2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題二十三大題型專練（范圍：第一、二、三章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題二十三大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1向量共線、共面的判定及應(yīng)用1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e22．（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知點(diǎn)B(1，0，0)，C′(1，1，1)，D′(0，3．（24-25高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期中）如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，H為棱PC上的點(diǎn)，且PHPC=13，點(diǎn)G在AH上，且AGAH=m，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)4．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）在四面體OABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+16OB+λOC，若MA題型2題型2空間向量的數(shù)量積問題5．（23-24高二上·廣東佛山·期中）已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則BN.6．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1=37．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期末）如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若異面直線A18．（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD,PA=AB=2,EF是球O的一條直徑，點(diǎn)Q為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則QE?QF的取值范圍為題型3題型3空間向量基本定理及其應(yīng)用9．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1,BB110．（23-24高二上·上海·課后作業(yè)）已知ABCD?A′B′C′D′是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′11．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，O是平面ABC外的一點(diǎn)，滿足OD=1xOA+1y12．（23-24高一下·吉林通化·期末）如圖，在正四面體ABCD中，AB=3,E,F分別在棱AD,BC上，且BF=2CF,AD=3AE，若EF=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=

題型4題型4空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示13．（24-25高二上·天津北辰·期中）設(shè)x,y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(3,?6,3)且a⊥c，b14．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知向量a=(?1,2,3),b=(1,?2,1),．15．（2024·西藏拉薩·一模）已知x,y∈R，空間向量a=2,1,x,b=4,y,?1．若16．（23-24高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,?4,2，且a⊥c題型5題型5利用空間向量研究點(diǎn)、線、面的距離問題17．（24-25高二上·上海松江·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則直線AC到平面PEF的距離為18．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知異面直線A1C與B1C1，A1C與C1D19．（23-24高二上·上海虹口·階段練習(xí)）已知ABCD?A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面20．（24-25高二上·北京·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1題型6題型6利用空間向量求空間角21．（24-25高二上·重慶·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是正三角形，E是PC的中點(diǎn)，則異面直線DE與PB所成角的余弦值是．22．（24-25高二上·云南·期中）如圖，在四棱臺(tái)體ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，AB=2AA1=223．（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，AA1,BB1,CC1,DD124．（2024高三·北京·專題練習(xí)）如圖所示，P，O分別是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1上，下底面的中心，E是

①OC⊥PB；②A1③異面直線A1E與PA所成角的余弦值為④平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為13題型7題型7立體幾何中的探索性問題25．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以下正確的是

