人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五單元一元一次方程《實(shí)際問題與一元一次方程（第5課時(shí)）》示范公開課教學(xué)課件

實(shí)際問題與一元一次方程第五章一元一次方程第5課時(shí)列一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟審設(shè)列解檢答分析題意，找出等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)（一般求什么，設(shè)什么）根據(jù)等量關(guān)系，列一元一次方程解方程，求出未知數(shù)的值檢驗(yàn)解是否符合題意寫出答案（包括單位）一元一次方程在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，這類問題常與現(xiàn)實(shí)生活背景結(jié)合，常見類型有“配套問題”“工程問題”“商品銷售問題”“比賽積分問題”“分段計(jì)費(fèi)問題”等．

解決這類問題的關(guān)鍵是先通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，找出相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)列方程求解．本節(jié)課，主要對(duì)這幾種類型的題目進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，進(jìn)一步提高同學(xué)們分析和解決問題的能力．類型一

配套問題與工程問題

1．用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身

25個(gè)，或制盒底40個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套．現(xiàn)在有

36張白鐵皮，用多少張制盒身，多少張制盒底，可使盒身與盒底正好配套？

解：設(shè)用

x張白鐵皮制盒身，則用(36－x)張制盒底．由題意，得2×25x＝40(36－x)．解方程，得

x＝16，36－x＝36－16＝20．

答：用16張制盒身，20張制盒底，可使盒身與盒底正好配套．

2．甲、乙兩人計(jì)劃共同承包一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做30天完成，乙單獨(dú)做20天完成，合同規(guī)定15天完成，每超過1天罰款1000元，甲、乙兩人經(jīng)商量后簽訂了該合同．（1）正常情況下，甲、乙兩人能按期履行該合同嗎？為什么？（2）現(xiàn)兩人合作完成了這項(xiàng)工程的75%，因別處有急事，必須調(diào)走1人，則調(diào)走誰合適？為什么？

解：（1）能按期履行該合同．理由如下：

設(shè)甲、乙兩人合作

x天完成，則有

x＝1．解得x＝12．因?yàn)?2＜15，因此兩人能按期履行該合同．（2）調(diào)走甲合適．理由：由（1）知，兩人合作完成這項(xiàng)工程的75%需要的時(shí)間為12×75%＝9（天）．

剩下6天必須由某人單獨(dú)做完余下的工程，故他的工作效率至少為(1－75%)÷6＝

．

因?yàn)?/p>

，所以調(diào)走甲合適．

解：歸納列一元一次方程解決工程問題應(yīng)注意：（1）要清楚地表達(dá)出各個(gè)工作者的工作效率；（2）明確各階段工作效率對(duì)應(yīng)的工作時(shí)間；（3）一般有單獨(dú)工作、合作兩種形式，總量一般記為單位“1”．反思：配套問題一般涉及兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系，厘清兩個(gè)量間的數(shù)量關(guān)系是解此類問題的關(guān)鍵．類型二

商品銷售問題

3．某商場(chǎng)將某種電器的標(biāo)價(jià)按進(jìn)價(jià)提高40%后，進(jìn)行促銷：“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每件電器可獲利270元，請(qǐng)問這種電器每件的進(jìn)價(jià)是多少元？

解：設(shè)每件電器的進(jìn)價(jià)是x元，按進(jìn)價(jià)提高40%后的價(jià)格是

x

(1＋40%)元，“大酬賓，八折優(yōu)惠”，是價(jià)格提高后的80%，

由題意，得x

(1＋40%)×80%－x＝270．

解方程，得

x＝2250．答：這種電器每件的進(jìn)價(jià)是2250元．

4．某水果店以5元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批橙子，很快售罄，該店又再次購進(jìn)，第二次進(jìn)貨價(jià)格比第一次每千克便宜了2元，兩次一共購進(jìn)600千克，且第二次進(jìn)貨的花費(fèi)是第一次進(jìn)貨花費(fèi)的1.2倍．（1）該水果店兩次分別購進(jìn)了多少千克的橙子？（2）售賣中，第一批橙子在其進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加價(jià)

a%進(jìn)行定價(jià)，第二批橙子因?yàn)檫M(jìn)價(jià)便宜，因此以第一批橙子的定價(jià)再打八折進(jìn)行銷售．銷售時(shí)，在第一批橙子中有5%的橙子變質(zhì)不能出售，在第二批橙子中有10%的橙子變質(zhì)不能出售，該水果店售完兩批橙子能獲利2102元，求a的值．

解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)橙子x千克，則第二次購進(jìn)橙子(600－x)千克，

