函數(shù)的奇偶性與周期性-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含解析）

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)23-函數(shù)的奇偶性與周期性-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()

A.y=2xB.y=\/x

C.y=\x\D.j^=—x2+l

Y--2

2.設(shè)函數(shù)加)=——，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

x+2

A.八x—2)—1B.寅x—2)+1

C.>+2)-1D.>+2)+1

3.已知函數(shù)人x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且周期為4,八一1)=—2,則道2025)

=()

A.2B.0

C.-2D.-4

4.已知函數(shù)於)=sinx+x3+J_+3,若人口)=一1,則五一口)=()

x

A.3B.5

C.6D.7

5.已知偶函數(shù)“X)對(duì)于任意x?R都有人x+l)=—/(x),且<x)在區(qū)間［0,1］上

是單調(diào)遞增的，則」(—6.5),八一1),義0)的大小關(guān)系是()

A.?<A-6.5)<A-1)

B.X-6.5)<A0)<A-l)

c.X-I)<A-6.5)<AO)

D.X-i)<A0)<A-6.5)

6.若函數(shù)y(x)=sinx,ln(優(yōu)的圖象關(guān)于.v軸對(duì)稱(chēng)，則根=()

A.2B.4

C.±2D.±4

7.已知函數(shù)段)=陰+7，(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，且義3a—2)況a—1),則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

-，+0°

\2

\2/\4/

D.［o,|）U（|,+8）

8.已知人工）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的x￡R都有加+2）=一"）,

當(dāng)工￡［0,2］時(shí)，於）=12+狽+6,則Q+6等于（）

A.0B.—1

C.-2D.2

二、多選題

9.已知y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.尸刎）B.y=J{-x）

C.y=xj［x）D.y=fix）-\-x

10.已知定義在區(qū)間［—7,7］上的一個(gè)偶函數(shù)，它在［0,7］上的圖象如圖，則下

列說(shuō)法正確的有（）

A.這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間

B.這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間

C.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最大值7

D.這個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)有最小值一7

11.已知函數(shù)人x）是定義在R上的奇函數(shù)，於+2）=—大乃，則下列說(shuō)法正確的

是（）

A.八x）的最小正周期為4

B.八x）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)

C.?。┑膱D象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)

D.八x）在（一5,5）內(nèi)至少有5個(gè)零點(diǎn)

12.已知人乃是定義在R上的奇函數(shù)，八2—x）=/（x）,當(dāng)x?［O,l］時(shí)，寅x）=R,

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.寅2021）=0

B.2是?。┑囊粋€(gè)周期

C.當(dāng)x￡（l,3）時(shí)，｛x）=（l—x）3

D.?>0的解集為（4左4左+2）（左?Z）

三、填空題

13.已知函數(shù)義x）=2》一2-xlg。是奇函數(shù)，則。的值等于.

14.已知奇函數(shù)人x）在區(qū)間［3,6］上是增函數(shù)，且在區(qū)間［3,6］上的最大值為8,

最小值為一1,則近6）十八一3）的值為.

15.設(shè)道x）是周期為3的函數(shù)，當(dāng)1WXW3時(shí)，/）=2x+3,則48）=1.一

2WxW0時(shí)，寅x）=.

16.已知函數(shù)人x）,對(duì)Vx@R滿足八1—x）=/（l+x）,寅x+2）=一義乃，且人0）=

1,則126）=.

17.已知定義在R上的奇函數(shù)了=1）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，且，;）=

0,則加）>0的解集為.