①C1②存在點(diǎn)P，使得D1P//面③AP+PD1的最小值為④存在點(diǎn)P，使得C1P與面A126．（24-25高二上·北京大興·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，①存在F，使得BF⊥DE；②存在F，使得B1F//平面③當(dāng)F為線段CC1中點(diǎn)時(shí)，三棱錐④當(dāng)F與C1重合時(shí)，直線EF與直線A其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．27．（2024·北京海淀·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，①D1②線段DQ的長(zhǎng)隨線段AP的長(zhǎng)增大而增大；③存在點(diǎn)P，使得AQ⊥BQ；④存在點(diǎn)P，使得PQ//平面D1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.28．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE∥SA，SA=AB=2DE=2，M，N分別是線段BC，SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說法正確的是.（1）存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥SB；（2）存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60°（3）三棱錐Q?AMN體積的最大值是23（4）當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線DC與平面QMN所成的角逐漸增大.題型8題型8直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1),B(3,?2)，若直線l:y=k(x?1)與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是．30．（24-25高二上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知A2,3，B?1,2，若點(diǎn)Px,y在線段AB上，則yx?1的取值范圍是31．（23-24高二上·四川內(nèi)江·期中）經(jīng)過點(diǎn)P0,?1作直線l，若直線l與連接A?2,1,B?1,?3?1兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則l的傾斜角32．（24-25高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(?1,1)和Q(2,2)，若直線l恒過(0,?1)，且與線段PQ有交點(diǎn)，則l的斜率k的取值范圍是．題型9題型9根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直線l1:ax+4y=2與直線l2:2x?5y+b=0垂直，點(diǎn)(1,c)為垂足，則a+b+c等于34．（24-25高二上·北京西城·期中）已知直線l1：m+2x+y+1=0，l2：5x+m?2y+1=0．若l1∥35．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1過點(diǎn)A?2,9,Bm,1，直線l2過點(diǎn)C0,m,D2,636．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線l1:a?4x?3y+1=0和l2:3x?b+1y+5=0垂直且題型10題型10與距離有關(guān)的最值問題37．（24-25高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+10=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)m,n到原點(diǎn)的距離的最小值為.38．（23-24高二上·湖北·期末）點(diǎn)M1,0到直線y=kx+2的距離最大值是39．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知兩條直線l1:λ+2x+1?λy+2λ?5=0，l2:40．（23-24高二上·浙江溫州·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：(x?a)2+(y?b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)Mx,y與點(diǎn)Na,b的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得題型11題型11點(diǎn)、線間的對(duì)稱問題41．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）光線由點(diǎn)P2,5射到直線x+y=?1上，反射后過點(diǎn)Q1,1，則反射光線所在直線的一般式方程為42．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1：3x?4y?4=0關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線為y軸，則.43．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，已知直線l:x+y?5=0與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A，B，從點(diǎn)P3,0射出的光線經(jīng)直線l反射后再射到y(tǒng)軸上，最后經(jīng)y軸反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是44．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）唐代詩人李頎的《古從軍行》中兩句詩為：“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),怎樣走才能使總路程最短?在平面角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為(?2,4),若將軍從(0,2)處出發(fā),河岸線所在直線方程為x?y+1=0.則“將軍飲馬”的最短總路程為.題型12題型12圓的切線長(zhǎng)及切線方程問題45．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)M2,1的直線l與圓C:x2+y2?2x?6y+5=046．（24-25高二上·陜西咸陽·期中）由直線x?y?2=0上的一點(diǎn)P向圓x+32+y2=1引切線，切點(diǎn)為Q，則PQ47．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）已知圓M:x2+y?22=1，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則48．（23-24高二上·河北·期中）過點(diǎn)M3,0作圓C：x2+y?12=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B題型13題型13直線與圓有關(guān)的最值（范圍）問題49．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l:3x?4y?15=0與圓O:x2+y2?2x?4y+1=0,P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線AP與圓O相切于點(diǎn)A，則線段50．（23-24高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知⊙O1:x2+y?22=1，⊙O2:x?32+51．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）過點(diǎn)A0,2的直線l交⊙O：x2+y2=9于Mx1,52．（23-24高二上·福建廈門·期末）已知圓O:x2+y2=1和圓O1:(x?2)2+y2=1，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O，圓O1的切線PA題型14題型14直線與圓有關(guān)的面積問題53．（24-25高二上·海南?？凇て谥校┮阎獔AM:x2+y2+2x?1=0，直線l:2x?y?3=0，點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，則四邊形54．（24-25高二上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）過點(diǎn)A?1,0作兩條互相垂直的直線，分別交圓O：x2+y2=49于E、G和F、H，則四邊形55．（2024·甘肅蘭州·三模）過點(diǎn)M?3,?3且互相垂直的兩直線與圓x2+y2+4y?21=0分別相交于A、B和C、D，若56．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)B,C是圓O:x2+y2=25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAC=90°，則題型15題型15求圓錐曲線的離心率或其取值范圍57．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F作直線l交橢圓于點(diǎn)A,B，過點(diǎn)F與直線l垂直的射線交橢圓于點(diǎn)P，58．（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓C:x2a2+y29=1，若直線l:4x?3y+25=0上存在點(diǎn)P59．（24-25高二上·天津南開·期中）如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，過F1作圓x2+y2=a2的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，60．（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2且斜率為2的直線與C的一條漸近線在第四象限相交于點(diǎn)題型16題型16橢圓的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問題61．（23-24高二上·山東聊城·期末）已知橢圓C:x212+y24=1的上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線與C交于另一點(diǎn)62．（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓C：x23+y2=1，Ax1,y1，B63．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓x216＋y236＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，過點(diǎn)P的一條弦恰好以P為中點(diǎn)，則這條弦所在的直線方程為64．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圓C:x2+y2?2x+4y+2=0內(nèi)有一點(diǎn)P(2,?1)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB恰被點(diǎn)P平分時(shí)，直線題型17題型17雙曲線的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問題65．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：2x2?y2=2，過點(diǎn)P1,2的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段66．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線x24?y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M(3,67．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）過雙曲線2x2?y2=8的右焦點(diǎn)68．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線l與雙曲線x24?y25=1交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為?12,?15題型18題型18拋物線的弦長(zhǎng)與焦點(diǎn)弦問題69．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）若A，B是拋物線y2=4x上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D4,0，則AB的最大值為70．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）過拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，若|AB|=12，則|MN|=71．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=54，則直線l的斜率為72．（2024·上海·三模）過拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)A,B，交E的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，AD⊥l，點(diǎn)D為垂足.若F是AC的中點(diǎn)，且AF=3，則AB題型19題型19圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題73．（2024高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B74．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知，頂點(diǎn)為O的拋物線C:x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，已知△POF的外接圓與C的準(zhǔn)線相切，且外接圓的面積為9π4，過點(diǎn)M1,?2作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則75．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓x2+(y?4)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N76．（2024高三·全國·專題練習(xí)）定義：若點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上，則以P為切點(diǎn)的切線方程為：x0xa2+y0yb題型20題型20圓錐曲線中的面積問題77．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）橢圓C:x22+y2b2=1的左?右焦點(diǎn)分別為F1?F2，點(diǎn)P1,22在C上，直線l過左焦點(diǎn)78．（2024·陜西商洛·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP=λOF(0<λ<1)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP交E于另一點(diǎn)C，直線BP交E于另一點(diǎn)D，記△PAB,△PCD的面積分別為S1,79．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知P是雙曲線C：y24?x2=1上的一點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若AP=λPB，80．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線C:x23?y2=1的右焦點(diǎn)F的直線與C的右支交于A,B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，線段OM的中點(diǎn)與線段AB題型21題型21圓錐曲線中的參數(shù)范圍及最值問題81．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知橢圓C:x29+y28=1的左、右焦點(diǎn)分別為82．（2024·遼寧朝陽·一模）已知橢圓x29+y28=1,A,B是橢圓上兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于P83．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知A1、A2兩點(diǎn)是雙曲線E:x2?y23=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F是E的右焦點(diǎn)，點(diǎn)T84．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知直線tx?y?t=0(0<t<1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與C交于點(diǎn)A,B，過線段AB的中點(diǎn)D作直線x=?1的垂線，垂足為E，記直線EA,EB,EF的斜率分別為k1題型22題型22圓錐曲線中的向量問題85．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)是F，過F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AB上存在異于F的點(diǎn)P，使得86．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Q?2,1在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過直線x=2上一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N．則PM?87．（2024·四川遂寧·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)Q(2,y0)在拋物線上，點(diǎn)K為l與y軸的交點(diǎn)，且QK=288．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E:x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，AF1⊥AF2，在x軸上任取一點(diǎn)題型23題型23圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題89．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸為雙曲線x28?y24=1的實(shí)軸，且橢圓C過點(diǎn)P2,1.設(shè)點(diǎn)A,90．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是雙曲線C:x22?y24=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP+AB=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與直線91．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)A2,4，P，Q是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，則直線PQ恒過定點(diǎn)92．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1)和橢圓C：x26+y23=1，點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．存在定點(diǎn)Q，使得DQ2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)填空題壓軸題二十三大題型專練（范圍：第一、二、三章）【人教A版（2019）】題型1題型1向量共線、共面的判定及應(yīng)用1．（24-25高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2【解題思路】先根據(jù)三點(diǎn)共線得出向量共線，再根據(jù)向量共線求參即可.【解答過程】由已知得BD=∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴AB與BD共線，即存在λ∈R，使得AB∴2e∵e1，e2不共線，∴故答案為：?8.2．（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知點(diǎn)B(1，0，0)，C′(1，1，1)，【解題思路】利用空間共面向量定理求解即可.【解答過程】∵B(1，0，∴BC′=0,1,1,∵B，可知存在實(shí)數(shù)x，y，使得BC′=x故答案為：1.3．（24-25高二上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期中）如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，H為棱PC上的點(diǎn)，且PHPC=13，點(diǎn)G在AH上，且AGAH=m，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)【解題思路】用AB,AD,AP表示【解答過程】根據(jù)題意可得：AG=m又因?yàn)镚,B,D,P四點(diǎn)共面，故m3+m故答案為：344．（24-25高二·全國·課后作業(yè)）在四面體OABC中，空間的一點(diǎn)M滿足OM=12OA+16OB+λOC，若MA【解題思路】法一：根據(jù)空間向量運(yùn)算結(jié)合共面向量定理即可得到相關(guān)方程組，解出即可；法二：利用四點(diǎn)共面的結(jié)論即可.【解答過程】法一：由題意MA=MB=OB?因?yàn)镸A，MB，MC共面，所以存在實(shí)數(shù)唯一實(shí)數(shù)對(duì)(m,n)，使得MA=m即12OA?所以?12m?法二：由MA，MB，MC共面得M,A,B,C四點(diǎn)共面，則根據(jù)四點(diǎn)共面的充要條件可得，12+1故答案為：13題型2題型2空間向量的數(shù)量積問題5．（23-24高二上·廣東佛山·期中）已知棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD，M為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，則BN?12【解題思路】由題意可得：BN?【解答過程】由題意可知：BA=BC=因?yàn)镸為BC中點(diǎn)，N為AD中點(diǎn)，