由題意，得1.2×5x＝(5－2)×(600－x)，

解方程，得

x＝200，

所以600－x＝400．

答：第一次購進(jìn)橙子200千克，第二次購進(jìn)橙子400千克．（2）由題意，得

5(1＋a%)×200×(1－5%)＋5(1＋a%)×80%×400×(1－10%)

－200×5－400×3＝2102，

解得

a＝80，即

a的值為80．類型常用概念相關(guān)公式商品銷售問題①成本：進(jìn)價(jià)，即進(jìn)貨價(jià)格；②標(biāo)價(jià)：商品在出售時(shí)標(biāo)明的價(jià)格；③售價(jià)：商品在出售時(shí)的實(shí)際價(jià)格；④利潤(rùn)：商品的售價(jià)高于成本的錢數(shù)；⑤利潤(rùn)率：商品的利潤(rùn)與成本的比值①利潤(rùn)＝售價(jià)－成本（進(jìn)價(jià)）＝成本（進(jìn)價(jià)）×利潤(rùn)率；②利潤(rùn)率＝

×100%；③售價(jià)＝成本＋利潤(rùn)＝成本×（1＋利潤(rùn)率）；④商品售價(jià)（打折后）＝商品標(biāo)價(jià)×總結(jié)類型三

比賽積分問題與行程問題

5．某市今年公務(wù)員錄用考試是這樣統(tǒng)計(jì)成績(jī)的：綜合成績(jī)＝筆試成績(jī)×60%＋面試成績(jī)×40%．王小明的筆試成績(jī)是82分，他的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的筆試成績(jī)是86分，王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，則他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多（

）．

A．2.4分

B．4分

C．5分

D．6分解析：若王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，設(shè)他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多

x分，由題意，得82×60%＋40%x＝86×60%，解得

x＝6．所以王小明要使自己的綜合成績(jī)追平競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，則他的面試成績(jī)必須比競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手多6分．故選D．D

解：（1）設(shè)火車的長(zhǎng)度為

xm，由題意，得

，

解方程，得

x＝150．答：火車的長(zhǎng)度為150m．

6．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長(zhǎng)450m的隧道時(shí)，需要20s的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是5s．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求火車的長(zhǎng)度；（2）求火車完全在隧道里行駛的時(shí)間．

解：（2）因?yàn)榛疖嚨乃俣葹椋?/p>

＝30（m/s），

所以火車完全在隧道里行駛的時(shí)間為：

＝5（s）．

答：火車完全在隧道里行駛的時(shí)間是5s．

6．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長(zhǎng)450m的隧道時(shí)，需要20s的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是5s．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求火車的長(zhǎng)度；（2）求火車完全在隧道里行駛的時(shí)間．歸納相遇問題中等量關(guān)系的尋找方法：（1）從時(shí)間考慮：兩人同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)兩人所用的時(shí)間相等．（2）從路程考慮：沿直線運(yùn)動(dòng)，兩人相向而行，相遇時(shí)兩人所走的路程之和等于全路程．反思：火車是有長(zhǎng)度的，不能看成一個(gè)點(diǎn)，分析路程時(shí)，選取的標(biāo)準(zhǔn)要始終保持一致，即始終以車頭或始終以車尾為標(biāo)準(zhǔn)，不能之前看車頭，之后看車尾．類型四

分段計(jì)費(fèi)問題與方案選擇問題

7．為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市對(duì)自來水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：

另外：1m3收污水處理費(fèi)1元．（1）9月，小張家用水10m3，交費(fèi)_____元；小趙家用水26m3，交費(fèi)_____元．（2）已知小李家10月份繳水費(fèi)175元，他家10月份用了多少水？

（1）9月，小張家用水10m3，交費(fèi)_____元；小趙家用水26m3，交費(fèi)______元．

解：（1）由題意知10×1＋2.2×10＝32（元），

2.2×18＋(26－18)×3.3＋26＝92（元）．3292

解：（2）設(shè)小李家

10月份用水

x

m3，由題意，得

2.2×18＋(40－18)×3.3＋(x－40)×6.6＋x＝175，

解方程，得

x＝43．

答：他家

10月份用水

43m3

．

（2）已知小李家10月份繳水費(fèi)175元，他家10月份用了多少水？

8．小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)，某商品的價(jià)格按如下優(yōu)惠：購買不超過300件時(shí)，每件3元；超過300件但不超過500件時(shí)，每件2.5元；超過500件時(shí)，每件2元．某客戶欲采購這種小商品700件．（1）現(xiàn)有兩種購買方案：

①分兩次購買，第一次購買240件，第二次購買460件；

②一次性購買700件．

問哪種購買方案費(fèi)用較?。渴《嗌僭?？說明理由．（2）若該客戶分兩次購買該商品共700件（第二次多于第一次），共付費(fèi)1860元，則第一次、第二次分別購買該商品多少件？

