函數(shù)的概念及表示-2025高考數(shù)學一輪復習

第一早

D1ERZHANG函數(shù)

第1節(jié)函數(shù)的概念及表示

考試要求1.了解構成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.2.在實際情景

中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.

了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用.

知識診斷?基礎夯實

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設A,3是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任

意一個數(shù)x,按照某種確定的對應關系f,在集合B中都有

概念

唯一確定的數(shù)y和它對應,那么就稱/：A-3為從集合A到

集合5的一個函數(shù)

對應關系

三要素定義域工的取值范圍

值域與x對應的y的值的集合伏x)|xGA}

2.同一個函數(shù)

(1)前提條件：①定義域相同;②對應關系相同.

(2)結論：這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來

表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域

的并集.

［常用結論］

1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=/(x)的圖象至多有1個交點.

2.注意以下幾種特殊函數(shù)的定義域：

(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實數(shù)集合.

(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負的實數(shù)集合.

(3)次x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合.

(4)若人x)=x°,則定義域為{x|xWO}.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內打“?”或“X”)

(1)函數(shù)y=l與y=x0是同一函數(shù).()

(2)對于函數(shù)/：A-3,其值域是集合日()

(3)^A=R,B={x|x>0},/：x-y=|x|,其對應是從A到3的函數(shù).()

(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域分別相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)錯誤.函數(shù)y=l的定義域為R,而y=x°的定義域為{x|xWO},其定義域

不同，故不是同一函數(shù).

(2)錯誤.值域可以為3的子集.

(3)錯誤.集合A中的元素0在集合3中無元素與之對應.

(4)錯誤.只有兩個函數(shù)的定義域，對應關系分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函

數(shù).

2.(必修一P66例3改編)下列函數(shù)中與函數(shù)是同一個函數(shù)的是()

A.y=(能yB.u=y/^

C.y=y/^D.m=~

答案B

ln2

解析函數(shù)y=(5)2與函數(shù)冽=?和V=x的定義域不同，則不是同一個函數(shù)，函

數(shù)y=4『=|x|與y=x的解析式不同，也不是同一個函數(shù)，故選B.

3.(必修一P65例2改編涵數(shù)段尸2x+3+士的定義域為.

JiI乙

答案［—3,—2)U(—2,1］

f—x2—2x+320,

解析由彳得一3WxV—2或一2V%W1.

1%+2W0,

4,已知函數(shù)氏x)=：'［八則等于________.

llog3X,X>0,VW7

答案2

解析vy^|^=iog3|<0,

???狀))=3喝總

考點突破?題型剖析

考點一函數(shù)的概念

例1(1)(多選)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的為()

22

A:/(x)=x—2x~19g(s)=s—2s—l

——1

B.J(x)=x—l,ga)=R7

x,%20,

C.J(x)=yp,g(x)=,

「％,x<0

D.J(x)=正看,g(x)=x\l。

答案AC

解析同一函數(shù)需滿足：①定義域相同；②對應關系相同，只有A、C滿足.

(2)已知集合2={咪)?無W4},Q={M0WyW2},下列從P到。的各對應關系了不

是函數(shù)的是.(填序號)

112

①于:無；②于:%一丁=獰③于:x一丁=產(chǎn)?f-Ly=疝.

答案③

2

解析③中，/：x^y=^x,xG［O,4］時，

rg

()'J%,故不滿足函數(shù)的定義.

感悟提升1.函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個元素在非空數(shù)集3中有且

只有一個元素與之對應，即可以“多對一”，不能“一對多”，而3中有可能存

在與A中元素不對應的元素.

2.構成函數(shù)的三要素中，定義域和對應關系相同，則值域一定相同.

訓練1（1）（多選）下列各圖中，能表示函數(shù)的圖象的是（）

答案ACD

解析選項B中圖象，對于xWO的一個x值，有兩個y值與之對應，故不是函數(shù)

圖象；

選項A,C,D中圖象，均滿足函數(shù)定義，故是函數(shù)圖象.