則BN?所以BN==1故答案為：?16．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱ABCD?A1B1C1D1底面ABCD為平行四邊形，AA1=3【解題思路】將AB1,AD1【解答過程】AB1∴ABAB?底面ABCD為平行四邊形，所以AB?所以AAAA所以cosA故異面直線AA1與BD的夾角的余弦值為:故答案為：5127．（23-24高一下·河北邢臺(tái)·期末）如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若異面直線A1【解題思路】利用基底表示向量A1B和【解答過程】由題意可知，AA1⊥AB，AA1=AB=2×2×cos由題意可知，A1B?AD故答案為：2.8．（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD,PA=AB=2,EF是球O的一條直徑，點(diǎn)Q為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則QE?QF的取值范圍為0,2【解題思路】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得QE?QF=QO2【解答過程】令H是正四棱錐P?ABCD底面正方形中心，則PH⊥平面ABCD，而AH=2，則PH=PA顯然球O的球心O在線段PH上，設(shè)球半徑為r，則r=OH，在△POA中，∠PAO<45°=∠APO，于是OA>OP，又EF是球O的一條直徑，則OE(OF)為半徑，因此QE?而OH≤QO≤AO，則(QE??所以QE?QF的取值范圍為

故答案為：0,2.題型3題型3空間向量基本定理及其應(yīng)用9．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1,BB1【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算求解.【解答過程】解：AG==1所以2x=123所以x+y+z=1，故答案為：1.10．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知ABCD?A′B′C′D′是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC′B′【解題思路】由空間向量基本定理得到MN?=12AB?+【解答過程】∵AD=BC，∴MN=MB+BN=1又MN=α∴α=12，β=14，故答案為：3211．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，O是平面ABC外的一點(diǎn)，滿足OD=1xOA+1y【解題思路】利用共面向量的基本定理結(jié)合空間向量的基本定理可得出1x+1y=4，將4x+9y【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則存在λ、μ∈R，使得AD=λ即OD?所以，OD=又因?yàn)镺是平面ABC外的一點(diǎn)，則OA、OB、OC不共面，因?yàn)镺D=1xOA+1y所以，1x+1所以，4x+9y=1當(dāng)且僅當(dāng)4xy=9y故4x+9y的最小值是254故答案為：25412．（23-24高一下·吉林通化·期末）如圖，在正四面體ABCD中，AB=3,E,F分別在棱AD,BC上，且BF=2CF,AD=3AE，若EF=xAB+yAC+zAD，則x+y+z=23

【解題思路】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則及基本定理求出x、y、z，再根據(jù)EF=【解答過程】依題意AE=13因?yàn)镋F=?=?1又EF=xAB+yAC+z則EF==1故答案為：23；5題型4題型4空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示13．（24-25高二上·天津北辰·期中）設(shè)x,y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(3,?6,3)且a⊥c，b【解題思路】根據(jù)空間向量共線與空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解答過程】因?yàn)閍⊥c，所以a?c=0又因?yàn)閎∥c，所以存在實(shí)數(shù)λ使得b=λc，即1=3λy=?6λ所以a?所以|a故答案為：3.14．（24-25高二上·吉林長(zhǎng)春·期中）已知向量a=(?1,2,3),b=(1,?2,1),7．【解題思路】根據(jù)題意，利用空間向量垂直坐標(biāo)表示，列式求解作答.【解答過程】由題a+λ∵a∴1?λ+22?2λ解得λ=7.故答案為：7.15．（2024·西藏拉薩·一模）已知x,y∈R，空間向量a=2,1,x,b=【解題思路】根據(jù)a→∥b【解答過程】因?yàn)閍∥b，所以24=1故答案為：1.16．（23-24高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,?4,2，且a⊥c【解題思路】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示求出x，y，再利用坐標(biāo)求出向量的模作答.【解答過程】因a=x,1,1，c=2,?4,2，而a⊥c又b=1,y,1，且b→//c→，則有于是得2a+b所以2a故答案為：32題型5題型5利用空間向量研究點(diǎn)、線、面的距離問題17．（24-25高二上·上海松江·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，則直線AC到平面PEF的距離為1717【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線到平面的距離公式，代入計(jì)算，即可求解.【解答過程】∵PD=CD=1，PC=2，∴PD⊥CD又PD⊥AD，CD∩AD=D，CD,AD?平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，E1,12PE=1,1設(shè)n=(x,y,z)為平面PEF的法向量，n·令y=2，則x+1?z=012x+2?z=0，∴x=2，z=3因?yàn)锳C//EF，AC?平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離等于點(diǎn)A到平面PEF的距離，設(shè)點(diǎn)A到平面PEF的距離為d1，PA=(1,0,?1)，則故答案為：171718．（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，已知異面直線A1C與B1C1，A1C與C1D【解題思路】建立為空間直角坐標(biāo)系設(shè)DC=2,DA=a,DD1=b，根據(jù)異面直線A1C與B1C【解答過程】如圖建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為x軸，DD1所在直線為且設(shè)DC=2,DA=a,DD則A1a,0,b,CB因?yàn)楫惷嬷本€A1C與B1C因?yàn)楫惷嬷本€A1C與C1D計(jì)算可得a=2設(shè)平面A1BC法向量為n=令y=1，則n因?yàn)镋0,2,則點(diǎn)E到平面A1BC的距離故答案為：3319．（23-24高二上·上海虹口·階段練習(xí)）已知ABCD?A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為1的正方體，則平面【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，可證得平面AB1D1∥平面C1BD，從而平面AB1D1與平面C1【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為則A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),C可得AB因?yàn)锳D1=所以AD因?yàn)锳D1?平面C1BD，BC1?平面C1所以AD1∥平面C1BD，AB又AD1∩AB1所以平面AB1D1所以平面AB1D1與平面C1BD的距離等于點(diǎn)設(shè)平面AB1D1的法向量為令z=1，可得x=1,y=?1，所以n=(1,?1,1)又因?yàn)镃1B1所以平面AB1D1與平面故答案為：3320．（24-25高二上·北京·期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)Р到直線AA【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、則E1,2,0，D10,0,2所以ED1=(?1,因點(diǎn)P在線段D1E上，則λ∈[0,1]AP=所以向量AP在向量AA1上投影長(zhǎng)為而AP=則點(diǎn)Р到直線CC1的距離當(dāng)且僅當(dāng)λ=3所以點(diǎn)Р到直線AA1的距離的最小值為故答案為：45題型6題型6利用空間向量求空間角21．（24-25高二上·重慶·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是正三角形，E是PC的中點(diǎn)，則異面直線DE與PB所成角的余弦值是14【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量，利用公式計(jì)算即可.【解答過程】取AB中點(diǎn)O，連接PO，取BC中點(diǎn)F，連接OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)F⊥AD，因?yàn)椤鱌AD是正三角形，所以PO⊥AD，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，因?yàn)镺A?平面ABCD，OF?平面ABCD，所以PO⊥OA，PO⊥OF，因此以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OF,OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，D?1,0,0，C?1,2,0，P0,0,因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以E?所以DE=12設(shè)異面直線DE與PB所成角為θ，所以cosθ=DE?故答案為：1422．（24-25高二上·云南·期中）如圖，在四棱臺(tái)體ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，AB=2AA1=2【解題思路】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線D1P的方向向量和平面【解答過程】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B12,0,2，D10,2,2，C12,2,2AB1=2,0,2，AD則n?AB1=2x+2z=0所以D1P∥n，即直線故直線D1P與平面AB故答案為：π223．（24-25高二上·浙江·期中）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，AA1,BB1,CC1,DD1【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解平面AB1C【解答過程】設(shè)上底面圓心為O′，下底面圓心為O，連接OO′，OC，OB，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OO′所在直線為x則A(0,2,0)，A1(0,2,2)，C(1,0,0)，C1(1,0,2)，則AB1=(0,?1,2)，AC1設(shè)m=(x,y,z)為平面A則?y+2z=0x?2y+2z=0，令y=2可得x=2,z=1，所以m設(shè)n=(a,b,c)為平面A則x+2z=02x?2y=0，令x=2可得y=2,z=?1，所以設(shè)平面A1CD1與平面AB則cosθ=故平面AB1C1與平面故答案為：7924．（2024高三·北京·專題練習(xí)）如圖所示，P，O分別是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1上，下底面的中心，

