函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ㄔ戆妫?2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................4

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性........................................4

角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間......................................4

角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)................................4

角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性......................................4

角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式................................5

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（?。┲?.................................6

角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值..................................6

角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)....................................6

角度3：不等式恒成立問(wèn)題......................................7

角度4：不等式有解問(wèn)題........................................8

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................10

備注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間容易忽視定義域....................................10

備注：分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題容易忽視分段點(diǎn)大小比較.................10

備注：利用單調(diào)性解不等式容易忽略函數(shù)定義域.....................10

第五部分：新定義題（解答題）.......................................10

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值再，/；

①當(dāng)石<々時(shí)，都有/(石)</(9)，那么就說(shuō)函數(shù)“X)在區(qū)間。上是增函數(shù)

②當(dāng)藥<々時(shí)，都有/(%)>/(&)，那么就說(shuō)函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是減函數(shù)

(2)單調(diào)性簡(jiǎn)圖：

若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，

區(qū)間。叫做函數(shù)〃的單調(diào)區(qū)間.

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同調(diào)增；異調(diào)減)

對(duì)于函數(shù)y=/(")和"=g(x),如果當(dāng)xe(a,b)時(shí)，ue(m,n),且"=g(x)在區(qū)間(a,。)上和

y=/(?)在區(qū)間(私”)上同時(shí)具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y=7(g(x))在區(qū)間(。,與上具有單調(diào)性，并且具有

這樣的規(guī)律：增增(或減減)則增，增減(或減增)則減.

2、函數(shù)的最值

(1)設(shè)函數(shù)y=/(%)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足

①對(duì)于任意的xe/,都有

②存在/c/,使得/(%)=河

則M為最大值

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)機(jī)滿足

①對(duì)于任意的xe/,都有利；

②存在毛?/,使得/(%)=加

則m為最小值

3、常用高頻結(jié)論

(1)設(shè)石e[a,瓦|*x2.

①若有(％—9)"(%)—/(々)]>0或〉0，則/(幻在閉區(qū)間[a向上是增函數(shù)；

②若有(％_々)"(石)_/(々)]<0或"?[<0，則/(X)在閉區(qū)間[a向上是減函數(shù).此為函數(shù)單

調(diào)性定義的等價(jià)形式.

(2)函數(shù)相加或相減后單調(diào)性：

設(shè)xe[a,Z?],兩個(gè)函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間[a,切上的單調(diào)性如下表，則/(x)+g(x)在xe上的單調(diào)

性遵循(增+增=增；減+減=減)

/(X)g(x)f(x)+g(x)

增增增

減減減

/(X)g(x)/(X)—g(x)=/(x)+[-g(x)]

增減增

減增減

(3)對(duì)鉤函數(shù)單調(diào)性：于(x)=ax+*(a>0,b>0)的單調(diào)性：在一8一',"]'+°°上單調(diào)

和0,上單調(diào)遞減.

(4)常見(jiàn)對(duì)鉤函數(shù)：/(x)=x+-(a>0))的單調(diào)性:在和[&,+<?)上單調(diào)遞增,在卜五,0)

X

和(0,6)上單調(diào)遞減.

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)下列函數(shù)中，在區(qū)間(。,+◎上單調(diào)遞增的是()

A./(元)=-lnxB./(x)=[

2

c./W=--D./(x)=3M

X

2.(2023?全國(guó)?(新課標(biāo)：[卷))設(shè)函數(shù)/(%)=2也切在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，貝！J。的取值范圍是()

A.(—oo,—2]B.[—2,0)

c.(0,2]D.[2,+oo)

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)的單調(diào)性

角度1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

典型例題

例題L（2024上?湖南婁底?高一?？计谀┖瘮?shù)/（力=142（-尤2+4》+5）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.（f,2）B.（2,+功C.（2,5）D.（-1,2）

例題2.（2024上?四川宜賓?高一校考期末）函數(shù)〃x）=Jf+3無(wú)+2的單調(diào)遞減區(qū)間是.

角度2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

(5a-3)x-3a,x<l,

例題1.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（勸=在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

log,x,x>l

。的取值范圍是（）

A.閆B.[|,|]C.臼D.…

例題2.（2024上?廣東深圳?高一?？计谀┖瘮?shù)尤）=尤+。在（-8,-2]上單調(diào)遞增，則4的取值范圍

為.

角度3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題1.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知函數(shù)/（x）=2*+2x,則單調(diào)遞增區(qū)間為.

例題2.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）函數(shù)/。）=|/-3彳+2]的單調(diào)遞減區(qū)間是.

角度4：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典型例題

例題L(2024上?福建莆田?高一校聯(lián)考期末)已知偶函數(shù)”X)在區(qū)間［0,+e)上是增函數(shù)，則滿足

的x取值范圍是.

例題2.(2024上?海南?？?高一海南中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí),

/(x)=x2+2%.

⑴求/(%)在R上的解析式；

(2)判斷“X)的單調(diào)性，并解不等式F(尤2一2.+/(3-2尤2)<0.

練透核心考點(diǎn)

/、|-x+3d!,x>0

1.(2024上?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=x?x<0在定義域R上是減函數(shù)，則。的值可

以是()

A.3B.2C.1D.-1

2.(2024上?福建福州?高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀?設(shè)函數(shù)〃力=>源(a>0且awl)在區(qū)間(1,+8)

上單調(diào)遞增，貝心的取值范圍是()

A.(1,2］B.［2,+co)C.Q1［D.5』］口［2,+8)

3.(2024上?山東青島?高一統(tǒng)考期末)定義在［-2,2］上的函數(shù)/(x)=3W-l,若/(I-尤)</(x),則x的取值

范圍為()

A.1TB.C.D.

