空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題32空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系5題型分類

彩題如工總

題型1：基本事實的應(yīng)用

題型5：等角定理的應(yīng)用

題型2：空間位置關(guān)系的判斷

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

系5題型分類

題型4：空間幾何體的切割（截面）問題

題型3：異面直線所成的角

彩和也寶庫

1.基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有二條過該點的公共直線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

2.“三個”推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.

3.空間中直線與直線的位置關(guān)系

f［相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點;

共面直線《----

11M直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點；

〔異面直線：不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.

4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點

相交aGAL個

直線與平面-----a

平行A_/alla2個

在平面內(nèi)/—夕aUa無數(shù)個

%/

平行a//132個

//

平面與平面

相交aC6=l無數(shù)個

5.等角定理

如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

6.異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點。分別作直線a'//a,b'//b,我們把直線與》

所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：(0,.

【常用結(jié)論

1.過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.

2.分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.

⑵EG與HF的交點在直線AC上.

1-2.（2024高一下?云南楚雄?期中）如圖，在正四棱臺ABC。-4耳0]2中，E,F,G,H分別為棱4月，Bg,

AB,BC的中點.

⑴證明E,F,G,"四點共面；

（2）證明GE,FH,8月相交于一點.

1-3.（2024高三.全國.專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A及CQ中，E,尸分別是A3,9的中點.

⑴求證：CE,DF，ZM三線交于點P；

（2）在（1）的結(jié)論中，G是上一點，若FG交平面ABC。于點求證：P,E,H三點共線.

彩儺甄祕籍

（二）

（1）點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型.

（2）求異面直線所成角的方法

方法解讀

將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的

平移法

平行線或者作平行線，形成三角形求解

在該幾何體的某側(cè)補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直

補形法

線相應(yīng)的位置，形成三角形求解

題型2:空間位置關(guān)系的判斷

2-1.（2024高三.全國?對口高考）兩條直線。力分別和異面直線c,d都相交，則直線的位置關(guān)系是（）

A.一定是異面直線B.一定是相交直線

C.可能是平行直線D.可能是異面直線，也可能是相交直線

2-2.【多選】（2024?全國.模擬預(yù)測）如圖，點E,F,G,H分別是正方體ABC。-AqGA中棱,AB,

BC,GA的中點，則（）

C.直線反，G"是異面直線D.直線E尸，G”是相交直線

2-3.【多選】（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測）已知a,4是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）

A,若&仆￡=/，Aea且Aeq，則Aw/

B.若A,B,C是平面a內(nèi)不共線三點，Ae/7,Be/?,則Ce/

C.若Aea且Bea,則直線ABua

D.若直線aua,直線則。與b為異面直線

2-4.（2024?上海長寧.二模）如圖，已知正方體ABCO-ABCQi，點尸在直線A2上，。為線段3。的中點,

B.存在點P,使得PQ/M.B

C.直線尸。始終與直線CG異面

D.直線PQ始終與直線BG異面

題型3:異面直線所成的角

3-L（2024高二上.上海浦東新.期中）如圖是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列說法中，正

確的序號是.

（1）直線AF與直線DE相交；

（2）直線與直線DE平行；

（3）直線BG與直線OE是異面直線；

（4）直線CH與直線3G成60。角.

3-2.（2024高三.全國?課后作業(yè)）已知正四面體ABC。中,E是的中點，則異面直線CE與所成角的大

小為?

3-3.（2024高三.河北?學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABC。-AgGA中，點瓦尸分別是棱AD,CG的中點，則異面

直線A.E與BF所成角的大小為

3-4.（2024高一下?北京?期末）如圖，等腰梯形ABC。沿對角線AC翻折，得到空間四邊形RABC,若

BC=CD=DA=^AB=1,則直線AQ與BC所成角的大小可能為.（寫出一個值即可）

3-5.（2024高三.全國?對口高考）線段A3的兩端分別在直二面角a-CD-尸的兩個面a、夕內(nèi)，且與這兩個

面都成30。角，則直線A8與8所成的角等于.