①OC⊥PB；②A1③異面直線A1E與PA所成角的余弦值為④平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為13【解題思路】根據(jù)題意，證得OC⊥平面POB，進(jìn)而得到OC⊥PB，可判定①正確；根據(jù)題意，得到PC?平面CAA1C1，結(jié)合A1E∩平面CAA1C【解答過程】對(duì)于①中，因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，且P,O分別是正四棱柱ABCD?A1B

又因?yàn)镺B∩OC=O，OB,OC?平面POB，所以O(shè)C⊥平面POB，因?yàn)镻B?平面POB，所以O(shè)C⊥PB，所以①正確；對(duì)于②中，由P分別是正四棱柱ABCD?A可得P是A1C1的中點(diǎn)，則PC?平面CAA1所以A1E與以點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線OA,OB,OP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)AA1=2，則A2,0,0，A1(2,0,2)，P0,0,2，B可得A1設(shè)平面PBC的法向量為n=x,y,z，則取z=1，可得x=?1,y=1，所以n=(?1,1,1)又由PA=(2,0,?1),設(shè)平面PAD的法向量為m=a,b,c，則取a=1，可得b=?1,c=1，所以m=(1,?1,1)對(duì)于③中，由cosA對(duì)于④中，由于平面PAD的法向量為m=(1,?1,1)，平面PBC的法向量為n可得cosm,n=m?n故選：①③④．

題型7立體幾何中的探索性問題題型7立體幾何中的探索性問題25．（23-24高三下·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以下正確的是①②

①C1②存在點(diǎn)P，使得D1P//面③AP+PD1的最小值為④存在點(diǎn)P，使得C1P與面A1【解題思路】建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，設(shè)BP=λBA1(0<λ<1)，則P(1,1?λ,λ)，利用空間向量法即可證明①②④；將平面AA1【解答過程】由題意，建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，

則D(0,0,0),B(1,1,0),A所以BA設(shè)BP=λBA1(0<λ<1)所以C1①：C1所以C1②：設(shè)平面DBC1的一個(gè)法向量為則n?DB=x1+y有n?D1P=2λ?1，當(dāng)λ=12時(shí)，n所以當(dāng)點(diǎn)P為A1B的中點(diǎn)時(shí)，D1③：將平面AA1B與平面A1D1CB

在△D1A得AD即AP+PD④：由DC1⊥得DC1⊥平面A1D1CB，即D假設(shè)存在點(diǎn)P，使得C1P與平面A1設(shè)該線面角為θ,θ∈(0,π2]所以sinθ=整理得8λ2?8λ+5=0所以不存在點(diǎn)P，使得C1P與平面A1故答案為：①②.26．（24-25高二上·北京大興·期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，①存在F，使得BF⊥DE；②存在F，使得B1F//平面③當(dāng)F為線段CC1中點(diǎn)時(shí)，三棱錐④當(dāng)F與C1重合時(shí)，直線EF與直線A其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④．【解題思路】先建立合適空間直角坐標(biāo)系，設(shè)F2,2,mm∈0,2，對(duì)于①：根據(jù)BF?DE=0求得m的值并判斷是否正確；對(duì)于②：考慮F與C重合時(shí)的情況；對(duì)于③：根據(jù)【解答過程】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)F2,2,m①：因?yàn)锽2,0,0,D0,2,0當(dāng)BF⊥DE時(shí)，BF?DE=?4+m=0②：當(dāng)F與C重合時(shí)，因?yàn)锳1B1所以B1F//A1D，且B1F?所以B1F//平面③：設(shè)F到平面A1ED的距離為所以VA1?EFD所以當(dāng)d最小時(shí)，三棱錐A1因?yàn)锳10,0,2,D設(shè)平面A1ED的法向量為所以n?A1D=0n?又DF=2,0,m，所以當(dāng)m=0時(shí)d有最小值，故③錯(cuò)誤；④：設(shè)直線EF與直線A1D所成角為因?yàn)镋F=所以cosθ=令3?m=t∈1,3，所以m=3?t，所以cos因?yàn)?t∈13,1，所以1此時(shí)t=1,m=2，即F與C1故答案為：②④.27．（2024·北京海淀·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，①D1②線段DQ的長(zhǎng)隨線段AP的長(zhǎng)增大而增大；③存在點(diǎn)P，使得AQ⊥BQ；④存在點(diǎn)P，使得PQ//平面D1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.【解題思路】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面D1PC的法向量坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)【解答過程】在正方體ABCD?A1B1C設(shè)AP=t(0≤t≤1)，則D(0,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),P(1,t,0)令平面D1PC的法向量n=(x,y,z)，則n?C由DQ⊥平面D1PC于Q，得DQ=λCQ=((1?t)λ,λ?1,λ)，顯然CQ?n于是Q(1?t對(duì)于①，|D對(duì)于②，|DQ|=1(t?1)2對(duì)于③，而A(1,0,0),B(1,1,0)，AQ=((1?t)λ?1,λ,λ),若AQ?顯然Δ=(3?2t)2?4(t對(duì)于④，平面D1DA的一個(gè)法向量DC=(0,1,0)由PQ?DC=λ?t=0，得λ=t，即t=令f(t)=t3?2t2而f(0)=?1<0,f(1)=1>0，因此存在t∈(0,1)，使得f(t)=0，此時(shí)PQ?平面D1因此存在點(diǎn)P，使得PQ//平面D1所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②④.故答案為：①②④.28．（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE∥SA，SA=AB=2DE=2，M，N分別是線段BC，SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)D，C），則下列說法正確的是134（1）存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥SB；（2）存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60°（3）三棱錐Q?AMN體積的最大值是23（4）當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線DC與平面QMN所成的角逐漸增大.【解題思路】以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點(diǎn)Q(m,2,0)，根據(jù)NQ⊥SB，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，求得m的值，可判定A正確；結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，可得判定B不正確；連接AQ,AM,AN，設(shè)DQ=m，求得S△AMQ求得平面MNQ的法向量m=(1,2?m,3?m)【解答過程】以A為原點(diǎn)，以AB,AD,AS所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖（1）所示，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),E(0,2,1),S(0,0,2)，N(1,0,1),M(2,1,0)，對(duì)于（1）中，假設(shè)存在點(diǎn)Q(m,2,0)(0≤m≤2)，使得NQ⊥SB，則NQ=(m?1,2,?1),所以NQ?SB=2(m?1)+2=0即點(diǎn)Q與D重合時(shí)，NQ⊥SB，所以A正確；對(duì)于（2）中，假設(shè)存在點(diǎn)Q(m,2,0)(0≤m≤2)，因?yàn)镹Q=(m?1,2,?1),所以cosNQ所以不存在點(diǎn)Q使得異面直線NQ與SA所成的角為60°對(duì)于（3）中，如圖（2）所示，連接AQ,AM,AN，設(shè)DQ=m(0≤m≤2)，因?yàn)镾△AMQ所以，當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)點(diǎn)Q與D重合時(shí)，S△AMQ取得最大值2又因?yàn)镾A⊥平面ABCD，且N分別是線段SB的中點(diǎn)，可得點(diǎn)N到平面AMQ的距離為d=1所以三棱錐Q?AMN的體積的最大值為VQ?AMN對(duì)于（4）中，由NQ=(m?1,2,?1),設(shè)平面MNQ的法向量為m=(x,y,z)，則m令x=1，則y=2?m,z=3?m，所以m=(1,2?m,3?m)因?yàn)镈C=(2,0,0)，設(shè)直線DC與平面MNQ所成的角為θ,θ∈[0,可得sinθ=所以，當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動(dòng)時(shí)，m的值由0到2變大，sinθ此時(shí)θ也單調(diào)遞增，所以D正確.故答案為：（1）（3）（4）.題型8直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍題型8直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示29．（24-25高二上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(2,1),B(3,?2)，若直線l:y=k(x?1)與線段AB相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是0,π4【解題思路】先判斷直線過定點(diǎn)，再根據(jù)直線與線段相交，求出直線斜率的取值范圍，最后根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，求出傾斜角的取值范圍即可.【解答過程】直線l:y=k(x?1)過定點(diǎn)P1,0則kPA=1?0如圖，要使直線l:y=k(x?1)與線段AB相交，則直線l的的斜率k應(yīng)滿足?1≤k≤1，所以直線l的傾斜角的取值范圍是0,π故答案為:0,π30．（24-25高二上·廣東梅州·階段練習(xí)）已知A2,3，B?1,2，若點(diǎn)Px,y在線段AB上，則yx?1的取值范圍是【解題思路】根據(jù)yx?1的形式，可轉(zhuǎn)化為線段AB上點(diǎn)與Q【解答過程】yx?1的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)又點(diǎn)Px,y在線段AB因?yàn)锳2,3，B?1,2，所以因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以kPQ故答案為：3,+∞31．（23-24高二上·四川內(nèi)江·期中）經(jīng)過點(diǎn)P0,?1作直線l，若直線l與連接A?2,1,B?1,?3?1兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則l的傾斜角【解題思路】利用直線斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算即可.【解答過程】

