廣西2025屆高三年級上冊11月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

廣西2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z=*,則復(fù)數(shù)Z的實部為（）

1+1

,1313

A.—B.—C.-D.—

2222

2.命題“VXE[0,+OO）,X3+X20”的否定是（）

A.VXG（-oo,0）,x3+x<0B.Vxe（—oo,0）,x3+x>0

C.3XG[0,+O?）,X3+X<0D.G[0,+oo）,x3+x>0

3.已知入B為非零向量，a-b=V5=（3,4）,則）在B上的投影向量為（）

1r1-一

A.-bB.—bC.b

525

01

4.^6z=3,/）=logi1,c=sin4,則的大小關(guān)系為（）

32

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

5.（2x+l）1x-J|的展開式中Y項的系數(shù)為（）

A.10B.20C.-10D.-20

6.設(shè)函數(shù)/（切”卜工+尸丫6[）=4X2+2@-1）,若曲線V=/（x）與y=g（x）恰有一^'公

共點，則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

22

7.已知雙曲線C:'-勺=1（。>0,6>0）的左焦點為《，。為坐標(biāo)原點，若在C的右支上存

ab

在關(guān)于X軸對稱的兩點尸,0,使得△小。為正三角形，且。。，々尸，則C的離心率為（）

A.V2B.1+V2C.V3D.1+V3

8.已知正八面體尸的所有棱長均為及，將其沿平面/BCD切開后分成匕、匕兩

部分，將匕沿直線加方向平移至匕、匕的底面距離為:且匕口匕*0,則匕與％公共部分

的體積為：（）.

試卷第1頁，共4頁

1919719

A.B.—D.----

1624144

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=3cos(2x-g］,則下列結(jié)論正確的是()

A.1是/(x)的一個周期B.f(x)的圖象關(guān)于點［-5內(nèi)］對稱

C./［-二為奇函數(shù)D./(X)在區(qū)間-±0上的最大值為|

o31

10.對于隨機事件A,B,若尸(4于丁尸(8)=］?(＞，)="則()

A.尸(明=\B.P(/忸)=/C.尸(/+8)=1D.尸(彳2)=1

II.已知函數(shù)/(無)=/-3x+l,則()

A.若。=1,則/(x)有三個零點B.若。＞0,則函數(shù)/(x)存在2個極值點

C.“X)在［T1］單調(diào)遞減，則。＜1D.若/(x”0在［T1］恒成立，貝伊=4

三、填空題

12.已知等差數(shù)列｛七｝前〃項和為s“，El=132,a6+ag=30,貝I］即)=.

13.已知sin(a+￡)=Ltan;=§,則sin(tz-尸)=.

2tanp

14.點M是拋物線C:x?=2處(p＞0)的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點尸為拋物線C的焦點，點尸

在拋物線C上.在“FPM中，sinZPFM=2sinZPMF,則2的最大值為.

四、解答題

A-\-C

15.V4BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acos-----=bsinN.

2

(1)求3

(2)若/=J,N3邊上的中線。必=2療，求V48c的面積.

16.已知函數(shù)/(x)=e*-a(x+2),

(1)若0=1,求/(x)在點(0,〃0))處的切線方程.

試卷第2頁，共4頁

⑵若f(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

17.如圖所示，在三棱臺N3C-4耳。中，底面/BC為等腰直角三角形，側(cè)面NCG4,平

面43C,AB±AC,CQLAC,AB=2,^=CC1=1.

⑴證明：G4J平面

(2)求平面ABB.A,與平面43G的夾角的余弦值.

22/T

18.已知橢圓C:3+方=1(。>6>0)的離心率為三，A、B分點是橢圓C的左、右頂點，

尸是橢圓C上不同于A、3的一點，面積的最大值是2.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記直線/尸、8P的斜率分別為左、k2,且直線/尸、8P與直線x=6分別交于。、E兩點.

①求。、E的縱坐標(biāo)之積；

②試判斷以DE為直徑的圓是否過定點.若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理

由.

