函數(shù)單調(diào)性的?？寄Ｐ椭v義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習

函數(shù)中單調(diào)性的常見模型

一、知識講解

1定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)(1)利用定義

二)

間上的任意兩個自變量的值y=f(>(2)利用已知函數(shù)

的單調(diào)性

Xp%,當石<々時，都有

2(3)利用函數(shù)圖象

f(xj(在某個區(qū)間圖

/(再)<〃芍)，那么就說/(x)

象上升為增)

X,x2X

在這個區(qū)間上是增酉數(shù).(4)利用復(fù)合函數(shù)

函數(shù)的

如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)

單調(diào)性(1)利用定義

間上的任意兩個自變量的值(2)利用已知函數(shù)

Jy=f(x)

f(\的單調(diào)性

Xp%2,當X］<%2時，都有

(3)利用函數(shù)圖象

一(在某個區(qū)間圖

/(%1)>/(X),那么就說

2象下降為減)

0

X,x2X

/(X)在這個區(qū)間上是誠手裂.(4)利用復(fù)合函數(shù)

2在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減

函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

3對于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］,令M=g(x),若、=/(〃)為增，〃=g(x)為增，則丁=為增；若、=/(?)

為減，〃=g(x)為減，則y=/［g(x)］為增；若y=f(u)為增，u=g(x)為減，則y=/［g(x)］為減；若y=/(?)

為減，〃=g(x)為增，則y=/［g(x)］為減。

4常見函數(shù)的單調(diào)性：

①一次函數(shù)/(%)=入+次左力0),定義域為R。

當左>0,/(%)隨x的增大而增大；當左<0,/(x)隨x的增大而減小。

②二次函數(shù)/(x)=a》2+6x+c(a彳0),定義域為R。

bh

當〃>0,/(X)在(―8,——］上單調(diào)遞減，/(幻在［——,+00)上單調(diào)遞增；

2a2a

bb

當a<0,/(x)在(―8,——］上單調(diào)遞增，/(%)在［——,+8)上單調(diào)遞減。

2a2a

③反比例函數(shù)于(x)=±(k大0),定義域為｛x\x豐0］。

當上>0,/(X)在(一8,0)上單調(diào)遞減，/(X)在(0,+00)上單調(diào)遞減;

當左<0,/(X)在(-CO,0)上單調(diào)遞增，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增。

④指數(shù)函數(shù)/(x)=a\a〉0,且aw1),定義域為R。

當a>l,/(x)在H上單調(diào)遞增；當0<a<l,/(x)在H上單調(diào)遞減。

⑤對數(shù)函數(shù)/(x)=log.x(a>0,且aw1),定義域為(0,+oo)。

當a>l,/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；當0<。<1,/(%)在(0,+Q0)上單調(diào)遞減。

⑥正弦函數(shù)/(x)=sinx,定義域為火。

f(x)在12k兀—%,2k兀+9,(左eZ)上單調(diào)遞增；

rr37r

/(x)在\lk7i+\,2左》+；］,(左￡Z)上單調(diào)遞減。

⑦余弦函數(shù)/(x)=cosx,定義域為R。

/(%)在［2左萬一肛24萬］，(keZ)上單調(diào)遞增；/(%)在［2左肛2版■十萬］,(左eZ)上單調(diào)遞減。

⑧正切函數(shù)/(x)=tanx,定義域為｛x\x。匕r+與左￡Z｝。

717T

f(x)在(左乃~—,k^+—),(keZ)上單調(diào)遞增。

⑨已知函數(shù)/(x)=X5-6f+9x的單調(diào)性

解：/(x)=/—6f+9x的兩個極值點分別為1,3,/(x)在(-8,1)和(3,+00)上單調(diào)遞增；/(x)在(1,3)上單

調(diào)遞減。

⑩已知函數(shù)/(%)=［log?x|的單調(diào)性

解：/(?qiogzX的定義域為(°，+°°)，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減；/(X)在(L+8)上單調(diào)遞增。

?絕對值函數(shù)/(%)=W，定義域為R,/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減；/(%)在(0,+00)上單調(diào)遞增。

二、例題精析

【考點一、定義法判斷下列函數(shù)的單調(diào)性】

［例題I1下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A-y=(y)B.y^2

2

C.y=lgxD.y=（尤-1）+l

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可對A項判斷；利用幕函數(shù)性質(zhì)可對B項判斷；利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可對C項判斷;

利用二次函數(shù)性質(zhì)可對。項判斷，綜合可得答案.