解：（1）購買方案②費(fèi)用較省，理由如下：購買方案①所需費(fèi)用為：

3×240＋2.5×460＝720＋1150＝1870（元）；購買方案②所需費(fèi)用為：2×700＝1400（元）．因?yàn)?870＞1400，1870－1400＝470（元），所以購買方案②費(fèi)用較省，省470元．

解：（2）設(shè)第一次購買該商品

x件，

則第二次購買該商品(700－x)件．

①當(dāng)0＜x＜200時(shí)，3x＋2(700－x)＝1

860，解方程，得x＝460（不合題意，舍去）；

②當(dāng)200≤x≤300時(shí)，3x＋2.5(700－x)＝1860，

解方程，得

x＝220，所以700－x＝700－220＝480；

③當(dāng)300＜x＜350時(shí)，2.5x＋2.5(700－x)＝1750≠1860，

該情況不存在．

答：第一次購買該商品220件，第二次購買該商品480件．解決方案選擇問題時(shí)，無論是給出幾種可行方案，還是通過分析得出可選擇方案，都一定把這個(gè)問題抽象成一元一次方程，通過解方程找出相對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，根據(jù)未知數(shù)的值及已知量之間的關(guān)系進(jìn)行分析，最終得出最佳的可行性方案．類型

數(shù)字問題和年齡問題

9．若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字是個(gè)位數(shù)字的2倍，我們稱這個(gè)三位數(shù)為“倍尾數(shù)”，如521．已知一個(gè)“倍尾數(shù)”的百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，其各位數(shù)字之和是16，求這個(gè)“倍尾數(shù)”．

解：設(shè)這個(gè)“倍尾數(shù)”的個(gè)位數(shù)字為

x，則十位數(shù)字為2x，

百位數(shù)字為2x＋1，由題意可得，(2x＋1)＋2x＋x＝16，

解方程，得

x＝3，所以2x＝6，2x＋1＝7，

即這個(gè)“倍尾數(shù)”是763.

答：這個(gè)“倍尾數(shù)”是763．

10．小明問老師的年齡，老師說：“我們兩人現(xiàn)在的年齡和為50歲，5年后，我的年齡比你的年齡的2倍還大3歲．”小明聽后說：“老師，我知道自己的年齡，也就知道了您的年齡．”同學(xué)們，你們知道老師今年的年齡是多少嗎？

解：設(shè)老師今年的年齡為

x歲，則小明的年齡為(50－x)歲，根據(jù)題意，得x＋5＝2(50－x＋5)＋3，解方程，得

x＝36．

答：老師今年的年齡為

36歲．?dāng)?shù)字問題設(shè)未知數(shù)的技巧在數(shù)字問題中，一般直接設(shè)未知數(shù)不易列出方程，可以采用間接設(shè)法，即設(shè)某個(gè)數(shù)位上的數(shù)字為未知數(shù)，并用它表示出其他數(shù)位上的數(shù)字，求解后再確定要求的具體數(shù)字．類型六

調(diào)配問題和圖形問題

11．某工廠有甲、乙兩車間各生產(chǎn)不同型號(hào)的產(chǎn)品，原計(jì)劃乙車間人數(shù)比甲車間少100人，產(chǎn)品上市后，甲車間的產(chǎn)品成為爆款，于是又從乙車間調(diào)50人支援甲車間，這時(shí)甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的3倍，求原來甲、乙車間各有多少人．

解：設(shè)乙車間原有

x人，則甲車間原有(x＋100)人，由題意得，x＋100＋50＝3(x－50)，解方程，得

x＝150．故甲車間原有人數(shù)為：150＋100＝250．

答：乙車間原有

150人，甲車間原有

250人．

12．如圖，寬為50cm的長(zhǎng)方形圖案由10個(gè)相同的小長(zhǎng)方形拼成，求其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．

解：設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為

xcm，則寬為(50－x)cm．

由題意，得2x＝x＋4(50－x)，解方程，得

x＝40，所以50－x＝10．所以一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為：10×40＝400（cm2）．

答：其中一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為

400cm2．50cm總結(jié)類型特點(diǎn)等量關(guān)系調(diào)配問題從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定數(shù)量關(guān)系，或從第三方調(diào)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定數(shù)量關(guān)系甲數(shù)＋乙數(shù)＝總數(shù)；甲調(diào)人數(shù)＋乙調(diào)人數(shù)＝總調(diào)人數(shù)類型七

古代數(shù)學(xué)問題中的一元一次方程

13．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法