19.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航

里程(指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測試.現(xiàn)對測

試數(shù)據(jù)進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值亍(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點

值代表)；

試卷第3頁，共4頁

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可

以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,〃)，其中〃近似為樣本

平均數(shù)元，。近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車,

記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求

E(Z)；

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客

戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點。出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)

正、反面的概率都：，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，遙控車向右

移動一個單位，若擲出反面，遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移動到點(59,0)(勝利

大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游戲結(jié)束.若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可

獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(凡0)的概率為匕試證明數(shù)列｛1-匕，是等

比數(shù)列(2W〃W59),求出數(shù)列花｝(14〃460)的通項公式，并解釋這種游戲方案對意向客戶

是否有吸引力.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量J服從正態(tài)分布N(〃Q2),則P(〃-b<J<〃+b)=0.6827,

P(〃-2cr<J<〃+2b)=0.9545,尸(〃-3cr<〃+3cr)=0.99731.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCBDBBDCBDABD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再由復(fù)數(shù)的實部概念得解.

?、主冷刀、中石l+2i(l+2i)(l-i)3+i31.

【詳解】因為2二0='八2

1+11-1222

3

所以復(fù)數(shù)Z的實部為:，

2

故選：D

2.C

【分析】利用全稱量詞命題的否定判斷即可.

【詳解】命題“V尤e[0,+oo),x3+xN0”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，

所以命題“\/》€(wěn)[0,+00),/+為20”的否定是土€[0,+8)戶3+x<0.

故選：C

3.B

【分析】由模長的坐標(biāo)表示可得w，再結(jié)合投影向量的定義分析求解.

【詳解】由題意可得：|^|=V32+42=5,

〃r、

rr

所以々在書上的投影向量\a為-b"\b=”1

Ib)25

故選：B.

4.D

【分析】利用指對函數(shù)單調(diào)性比較。/與中間量0』的大小，根據(jù)角所在象限判斷正弦函數(shù)

值的符號得c<0,進而可判斷。c的大小關(guān)系.

【詳解】因為了=3,在R上單調(diào)遞增，所以0=3°」>3°=1，

因為廣皿「在(0,+動上單調(diào)遞減，

所以6=k)g]:>logi1=0,且6=log]log二=1.

523§23

答案第1頁，共15頁

由兀<4<一兀，則°=5由4<0，

2

綜上可知c<6<〃.

故選：D.

5.B

【分析】因為(2x+l)口-1=2X[X~~)+口-]，結(jié)合二項展開式的通項公式運算求解-

【詳解】因為(2x因)

且(x-Lj的展開式為7；+1=(-l)rC；-x5-2r,r=0,l,2,3,4,5,

令5—2廠=1,解得尸=2,可得看=(―c；.x=10x；

3

令5-2，=2,解得尸不合題意；

所以Y項的系數(shù)為2x10=20.

故選：B.

6.B

【分析】確定兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，它們的圖象在歹軸以外的交點個數(shù)為偶數(shù)，因此題中只

有一個公共點，因此它們的交點只能在歹軸上，由此可確定參數(shù)值.

【詳解】設(shè)〃(x)=(e*+er)2,則h'(x)=2(e*+e-)(e*-e-)=一』,

e

x<0時，h'(x)<0,〃(x)遞減，x>0時，h\x)>0,〃(x)遞增，

f(-x)=a{e~x+ex)2=/(x),/(x)是偶函數(shù)，g(x)=4x2+2(a-l)是偶函數(shù)，>軸是它們的圖

象的對稱軸，

g(x)在(-00,0)上遞減，在(0,-H?)上遞增，g(x)min=g(0)=2(a-l),

因此它們的圖象在>軸以外的交點個數(shù)是偶數(shù)(含0),

若。=0,貝!|/(x)=0,g(x)=4f-2,易知它們的圖象有兩個交點，不合題意；

若。>0,則〃x)在(f0)上遞減，在(0,舟)上遞增，/(x)min=/(0)=4a>2(?-l),

因此它們的圖象如果有交點，交點不可能在了軸上，從而交點個數(shù)為偶數(shù)，不合題意;

若。<0,則〃尤)在(f,0)上遞增，在(0,m)上遞減，/(x)max=/(0)=4?,

答案第2頁，共15頁

它們的圖象只有一個交點，則4a=2(.-1),解得a=-l.

故選：B.

7.D

【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到“尸&=￡,又ZF,F、P=得到工|=c,|尸耳|=gc,

26

再結(jié)合雙曲線的定義得到百c-c=2a,即可求解.

