廣西賀州某中學(xué)2023年1月高一期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

鐘山中學(xué)2023年1月高一期末考試

數(shù)學(xué)試卷

（考試范圍：北師大版必修一、必修二全冊）

一、選擇題（本題包括12小題，每小題只有一個選項符合題意，每小題5分,

共60分）

1.已知集合L11則（）

A.（1,+co）B.[-l,+oo）C.[-1,1]D.[-1,2]

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的定義，即可得答案；

【詳解】A=1x|x-l>01=1x|x>l|,5=1%|-1<%<2},

A<JB={小2-1},

故選：B.

【點睛】本題考查并集的運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.函數(shù)/（x）='+lnx的定義域是（）

x+1

A.[-l,+oo）B.（-1,+co）C.[0,+e）D.

（。,+8）

【答案】D

【解析】

【分析】

分母不等于零，對數(shù)真數(shù)大于零聯(lián)解即可.

"X+1H0

詳解】由題得1c：.X>O

%>0

所以函數(shù)的定義域為：（0,+8）

故選：D

3.圓（尤+l）2+（j—2）2=4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

【答案】A

【解析】

【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓(x+iy+(y—2/=4的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=

2,選A.

4.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

A.丫=尤+1B.y-2xC.y=-D.

x

y=xIx|

【答案】D

【解析】

【分析】對選項運用奇偶性和單調(diào)性的定義，結(jié)合常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，判斷即可得

到結(jié)論

【詳解】解：y=x+l定義域為A，因為/(—x)//(x),且/■(一乃彳一汽九)，所以此函數(shù)

為非奇非偶函數(shù)；

>=2￡的定義域為r，因為/(—x)w/(x),且/(—x)w-/(x),所以此函數(shù)為非奇非偶函

數(shù)；

的定義域為｛如W。｝,因為/(-尤)=-/(x),所以y」為奇函數(shù)，但y」在(—8,0)

XkIJXX

和(0,+co)上為減函數(shù)，所以此函數(shù)不符合題意；

y=x|x|的定義域為R,因為/(-x)=-/Xx),所以y=x|x|為奇函數(shù)，因為當(dāng)尤>0時，

丁=必為增函數(shù)，則y=x|x|在A上遞增，符合題意，

故選：D

【點睛】此題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題

5.已知直線4:or+2y=0與直線6：(a+l)x—y+a-1=0垂直，貝()

-2

A.—2或1B.-2C.1D.——

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)直線方程的一般式，直線垂直：+8避2=0即可求解.

［詳解］由直線4：ox+2,=0與直線g:(a+l)x_y+q_l=0垂直，

所以a(a+l)-2=0,

解得a=—2或1.

故選：A

【點睛】本題主要考查兩直線垂直根據(jù)系數(shù)之間的關(guān)系求參數(shù)，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)的奇偶性和x>0時，函數(shù)的符號，運用排除法得選項.

e~x-exeY-e~x

【詳解】：/(x)=——,：.x^0,7(-%)=——=-/(x),/./(x)=一—為奇函

xXX

數(shù)，故排除A,B；

當(dāng)尤>0時，/(x)=ejx>0,故排除D,

故選：C.

【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢;

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

7.若直線2x+y+J￡=0被圓/+丁=4截得的弦長為2g■，則加=

A.舊B.5C.10D.25

【答案】B

【解析】

【分析】

圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2,根據(jù)弦長得到黑=1，

計算得到答案.

【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑r=2，直線被圓截得的弦長為2班,

可得圓心到直線的距離為=1,則m=5.

故選：B

【點睛】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.

8.已知圓C的圓心(2,-3),一條直徑的兩個端點恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個圓的方程

為

A.犬2+>2-4%+6y=0B.I?+y一41+6y+8=0

C.x2y2-4x-6y=0D.爐+J-41+6,一8=0

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)直徑的兩個端點分別A(a,0)B(0,b).圓心C為點(2,-3),

由中點坐標(biāo)公式得，a=4,b=-6,

.*.r=—|AB|=—V16+36=y/13,

則此圓的方程是(X-2)2+(y+3)2=13,

即x2+y2-4x+6y=0.

故選A.

1

9.三個數(shù)a=0.8=log080.6,c=log070.6之間的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性同時比較和1的大小，即可比較出它們的大小關(guān)

系.

詳解a=0.8"<1

b=logns0.6=----------->c—log6n0770.6=------------>------------=1

log060.8-log0.60.7log0.60.6'

因此

故選：￡).

【點睛】本題主要考查的是對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要熟記一些特殊點，是基礎(chǔ)題.

10.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()

4

D.

3

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)三棱錐的三視圖得到直觀圖，再求其體積即可.

【詳解】依題意可知，該三棱錐的直觀圖如下:

p

平面ABC,B4=l,BC=2,5C邊上高為2,

,1112

故體積V=—S,PA=—x一x2x2xl=—

3ABC323

故選：C.