（2）（多選）下列對應關系是集合A到集合3的函數(shù)的為（）

A.A=R,B={y|y>0},f：

B.A=Z,B=Z,f：x^y=x2

C.A=Z,B=Z,f：x^y=\[x

D.A={-1,1},B={0},/：xfy=0

答案BD

解析對于A,A中有元素0,在對應關系下y=0,不在集合3中，不是函數(shù)；

對于B,符合函數(shù)的定義，是從A到5的函數(shù)；

對于C,A中元素x<0時，3中沒有元素與之對應，不是函數(shù)；

對于D,A中任意元素，在對應關系下y=0,在集合3中，是從A到3的函數(shù).

故選BD.

考點二函數(shù)的定義域

例2（1）（2023?煙臺調考）函數(shù)的定義域為（）

A.[-2,2]B.(-L2]

c.(-l,0)u(0,2]D.(-l,1)U(1,2]

答案c

f4—尤W2,____.

解析由已知可得h+l>0，即｛x>一1,因此，函數(shù)丫4］：的

'In(x十1)

lln(x+1)WO,〔xWO,

定義域為(一1,0)U(0,2］.故選C.

(2)若函數(shù)五x)的定義域為［0,2］,則函數(shù)五x—1)的定義域為.

答案［1，3］

解析的定義域為［0,2］,

.?.OWx—1W2,即1WXW3,

???函數(shù)汽x—1)的定義域為［1,3］.

遷移將本例(2)改成“若函數(shù)/U+1)的定義域為［0,2］”，則函數(shù)五%一1)的定義

域為.

答案⑵4］

解析的定義域為［0,2］,

，0WxW2,：.l^x+1^3,

.K—1W3,.*.2WxW4,

.\A九一1)的定義域為［2,4］.

感悟提升1.求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式中所含式

子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應

使實際問題有意義.

2.求抽象函數(shù)定義域的方法

⑴若已知函數(shù)兀0的定義域為［a,b］,則復合函數(shù)月g(x)］的定義域可由不等式

aWg(x)W6求出.

⑵若已知函數(shù)咒g(x)］的定義域為［a,b］,則Xx)的定義域為g(x)在加上的值

域.

訓練2(1)函數(shù)八x)=d=的定義域是()

A.[l,2]B.[2,+°0)

C.[l,2)D.(l,2]

答案C

解析根據(jù)函數(shù)人x)的解析式，

C(%+2)(2—x)>0,

有卜>。，解得

llnx^O,

所以函數(shù)人處的定義域為[1,2).

(2)已知函數(shù)人x)的定義域是[—1,1],則函數(shù)g(x)=：(二丁的定義域為

111\1Ji/

答案(0，1)

解析由題意可知函數(shù)人X)的定義域為[—1,1],即一IWXWI,

令一lW2x—1W1,解得0W尤W1.

又由g(x)滿足1—x>0且1—xWl,

解得x<l且x#0,

所以函數(shù)g(x)的定義域為(0,1).

考點三求函數(shù)的解析式

例3(1)(2023?哈爾濱模擬)已知上+l)=lgx,則危)的解析式為..

2

答案y(x)=ig—7(^>i)

22

解析令;=則％=二7，

xI1

2

所以五。=lg

2

所以火

x)=lgJ-i-jL-(x>l).

(2)已知丁=火幻是二次函數(shù)，若方程式%)=0有兩個相等實根，且/(%)=2%+2,則

八%)=-

答案/+2元+1

解析設段)=a^+bx+c(aW0),

則f(x)=2cuc-\-b,2ax-\-b=2x+2,

則〃=1,b=2,=x*2+2x+c,

又火x)=0有兩個相等實根，

即N+2x+c=0有兩個相等實根，

.*.J=4—4c=0,則c=l.

故人X)=X2+2X+1.

(3)已知函數(shù)Hx)對任意的x都有段)一"；-x)=2x,則?v)=.

2

答案

解析V?-2/(-x)=2x,①

:.代—%)一2/(%)=-2x,②

2

由①+②義2得

感悟提升函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法：由已知條件y(g(x))=R(x),可將R(X)改寫成關于g(x)的表達式，然后

以X替代g(x)，便得五X)的表達式.

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.

(3)換元法：已知復合函數(shù)五g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值

范圍.

(4)方程思想：已知關于五x)與娟或八一x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出

另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出五X).

訓練3(1)已知五G+D=x—25，則火工)=.

答案x2—4x+3(x》l)

解析令/=5+1,則/三1,x=(?—I)2,

代入原式有=—I)2—2(/—1)=戶一4/+3(/>1),

所以y(x)=x2—4x+3(x^1).