【B級(jí)能力提升】

1.設(shè)真x）是R上的偶函數(shù)，且在（0,+8）上是減函數(shù)，若不<0且修+》2>0,

則（）

A.八一修）比一X2）

B.X-xi）=X-x2）

C.八一X1）勺（一》2）

D.八一X1）與八一X2）的大小不能確定

2.（多選題）函數(shù)加0的定義域?yàn)镽,且道x）是奇函數(shù)，寅x+1）是偶函數(shù)，則（）

A.火0)=1

B.八x)是周期函數(shù)

C.加+3)為奇函數(shù)

D.寅x+5)為偶函數(shù)

3.若定義在R上的奇函數(shù)人x)在(一8,0)單調(diào)遞減，且寅2)=0,則滿足求x

—1)20的x的取值范圍是()

A.[-1,1]U[3,+8)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[-l,0]U[l,+8)D.[-1,0]U[1,3]

4.已知函數(shù)人x)的定義域?yàn)镽,且加+y)+/(x—了)=/旭),寅1)=1,則依)=

()

A.l3B.—2

C.0D.1

5.已知函數(shù)/(》)=/32，*一2-工)是偶函數(shù)，則。=.

6.函數(shù)人X)=?t2是定義在(-8,+8)上的奇函數(shù)，且/6j=-.

(1)求實(shí)數(shù)a,b,并確定函數(shù)小)的解析式；

(2)用定義證明>)14(-1,1)上是增函數(shù).

7.已知函數(shù)段)是定義在R上的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng).

(1)求證：作)是周期為4的周期函數(shù)；

(2)若寅x)='&(0<xWl),求當(dāng)x@[—5,—4]時(shí)，函數(shù)五x)的解析式.

參考答案

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

一、單選題

1.［解析］A選項(xiàng)，根據(jù)了=2工的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知A錯(cuò)誤；B

選項(xiàng)，由的定義域?yàn)椋?,+8),知該函數(shù)非奇非偶，可知B錯(cuò)誤C選項(xiàng)，

當(dāng)X?(0,一陽(yáng))時(shí)，y=|x|=x為增函數(shù)，不符合題意，可知C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)；由一

(-x)2+l=-x2+l,可知該函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在(0,+8)

上單調(diào)遞減，可知D正確.故選D.

4

2.［解析］化簡(jiǎn)函數(shù)段)=1——,分別寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的解析式，利用

x+2

44

奇函數(shù)的定義判斷.由題意得，.^A,加-2)—1=—：是奇函數(shù)；

x+2x

4

對(duì)B,八x—2)+1=2—一，關(guān)于(0,2)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；對(duì)C,加+2)—1=—

x

4

---,定義域?yàn)?一8,—4)U(—4,+°°),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不是奇函數(shù)；對(duì)

x+4

4

D,加+2)+1=2—........，定義域?yàn)?一8,—4)U(—4,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

x+4

不是奇函數(shù).故選A.

3.［解析］依題意，函數(shù)八%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)八%)是奇函數(shù)，

又於)的周期為4,且八—1)=—2,則五2025)=/(l+506X4)=/(l)=一大-1)=2.

4［解析］函數(shù)?v)=sinx+x3+-+3黃—x)+/(x)=sin(—x)+(—x)3—3+sin

xx

33

x+x+—+3=-sinx-x—1+5111%+爐+1+6=6,若1/(4)=-1,則_/(-a)=6

XXX

=6—(-1)=7.故選D.

5.［解析］由五x+l)=-?,得義x+2)=—/(x+l)=Ax),.?.函數(shù)八%)的周

期是2二.函數(shù)八%)為偶函數(shù)，...八一6.5)=八一0.5)=寅0.5),八-1)=寅1).???加)在區(qū)

間［0,1］上是單調(diào)遞增的，.MO)勺(0.5)勺⑴,即火0)勺(一6.5)勺(T).

6.［解析］因?yàn)槿薠)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱(chēng)，所以義X)為偶函數(shù)，又了=5m工為

奇函數(shù)所以y=ln(mx+，1+4x2)為奇函數(shù)即ln［—mx+-\/1+4-(—x)2］=—ln(mx+

■\/l+4x2),解得機(jī)=±2.故選C.

7.［解析］顯然寅x)為偶函數(shù)且在［0,+8)上單調(diào)遞增，.?m3a—2)次a—

31

l)Q|3〃一2］>|a—1］=(3Q—2)2>(Q—1)204>—或a<-,故選C.