解析：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在R上為單調(diào)減函數(shù)，故A項錯誤;

對于2：根據(jù)暴函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在（0,+8）上為單調(diào)遞減函數(shù)，故B項錯誤;

對于C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在（0,+8）上為單調(diào)遞增函數(shù)，故C項正確;

對于根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在（0,+8）上不單調(diào)，故。項錯誤.故選：C.

【例題2】下列函數(shù)在定義域上為減函數(shù)的是（)

X/

A.f(x)—2x-1B.

X

X

C.f(x)=siiwD.

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案.

答案：D

解析：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A,f（x）=2尤-1在（-8,+OO）上是單調(diào)增函數(shù)，A錯誤;

對于8,f(x)=1,/(-1)=-1,/(1)=1,/(-1)<f(1),f(x)不是單調(diào)減函數(shù)，B錯誤;

X

對于C,f(x)=sinx,f(Q)=sin0=0,f(?)=sin?=1,f（x）不是單調(diào)減函數(shù)，C

錯誤;

對于。，f（x）=g廣在R上單調(diào)遞減，。正確.故選：D.

【例題3】下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是（)

1

A.y—x-2xB.y=log2xc.y嗎)田D.y=x-l

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案.

【答案】：c

解析：根據(jù)題意，依次分析選項:

對于A，y—x2-2x,在區(qū)間(1,+8）上為增函數(shù)，不符合題意;

對于修y=log2x,是對數(shù)函數(shù),在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合題意;

x》0

對于C,y=，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減，符合題意;

2

2X,x<0

對于。，y^x-1,函數(shù)尸尤和尸-工在區(qū)間（1,+8）上都是增函數(shù)，則尸尤在區(qū)間（1,+8）上

XXX

是增函數(shù)，不符合題意.故選：C.

【例題4】（多選題）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的為（）

lx

A.y=k>go.2xB.y—2C.y=x+AD.y—tanx,xG（-1,1）

x

【分析】掌握常見函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案.

答案：BD

解析：A.y=logo.2r為對數(shù)函數(shù)，0.2<1,

所以函數(shù)y=logo?在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意；

B.>=22*=#,函數(shù)y=4,為指數(shù)函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；

C.y=x+l,為對勾函數(shù)，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，不符合題意；

x

D.y=tanx,xG（-1,1）/為正切函數(shù)，在定義域內(nèi)單調(diào)增，故選：BD.

【方法和總結(jié)】：如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值國,々,當再<%時，都有

/（^）</（%2）,那么就說了（X）在這個區(qū)間上是增函數(shù)，當X］〈尤2時，都有/（不）>/（々），那么就說/（X）在

這個區(qū)間上是誠國教。.

【考點二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【例題5］已知函數(shù)/（無）=無以-H-2X的單調(diào)減區(qū)間為（）

A.［蔣，1］

C.D.口，1］

【分析】先化簡函數(shù)解析式，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.

答案：A

x(x-3),

解析：f（X）x\x-11-2x=<

-x(x+1),x<1

其大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為［-工，1］.故選：A.

22

【例題7】y=2x+區(qū)的單調(diào)區(qū)間為

x

A.單增區(qū)間:［-2,+8）,單減區(qū)間：（-2,0）

B.單增區(qū)間：［2,+8）,單減區(qū)間：（0,2）

C.單增區(qū)間：（0,2）,單減區(qū)間：「2,0）

D.單增區(qū)間：（-2,0）,單減區(qū)間：［-2,+8）

【分析】由雙勾函數(shù)的性質(zhì)直接得出答案.

【答案】：B

解析：y=2（x4>由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y=2xA的單調(diào)增區(qū)間為（-8,-2）,（2,+8）,

XX

單調(diào)減區(qū)間為（-2,0）,（0,2）,故選：B.

【例題7】函數(shù)/（尤）=/+//?-3x的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.（0,B.（1,1）C.（1,+8）D.（-co,A）

【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解.

【答案1B

2

【解答】解：f（X）=2尤+工-3=23-3色=（2x-l）（X-1）,x>0,

XXX

當/時，f（X）〈°，/（X）單調(diào)遞減.故選：B.