如圖所示，可知直線l自PA位置繞P旋轉(zhuǎn)至PB位置的過程中都可符合題意，該過程中直線的斜率在kPA易知kPA=?1?1故kl∈?1,故答案為：0,π32．（24-25高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知線段PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(?1,1)和Q(2,2)，若直線l恒過(0,?1)，且與線段PQ有交點(diǎn)，則l的斜率k的取值范圍是?∞,?2∪3【解題思路】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式即可求解.【解答過程】因?yàn)橹本€l恒過A(0,?1),P(?1,1)和Q(2,2)，所以kAP=?1?1由題意可知，直線l的斜率存在且l的斜率k，若直線l與線段PQ有交點(diǎn)，如圖所示由圖象可知，k≥kAQ或k≤kAP,即所以l的斜率k的取值范圍是為?∞故答案為：?∞題型9題型9根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示33．（24-25高二上·天津河西·期中）已知直線l1:ax+4y=2與直線l2:2x?5y+b=0垂直，點(diǎn)(1,c)為垂足，則a+b+c等于【解題思路】利用兩直線的垂直條件求解參數(shù)，再計(jì)算代數(shù)式即可.【解答過程】因?yàn)閘1:ax+4y=2，所以因?yàn)閮蓷l直線垂直，且l2所以2×a?5×4=0，解得a=10，此時(shí)l1將(1,c)代入l1:10x+4y?2=0中，得到解得c=?2，此時(shí)垂足為點(diǎn)(1,?2)，將(1,?2)代入l2得到2?5×(?2)+b=0，解得b=?12，故a+b+c=10?12?2=?4.故答案為：?4.34．（24-25高二上·北京西城·期中）已知直線l1：m+2x+y+1=0，l2：5x+m?2y+1=0．若l【解題思路】根據(jù)兩直線平行的條件列式求解即可.【解答過程】若l1∥l2，則m+2m?2當(dāng)m=3時(shí)，直線l1：5x+y+1=0與l2：當(dāng)m=?3時(shí)，直線l1：?x+y+1=0與l2：綜上，m=?3故答案為：－3.35．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l1過點(diǎn)A?2,9,Bm,1，直線l2過點(diǎn)C0,m,D2,6【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得kl【解答過程】由題得kl1?kl故答案為：22536．（23-24高二上·四川成都·階段練習(xí)）已知直線l1:a?4x?3y+1=0和l2:3x?b+1y+5=0垂直且【解題思路】根據(jù)直線垂直得到方程，求出a+b=3，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【解答過程】由題意得3a?4+3b+1因?yàn)閍>0,b>0，由基本不等式得2a當(dāng)且僅當(dāng)2ba=a故答案為：32題型10題型10與距離有關(guān)的最值問題37．（24-25高二上·遼寧大連·階段練習(xí)）若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+10=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)m,n到原點(diǎn)的距離的最小值為25【解題思路】先求出線y=2x和x+y=3的交點(diǎn)1,2，進(jìn)而得到m=?10?2n，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答過程】由y=2xx+y=3，解得x=1把1,2代入mx+ny+10=0，可得m+2n+10=0，所以m=?10?2n，所以點(diǎn)m,n到原點(diǎn)的距離為d=m2+所以當(dāng)n=?4時(shí)，此時(shí)dmin=25所以點(diǎn)m,n到原點(diǎn)的距離的最小值為25故答案為：2538．（23-24高二上·湖北·期末）點(diǎn)M1,0到直線y=kx+2的距離最大值是5【解題思路】根據(jù)直線y=kx+2過定點(diǎn)A(0,2)，得到MA=【解答過程】由題意得，直線y=kx+2過定點(diǎn)A(0,2)，則MA=如圖所示，當(dāng)直線y=kx+2與直線MA垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M1,0到直線y=kx+2的距離最大值，且最大值為5故答案為：5.39．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知兩條直線l1:λ+2x+1?λy+2λ?5=0，l2:【解題思路】求出l1,l2恒過的定點(diǎn)A,B，故l1，l【解答過程】由題意l1:λx?y+2解得x=1y=3，故l1過定點(diǎn)l2:kx?2y+1解得x=3y=2，故l2過定點(diǎn)故l1，l2距離的最大值為此時(shí)，直線l1的斜率為?λ+21?λ直線l2的斜率為?k+11?2k故λ+k=5．故答案為：5.40．（23-24高二上·浙江溫州·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事修．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：(x?a)2+(y?b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)Mx,y與點(diǎn)Na,b的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得【解題思路】將x2?2x+5?x2+1轉(zhuǎn)化成P(x,0)到點(diǎn)【解答過程】x2可轉(zhuǎn)化成x軸上一點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)M(1,2)的距離與到點(diǎn)N(0,1)的距離之差.|PM|?|PN|≤|MN|=(1?0)所以x2?2x+5?故答案為：2.題型11題型11點(diǎn)、線間的對(duì)稱問題41．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）光線由點(diǎn)P2,5射到直線x+y=?1上，反射后過點(diǎn)Q1,1，則反射光線所在直線的一般式方程為4x?7y+3=0【解題思路】首先求點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=?1的對(duì)稱點(diǎn)P′，再根據(jù)點(diǎn)P【解答過程】設(shè)點(diǎn)P2,5關(guān)于直線x+y=?1的對(duì)稱點(diǎn)P則b?5a?2=1a+22+點(diǎn)P′在反射光線上，則ky?1=47x?1所以反射光線所在直線方程的一般式為4x?7y+3=0.故答案為：4x?7y+3=0.42．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1：3x?4y?4=0關(guān)于直線l2的對(duì)稱直線為y軸，則y=2x?1或y=?12【解題思路】根據(jù)題意，求出l1與x.y軸的交點(diǎn)，設(shè)出直線l2的方程，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線l2【解答過程】