4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(%)=必一4|%|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-oo,-2)B.(一8,-2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,+8)

5.(2024?江蘇?高一假期作業(yè))函數(shù)/(%)=%|x-2|的單增區(qū)間為()

A.(-oo,l］52,+8)B.(1,2)

C.(2,+oo)D.(-co,1),(2,+oo)

絲二+"3,x>l

6.（2024下?全國(guó)?高一開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)〃x）hx在xeR內(nèi)滿足:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)占W超，

—X2+（2—Z?）x,x<1

都有（%-%）（“占）-〃%））>。成立，則實(shí)數(shù)6的取值范圍為

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)的最大（?。┲?/p>

角度1：利用函數(shù)單調(diào)性求最值

典型例題

例題L（2024下?高二課前預(yù)習(xí)）函數(shù)y=2尤3_3x?-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分別是（）

A.12,-15B.5,-4C.5,-15D.12,-4

例題2.（2024上?江蘇鎮(zhèn)江?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（x）=lgx+x的定義域?yàn)閊,10,則值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.1歷B.［歷，』C.［-9,-jD.［-9,11］

o

例題3.（2024上?河南許昌?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)"x）=x+1.

⑴判斷函數(shù)/'（X）奇偶性，并用定義法證明；

⑵寫(xiě)出函數(shù)f（無(wú)）的單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明某一個(gè)區(qū)間的單調(diào)性；

⑶求函數(shù)在［2,9］上的最大值和最小值.

角度2：根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)

典型例題

例題L（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）已知函數(shù)〃x）=2|x-2|+依（xeR）有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

L卜

例題2.（2024上?吉林通化?高三校考階段練習(xí)）己知函數(shù)/（x）=Jx+-在區(qū)間（0,+oo）上有最小值4,則

實(shí)數(shù)k=.

例題3.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)＞=k2-7女+2］在［0,1］的最

大值為2,則加的取值范圍是.

角度3：不等式恒成立問(wèn)題

典型例題

例題L（多選）（2023上?江蘇淮安?高一校考階段練習(xí)）已知關(guān)于無(wú)的不等式ax?一依+2＞。對(duì)xeR恒成

立，則實(shí)數(shù)。的可取值是（）

A.-2B.0C.3D.7

例題2.（2023上?江蘇揚(yáng)州?高一江蘇省邢江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)=Y-分+4-片.

⑴若a=2,Mxe［-2,3］,求函數(shù)〃尤）的值域；

⑵若Vxe［-2,2］,都有求。的取值范圍.

例題3.（2023上?廣東潮州?高一饒平縣第二中學(xué)校考期中）已知事函數(shù)“*）=（病-〃-1）/在（0,+到上

單調(diào)遞減.

⑴求〃尤）的解析式；

⑵若〃彳）+：＞%在［1,3］上恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

角度4：不等式有解問(wèn)題

典型例題

例題1.（2023上?遼寧?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若Tae[1,2],x2-（a+l）x+3a-6>0”為真命題，則尤的取

值范圍為（）

A.（-1,3）B.S，0）U（3次）

C.（^?,-l）u（3,+oo）D.（0,3）

例題2.（2023上?湖北武漢?高一武漢市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于了的不等式mr?-6x+3m<0在（0,2]

上有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

例題3.（2023上?江蘇連云港?高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=22,-12加-6.

⑴當(dāng)xe[0,4]時(shí)，求〃尤）的最大值和最小值；

⑵若玉e[0,4],使〃力+12-82珪0成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024下,湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“玉目1,2],2/-爾+6>0"

成立的一個(gè)必要不充分條件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4A/3D.m<8

2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)〃彳）=置，xw[3,5]的最大值是（）

53

A.-B.-C.1D.2

42

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=在區(qū)間[0,1]上的最大值為|■，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

4.（2024上?黑龍江哈爾濱?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=2'+a-2T.

⑴若〃尤）是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的值；

17

⑵若"2）=（,求在[T2]上的值域.

5.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知，（x）=R2Y+]

x-2

⑴根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)/（X）在區(qū)間（2,+8）上是減函數(shù)

⑵若函數(shù)g（無(wú)）="2Y,x+1e[3,a]（。＞3）的最大值與最小值之差為1,求實(shí)數(shù)。的值

x-2

6.（2024上?河南商丘?高一睢縣回族高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（元）=x+9,aeR.

X

⑴設(shè)函數(shù)g（x）=/（x）-4,實(shí)數(shù)6滿足g僅）=-8,求g（-6）；

（2）若在xe[4,+?）時(shí)恒成立，求。的取值范圍.

7.（2023上?江蘇南通?高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)〃尤）=2d+L

X

⑴試判斷函數(shù)〃x）在區(qū)間[L2]上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；

（2）若存在xe[1,2],使/（尤）＜2+7〃成立，求實(shí)數(shù)加的范圍.

8.（2023下?河北邢臺(tái)?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=x+g,g（x）=2x+a.

4r1

（1）求函數(shù)〃X）=X+—在-,1上的值域；

X_乙_

（2）若％e,3X2G[1,3],使得/（占）幺（切，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

第四部分：典型易錯(cuò)題型

備注：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間容易忽視定義域

1.(2023上?陜西西安?高一?？茧A段練習(xí))函數(shù)〃x)=1,1的單調(diào)增區(qū)間是.

2.(2023下?福建三明?高一永安市第九中學(xué)校考階段練習(xí))函數(shù)尸1。4(1-x)(x-2)的單調(diào)遞減區(qū)間

是.

備注：分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題容易忽視分段點(diǎn)大小比較

1.(2023上?寧夏石嘴山,高三石嘴山市第三中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試)已知〃無(wú))=《2"