【例題8】函數(shù)/（%）=1生的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

x

A.（-8,￡）B.（0,e）C.（―,+8）D.（e,+°°）

e

【分析】求出函數(shù)/（%）=亞的導(dǎo)數(shù)為y的解析式，令y>o求得1的范圍，即可得到函數(shù)/co=衛(wèi)史

XX

的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】：B

解析：由于函數(shù)/（%）=11區(qū)的導(dǎo)數(shù)為V=上空，令<>0可得lwc<\,解得OVxVe,

Y..2

故函數(shù)/(x)=1些的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,e),故選：B.

X

【方法和總結(jié)】：就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，來區(qū)分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【考點三、用函數(shù)的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性】

【例題9】下列函數(shù)中定義域為R,Vxi,X2GR,當時，都有了(XI)<f(X2)的是()

A.f(x)=3*B.f(x)=\[xC.f(x)=|x|D.f(x)=/

【分析】根據(jù)題意，依據(jù)題干給定的函數(shù)的單調(diào)性與定義域，逐項分析判斷即可得解.

答案:A

解析：根據(jù)題意，因為Vxi,X2WR,當X1V%2時，都有/(xi)<f(X2),

所以對應(yīng)的/(%)在R上單調(diào)遞增，依次分析選項：

對于A,函數(shù)/(%)=3,是指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，故A正確；

對于'f(x)班的定義域為[。，+8),故B錯誤；

對于C,當x<0時,f(x)—\x\--x,則了(尤)在(-8,o)上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對于￡),當尤<0時，二次函數(shù)/(無)=7在(-8,o)上單調(diào)遞減，故。錯誤.故選：A.

【例題10】若定義在R上的函數(shù)/(尤)，則()

A.對Vxi,X2GR,X1WX2,都有,(XI)-f(X2)](X2-XI)<0,則/(X)是R上的減函數(shù)

B.對VxER,都有/(尤+1)=/(-%-1),則/(x)為偶函數(shù)

C.對VxeR,都有/(-x)=-f(x)且/(-無)=f3,則/(x)>0

D.對VxER,都有/(x+l)/(x)=2,則/(x+2)>f(x)

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的定義依次分析選項，綜合可得答案.

答案：B

解析：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A,不妨設(shè)X1<X2,X2-XI>0,

由[f(XI)-f(X2)](尤2-Xl)<0得/(XI)-f(X2)<0,f(XI)<f(尤2),

所以/(x)是R上的增函數(shù)，所以A選項錯誤.

對于8,對VxCR,都有/(x+1)=/(-%-!)=/(-(x+1)),

所以/(尤)=/(-x),所以/(無)是偶函數(shù)，B選項正確.

對于C,對于函數(shù)/(x)=0,滿足對VxCR,都有/(-X)=-/(%)且/(-無)=/(%),

所以C選項錯誤.

對于。，對于函數(shù)f(x)=&，對VxCR,都有/G+l)/(x)=2,

則尤+2)=/(%),所以。選項錯誤.故選：B.

【例題11]若函數(shù)/(X)的定義域為R,則下列說法正確的是()

A.若/(x)=-/(x),則無)=0

B.若對VxeR,f(x+1)+f(x)=1,則/(x+2)</(x)

C.若對Vxi,無2CR且X1#"X2,\f(xi)-于(xi)](xi-X2)>0,則/(x)是R上的增函數(shù)

D.若對V尤CR,|f(-x)|=|/'(x)I，則/(無)=0

【分析】對于A項，直接計算即可判定；對于B項，通過遞推關(guān)系可判定/(x+2)=/(%)即可；對于C項，

利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判定；對于。項，舉出反例即可判定.

答案：AC

解析：A選項中，因為/(無)=-于3,所以2/(x)=0,所以/(%)=0,故A正確；

8選項中，因為/(x+1)+f(x)=1,所以/(x+1)=1-f(x),

所以/(x+2)—1-f(x+1)—f(x),故B錯誤；

C選項中，不妨設(shè)無1<%2,則/(尤i)<f(X2),所以/(無)是R上的增函數(shù)，故C正確；

。選項中，若/(X)=/,滿足，(-尤)|=，(x)但/(x)=0不成立，故。錯誤.

故選：AC.

【例題12】當時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，稱函數(shù)為增函數(shù).下列函數(shù)中，當尤<-1時是增函數(shù)的

有()

A.y=-2x+lB.y=2xC.v=——D.丫上

x+1x

【分析】根據(jù)題意，由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的增減性，逐一判斷，即可得到結(jié)果.