直線l1交x軸于點(diǎn)M43,0，交設(shè)直線l2的方程為y=kx?1，則M關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)Na,b所以a=0，則MN的中點(diǎn)Q23,b2在直線又?1k=b?00?所以直線l2的方程為y=2x?1或y=?故答案為：y=2x?1或y=?143．（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，已知直線l:x+y?5=0與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A，B，從點(diǎn)P3,0射出的光線經(jīng)直線l反射后再射到y(tǒng)軸上，最后經(jīng)y軸反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是217【解題思路】作出點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，從而將題目問題轉(zhuǎn)化為求解CD.【解答過程】如圖，點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Dm,n，則m+32+解得m=5n=2，即點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為D5,2，又點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為則光線所經(jīng)過的路程為CD=2故答案為：21744．（23-24高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）唐代詩人李頎的《古從軍行》中兩句詩為：“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),怎樣走才能使總路程最短?在平面角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在位置為(?2,4),若將軍從(0,2)處出發(fā),河岸線所在直線方程為x?y+1=0.則“將軍飲馬”的最短總路程為32【解題思路】首先利用點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱求出點(diǎn)P′(1,1),進(jìn)一步利用兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用求出【解答過程】設(shè)軍營所在位置為Q(?2,4)，若將軍從P(0,2)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x?y+1=0，故點(diǎn)P(0,2)關(guān)于x?y+1=0對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′所以b?2a=?1a2?設(shè)直線上任一點(diǎn)N，QN+PN=QN+P′即QP即“將軍飲馬”的最短總路程為32故答案為：32題型12題型12圓的切線長(zhǎng)及切線方程問題45．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)M2,1的直線l與圓C:x2+y2?2x?6y+5=0【解題思路】根據(jù)題意知，點(diǎn)M在圓C上，若直線l與圓C相切，則直線l與直線MC垂直，即可求出直線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程即可求出直線l的方程.【解答過程】由圓C的方程知：x2+y將M2,1代入方程可知，點(diǎn)M在圓C上，且C所以kMC=3?11?2=?2，因?yàn)橹本€l所以直線l的斜率kl所以直線l的方程為y?1=12x?2故答案為：x?2y=0.46．（24-25高二上·陜西咸陽·期中）由直線x?y?2=0上的一點(diǎn)P向圓x+32+y2=1引切線，切點(diǎn)為Q，則PQ【解題思路】先確定圓的圓心C?3,0和半徑r=1，由點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到直線距離d=522，結(jié)合PC2=PQ2+【解答過程】圓x+32+y2=1所以圓心C?3,0到直線x?y?2=0的距離為d=因?yàn)镻C2=PQ2+而PC的最小值為d=522故答案為：46247．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）已知圓M:x2+y?22=1，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則【解題思路】根據(jù)題意由四邊形PAMB的面積與△MAP的面積關(guān)系，設(shè)PM=t≥2可得AB=21?1t【解答過程】易知圓M的圓心為0,2，半徑為r=1，如圖所示：易知AM⊥AP,BM⊥BP，設(shè)PM=t≥2，則由圖可得SPAMB=2S可得AB=2t所以當(dāng)t=2時(shí)，AB的最小值為3.故答案為：3.48．（23-24高二上·河北·期中）過點(diǎn)M3,0作圓C：x2+y?12=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B【解題思路】數(shù)形結(jié)合，利用AB⊥CM，即可解題.【解答過程】

由圖可知，其中一條切線為x軸，切點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．因?yàn)锳B⊥CM,kCM則kAB所以直線AB的方程為3x?y=0故答案為：3x?y=0題型13題型13直線與圓有關(guān)的最值（范圍）問題49．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l:3x?4y?15=0與圓O:x2+y2?2x?4y+1=0,P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，直線AP與圓O相切于點(diǎn)A，則線段【解題思路】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心半徑，再根據(jù)勾股定理得出OA2+AP2=【解答過程】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?2)2=4，圓心為1,2又直線AP為圓O的切線，則OA2當(dāng)OP最小時(shí)，AP最小，即OP⊥直線l，此時(shí)AP=OP2?OA故答案為：2350．（23-24高二下·浙江杭州·階段練習(xí)）已知⊙O1:x2+y?22=1，⊙O2:x?32+【解題思路】根據(jù)圓的切線的幾何性質(zhì)可推出|PM|+|PN|=t?02+0??【解答過程】由題意知⊙O1:x2⊙O2:x?32設(shè)P(t,0)|PN|=|P則|PM|+|PN|=t設(shè)A0,?3,B當(dāng)且僅當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)PM+PN的最小值為故答案為：57.51．（23-24高二下·湖北·階段練習(xí)）過點(diǎn)A0,2的直線l交⊙O：x2+y2=9于Mx1,【解題思路】將3x1+4y1+16+3x2+4【解答過程】過M,N分別作直線3x+4y+16=0的垂線，垂足分別為S,T，設(shè)MN的中點(diǎn)為G，過G作直線3x+4y+16=0的垂線，垂足為H，連接OG，又3=5×MS因?yàn)镚為MN的中點(diǎn)，故OG⊥AG，故G的軌跡為以O(shè)A的直徑的圓，其方程為x?0x?0即x2+y?12=1C0,1到直線3x+4y+16=0的距離為20故G到直線3x+4y+16=0的距離的最小值為4?1=3，故3x1+4故答案為：30.52．（23-24高二上·福建廈門·期末）已知圓O:x2+y2=1和圓O1:(x?2)2+y2=1，過動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O，圓O1的切線PA【解題思路】根據(jù)題意得出P的軌跡方程，結(jié)合圖像即可求解.【解答過程】