【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c(c>0),右焦點為月，直線。。交片產(chǎn)于點連接坐，

因為△尸耳。為正三角形，。。，尸尸，所以M為片尸的中點，所以。M//工尸，

故N用岑=匕易知4y苦=￡,所以忸用=4尸用=任，

由雙曲線的定義知|尸周T尸閭=2a,

8.C

【分析】畫出示意圖，然后利用圖形的對稱性，易知，兩個公共部分為兩個棱臺，分別計算

棱臺的上下底面面積與高，再計算體積即可.

【詳解】

答案第3頁，共15頁

顯然兩個四棱錐的所有棱長都為高為1,因為兩個底面距離為;

所以他們公共部分的高度也是:，

2

顯然公共部分是由兩個完全一樣的四棱臺構(gòu)成，一個四棱臺的高為:，

我們以頂點朝上的為例，此時四棱臺的下底面距離四棱錐的底面的距離為;，四棱臺的上底

面距離四棱錐的底面的距離為:

2

四棱錐的底面積為收x7I=2，高為1

所以四棱臺的下底面面積S下=2x[1-=：,上底面面積S上=2x(l-g)=；

四棱臺的高為;

(91119

所以四棱臺體積%=—+—+x-=—

82?496

19

所以公共部分體積為2展加

故選:C

9.BD

【分析】根據(jù)周期公式即可判斷A,代入驗證即可求解BC,根據(jù)整體法即可求解D.

【詳解】對于A：函數(shù)/(x)的最小正周期為三=兀，故A錯誤；

對于B：因為〃*)=3cos[2x(-凱$=0,所以/⑴的圖象關(guān)于點對稱，故B正

[乙1乙Dk_LNJ

確；

TTjrjr27r

對于C:由于g(x)=/(%-z)=3cos[2(x-7)F]=3cos(2%—^

o633

g(-x)=3cos(-2x-爭=3cos(2x+§,故g(-%)。-g(x)不是奇函數(shù)，故C錯誤；

7TIT7T

[——,0時，-71,——,

所以當(dāng)2x-g=-g,即x=0時，f(x)取得最大值I，故D正確.

故選：BD.

10.ABD

【分析】根據(jù)條件概率的計算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計算公式，可判斷

答案第4頁，共15頁

c的真假，結(jié)合全概率公式和條件概率計算公式，可判斷D的真假.

【詳解】對于A：因為尸⑷/人卷押二人"人尸⑷尸（8|/）=：X；=9,故A正確;

廣）5410

對于B

，故B正確;

6

對于C：因為尸（4+5）=尸（4）+尸（5）—尸（45）=（7+：2—A1=AQ，故C錯誤；

對于D：因為P（3）=P（N）.尸（為勾+"7）.尺23=（=3：+（孑（為可，

所以尸（可可=（.

所以PpS）=P（7）.尸（用可=|義:=）.故D正確.

故選：ABD

II.ABD

【分析】利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而得到極值點，得到函數(shù)大致圖像就可以判斷函

數(shù)零點問題。函數(shù)在某個區(qū)

間內(nèi)恒成立問題可以通過分離參數(shù)的方法得到對應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值，從而判斷

參數(shù)的取值范圍.

【詳解】對于選項A：若〃=1,/（X）=X3-3X+1,r（x）=3x2-3,由/''卜”。，得：尤=±1,

當(dāng)久時，y（x）<o>得：/（x）在xe（—1,1）上單調(diào)遞減；

當(dāng)X€（-8,-1）和（1,+OO）時，/'（%）>0，得：/（X）在（-叫-1）和（1,+8）上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)/（X）有極大值/（-1）=3>0,/（尤）有極小值/⑴=-1<0,

所以三次函數(shù)/（X）有三個零點，故A選項正確；

對于選項B,若a>0,/（無）="3-3x+l,

由/'卜）=3加一3=0,得/=：有兩個解，

當(dāng)丁￡一與----和----,+8時，f（%）>0?

nn）\'

答案第5頁，共15頁

/(X)在和---，+。上單調(diào)遞增;

a

f'(x)<0,

/(x)在一上單調(diào)遞減，

aa,

所以/■(“存在兩個極值點，故B選項正確；

對于選項C,由題意可知：是T(x)V0解集的子集，

當(dāng)a<0時，顯然/''(x)WO恒成立；

當(dāng)a>0時，x1<一,由于可得：-21,BP0<a<1；

aa

綜上可得：a41,故C選項錯誤；

對于選項D,當(dāng)x=0時，/(。)=1>0恒成立，

a1

當(dāng)%>0,令/(x)20,則---,

41

令g(x)=7—p(xG(0,1］),

i―

當(dāng)0<x<g時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)gcxVl時，g，(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