彩他題,秘籍（二）

空間幾何體的切割（截面）問題

（1）作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

題型4：空間幾何體的切割（截面）問題

4-1.（2024.河南新鄉(xiāng).三模）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-44Gq中，E是棱CG的中點，過ARr

三點的截面把正方體ABC。-AgGR分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（）

4-2.（2024?河南?模擬預(yù)測）在正方體ABCD-A4GR中，分別為AD,CQ的中點，則下列結(jié)論正

確的個數(shù)為（）

①〃平面A41cC；②MNLBC③直線與所成角的余弦值為速

3

④過M,N,男三點的平面截正方體ABCD-A4cpi所得的截面為梯形

A.1B.2C.3D.4

4-3.（2024?河南.模擬預(yù)測）在正方體ABCD-ABCQi中，M,N分別為AD,的中點，過M,N,坊三

點的平面截正方體ABCO-A用G2所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

4-4.（2024高三下.北京東城?階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1,E,F,G分別為線段

8C,CG，BB1上的動點（不含端點），

①異面直線OQ與AF所成角可以為￡

4

②當(dāng)G為中點時，存在點E,E使直線4G與平面AEF平行

③當(dāng)E,尸為中點時，平面AEP截正方體所得的截面面積為5

O

④存在點G,使點C與點G到平面AEF的距離相等

則上述結(jié)論正確的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

4-5.（2024?新疆?二模）已知在直三棱柱ABC-A4G中，E,F分別為8月，AG的中點，4Al=2,AB^2,

BC=3也,AC=4,如圖所示，若過A、E、尸三點的平面作該直三棱柱ABC-A4G的截面，則所得截面

的面積為（）

A.MB.V15C.2A/5D.回

彩他題海籍

（四）

等角定理的應(yīng)用

空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

題型5:等角定理的應(yīng)用

5-1.（2024高一下?江蘇常州?階段練習(xí)）已知空間中兩個角NAOB用，且。4//QA，OB/ZO^,若

ZAOB=60°,則.

5-2.（2024高二.全國?課后作業(yè)）若空間兩個角。與夕的兩邊對應(yīng)平行，當(dāng)，=60。時，則夕=.

5-3.（2024高一?全國?專題練習(xí)）過正方體的頂點A在空間作直線/,使/與平面班目。和

直線BG所成的角都等于45。，則這樣的直線/共有條.

5-4.（湖北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期3月調(diào)研數(shù)學(xué)試題）在棱長均相等的四面體ABQ）中，尸為棱A￡）（

不含端點）上的動點，過點A的平面a與平面P3C平行?若平面a與平面MD,平面ACD的交線分別為機，

“，則加，”所成角的正弦值的最大值為.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024高三.北京.學(xué)業(yè)考試）四棱錐尸-ABCD如圖所示，則直線PC（）

A.與直線4。平行B.與直線相交

C.與直線8。平行D.與直線8。是異面直線

2.（2024廣東）若直線4和4是異面直線，4在平面a內(nèi)，&在平面夕內(nèi)，1是平面a與平面夕的交線，則

下列命題正確的是

A./與4，4都相交B./與4，4都不相交

C./至少與4中的一條相交D./至多與4，4中的一條相交

3.（2024高一?全國?課后作業(yè)）若直線/在平面a外，貝也與平面a的公共點個數(shù)為（）

A.0B.0或1C.1D.2

4.（2024?上海?模擬預(yù)測）如圖，正方體ABC。-4月6。中，尸、QRS分別為棱A&BC、網(wǎng)、C。的中點，連

接AS、耳。，對空間任意兩點M、N,若線段MN與線段AS耳。都不相交，則稱M、N兩點可視，下列選項

中與點2可視的為（）

5.（2024高二上?四川樂山?期末）若直線/與平面a有兩個公共點，貝心與a的位置關(guān)系是（）

N.IuaB.IllaC./與a相交D.lea

6.（2024高二上.上海靜安?階段練習(xí)）設(shè)AB、C、D是某長方體四條棱的中點，則直線43和直線8的位

置關(guān)系是（）.