如圖，連接PO,PO1,OA,O1所以|PO|設(shè)P(x,y)，所以x2整理得(x?1)2+y2=9|PA|=PO2?1≤4故答案為：15.題型14題型14直線與圓有關(guān)的面積問題53．（24-25高二上·海南?？凇て谥校┮阎獔AM:x2+y2+2x?1=0，直線l:2x?y?3=0，點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B，則四邊形【解題思路】根據(jù)題意，由四邊形的面積公式可知，當(dāng)PM最小時(shí)，四邊形PAMB的面積最小，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過程】將圓M方程化為x+12+y2=2又易知MA⊥PA，△PAM≌△PBM，所以四邊形PAMB的面積：S=2S所以當(dāng)PM最小時(shí)，即直線PM與直線l垂直時(shí)，四邊形PAMB面積最小，而PMmin=2×故答案為：6.54．（24-25高二上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）過點(diǎn)A?1,0作兩條互相垂直的直線，分別交圓O：x2+y2=49于E、G和F、H，則四邊形【解題思路】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)EG，F(xiàn)H，再由均值不等式及四邊形面積即可求得四邊形EFGH面積的最大值.【解答過程】記圓心O到直線EG，F(xiàn)H的距離分別為d1，d則d1因?yàn)镋G=249?d所以EG2+FH則四邊形EFGH的面積S=12EG故答案為：97.55．（2024·甘肅蘭州·三模）過點(diǎn)M?3,?3且互相垂直的兩直線與圓x2+y2+4y?21=0分別相交于A、B和C、D，若【解題思路】假設(shè)AB,CD兩直線都有斜率，設(shè)kAB=k,kCD=?1k，求出k【解答過程】由題得圓的方程為x2+(y+2)假設(shè)AB,CD兩直線都有斜率，設(shè)kAB因?yàn)锳B=直線AB的方程為y+3=k(x+3),∴kx?y+3k?3=0，所以圓心到直線AB的距離為|2+3k?3|k直線CD的方程為y+3=?1所以圓心到直線CD的距離為|?2k+3k+3|k所以|3k?1|=|k+3|,∴k=2或?1圓心到兩直線的距離為|2+3|2所以|AB|=|CD|=25此時(shí)四邊形ACBD的面積等于12當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，CD的斜率為0，所以直線AB方程為x=?3，直線CD的方程為y=?3，聯(lián)立x2+(y+2)2=25和x=?3所以|AB|=8，聯(lián)立x2+(y+2)2=25和y所以|CD|=46因?yàn)閨AB|≠|(zhì)CD|，所以這種情況不存在.故答案為：40.56．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)B,C是圓O:x2+y2=25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAC=90°，則【解題思路】設(shè)Bx1,y1，Cx2,y2，【解答過程】設(shè)Bx1,y1，C∵點(diǎn)B，C為圓O:x2+∴x12+x1+xx1由③得x1x2把②中兩個(gè)等式兩邊平方得：x12+即50+2(x把④代入⑤，可得x2+y?322=則AP的最大值為3+41所以S△ABC當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC，P的坐標(biāo)為故答案為：25+341題型15題型15求圓錐曲線的離心率或其取值范圍57．（24-25高二上·遼寧沈陽·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)是F，過點(diǎn)F作直線l交橢圓于點(diǎn)A,B，過點(diǎn)F與直線l垂直的射線交橢圓于點(diǎn)P，【解題思路】先證明四邊形AFPF′是矩形，然后利用已知條件求出△ABF′三邊的比例，再利用橢圓的定義求出|AF′|【解答過程】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′.由于A,?O,而|FO|=|OF′|，故四邊形AFPF′由于四邊形是矩形，故|AF|BF從而可設(shè)|AF此時(shí)40k=|AF′|+|AB|+|B所以|AF′|=最后由|AF|2+|A即5225a2=4c故答案為：13558．（24-25高二上·安徽蕪湖·期中）加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”.已知橢圓C:x2a2+y29=1，若直線l:4x?3y+25=0上存在點(diǎn)P【解題思路】首先通過橢圓的四條特殊切線可知道蒙日?qǐng)A的半徑，問題轉(zhuǎn)化為直線與蒙日?qǐng)A有交點(diǎn)問題，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式即可求解.【解答過程】由橢圓方程x2a2所以蒙日?qǐng)A方程為x2∵點(diǎn)P在橢圓的蒙日?qǐng)A上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，∴直線l:4x?3y+25=0和蒙日?qǐng)A有公共點(diǎn).∴圓心0,0到直線l:4x?3y+25=0的距離不大于半徑，即255≤a所以橢圓離心率e=1?9a故答案為：7459．（24-25高二上·天津南開·期中）如圖，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點(diǎn)，過F1作圓x2+y2=a2的切線與雙曲線C的左，右兩支分別交于M，【解題思路】設(shè)直線NF1與圓相切于點(diǎn)P，連接OP，作F2作F2Q⊥MN，垂足為Q【解答過程】設(shè)直線NF1與圓相切于點(diǎn)P，連接OP，作F2作F由于圓x2+y2=a2的半徑為a，則OP=a且OP為△QF1F又OF1=c，所以F在直角三角形QF2N中，因?yàn)閏os則sin∠F1NF由雙曲線的定義可得F1N?F2由c2=a2+b2故答案為：13260．（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2且斜率為2的直線與C的一條漸近線在第四象限相交于點(diǎn)【解題思路】聯(lián)立MF2的方程y=2x?c與漸近線方程y=?bax，可得【解答過程】由題意可得F1?c,0，由于MF1N直線MF2的方程為y=2x?c聯(lián)立y=?b故M2ac所以kN因此?67≤故離心率為e=c故答案為：5,題型16橢圓的題型16橢圓的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問題61．（23-24高二上·山東聊城·期末）已知橢圓C:x212+y24=1的上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線與C交于另一點(diǎn)【解題思路】設(shè)出點(diǎn)Bx【解答過程】設(shè)Bx0,y0，則x所以AB=當(dāng)且僅當(dāng)y0=?1時(shí)，所以AB的最大值為32故答案為：3262．（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓C：x23+y2=1，Ax1,y1，B【解題思路】由x1?y1=x2【解答過程】由x1?y故A,B兩點(diǎn)在直線x=y+1聯(lián)立x=y+12x23Δ=1?4×4×則y1所以AB=故答案為：31063．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓x216＋y236＝1內(nèi)有一點(diǎn)P(2,3)，過點(diǎn)P的一條弦恰好以P為中點(diǎn)，則這條弦所在的直線方程為【解題思路】根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率得解.【解答過程】設(shè)弦為AB，Ax1,則x1216即?94=所以弦所在直線的方程為y?3=?32x?2故答案為：3x+2y?12=0.64．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圓C:x2+y2?2x+4y+2=0內(nèi)有一點(diǎn)P(2,?1)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB恰被點(diǎn)P平分時(shí)，直線【解題思路】求得圓心坐標(biāo)為C1,?2，易知CP⊥AB，利用斜率之間的關(guān)系可得kAB=?1【解答過程】易知C:x2+可知圓C的圓心坐標(biāo)為C1,?2，半徑為3根據(jù)題意由圓的性質(zhì)可知CP⊥AB，易知kCP=?1+2由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程為y??1=?x+2，即故答案為：x+y?1=0.題型17題型17雙曲線的弦長(zhǎng)與“中點(diǎn)弦”問題65．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知雙曲線C：2x2?y2=2，過點(diǎn)P1,2的直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，若P為線段【解題思路】設(shè)直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求k值，利用弦長(zhǎng)公式求解即可.