則的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】A【詳解】正八邊形中，，所以，連接，過點O作，交、于點、，交于點，

，設(shè)，由余弦定理得，中，，，中，，所以，解得，，解得，所以，當(dāng)P與M重合時，在上的投影向量為，此時取得最小值為，當(dāng)P與N重合時，在上的投影向量為，此時取得最大值為，因為點P是其內(nèi)部任意一點，所以的取值范圍是.故選：A．8．（2023春·江西吉安·高一江西省峽江中學(xué)?？计谀┰谥?，，，，設(shè)，（），則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，，，由余弦定理，得，即，于是有①.由，得，即，于是有②.聯(lián)立①②，得，由，得，將代入①中，得.由，，，知，所以,因為，所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以.故當(dāng)時，取得最大值為.故選：C.9．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）在直角中，，平面內(nèi)動點滿足，則的最小值為.【答案】/【詳解】平面內(nèi)動點滿足，所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，因為，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，，又向量是長度為的一個向量，由此可得，點在圓上運動，當(dāng)與共線反向時，取最小值，且這個最小值為一，故的最小值為.故答案為：.10．（2023春·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）在中，為的重心，，，則的最大值為.【答案】【詳解】延長交于點，因為是的重心，則為的中點，，，，由，，由三角形面積公式得，解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，此時為等邊三角形.故答案為：.

11．（2023春·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）圓：上有兩定點，及兩動點C，D，且，則的最大值是.【答案】/【詳解】因為點在圓：上，則，，而，則有，令射線與x軸正方向所成的角為，由點的對稱性，不妨令射線與x軸正方向所成的角為，

由三角函數(shù)定義知，則，于是，同理，因此，而，則當(dāng)，即時，，所以的最大值是.故答案為：12．（2023春·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）四邊形中，點分別是的中點，，，，點滿足，則的最大值為.【答案】【詳解】因為，，又點分別是的中點，所以，所以，，又，所以，又點分別是的中點，所以，因為，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時，有最大值1，即有最大值為.故答案為：13．（2023春·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習(xí)）已知平面向量，，，對任意實數(shù)x，y都有，成立．若，則的最大值是．【答案】/【詳解】如圖，設(shè)，，若對任意實數(shù)，都有，成立，則，在以為直徑的圓上，過作，交于，交圓于，在上的射影最長為，．設(shè)，則，，，，則當(dāng)時，有最大值為．故答案為：.14．（2023春·河北石家莊·高一石家莊二中校考期末）中，，，，是邊上的中線，，分別為線段，上的動點，交于點.若面積為面積的一半，則的最小值為【答案】2【詳解】設(shè)，由向量共線的充要條件不妨設(shè)，則，即，又面積為面積的一半可得：，所以.，易知當(dāng)時，即重合時取得最小值.故答案為：2③向量夾角（定值，最值，范圍）1．（2023春·福建福州·高一校考期末）若，且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，，，，，故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】因為，所以，所以，即，所以三點共線，又為的外心，所以為直角三角形，且，為斜邊的中點，，，過作的垂線，垂足為，如圖：則向量在向量上的投影向量為，且，

，，所以，因為，所以當(dāng)時取得最小值為.故選：B3．（2023春·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）若是夾角為的單位向量，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，所以，且，所以.故選：C4．（2023春·江西宜春·高一灰埠中學(xué)?？计谥校┮阎獑挝幌蛄?，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為單位向量，的夾角為，則，所以，又，所以，當(dāng)取最大值時，必有，則，又，，則，所以，所以，故的最大值為.故選：D．5．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在平面中，已知單位向量、的夾角為，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為單位向量、的夾角為，由平面向量數(shù)量積的定義可得，，，所以，，當(dāng)取最大值時，必有，則，因為，，則，所以，或，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，則，所以，，此時，綜上所述，的最大值為.故選：C.6．（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，；，即，；設(shè)向量與所成夾角為，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；又，.故選：A.7．（2023春·江西九江·高一?？计谥校┰O(shè)為平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，且，若對于任意實數(shù)，都有，則向量與的夾角為.【答案】/【詳解】令，則，所以，即，所以對任意實數(shù)恒成立，故成立，所以，即，而，所以.故答案為：8．（2023春·廣東·高一校聯(lián)考期末）已知均是單位向量，若不等式對任意實數(shù)都成立，則與的夾角的最小值是.【答案】【詳解】不等式對任意實數(shù)都成立，即對任意實數(shù)都成立，即對任意實數(shù)都成立，因為均是單位向量，所以上式可整理為對任意實數(shù)都成立，所以，即，所以，得，所以，得與的夾角的最小值為.故答案為：.9．（2023春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知是平面內(nèi)一組基底，，，則與所成角的最大值為．【答案】/【詳解】因為是平面內(nèi)一組基底，即不共線，設(shè)，顯然、不共線，且均不為零向量，設(shè)的夾角為，則，，又因為，則，即，整理得，所以，又因為，則，所以與所成角的最大值為.故答案為：.10．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，則向量與夾角的最大值是．【答案】【詳解】因為，所以，設(shè)，則當(dāng)與同向時，取得最大值為，當(dāng)與反向時，取得最小值為，故，又，則，所以，設(shè)與的夾角為，則，由于在上單調(diào)遞減，故要求的最大值，則求的最小值即可，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即的最小值為，因為，所以此時，即向量與夾角的最大值為.故答案為：④向量的其