42

8.［解析］因?yàn)椋鹸)是定義在R上的奇函數(shù)，且x￡［0,2］時(shí)，火x)=N+〃x+

b,所以火0)=b=0,火一x)=-#x),又對(duì)任意的x￡R都有｛x+2)=-#x),所以

>+2)=/(-x),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，所以一？=1,解得。=—2,

2

所以a~\~b=-2.

二、多選題

9.［解析］由奇函數(shù)的定義八一%)=一/)驗(yàn)證，A項(xiàng)，加一刈=川刈，為偶

函數(shù)B項(xiàng)，力一(一x)］=/(x)=—/(—%),為奇函數(shù)C項(xiàng)，一研一x)=l/(x)］=

x/(x),為偶函數(shù)；D項(xiàng)，八一x)+(—》)=—［/(x)+x］,為奇函數(shù).可知B、D正

確.

10.［解析］根據(jù)偶函數(shù)在［0,7］上的圖象及其對(duì)稱(chēng)性，作出其在［—7,7］上的圖

象，如圖所示.由圖象可知這個(gè)函數(shù)有三個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，有三個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間,

在其定義域內(nèi)有最大值7,最小值不是一7,故選BC.

11.［解析］因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且加+2)=—xx),所以加+4)=

->+2)=?,即於+4)=/)，所以八%)的周期為4,但八%)的最小正周期不一

定為4,如/)=5由(萬(wàn)才卜滿足加)為奇函數(shù)，且?t+2)=sinw(x+2)=sin

x+371^=—sinxJ=—#x),而/(x)=sin(萬(wàn)XJ的最小正周期為故A錯(cuò)

誤；因?yàn)榘藊)為奇函數(shù)，且道x+2)=—/)，所以於+2)=八一%),即八%)的圖象關(guān)

于直線x=l對(duì)稱(chēng)，故B正確由於+4)=/(%),及?v)為奇函數(shù)可知兀x+4)十八一%)

=0,即八%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，故C正確；因?yàn)榘?)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以八0)=0,又/+2)=一大乃，寅x+4)=/(x),所以人2)=一義0)=0,寅4)=寅0)=

0,故人一2)=一42)=0,八一4)=一八4)=0,所以在(一5,5)內(nèi)義x)至少有一4,一

2,0,2,4這5個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選BCD.

12.［解析］..7(x)是定義在R上的奇函數(shù),

.?貝2—x)=Ax)=—A—X),

..m2+乃=—/),

/./(4+x)=一寅2+x)=/(x),

.?抽%)的最小正周期是4,故B錯(cuò)誤；

42021)=/Q)=1,故A錯(cuò)誤；

;.當(dāng)x?［0,l］時(shí)，?=x3,小)是定義在R上的奇函數(shù),

.?.當(dāng)XG［—1,1］時(shí)，?=x3,

當(dāng)X?(1,3)時(shí)，2-%e(-l,l),

?=X2—x)=(2-x)3,故C錯(cuò)誤；

易知當(dāng)x?(0,2)時(shí)，?>0,

?.?〃)的最小正周期是4,

:.?>0的解集為(4左4左+2)(左￡Z),故D正確.

三、填空題

13.［解析］由題設(shè)條件可知，可由函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程寅x)+y(—%)=

0,由此方程求出。的值.函數(shù)兀0=28—2-Mga是奇函數(shù)，...八%)+/(—x)=0,，2x

—2rlg4+2一工一2*坨a=0,KP2x+2-x—(2%+2-x)lga=0,1ga=1,.,.a=10.

14.［解析］由于人x)在［3,6］上為增函數(shù)，所以八%)的最大值為寅6)=8,八%)的

最小值為寅3)=—1,因?yàn)榘?)為奇函數(shù)，所以八一3)=一八3)=1,所以寅6)+八一3)

=8+1=9.

15.［解析］因?yàn)槎?是周期為3的函數(shù)，所以寅8)=寅2)=2乂2+3=7.當(dāng)一

2WxW0時(shí)，寅x)=/(x+3)=2(x+3)+3=2x+9.