(2)已知五x)是一次函數(shù)，且肌2)—3火1)=5,肌0)一五-1)=1,則人助的解析式為

答案/x)=3x—2

解析..TCx)是一次函數(shù)，

...設兀0=履+。，左W0,

則人2)=2左+5,fil)=k+b,凡0)=6fi-l)=—k+b.

[if(2)-y(i)=5,

12f⑹一/(T)=1,

一(4左+2。)-(3左+3。)=5,

?<

'{2b-Q—k+b)=1,

解得左=3,b=~2,：.J[x)=3x-2.

(3)已知人x)滿足;(x)—43=2X，則/(X)=_______-

至安—空

口木33%

解析V?-2/[j^=2x,①

以:代替①中的x,得/口一②

JL\A/A

4

①+②X2得一3八光)=2%+1

?“、2x4

?&)=1-春

考點四分段函數(shù)

角度1分段函數(shù)求值

flog2(6—x),x<L

例4⑴(2022?梅州二模)設函數(shù)段尸L?則八一2)+/(log26)=

、2'，%/1

()

A.2B.6

C.8D.10

答案B

解析根據(jù)題意得五-2)=log28=3,/Clog26)=2W-1=3,

所以五一2)+五log26)=6.故選B.

'2%+],1v],

⑵(2023?山東省部分學校聯(lián)考)已知函數(shù)外)={,,：、'、，則型)=()

j(.X3),x1,

A.2B.9

C.65D.513

答案A

解析人9)=汽9—3)=汽6)=火3)=/(0)=20+1=2.故選A.

角度2分段函數(shù)與方程、不等式

例5（1）（2023?唐山一模）設函數(shù)外）=（'一：’若地）=0，則。=________.

Jgx,x>0.

答案1

解析當aWO時，/+i》iwo（舍去）；

當a>0時，lga=O,a=l,故實數(shù)a的值為1.

x+1,尤WO,（i\

（2）設函數(shù)y（x）=Qn則滿足於）+小一#1的X的取值范圍是.

答案（一去+8）

解析由題意得，當x弓時，2，+2x—3>1恒成立，即X或滿足題意；

當04只時，2葉卜一0+1>1恒成立，即0<%只滿足題意；

當xWO時，x~\~1+^x—1）+l=2x+,>l,

x>—4,即一^<x^0.

綜上，X的取值范圍是（一（，+8）.

感悟提升1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，

其次選定相應的解析式代入求解.

2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式

分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值

范圍.

提醒當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論.

訓練4（1）（2023?湖南師大附中段考）已知函數(shù)五x）=（3）'則汽log212）

If（x—1）,x>2,

=（）

A.§B.—6

C.oTD.—3

答案A

解析因為log23G(1,2),則log212=2+log23G(3,4),

「N°g2311

所以川Og212)=H2+log23)=/Uog23)=團=2-log23=2log2-=_,故選A.

%v]

⑵已知函數(shù).(x+2)：則不等式於+i)<i的解集為()

A.(l,7)B.(0,7)

C.(l,8)D.(—8,7)

答案B

解析當x+lWl,即xWO時,e2^+1)<l,

即eir<l,1—x<0,

又?."WO,無解.

當x+l>l,即x>0時，lg(x+l+2)<l,

.*.lg(x+3)<l,.*.0<x+3<10,

.*.-3<x<7,

又.\0<x<7,故選B.

廠函數(shù)的值域微點突破

求函數(shù)值域的一般方法

(1)分離常數(shù)法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)單調性法；(6)換元法;

(7)數(shù)形結合法；(8)導數(shù)法.

例求下列函數(shù)的值域：

2x+1

(l)y=x2-2x+3,xG[0,3)；(2)y=

x-3'

(3)y=2%-^/^1；(4)y=^/]i+T+^Z7l.

解(1)(配方法)y=%2—2x+3=(x—1>+2,

由x?[0,3),再結合函數(shù)的圖象(如圖①所示),

可得函數(shù)的值域為[2,6).

（2）（分離常數(shù)法）

2x+12(x—3)+77

丁x~3x~32x~39

,7

顯然.??yW2.

故函數(shù)的值域為（一8,2）U（2,+°°）.