A.相交B.平行C.異面D.無法確定

7.（2024高三.全國?專題練習(xí)）如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線

A.12對B.24對

C.36對D.48對

8.（2024高三?全國?專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為（）

A.18B.21C.24D.27

9.（2024高一?全國?課后作業(yè)）平面a上有三個不共線點到平面用距離相等，則平面a與平面廣的位置關(guān)系

是（）

A.相交B.平行C.垂直D.相交或平行

10.（2024高一?全國?課前預(yù)習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.一個平面內(nèi)三條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

C.平行于同一直線的兩個平面一定相互平行

D.如果一個平面內(nèi)有幾條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行

11.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖中,分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱柱）的頂點或

所在棱的中點，則表示直線是異面直線的圖形有（）

①②③④

A.①③B.②③C.②④D.②③④

12.（2024高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）已知直線/和平面a,若/〃a,Pea,則過點P且平行于/的

直線（）.

A.只有一條，不在平面a內(nèi)B.只有一條，且在平面a內(nèi)

C.有無數(shù)條，一定在平面a內(nèi)D.有無數(shù)條，不一定在平面a內(nèi)

13.（2024高三?全國?專題練習(xí)）將圖（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜邊

的中線AD折起得到空間四面體ABCD,如圖（2）,則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是（）

AA

圖⑴

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.異面且垂直D.異面但不垂直

14.（2024高三上?吉林長春?期末）如圖,在底面為正方形的棱臺ABC。-A耳6,中，E、F、G、H分別

為棱CG，BB、,CF,■的中點，對空間任意兩點M、N,若線段與線段AE、8,都不相交，則稱

點M與點N可視，下列選項中與點?？梢暤臑椋ǎ?/p>

A.4B.FC.HD.G

15.（2024?全國）在正方體A8CO-A4GR中，P為8a的中點，則直線尸3與AR所成的角為（）

16.（上海市曹楊中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體ABC。-446。中，點尸

是線段AG上的動點，下列與成始終異面的是（）

A.DDXB.ACC.AD]D.B]C

17.（2024?福建福州?三模）在底面半徑為1的圓柱。。|中，過旋轉(zhuǎn)軸。&作圓柱的軸截面A8CD,其中母線

AB=2,E是弧8C的中點，尸是AB的中點，貝U（）

A.AE=CF,AC與EE是共面直線

B.AE手CF,AC與EF是共面直線

C.AE=CF,AC與EF是異面直線

D.AE^CF,AC與跖是異面直線

18.（2024高二下?廣西桂林?期中）己知直線〃?u平面a,貝l|“平面a〃平面/是的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

19.（2024.新疆阿克蘇.一模）己知"，N,P是正方體4BCD-A4C1A的棱AB,AA,,cq的中點，則平

面MNP截正方體ABC。-ABC"所得的截面是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

20.（2023屆上海春季高考練習(xí)）如圖,尸是正方體ABCD-A4GA邊AG上的動點，下列哪條邊與邊

21.（2024高二上?浙江杭州?期末）已知空間三條直線/，加,"，若/與相異面，且/與“異面，則（）

A.機與"異面B.機與〃相交

C.相與”平行D.m與"異面、相交、平行均有可能

22.（2024高三?全國?專題練習(xí)）下列命題中正確的個數(shù)為（）

①若AABC在平面。外，它的三條邊所在的直線分別交。于尸、。、R,則？、。、R三點共線.

②若三條直線a、b、c互相平行且分別交直線/于A、B、C三點，則這四條直線共面；

③空間中不共面五個點一定能確定10個平面.

A.0B.1C.2D.3

23.（2024高三?全國?專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.兩個平面a,￡有一個公共點A,就說a,￡相交于過A點的任意一條直線.