答案：BC

解析：y=-2x+l,一次函數(shù)，/<0,函數(shù)值y隨x的增大而減小，故A錯誤；

y=2x,一次函數(shù)，k>0,函數(shù)值y隨x的增大而增大，故2正確；

丫二，反比例函數(shù)，/<0,在二四象限內(nèi)，函數(shù)值y隨尤的增大而增大，

X

將yj函數(shù)圖像向左平移1個單位長度可得了=，_,

Xx+1

則當尤<7,丫=，一的函數(shù)值y隨x的增大而增大，故C正確；

x+1

y上，反比例函數(shù)，上>0,在一三象限內(nèi)，函數(shù)值y隨尤的增大而減小，故O錯誤.故選：BC.

x

【方法和總結(jié)】：如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值芯,々，當石<當時，都有

/(x1)</(^2),那么就說/(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，當西〈龍2時，都有/>(X])>/"(%)，那么就說了。)在

這個區(qū)間上是誠手教。.

【考點四、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【例題13】函數(shù)f(x)W2X2-X-3的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-8,AjB.(-8,-1]C.彥,+co)D.弓,-+CO

【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)、偶次根式的性質(zhì)，得出結(jié)論.

答案：C

解析：對于函數(shù)f(x)W2X2-X-3,應(yīng)有2/-x-320,求得xW-1或x2亙,

2

故函數(shù)的定義域為(-8,-1]u[A,+8).

2

再根據(jù)二次函數(shù)y=2f-x-3的性質(zhì)，可得函數(shù)/(x)的增區(qū)間為[旦,+8).故選：C.

2

【例題14】函數(shù)y=——的單調(diào)增區(qū)間為(

4+3x-x

(-1.1]

A.號,+CO)B.

C.4)和(4，+°°)D.(-8,-1)U(-1,

【分析】令f=-/+3X+4,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出t的單調(diào)區(qū)間,再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得函數(shù)

y=——的單調(diào)增區(qū)間.

4+3X-X2

答案：C

解析：設(shè)r=-/+3尤+4,則有無#-1且xW4；正(-8,0)U(0,—],

4

所以函數(shù)了=-----_的定義域為：{尤|尤W-1且無力4},

4+3x-x2

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知r的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1),(-1,2].單調(diào)遞減區(qū)間為：[旦，4),(4,+8)；

22

又因為在正(-8,0)和(0,絲]上單調(diào)遞減，

t4

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)y=——的單調(diào)增區(qū)間為：[旦，4)和(4,+8).故選：C.

4+3X-X22

【例題15】函數(shù)/(無)=m(/-2X-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(-8,-1)C.(1,+8)D.(4,+8)

【分析】由f-2x-8>0得：無e(-8,-2)U(4,+8),令/=/-2尤-8,則y—lnt,結(jié)合復(fù)合函數(shù)單

調(diào)性“同增異減”的原則，可得答案.

【答案】D

解：由x2-2x-8>0得：疣(-8,-2)U(4,+8),令r=x2-Zx-8,貝仃=/%

xE(-8,-2)時，t—x^-2x-8為減函數(shù)；

xE(4,+8)時，/=/-2尤-8為增函數(shù)；

"為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)=/〃(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+8),故選：D.

【例題16】設(shè)函數(shù)/(無)=2?廠/在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+°°)

【分析】利用換元法轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性進行求解即可.

【答案】：D

解析：設(shè)(x-a)—X1-ax,對稱軸為％=包，拋物線開口向上，

2

是r的增函數(shù)，.?.要使/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，

貝卜=/-ax在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，即221,即aN2,故實數(shù)a的取值范圍是[2,+-).

2

故選：D.

【方法和總結(jié)】：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對于復(fù)合函數(shù)y=力g(x)]，令"=g(x),若y=f(u)為增，"=g(x)為

增,則y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為減，〃=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(a)為增，〃=g(x)

為減，則y=/[g(x)]為減；若y=/(〃)為減，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為減。

【考點五、函數(shù)單調(diào)性中的圖像問題】

【例題17】函數(shù)/(X)=smx+x在[--,用的圖象大致為()

cosx+x”

【分析】由/(X)的解析式知/(X)為奇函數(shù)可排除A,然后計算/(n),判斷正負即可排除8,C.

答案：D

解析：V/（X）=-±141&+八_,X&[-it,n],

cosx+x”

.V（-X）=-sinx-x=_sinx+x=_仆）,

，、工2工2

COS（-XJ+xcosx+x

為[-TT,n]上的奇函數(shù)，因此排除A；

兀

又如)=sin-+兀->0，因此排除5,C；故選：D.