（3）（換元法）設1,則冗=戶+1,且/NO,

2

.“=2（?+1）—f=2（f—0+y-,

由/NO,再結合函數(shù)的圖象（如圖②所示），可得函數(shù)的值域為［/，+8

（4）（單調性法）函數(shù)的定義域為［1,+8）,

：丫=小+1與尸山一1在［1,+8）上均為增函數(shù)，

?'.尸山+1+也一1在［1,+8）上為單調遞增函數(shù)，

?*.當X=1時，ymin=g,

即函數(shù)的值域為［啦，+8）.

2x—3

訓練（1）函數(shù)丁=廠二的值域是

乙4ID

答案(一8,1)U(1,+°0)

短才片2L32x+3—6_6

斛析L2x+3—2x+3T—2x+3'

V2x+3#0,：A~2X+3^1,

.,.原函數(shù)的值域為(-8,1)U(1,+°°).

⑵(2023?長春檢測涵數(shù)y=1+x—。1—2x的值域為.

答案"|_

____]_金

解析設q1—2x=t,則X——2—，

1—11

所以y=1+三—一，=/(一產(chǎn)一2，+3)=—2(^+1)2+2,

3

因為￡>0,所以)<亍

所以函數(shù)y=l+x—2x的值域為(一8,|.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎鞏固】

1.(2022.揭陽期末)下列函數(shù)火X),g(x)表示相同函數(shù)的是()

x

A.f(x)=3,g(x)=log3xB./X)=|A|,g(x)=yp

r2

C.j(x)=x,g(x)=—D.y(x)=21gx,g(x)=lg(2x)

答案B

解析對于A,汽x),g(x)一個為指數(shù)函數(shù)、一個為對數(shù)函數(shù)，對應法則不同，因

此不是相同函數(shù)；

對于B,g(x)=[?=m=/(x),是相同函數(shù)；

對于C,函數(shù)xx)的定義域為R,函數(shù)g(x)的定義域為{x|xW0},因此不是相同函

數(shù)；

對于D,g(x)=lg(2x)=lg2+lgx與函數(shù)?t)=21gx對應法則不同，因此不是相同

函數(shù).

2.(2023?重慶模擬涵數(shù)段)=正一的定義域是(

A.(0,3)B.(0,1)U(1,3)

C.(0,3]D.(0,1)U(1,3]

答案D

.___f3—

解析,?&)=*J,..J1gXWO,

lx>0,

解得0<x<1或

故函數(shù)的定義域為(0,1)U(1,3].

3.若函數(shù)y=/(x)的定義域為〃={x|—2WXW2},值域為N={M0WyW2},則函數(shù)

y=/(x)的圖象可能是()

答案B

解析A中函數(shù)定義域不是[—2,2]；

C中圖象不表示函數(shù)；

D中函數(shù)值域不是[0,2],只有B可能.

4.(多選)(2023?長沙調考)下列說法中正確的是()

A.式子1+、-x—1可表示自變量為X、因變量為y的函數(shù)

B.函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點最多有1個

C.若人x)=|x—1|一國，則41))=1

D./(x)=x2—2%與g(/)=p—2/是同一函數(shù)

答案BCD

,------,---------fx-1?0,、_、

解析對于A,y=y]x—l+y[—x—l,有，解集為。，不能表示自變量

〔一X—13。，

為X,因變量為y的函數(shù)，故A錯誤；

對于B,當函數(shù)y=/(x)在x=l處無定義時，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l無交

點，當函數(shù)y=/(x)在x=l處有定義時，函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l只有1個

交點，所以函數(shù)y=/(x)的圖象與直線x=l的交點最多有1個，故B正確;

對于C,因為人x)=|x—1|一|x|,則，m=0,故?3))=/(0)=1,故C正確；

對于D,函數(shù)式X)=Y—2x與g(/)=F—2/的定義域均為R,且對應關系相同，故

汽x)=?—2x與g(t)=F—2/是同一函數(shù)，故D正確.故選BCD.