B.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

C.如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

D.若直線。不平行于平面a,且aCa,則a內(nèi)的所有直線與。異面.

24.（2024高三?全國?專題練習(xí)）給出下列說法：①梯形的四個頂點共面；②三條平行直線共面；③有三個

公共點的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是（）

A.①B.①④C.②③D.③④

25.（2024?上海浦東新?一模）已知直線/與平面。相交，則下列命題中，正確的個數(shù)為（）

①平面a內(nèi)的所有直線均與直線/異面；

②平面a內(nèi)存在與直線/垂直的直線；

③平面a內(nèi)不存在直線與直線/平行；

④平面a內(nèi)所有直線均與直線/相交.

A.1B.2C.3D.4

26.（2024高一.全國?課后作業(yè)）直線/是平面a外的一條直線，下列條件中可推出的是

A./與a內(nèi)的一條直線不相交B./與a內(nèi)的兩條直線不相交

C./與a內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D./與a內(nèi)的任意一條直線不相交

27.（2024高三下.上海?階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABC-4與G的所有棱長均為1,點p、M、N分別

為棱AA、A8、A瓦的中點，點。為線段MN上的動點.當(dāng)點。由點N出發(fā)向點/運動的過程中，以下結(jié)

論中正確的是（）

C,

A.直線GQ與直線CP可能相交B.直線GQ與直線CP始終異面

C.直線G。與直線CP可能垂直D.直線C|Q與直線不可能垂直

28.（2024高三下.上海浦東新?階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A耳￡2中，M,N,P分別是棱,

A3的中點，。是線段上的動點，則下列直線中，始終與直線PQ異面的是（）

A.ABtB.BCjC.CAD.DD,

29.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）MGl,NGl,Nia,M^a,則有

A.I//aB./ua

C./與a相交D.以上都有可能

30.（2024高三上?重慶沙坪壩?期中）在棱長為3的正方體ABCO-A耳G，中，點P是側(cè)面ADRA上的點，

且點尸到棱9與到棱A。的距離均為1,用過點尸且與82垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底

面A8C。的投影多邊形的面積是（）

913

A.-B.5C.—D.8

22

31.（2024高三下?上海閔行?階段練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCQ-中，E,尸分別為AB,的

中點,對于如下命題:①異面直線DR與BE所成角的余弦值為4；②點尸為正方形4gG4內(nèi)一點，當(dāng)DPH

平面瓦EF時，ZJP的最小值為這；③過點3,E,尸的平面截正方體A8CD-4與6。所得的截面周長為

2

2舊+忘；④當(dāng)三棱錐耳-瓦部的所有頂點都在球。的表面上時，球。的體積為逐萬.則正確的命題個

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

32.（2024高三.全國.對口高考）如圖，正方體ABC。-4及6。的棱長為2TL動點尸在對角線上，過

點尸作垂直于8。的平面a,記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為g設(shè)=則當(dāng)xe[l,5]時，

函數(shù)y=的值域為（）

A.[3A/6,6A/6]B.[76,276]C.（0,^]D.（0,3#]

二、多選題33.（2024高一下?遼寧營口?階段練習(xí)）有下列命題：

①經(jīng)過三點確定一個平面；

②梯形可以確定一個平面；

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；

④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

其中正確命題是（）

A.①B.②C.③D.@

34.（2024高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列命題中錯誤的是（）

A.空間三點可以確定一個平面

B.三角形一定是平面圖形

C.若A,B,C,。既在平面。內(nèi)，又在平面夕內(nèi)，則平面a和平面夕重合

D.四條邊都相等的四邊形是平面圖形

35.（2024?河北廊坊?模擬預(yù)測）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立.下面給出的