故g(x)Vg］，=4,則aN4；

31

當(dāng)x<0,令/(x)〉。，貝!Ja<----,

xx

Q1

令〃(X)=—---(XG［—1,0)),

當(dāng)-lVx<0時，h'(x)>0，九。)單調(diào)遞增；

所以〃(力2〃(-1)=4,則0V4；

綜上所述：若/'(x"。在［-1,1］恒成立，則a=4,故D選項正確.

答案第6頁，共15頁

故選：ABD

12.20

【分析】由等差數(shù)列0｝的前〃項和為S.，兒=132,《+%=30,列方程組求出％=2,d=2,

由此能求出力().

【詳解】解：,等差數(shù)列也,｝的前〃項和為S.，品=132,&+%=30,

「11x10,…

1la〕H-------d=132

<2,

2%+13d=30

解得％=2,d=2,

%0=a｛+9d=2+18=20.

故答案為：20.

【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13-i

【分析】由已知條件展開可求得sinacos/,cosasin凡代入即可.

【詳解】由sin(a+/?)=；?得：sinacos/?+cosasin/3=~,

tana.

由----=5得：sinacos[3=5cosasin/?

tan尸

所以sinacos0=(,cosasin'，

所以sin(a-￡)=sinacos/?-cosasin(3=

故答案為：；

14.72

1\PB\i

【解析】由正弦定理求得IP核MRP尸I，根據(jù)拋物線的定義，得了=匕?，即sina=；,

則2取得最大值時，sina最小，此時直線尸M與拋物線相切，將直線方程代入拋物線方程，

由△=()求得上的值，即可求得丸的最大值

答案第7頁，共15頁

如圖，過尸點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,則由拋物線的定義可得尸尸|=|必|,

由sinNPFM=2sinNPMF，

在△PW中正弦定理可知：\PM\=A\PF\,

所以1PMi=刈尸切，

所以一

設(shè)尸”的傾斜角為a,貝i]sina=?

當(dāng)2取得最大值時，sina最小,此時直線9與拋物線相切,

x2=2py

設(shè)直線PM的方程為y=kx-^,則

y=kx-l，

BPx2-2pkx+22=0,

所以A=4p2左2_422=o,

所以左=±1,BPtancr=±1,

貝!Jsina=,

2

則X得最大值為一1=血

sma

故答案為：V2

【點睛】本題屬于綜合題，難度較大，難點(1)利用sin/m1=Xsin/尸MF,通過正弦

定理轉(zhuǎn)化為『”|=刈刊難點(2)設(shè)尸M的傾斜角為a,貝ijsina=4，通過力取得最大

值時，sina最小，得出尸〃與拋物線相切，本題屬于難題

2萬

15.(1)B=—^―(2)4-\/3

【解析】(1)由正弦定理可得sin4cos-----=sinBsinA,再利用誘導(dǎo)公式和倍角公式，求

2

得與=￡,即可得答案；

23

(2)利用余弦定理求出a=4,再代入三角形的面積公式，即可得答案；

答案第8頁，共15頁

A.\.C

【詳解】(1)依題設(shè)及正弦定理可得，sinNcos—^—=sin8sin4,

LI、［A~\~C7i-B.B

因為sin4＞0,所1r以cos1^=cos-------=sin——,

22

所以sin—=2sin—cos—,

222

DD1

又sin；＞0,所以COS；=T，

222

又0＜《＜g,所以g=即8=尋.

22233

(2)因為5=g,A=^,

所以C="-4-B=J,故V/8C為等腰三角形.

0

貝?。荨?Q,BM——

2

在△凡5C中由余弦定理可得，MC2=BM2+BC2-IBM-BC-cosB,

+a2-2-—?tz-cos,解得Q=4,

23

@=4百.

所以S—tzcsin5=—x4x4x

：222

【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式和三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.

16.(l)y=-1；

⑵

【分析】(1)把。=1代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.