【解答過程】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過P(1,2)的直線MN為y?2=k(x?1)，聯(lián)立y?2=k(x?1)2x2設(shè)M(x1,所以?2k(k?2)2?k則x1+x弦長(zhǎng)MN=故答案為：4266．（23-24高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知直線l與雙曲線x24?y23=1交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M(3,【解題思路】設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后利用點(diǎn)差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．【解答過程】設(shè)Ax1,則x1+x又x124兩式相減，得x1即6x1?∴直線l的斜率為k=y∴直線l的方程為y?3化簡(jiǎn)得3x?2y?6=0，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故答案為：3x?2y?6=0.67．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·期中）過雙曲線2x2?y2【解題思路】先驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)是否符合題意，然后斜率存在時(shí)，設(shè)出直線，與雙曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算求出滿足條件的直線方程.【解答過程】雙曲線2x2?y設(shè)直線與雙曲線交于Ax當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線方程AB的方程為x=23令x=23，則124?y2當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k(x?2聯(lián)立y=k(x?23)x43k22x1∴|AB|=解得k=±綜上，總共有三條直線符合條件故答案為：3.68．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線l與雙曲線x24?y25=1交于A、B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)為?12,?15【解題思路】利用點(diǎn)差法可求出直線l的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線l的方程.【解答過程】若直線l⊥x軸，則AB的中點(diǎn)在x軸上，不合乎題意，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2因?yàn)閤124?y所以，y1因此，直線l的方程為y+15=x+12，即x?y?3=0.聯(lián)立y=x?35x2?4y所以，直線x?y?3=0與雙曲線x2因此，直線l的方程為x?y?3=0，故答案為：x?y?3=0.題型18題型18拋物線的弦長(zhǎng)與焦點(diǎn)弦問題69．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）若A，B是拋物線y2=4x上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D4,0，則AB【解題思路】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，【解答過程】設(shè)Ax1,y1，B則x0設(shè)斜率為k，則y1相減得：k=y因?yàn)閗MD=y設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，AF+所以AB≤AF+BF=6，當(dāng)且僅當(dāng)A此時(shí)M2,±所以AB的最大值為6.故答案為：6.70．（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）過拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于M，N兩點(diǎn)，若|AB|=12，則|MN|=【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達(dá)定理，根據(jù)焦點(diǎn)弦的公式可得AB=32k2+3k【解答過程】C:y2=3x根據(jù)題意可知直線l有斜率，且斜率不為0，根據(jù)對(duì)稱性不設(shè)直線方程為y=kx?聯(lián)立直線y=kx?34與y設(shè)Ax1,故AB=x1直線AM:y=?1kx?x1+y如下圖，故|MN|=|xMN故答案為：8371．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=54，則直線l的斜率為±【解題思路】設(shè)Mx1,【解答過程】拋物線的焦點(diǎn)F(32,0)，設(shè)直線l聯(lián)立方程y2=6xy=kx?3設(shè)Mx1,因?yàn)镸N=54，所以x即3k2+6故答案為：±272．（2024·上?！と＃┻^拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交E于點(diǎn)A,B，交E的準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，AD⊥l，點(diǎn)D為垂足.若F是AC的中點(diǎn)，且AF=3【解題思路】作BE⊥l于點(diǎn)E，l與x軸交于點(diǎn)M，借助相似三角形的性質(zhì)可得ADFM=AC【解答過程】作BE⊥l于點(diǎn)E，l與x軸交于點(diǎn)M，如圖，則AD//FM//BE，又AF=3且F是AC的中點(diǎn)，則有AD即AD=2FM，又AD=又FMBE=FCBC，故32FB=33?故答案為：4.題型19題型19圓錐曲線中的切線與切點(diǎn)弦問題73．（2024高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)P(3,3)作雙曲線C：x2?y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B【解題思路】設(shè)PA的斜率為k，得到PA:y?y1=k(x?x1)，聯(lián)立方程組，根據(jù)Δ=0和雙曲線的方程，求得k=x1y1，得到PA【解答過程】設(shè)A(x1,y1則PA:y?y1=k(x?消去y得(1?k因?yàn)镻A與雙曲線相切，所以Δ=4即4(y1即(x因?yàn)閤12?代入可得y12k2?2所以PA:y?y1=同理可得PB的方程為y2因?yàn)镻(3,3)在切線PA,PB上，所以3y所以A,B滿足方程3y=3x?1，又由兩點(diǎn)確定一條直線，所以A,B滿足直線方程3y=3x?1，所以過A,B的直線方程為3x?3y?1=0.故答案為：3x?3y?1=0.74．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知，頂點(diǎn)為O的拋物線C:x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是C上一點(diǎn)，已知△POF的外接圓與C的準(zhǔn)線相切，且外接圓的面積為9π4，過點(diǎn)M1,?2作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，則【解題思路】利用三角形外心的性質(zhì)結(jié)合圓的面積可確定拋物線方程，再設(shè)A,B坐標(biāo)，結(jié)合直線與拋物線相切及同解方程得出切點(diǎn)弦方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【解答過程】易知F0,p2，則△POF由題意得△POF的外接圓半徑為p4+p2=所以C的方程為x2=4y，即設(shè)點(diǎn)Ax1,y1聯(lián)立y=14x因?yàn)橄嗲?，所以?k2故直線MA的方程為y=12x1?x?設(shè)點(diǎn)Bx2,y2將M1,?2代入①②得y所以直線AB的方程為y=1由x2=4yy=12x+2，得故AB=又易得點(diǎn)M到直線AB的距離為95，所以S故答案為：272

75．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P是拋物線x2=4y上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓x2+(y?4)2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N【解題思路】設(shè)Px0,x024【解答過程】圓x2+(y?4)2=1設(shè)Px0,x0弦心距d=1當(dāng)x02=8時(shí)，d取得最大值為36，則故答案為：33376．（2024高三·全國·專題練習(xí)）定義：若點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上，則以P為切點(diǎn)的切線方程為：x0xa2+y0yb【解題思路】設(shè)M2t+6,t，Ax1,y1，Bx2,y2，即可表示出MA的方程，又M在MA【解答過程】解：因?yàn)辄c(diǎn)M在直線x?2y?6=0上，設(shè)M2t+6,t，Ax1所以MA的方程為x1x3+y1y同理可得x2由①②可得AB的方程為x2t+63+yt2所以4x+3y=012x?6=0，解得x=12故答案為：12題型20題型20圓錐曲線中的面積問