11.若圓(x—3y+(y+5)2=/上有且僅有兩個點到直線4x—3y—2=0的距離為1,則半

徑r的取值范圍是()

A.[4,6)B.(4,6)C.[4,6]D,(4,6]

【答案】B

【解析】

【分析】

因為(x—3)2+(y+5)2=/,可得洪圓心為M(3,—5),"(3,—5)到4x—3y—2=0距離為:

1=5,設(shè)4x—3y+C=0與直線4x_3y_2=0距離是1,解得與直線4x_3y_2=0距離

是1的直線有兩條：4%—3y—7=0和4x—3y+3=0，討論兩條：4x—3y—7=0和

4x—3y+3=0與圓的位置關(guān)系，即可求得答案.

【詳解】(x-3)2+3+5)2=/

可得:其圓心為“(3,-5)

根據(jù)點到直線距離公式可得知(3,-5)到4x-3y-2=0距離為：

,112+15-21

a=-----1—=5

J16+9

設(shè)4x—3y+C=0與直線4x—3y—2=0距離是1.

,|C+2|

根據(jù)平行線間距離公式可得:1=r—^

V16+9

解得:C=—7或C=3

，與直線4x—3y—2=0距離是1的直線有兩條：4x—3y—7=0和4x—3y+3=0

|12+15-7|

又圓心M(3,—5)到4x—3y—7=0距離:=4

J16+9

|12+15+3|

圓心M(3,—5)到4x—3y+3=0距離:=6

V16+9

如果圓與4x—3y+3=0相交，那么圓也肯定與4%—3y—7=0相交,交點個數(shù)多于兩個,

于是圓上點到4x-3y-2=。的距離等于1的點不止兩個.

圓與4x—3y+3=0不相交，

「如果圓與4尤—3y—7=0的距離小于等于1,那么圓與4x—3y—7=0和4x—3y+3=0

交點個數(shù)和至多為1個，

圓只能與4x—3y—7=0相交，與4x—3y+3=0相離

■-4<r<6.

故選:B.

【點睛】本題考查了根據(jù)圓上點與直線的距離求圓的半徑范圍,解題關(guān)鍵掌握求直線與圓位

置關(guān)系解法，數(shù)形結(jié)合，考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.

12.若/(x)=2+lnx(lW%We2)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則函數(shù)y=[/(力了+/(/)的

最大值為()

A.6B.13C.22D.33

【答案】B

【解析】

【分析】

先依題意求函數(shù)定義域，再化簡函數(shù)，進行換元后求二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值即可.

【詳解】由IVxWe?及/(J)知iw/we?,故定義域為

又y=+/(爐)=(2+lnx)2+2+In%2=(lnx)-+61nx+6(l<x<e)

令t=lnxe[0,l],則y=r+6t+6,易見y在上單調(diào)遞增，

故當(dāng),=1時，即X=e時，Wax=1+6+6=13.

故選：B.

【點睛】易錯點睛：利用換元法求函數(shù)最值時，要注意函數(shù)的定義域，否則求得的易出錯.

二.填空題(本題包括4題，共20分.)

13.已知函數(shù)/(x+l)=f—1,則/(一2)=.

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)換元法，令t=x+l得x=/—1,進而得/(x)=Y—2%,再算了(—2)即可.

【詳解】解：令尤+1=八貝壯=-1,/(z)=(z-l)2-l=r-2r,

所以/(x)=x2-2x.

所以，/(-2)=(-2)2-2X(-2)=8

故答案為：8.

14.直線區(qū)-丁-％+2=。經(jīng)過的定點坐標(biāo)是.

【答案】(1,2)

【解析】

【分析】將直線方程化為點斜式方程判斷即可.

［詳解］解：將依一y—左+2=0化點斜式方程得,―2=左(1_1),

所以，直線依-y-左+2=。經(jīng)過的定點坐標(biāo)為(1,2)

故答案為：(1,2)

15.若函數(shù)/(x)=|2*-2卜人有兩個零點，則實數(shù)6的取值范圍是.

【答案】0<b<2

【解析】

【詳解】函數(shù)/'(盼二口工―2卜人有兩個零點，

?.二-二|和j二:，的圖象有兩個交點，

畫出：二卜和；=b的圖象，如圖，要有兩個交點，那么6:u21

16.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽

馬”,現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，上4,平面ABCD,PA=4,AB=6，AD=1,則該“陽

馬”外接球的表面積為.

【答案】20萬

【解析】

【分析】

以B4=4,ABf,AO=1為棱作長方體，長方體的對角線即為外接球的直徑，從而求

出外接球的半徑，進而求出外接球的表面積.

【詳解】由題意，以R4=4,AB=6,AD=1為棱作長方體，長方體的對角線即為外接

球的直徑，

設(shè)外接球的半徑為R,則j42+（班）+仔=

—2-

故5=4萬尺2=20%.

故答案為：20萬

【點睛】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，屬于中檔題.

三、解答題（本題包括6題，第17題10分，第18題至22題每小題12分，共

70分）

17.分別求滿足下列條件的直線方程.

（I）過點（0,1）,且平行于4：4x+2y—1=0的直線；

（2）與3x+y+l=0垂直，且過點？（—1,0）的直線.