(2)求導(dǎo)后，分別在。(0、。€(0」和。€已,+8)的情況下，求得了⑴單調(diào)性和最值，結(jié)

ee

合零點存在定理可確定符合題意的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=ex-x-2,求導(dǎo)得/''(x)=e*-l,則/'(0)=0,而/(。)=-1,

所以函數(shù)的圖象在點(0J(0))處的切線方程為了=T.

(2)函數(shù)/(x)=e*-a(x+2)的定義域為R,求導(dǎo)得/'(x)=e*-a,

答案第9頁，共15頁

①當(dāng)aWO時，/'(x)>0恒成立，函數(shù)〃x)在R上單調(diào)遞增，〃x)至多有一個零點，不合題

思；

②當(dāng)?！?時，由/'(%)=0,解得x=ln。，

當(dāng)x￡(-81114)時，<0；當(dāng)％E(Ina,+00)時，/r(x)>0,

函數(shù)”X)在(-8,Ina)上單調(diào)遞減，在(In見+8)上單調(diào)遞增，

則/(%)min=/(Ina)=a-aQna+2)=-a(lna+1),

當(dāng)。G(o」］時，InaW-l,則/OOmin》。，則/(%)至多有一個零點，不合題意；

e

當(dāng)?！?±+00)時，lno>—1,貝1J/(x)min<°，而/(—2)=曉>0,則/(X)在(—8,lna)上有唯

e

—*零點.

由(1)知，當(dāng)x>0時，ex-l>0,函數(shù)y=e，-x-2在(0,m)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>2時，eY-x-2>0,即e、>x+2,

XX

?,n2a

當(dāng)x>21n(2a)時，/(x)=ei-e-a{x+2)>e-(1+2)-a(x-f2)=2a>0,7(x)在(lna,+co)

上有唯一零點；

因此當(dāng)aed,+oo)時，/(x)有兩個不同零點，

e

所以實數(shù)。的取值范圍為(L+◎.

e

17.(1)證明見解析

⑵粵

【分析】(1)先利用勾股定理得到N/L/C，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面

/CG4,再利用線面垂直的性質(zhì)定理得到最后利用線面平行的判斷定理證明

C4—平面即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，然后計算兩個面的法向量，最后計算兩個面夾角余弦值即可.

【詳解】(1)由題可知，AC=2,AXA=AjC=V2,

所以4/，4c

因為平面ACC1A1_L平面ABC,平面ACC1A1H平面ABC=AC,ABu平面ABC,AB.LAC

所以/g,平面/CG4

答案第10頁，共15頁

因為4Cu平面/CG4

所以NB，4c

顯然4BCAA[=A,ABU平面ABBXAX,AAXu平面ABBXAX,AXA14c,

所以平面/Bq4.

(2)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系/-xyz

得8(2,0,0),C(0,2,0),4(0,1,1),G(0,2,1)

所以有直=(0,-1,1),范=(0,1,0),4^^(2,-1,-1)

由(1)可知，平面的一個法向量為a=(0,-1,1)

設(shè)平面43C1的一個法向量為元=(x,y,z)

fTc-n=0,fy=0

則|港為=0，12xr-z=0

令x=l,得＞=0,z=2

所以平面48G的一個法向量為為=(1,0,2)

平面ABBH與平面43G的夾角的余弦值為

18.(l)]+/=i

(2)@-8；②過定點(6-28,0),(6+272,0).

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義和尸在橢圓短軸端點處S△筋p取最大值，列出方程聯(lián)立可解得

a,b,即得橢圓方程.

(2)法一：假設(shè)定點G坐標(biāo)，利用直徑所對圓周角為90°,利用向量垂直的坐標(biāo)運算，可

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得定點G坐標(biāo)滿足的條件，進而分析式子恒成立的條件，可得定點坐標(biāo).

法二：設(shè)直徑與x軸的交點為河，N,H為x=6與無軸的交點，根據(jù)相交弦定理可得

\MH\-\NH\=\DH\-\EH\=S,因為根據(jù)圓的性質(zhì)，可得1Mqi=區(qū)叼=2收，即可

求得定點

a2

【詳解】（1）由題意可得ab=2

a2=b2+c2

解得a=2,b=l.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4

（2）①由（1）可知/（一2,0）,5（2,0）.

直線4尸的方程為尸匕（x+2）,

y=占(％+2)x=6

聯(lián)立解得則。（6,甌）.

x=6y=甌

同理可得￡（6,4伍）

=

故yD'yE32k滴］,

貝