16.［解析］V>+2)=-?,

.??加0的周期為4,

???m6)=義2).

?.?對(duì)VxeR有五1-x)=/(1+x),

.\Ax)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)，

???八2)=義0)=1,即寅26)=1.

17.［解析］由已知可構(gòu)造y=/(x)的示意圖象,

所以加)>0的解集為

【B級(jí)能力提升】

1.［解析］因?yàn)樾?lt;0且修+》2>0，所以X2>—Xl>0，又因?yàn)樾?在(0,+°°)

上是減函數(shù)，且小)是R上的偶函數(shù)，所以八一切)=/(必)勺(一X1).

2.［解析］因?yàn)槿藊+1)是偶函數(shù)，所以函數(shù)義%)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱(chēng)，即

X-x)=X2+x),又函數(shù)義x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以義一x)=一/(X),?=

0,于是人2+》)=—/(x),即有力4+x)=—/(x+2)=/(x),所以函數(shù)兀t)的一個(gè)周期

為4,故A錯(cuò)誤，B正確設(shè)g(x)=y(x+3),則g(—x)=X—x+3)=X—1+x)=f(x+

3),即g(x)=g(—x),所以兀r+3)為偶函數(shù),C錯(cuò)誤設(shè)〃(x)=/(x+5),則〃(一x)=

x+5)=y(x-3)=_/(x+5),即h(x)=h(-x),所以義x+5)為偶函數(shù)，D正確，故選

BD.

3.［解析］因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)人x)在(一8,0)上單調(diào)遞減，且義2)=

0,

所以人x)在(0,+8)上也單調(diào)遞減，且八—2)=0,道0)=0,

所以當(dāng)x?(—8,-2)U(0,2)Hf,?>0,

當(dāng)x?(—2,0)U(2,+8)時(shí)，｛x)<0,

所以由x/(x—1)>0可得Error!

或Error!或x=0.

解得一IWXWO或1WXW3,

所以滿足求x—1)>0的x的取值范圍是［―故選D.

4.［解析］因?yàn)榘?)=1,所以在寅x+y)+/一中，令了=1,得道x+

l)+>-l)=?Al),所以大x+l)+大x—l)=Ax)①，所以人x+2)+Ax)=/a+l)②.

由①②相加，得道x+2)+/(x—1)=0,故人x+3)+道x)=0,所以道x+3)=—/(%),

所以寅x+6)=—/(x+3)=/(x),所以函數(shù)的一個(gè)周期為6.在寅x+y)+/(x—了)=

中，令X=l,y=0,得八x)+y(x)=Ax)/(0),所以寅0)=2.令x=l,y=l,

得人2)+寅0)=義1區(qū)1),所以人2)=—1.由五x+3)=―/(x),得人3)=一八0)=—2,五4)

=—Al)=—1,義5)=一寅2)=1,寅6)=一/(3)=2,所以人1)+人2)+…十46)=1—1

—2—1+1+2=0,根據(jù)函數(shù)的周期性知，伏)=寅1)+道2)+人3)+八4)=1—1—2—1=

—3,故選A.

5.［解析］解法一(定義法)：因?yàn)榘?)=好僅2—2，)的定義域?yàn)镽,且是偶

函數(shù)，所以八—x)=/(x)對(duì)任意的x?R恒成立，所以(一x)3(tr2r—2》)=x3(/2工一2

-X)對(duì)任意的x@R恒成立，所以》3(4一1)(2工+2-工)=0對(duì)任意的xGR恒成立，所

以a=\.

解法二(取特殊值檢驗(yàn)法)：因?yàn)橐鷛)=x3@2x—2-x)的定義域?yàn)镽,且是偶函

數(shù)，

所以八—1)=AD，所以一停一2)=2a—；,

解得。=1,經(jīng)檢驗(yàn)，加)=》3(28一2-x)為偶函數(shù)，

所以。=1.

解法三(轉(zhuǎn)化法)：由題意知道X)=X3(G2X—2=)的定義域?yàn)镽,且是偶函數(shù).