5.如圖，點尸在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CD的中點，當P沿A—B

—C—M運動時，設點P經(jīng)過的路程為x,ZVIPM的面積為y,則函數(shù)y=/(x)的

圖象大致是()

答案A

ri

2^9OW%<1,

3x

解析由題意可得y=/(x)=1a—不lWx<2,

51015

、「斗2、龍可

畫出函數(shù)?x)的大致圖象，故選A.

g+ln2

6.已知函數(shù)外)=」'’則用024)=(

jCx3)，x〉O,

-2

A.eB.2e

229

C.—eD.2e

答案A

解析由3)得火x+3)=/(x),

2

因而人2024)=/(3X674+2)=/2)=fi2-3)=/(-l)=e-1+ln2=-.

7.(2023?揚州調研)已知g(x)=/(2x—1)+1,且g(x)的定義域為(1,4],值域為[3,

+8),設函數(shù)兀0的定義域為A,值域為8,則AnB=()

A.0B.[4,7]

「c51

C.[2,7]D.[2,2

答案C

解析因為g(x)=/(2x—1)+1,且g(x)的定義域為(1,4],值域為[3,+00),

所以1)的定義域為(1,4],值域為[2,+8).

由l〈xW4得lV2x—1W7,

所以_/(x)的定義域為(1,7],值域為[2,+8),

則A=(l,7],B=[2,+8),

所以An3=[2,7].故選C.

8.(2022.北京卷)函數(shù)+聲*的定義域是.

?X

答案(—8,0)U(0,1]

解析要使函數(shù)兀X)有意義，則xWO且1—x>0,解得xG(—8,0)U(0,1].

9.(2022?泰州二調)設函數(shù)五x)=《2:一’

xI2xI4,JCW09

若用3))=4,則a=.

答案In2

解析由4(a))=4得火a)=0或/(a)=—2,而汽。)=0無解，所以a=ln2.

log”，x>l,

10.已知函數(shù)人x)=2,則火X)勺口+1)的解集為________.

19X1,

答案T，+8)

解析當xWO時，x+lWl,?x)勺(無+1)=N—1<(尤+1)2—1,

解得一；<xW0；

當0<xWl時，x+l>l,

此時兀0=/一IWO,X^+l)=log2(x+l)>0,

0<xC1時，恒有力X)勺(%+l)；

當%>1時，火工)勺(%+l)O10g2X<k)g2(x+l)恒成立，

綜上可知，不等式於)勺口+1)的解集為(一;，+°°J

f3x+5,%WO,

n.已知函數(shù)於)的解析式為/(x)=，x+5,O<X<1,

〔一2%+8,x>l.

⑴求娘，碼4—1)的值;

⑵畫出這個函數(shù)的圖象；

(3)求兀0的最大值.

解⑴.?.《1)=—2x|+8=5.

1P+5=吐

Jlj兀71

V-l<0,?,.^-1)=-3+5=2.

(2)這個函數(shù)的圖象如圖.

在函數(shù)五x)=3x+5的圖象上截取xWO的部分,

在函數(shù)五x)=x+5的圖象上截取OVxWl的部分，

在函數(shù)汽x)=-2x+8的圖象上截取x>l的部分.

圖中實線組成的圖形就是函數(shù)人x)的圖象.

(3)由函數(shù)圖象可知，當x=l時，?￥)取最大值6.

12.(1)已知八%+1)=2寸一1+3,求人x).

(2)已知用(x))=4x+9,且五x)為一次函數(shù)，求火。

(3)已知函數(shù)人x)滿足次x)+《3=心求1工).

解(1)令/=x+l,則無一一1,

.,.火/)=2?—I)2—(?—1)+3=2尸一4/+2—/+1+3=2產(chǎn)―5f+6.

.,.^X)=2X2-5X+6.

(2)?.7(x)為一次函數(shù)，

設/x)=kx+b(k^0),

???用配))=fi.kx+b)=k(kx+b)-\-b=^x+kb+b=4x-\-9,

F=4,[k=2,\k=-2,

〈/?]或V

kb+b=9,〔6=3-〔6=—9,

???火工)=2%+3或火工)=—2x—9.

◎)..?次x)+d|)=x,①

?.?*)+於)W?②

21

由①義2一②，得人x)=1x—￡

【B級能力提升】

13.（2023?安徽十校聯(lián)考）已知定義域為R的函數(shù)人x）滿足火工+1）=3?,且當xG（0,

1]時，?=4x（x-l）,則當xG[—2,—1）時，五x）的最小值是（）

1

A.J