平面幾何中的四個真命題，在空間中仍然成立的有（）

A.平行于同一條直線的兩條直線必平行

B.垂直于同一條直線的兩條直線必平行

C.一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補

D.一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補

36.（2024高一下?陜西西安?期中）如圖所示，在正方體中，M,N分別為棱GA，GC的

中點，則下列四個結(jié)論正確的是（）

A.直線與CG是相交直線B.直線A〃與BN是平行直線

C.直線BN與"用是異面直線D.直線AM與。R是異面直線

37.（2024高一?全國?課后作業(yè)）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點

B.若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線

C.若點A既在平面a內(nèi)，又在平面口內(nèi)，則a與夕相交于6,且點A在〃上

D.任意兩條直線不能確定一個平面

38.（2024高三.全國?專題練習(xí)）如圖，已知正方體ABCO-ABGA的棱長為2,設(shè)P,。分別為A耳，DDt

的中點，則過點P,。的平面a截正方體所得截面的形狀可能為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D,六邊形

39.（2024高一下?湖北武漢?期末）當(dāng)三個平面都平行時，三個平面可將空間分成4個部分，那么三個平面

還可將空間分成（）部分.

A.5B.6C.7D.8

40.（2024高三下?山東日照?階段練習(xí)）如圖，正方體A8CD-A耳GA的棱長為1，線段上有兩個動點

E、F,且所=；,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.線段42上存在點E、尸使得AE〃防B.所〃平面ABCD

C.aAEF的面積與△3EF的面積相等D.三棱錐48所的體積為定值

三、填空題

41.（2024高三.全國.專題練習(xí)）給出下列四個命題：

①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點；

②若平面a內(nèi)的一條直線a與平面P內(nèi)的一條直線b相交，則a與/相交；

③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；

④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面.

其中真命題的序號是.

42.（2024高一下.全國?課后作業(yè)）已知直線腸V_L平面a于N,直線NPLMN,則NP與平面a的關(guān)系

是.

43.（2024高一?全國?課后作業(yè)）如圖，把下列圖形的點、線、面的關(guān)系，用集合的語言表述：

⑵;

（3）.

44.（2024高一下?黑龍江齊齊哈爾?期末）已知空間中兩個角a,夕，且角a與角尸的兩邊分別平行，若夕=70。,

則，二.

45.（2024高二下?上海虹口?期末）在空間,如果兩個不同平面有一個公共點,那么它們的位置關(guān)系為.

46.（2024高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中

點，所組成的四邊形是.

47.（2024高二上?上海徐匯?階段練習(xí)）如圖，在長方體ABC。-4SC/D/中,

（1）直線A/B與直線。/C的位置關(guān)系是；

（2）直線48與直線8/C的位置關(guān)系是；

（3）直線。力與直線QC的位置關(guān)系是；

（4）直線AB與直線SC的位置關(guān)系是.

48.（2024高二上?上海徐匯?階段練習(xí)）設(shè)NA和N3的兩邊分別平行，若NA=45。，則的大小

為.

49.（2024高一?全國?課后作業(yè)）“直線/與平面。沒有公共點”是“/〃a”的條件.

50.（2024高一下.全國?課后作業(yè)）在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有組

互相平行的面，與其中一個側(cè)面相交的面共有個.

52.（2024高一.全國?單元測試）若直線。與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則。與a的位置關(guān)系是.

53.（2024高二上.上海奉賢.階段練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一小塊，八個頂

點共截去八小塊，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線A8與8所

成角的大小是

四、解答題

54.（2024高一?全國?課后作業(yè)）己知：Iua,Dea,Ael,Bel,C&l,D生I.求證：直線

共面于a.

aD

55.(2024高一?全國?課后作業(yè))如圖，A3CO為空間四邊形，點E,尸分別是AB,8C的中點，點G,H

分別在CD,AD1.,且。"=：A。，DG=；CD.

(1)求證：E,F,G,H四點共面；

(2)求證：EH,FG必相交且交點在直線8。上.

56.(2024高一下?北京?期末)如圖，在正方體ABCD-4BGA中，E是棱上一點，且CE:EQ=1:2.

(1)試畫出過A,AE三點的平面截正方體A