9

CQS兀+兀-l+n

【例題18】已知函數(shù)/(x),x￡[-5,5]的圖像如圖所示，則函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增增區(qū)間是

【分析】觀察函數(shù)圖象直接求解.

答案：[-5,-3],[1,4]

解析：通過圖象可知，函數(shù)在區(qū)間[-5,-3]和[1,4]上是上升趨勢，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有[-5,-3],[1,4],故答案為：[-5,-3],[1,4].

答案：B

解析：f(x)=-/+Ce^-ex)sinr,

貝1J/(-無)=-(-x)2+(ex-/)sin(-x)=-7+(/-esiiu=/(尤)，故f(x)為偶函數(shù)，故AC

1

錯誤；/(1)=-1+(e-ebsinl>-1+(p^)sin-2L=—-1-故D錯誤，B正確.

e622e42e

故選：B.

【例題19】(多選題)函數(shù)s=/(力的圖像如圖所示(圖像與f正半軸無限接近，但永遠不相交)，則下列說法

正確的是()

A.函數(shù)s=/(f)的定義域為[-3,+8)

B.函數(shù)s=/G)的值域為(0,5]

C.當sRl,2]時，有兩個不同的r值與之對應(yīng)

D.當fl,t2&(0,1)(Z1#Z2)時，-----'--------—〉()

t1-t2

【分析】通過圖象觀察函數(shù)的定義域，值域，單調(diào)性即可得出答案.

答案：BD

解析：由圖象可知，當生[-3,-1],se[l,5],當正[0,+8),S6(0,4],

故/(f)的定義域為[-3,-l]U[0,+8),故A選項錯誤.

/G)的值域為(0,5],故2選項正確.

當sHl,2]時，通過圖象可以發(fā)現(xiàn)，當s=2時，有3個不同的/值與之對應(yīng)，故C選項錯誤.

當紀(0,1)時，函數(shù)為增函數(shù)，故。選項正確.故選：BD.

【例題20】函數(shù)“X)=-/+(/-/x)sinx的區(qū)間[-2.8,2.8]的圖像大致為()

【分析】先結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，排除AC,再結(jié)合特殊值，即可求解.

答案：B

解析：f(%)=-/+(er-ex)sinx,

則/'(-無)=-(-x)2+(ex-，)sin(-x)=-/+(e*-ex)sinx=/(x),

故/(x)為偶函數(shù)，故AC錯誤；

1x

/(1)=-1+(e-e)sinl>-1+(P_A)sin--1->工-_L_>0,故D錯誤，B正確.

e622e42e

故選：B.

【方法和總結(jié)】：這類題型比較簡單，通過看圖來完成作答。

【考點六、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍】

【例題21】已矢口函數(shù)f(x)』ax44x3-Lx2-x在+8)上單調(diào)遞減，則〃的取值范圍為(

\Ji,/JA3A2AA

A.[-1,+8)B.「——,400)C.(-°0,-1]D.f-co,--^—1

L27/k27J

【分析】求導(dǎo)數(shù)/(%)=/+%2_X_]W0,XE(1,+8),構(gòu)造新函數(shù)g(/)=?+?-t,求導(dǎo)數(shù)得最值即可.

【答案】：D

解析：由函數(shù)f(x)=Lax44x3-Lx2-x在(1，+^)上單調(diào)遞減，

432

求導(dǎo)數(shù)得/(x)=〃/+/-1-1W0,xE(1,+°°),則1

32T

xxA

令t」，te(0,1),函數(shù)g0=?+?-1,則g'⑺=(3z-1)(r+l).

x

當(o,])時，g'⑺<o,g⑺單調(diào)遞減，當弓，1)時，g'⑺>o,g⑺單調(diào)遞增,

至_,所以a€(_8,-_5_],故選：D.

則g(t)min=g

2727

【例題22】已知函數(shù)/(無)=lg(x2-4x-5)在(a,+°°)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.(5,+8)D.[5,+°°)

【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得函數(shù)的定義域，令f=/-4x-5,由外層函數(shù)y=/gf是其定義域內(nèi)的增函

數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，要使函數(shù)/(x)=/g(/-4%-5)在(a,+8)上單調(diào)遞增，需內(nèi)層函數(shù)

/=/-4工-5在(a,+8)上單調(diào)遞增且恒大于0,轉(zhuǎn)化為(a,+°°)￡(5,+°°),即可得到a的范圍.