【答案】（1）2x+y—1=。

（2）x-y+l=0

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行斜率相等，再結(jié)合點斜式方程求解即可；

（2）根據(jù)兩條直線垂直斜率乘積為T得所求直線斜率，再結(jié)合點斜式方程求解即可;

【小問1詳解】

解：所求直線行于心心4x+2y-1=0的斜率為—2

所求直線的斜率為-2,又過點為（0』），

由點斜式可得直線方程為y-l=-2（x-0）,即2x+y—1=0；

/.所求直線方程為2x+y-1=0

【小問2詳解】

解：因為所求直線與4垂直，4：%+丁+1=。的斜率為-1，

所以，所求直線的斜率為1,

因為所求直線過點P（-1,0）

所以，所求直線方程為y—O=lx（%+1）,即x—y+l=。

所以，所求直線方程為％-y+i=o.

18.己知函數(shù)/（x）=a-（a>0,且存1）的圖象經(jīng)過點（2,；）.

（1）求。的值；

（2）設(shè)不等式/（x）<3的解集為A,求函數(shù)y=/（%）（%eA）的值域.

【答案】⑴（2）（0,3],

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)函數(shù)/（x）=a"i的圖象經(jīng)過點（2,；）,由層」=；求解.

（2）由＜3=（；尸，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得xNO,再利用指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性求解.

【詳解】（1）因為函數(shù)圖象過點

所以。2-1=',

3

解得a=-.

(2)Ax)=(1r-1<3=

所以x~lN—1,

解得x>0,故A=[0,+oo),

因為無NO,

所以尤-G-1,

所以函數(shù)的值域為（0,3].

19.已知偶函數(shù)/（X）,當(dāng)xNO時，/（x）=x2-4x+3.

（1）請在下圖中做出了（x）的圖像，并寫出了（九）的解析式;

（2）若關(guān)于x的不等式/（x+a）＞8恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

x2-4x+3(x>0)

【答案】（1）作圖見解析；/（%）=＜

x2+4x+3(x<0)

(2)(YO,-3)D(2,4<O)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，作出尤20的函數(shù)圖像，再關(guān)于>軸對稱即可，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)

求解解析式即可；

（2）結(jié)合/（5）=8,根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

所以/(--X)=(-%)"-4(-%)+3=%2+4%+3；

???/(X)是偶函數(shù),f(-x)=f(x),

所以當(dāng)x<0時，/(x)=x2+4x+3.

x2-4x+3(x>0)

綜上/(x)=<

x2+4x4-3(x<0)

【小問2詳解】

解：由題設(shè)知/（5）=8,所以，/（2a+l）>8=/（5）,

又“可是偶函數(shù),

所以2a+1>5或2a+1<—5,得a>2或av—3.

所以，實數(shù)a的取值范圍為（T,—3）D（2,+8）

20.如圖所示的四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PA,平面ABCD,E為PC的中

點，求證:

（1）PA〃平面BDE；

（2）平面PAC_L平面PBD.

【答案】詳見解析

【解析】

【詳解】試題分析：（1）連接XC交3D于。點，連接OE,根據(jù)線面平行的判定定理，證

Pj0E即可；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理，找線面垂直，所以主要證明

BD_AC3D_PA.

試題解析：證明：（1）連結(jié)AC交BD于點O,連結(jié)OE.

,四邊形ABCD是菱形，AO=CO.

為PC的中點，；.EO〃PA.

,/PA二平面BDE,EOa平面BDE,

；.PA〃平面BDE.

（2）：PA_L平面ABCD,BD<X平面ABCD,；.PA_LBD,

:四邊形ABCD是菱形，Z.BD1AC.

：ACCPA=A,BDJ_平面PAC,

：BD<Z平面PBD,平面PAC_L平面PBD.

考點：1.線面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理

21.已知圓〃過C(l,-1),。(-1,1)兩點，且圓心M在x+y-2=0上.

(1)求圓M的方程；

(2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,PB是圓M的兩條切線，A,8為切點，求四邊

形面積的最小值.

【答案】(1)(x-l)2+(y-l)2=4；(2)2行.

【解析】

【分析】(1)設(shè)圓M的方程為：(尤一a)2+(y—bp=/(廠>0),由已知列出方程組，解

之可得圓的方程；

(2)由已知得四邊形的面積為5=5刈+SPBM，即有S=2|K4],又有

S=2、PM『T.因此要求S的最小值,只需求的最小值即可，根據(jù)點到直線的距離

公式可求得答案.

【詳解】解：(1)設(shè)圓M的方程為：(％—a)?+(y—b『=/(r>0),

(1-tz)2+(-1-/?)2=r~<7=1

根據(jù)題意得,(一1一。)2+(1—6)2=,=<6=1,

〃+/?-2=0r=2

故所求圓M方程為:(X-1)2+(y-1)2=4；

(2)如圖,

四邊形上4VB的面積為$=5.+S.，即S=g（|AM|PA|+忸閭戶用）

^\AM\=\BM\=2,\P^=\PB\,所以S=2|K4|,

而|P4|=Jp閭2—4,即s=2,14

因此要求S的