【答案】：D

解析：由/-4x-5>0,得x<-l或x>5.令f=/-4x-5,

?.?外層函數(shù)y=/gf是其定義域內(nèi)的增函數(shù)，

...要使函數(shù)/(無)=lg(x2-4x-5)在(a,+8)上單調(diào)遞增，

則需內(nèi)層函數(shù)-4x-5在(a,+8)上單調(diào)遞增且恒大于0,

則(a,+°°)￡(5,+8),即a\5.

的取值范圍是[5,+8).故選：D.

【例題23]定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)/(%),對任意的尤e(0,+8)都有外(尤)-lnx]=l,若方程/(x)

呼(無)=加有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-8,j)D.(-8,1]

【分析】根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得*x)-10g”為定值，可以設(shè)f=/(x)-Inx,則/⑴=lnx+t,

又由/G)=1,即歷r+f=l,解可得f的值，可得/(x)的解析式，對其求導(dǎo)可得，(%)；將/G)與，(x)

代入（x）=m,求出函數(shù)的最大值，即可得答案.

【答案】：A

解析：是定義在（0,+8）上的單調(diào)函數(shù)，j\f（x）-lnx]=l,

.,.f（x）-/nx為大于0的常數(shù)，設(shè)（尤）-live,則/（x）—hvc+t（?＞0）,

又由/'（/）=1,即/〃/+/=1,解得f=l,（x）=lnx+1,f（x）=—,

x

'.f（尤）?/'（無）=.l+lnx.=〃z,

x

設(shè)g（x）=1+1q,則屋（X）=-匹，

XX2

易得函數(shù)g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，（1,+8）上單調(diào)遞增，

；.尤=1時，函數(shù)g（無）取得最大值1,其大致圖象如圖所示，

:方程/（X）?/（X）=%有兩個不同的實數(shù)根，，（）〈機＜1.故選：A.

【例題24】若函數(shù)/（無）=2ax-歷x在（1,3）上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（-8,2）U（6,+8）

C（卷，-y）D.（-8,卷）ug,-^30）

【分析】由題意得I（乂）=2@-工用工工，題意轉(zhuǎn)化為了（%）在（1，3）上有極值點，分類討論。=0得不

XX

符合題意，4W0得求解即可得出答案.

2a

【答案】：C

解析：由題意得/（x）=2a-Uax7,

XX

V/（x）在（1,3）上不單調(diào)，：.f（x）在（1,3）上有極值點，

.?.當a=0時，￥（x）=」＜0在（1，3）上恒成立，fCx）在（1,3）上單調(diào)遞減，不滿足題意；

當aWO時，由/(x)=0得x=-‘貝-<3,解得上<@<」?，

2a2a62

故實數(shù)。的取值范圍為(工，1).故選：C.

62

【方法和總結(jié)】：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)大于0,對應(yīng)的區(qū)間上，原函數(shù)單調(diào)遞增；導(dǎo)函數(shù)小于0,

對應(yīng)的區(qū)間上，原函數(shù)單調(diào)遞減。

【考點七、抽象函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用】

【例題25]:已知函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.y=一/(x)在R上是減函數(shù)By=--—在R上是減函數(shù)

'/(x)

C.y=[f(x)產(chǎn)在R上是增函數(shù)D.y=4(x)(a為實數(shù))在R上是增函數(shù)

分析：根據(jù)已知函數(shù)的單調(diào)性，和特值法來判斷。

答案：A

解析：設(shè)的<X2,因為函數(shù)尤)在R上是增函數(shù)，故必有了(XI)<f(X2).

所以一/(即)>—/(%2),A選項一定成立.

其余三項不一定成立，如當/(x)=x時，B、C不成立，當。<0時，D不成立.

【例題26)：函數(shù)>=/(%)對于任意羽y￡R,有f(x+y)=f(x)+/(y)—1,當x>0時，f(x)>1,

且/(3)=4,貝U()

A/(x)在R上是減函數(shù)，且/(I)=3B.f(x)在R上是增函數(shù)，且/(I)=3

C.f(x)在R上是減函數(shù)，且/(I)=2D.f(x)在R上是增函數(shù)，且/(I)=2

分析：抽象函數(shù)，在定義域內(nèi)，主要用函數(shù)單調(diào)性的定義來判斷

【答案】D

解析：設(shè)任意xi,X2￡R,X\<X2Jf(X2)—f(xi)—f((X2-Xl)+xi)~f(Xl)=f(X2-Xl)+f(Xl)—1—/

(Xl)=f(X2—X\)-1.

*/X2—Xl>0,又已知當x>0時，f(x)>1,

.*./(X2-Xl)>1.

.*./(X2)—f(xi)>0,即/(Xl)<f(X2).

：.f(x)在R上是增函數(shù).

V/(3)=/(l+2)=/(l)+f(2)~l=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3/(1)-2=4,?"(1)=2.

【例題27]：已知函數(shù)/(x)對任意的實數(shù)x、y都有/(x+y)=/(X)+f(y)—1,且當x>0時，f(x)>1.

求證：函數(shù)/(%)在R上是增函數(shù).

分析：根據(jù)函數(shù)定義域和單調(diào)性

答案：設(shè)XI,X2是實數(shù)集上的任意兩個實數(shù)，且.令x+y=xi,y=X2,

則X=XI—XQ>0.

f(xi)—f(X2)=/(x+y)~f(y)=f(x)+f(y)—1—/(y)=f(x)—1.Vx>0,.*./(x)>1,f(x)—1>0,

(xi)—f(%2)>0,即/(xi)"(短).???函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù).

【例題28]：(多選)已知定義在{xER|xW0}上的函數(shù)/(x)滿足：對任意％,yE{xER|%WO},f(xy)=f(x)

+f(y),當x>l時/(x)>0,則()

B

A/(-l)=。-f(log32)<f(2°-b

Cf(2)+f(1)=1D./(7T)>/(-4)

【分析】利用賦值法可判斷AC；令y=7判斷奇偶性，根據(jù)Xo=*?x/結(jié)合已知判斷單調(diào)性，然后可判斷

2X]1

BD.

【答案】：AB

解析：對于A,令％=y=l,得/(I)=0,令x=y=-l,得/(-1)=0,故A正確；

對于C,令了」，則f(x)+f3)=f(1)=0，故C錯誤；

xx

對于8。，令y=-l,得/(-x)=/(%),故/(%)為偶函數(shù)；

、xx

Vxi,X2E(0,+8),X1〈X2,貝1Jf(X[)-f(X2)=f(x[)-f(---9-wX1)=-f(----9-A

1/1Xj1X]

因為XI,X2E(0,+8),X1<X2,所以衛(wèi)>1，所以f(歲2)〉0，

X1X1

所以/(XI)-f(X2)<0,所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

1)

?^0<log32<l<2°-所以f(log32)<f(2°J),f(K)<f(4)=f(-4)-故B正確,D

錯誤.故選：AB.

【方法和總結(jié)】：根據(jù)題意，用函數(shù)單調(diào)性的定義來推導(dǎo)。

【考點八、分段函數(shù)中的單調(diào)性問題】

(3aT)x+4a,(x<l)

【例題29】已知函數(shù)f(x)=|a、在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為()

一，(x>l)

，C看，1)

A-[y>1)[04)[

【分析】根據(jù)各段函數(shù)的單調(diào)性和分段點處函數(shù)值的大小可得關(guān)于。的不等式組，求解得答案.

【答案】：D

3a-l<0

解析：??V*(尤)在R上單調(diào)遞減，???]a>0,解得上4a<2.，實數(shù)。的取值范圍為R，—)

6363

3aT+4a>a

故選：D.

-x'ax-L'>1,是R上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是(

【例題30】設(shè)函數(shù)f(x)=)

2-(a+1)x,x<1

D

A.(-1,1]B?C，f)C.(-1,2]-[|.2]

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得關(guān)于。的不等式，解可得答案.

【答案1A

r2+ax-l，x》l,是R上的減函數(shù),

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=<

2-(a+l)x,x<l

且《1

則有<,解可得-l<aW旦，即a的取值范圍為(-1,1].故選：A.

a+1〉022

2-(a+1)Xl>-l+aT

-2-2ax-a,x<0,在R上單調(diào)遞增，則0取值的范圍是(

【例題31]已知函數(shù)為/(x)=.x)

ex+ln(x+l),x>0

A.(-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+8)

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，轉(zhuǎn)化求解即可.

【答案】：B

-x2-2ax-a,x<0匚品、由士

解析：函數(shù)為/(