空間向量與立體幾何-2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)（含解析）

空間向量與立體幾何--2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)特訓(xùn)

一、選擇題

1.若空間中有三點A（2,0,4）,5（2,4,0）,C（l,4,4）,則點尸（0,0,0）到平面ABC的距離為

（）

A.&B.28C.夜0.272

2.若他,瓦丹是空間中的一組基底，則下列可與向量2+乙。一2｝構(gòu)成基底的向量是（）

A.方^-a+lbC.方+2ED.c

3.如圖，在正方體ABEF-DCE尸中，M,N分別為AC,3歹的中點，則平面

與平面MNB的夾角的余弦值為（）

「20

C.-------

3。?半

4.已知｛￡,反斗為空間的一個基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（）

―?―*―?-*—?-*—*―?-?―?—*—?-?

A.〃—2b,〃—2c,Z?—cB.a+2b-c.a+c,b-c

—?—?―?—?―?―?—?―?―?―?

C.2a,c,b+cD.a-c,b,2a-b-2c

5.鱉席是指四個面都是直角三角形的三棱錐.如圖，在鱉席p—ABC中，以,平面

ABC-AB=BC=PA=2,D,E分別是棱A&PC的中點，點尸是線段DE的中點,

則點口到直線AC的距離是（）

P/

c

AB立C.—D.叵

1484

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，E是PD的中點，點R滿足

CF=2FB.^PA=a,PB=b,PC=c,貝U而=()

P

C.—a——b+—cD.—a——b——c

236236266266

二、多項選擇題

7.如圖，長方體ABC。-A4Gq中，CQ=C]D]=29G用=1，點尸為線段瓦。上一

點，則不?印的值可以為()

c-lD.2

8.如圖,四棱柱ABCD-中,M為CD1的中點，。為C4上靠近點A的五等分點，則

^-2AM^AB+2AD+AA^

__kk3__3_____.

C.AQ=-AB+-AD+-AA^^-5AQ=AB+AD+4AA^

三、填空題

9.在空間直角坐標系中，定義：平面a的一般方程為Ar+gy+Cz+D=O(A,B,

C,DGR,A2+B2+C2^0),點P(Xo，%,Zo)到平面c的距離

djAxQ+ByQ+Cz0+D\則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側(cè)面

222

VA+JB+C

的距離等于.

10.直線/的方向向量為1=(1』,—D，且/過點4(—1,1,1),則點0(0,1,-1)到直線/的距離

為.

11.在空間直角坐標系中已知4(121),5(1,0,2),C(—l,l,4),CD為三角形ABC邊A3

上的高，則|CD卜.

四、解答題

12.如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且。6=例=八似=1,PB=2MD,

平面ABC。，PB//DM,點N為PC上的動點.

(1)求證：存在點N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

13.已知兩個非零向量口B，在空間任取一點。，作西="而=B，則/A08叫做向

量落5的夾角，記作＜々石＞.定義亍與石的“向量積”為：MxB是一個向量，它與向量

1,5都垂直，它的模版同=同節(jié)枷(乙,5＞.如圖,在四棱錐尸-ABCD中,底面

A5CD為矩形，尸底面ABCD。尸=ZM=4,E為A。上一點，|而x而|=86-

(1)求AB的長；

(2)若E為AD的中點，求平面PEB與平面EBA所成角的余弦值;

⑶若"為尸8上一點，且滿足而x而=之麗，求囚?

參考答案

1.答案：D

解析：AB=(O,4,^),AC=(-l,4,0),B4=(2,0,4),

設(shè)平面ABC的一個法向量為E=(%,y,z),

,\n-AB=Q[4y-4z=0人/日

由《一_.得z〈，令y=1得z=l，x=4,

n-AC=0[-x+4y=0

所以3=(4,1,1),

2x4+4xl

則點P（0,0,0）到平面ABC的距離為隼F=2\/2.

V16+1+1

故選:D.

2.答案：B

解析：由m,反丹是空間中的一組基底，故商,凡兩兩不共線，

對A:有口=；［2（萬+1）+（萬-2即，故A錯誤；

對B:設(shè)方+2石="z（萬+。+"（2-21）,貝！J有3+2^=（/n+w）a+（m-2n）c,

該方程無解，故a+2b^^a+c,a-2c構(gòu)成基底，故B正確；

對C:有乙+2C=g［4（&+C）—（〃一2司］,故C錯誤；

對D:有”;［（G+司—（1一21）］,故D錯誤.

故選:B.

3.答案：B

解析：設(shè)正方體的棱長為1,以3為坐標原點，BA,BE,5c所在直線分別為x軸、y

軸、z軸建立空間直角坐標系3-孫z,如圖所示，

5(0,0,0).

設(shè)平面AMN的法向量為4=(x,y,z),

%?AM-0,

由于:W=，麗=--0,則V

n}?AN=0,

11

——％+一z=0,

即|22

11八

——x+—y=0,

I22，

令x=l,解得y=l,z=l,于是〃i=(1,1,1),

同理可求得平面的一個法向量為〃2=(L-L-D，所以

/、%-11

儂所小胡甲用丁一屋

設(shè)平面MW4與平面MNB的夾角為，，則85。=卜05〈4,〃2〉|=；.故所求兩平面夾角的

余弦值為L故選B.

3

4.答案：C

解析：b—c=5(a—2c)—](a—20,A錯誤.a+2b—c=a+c+2僅一c),B錯誤.易得

2—"三個向量不共面,C正確.2Z—B—2]=2(Z—今―B,D錯誤.

5.答案：B

解析：

zp，

因為AB=5C，且△ABC是直角三角形，

所以AB_L5C.以3為原點，

分別以前，麗的方向為％，V軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系3-孫z.

因為AB=5C=K4=2，

所以A（0,2,0）,C（2,0,0）,D（O,1,O）?￡（1,1,1），

則又=（2,-2,0），〃=g,-l,g）.故點R到直線AC的距離

故點口到直線AC的距離是逅.

4

6.答案：C

解析：由題意知而=西-麗=,麗-（無+的

2

1,__9__________?1__.__.2__.__.

=-（PB+BD）-PC——CB=-（BD+PBk）-PC——（PB-PC）

2323

=-（BA+BC）--PC--PB

236

=-（PA-PB+PC-PB）--PC--PB

236

1.7—■1.

=-PA——PB+-PC

266

故選C.

7.答案：BD

解析：以點G為坐標原點，分別以G。、G用、GC所在直線為X、y、z軸建立如下

圖所示的空間直角坐標系，

則(0,0,0)、2(2,0,0)、C(0,0,2)、4(0,1,0),

設(shè)耶=2鴕=彳(0,-1,2)=(0,—42彳)，其中0W4W1,

則于=竭+肝=(0,1,0)+(0,—424)=(0,1—424),

Z^P=Z^q+QP=(-2,0,0)+(0,1-2,22)=(-2,1-2,22),

所以，qP-^P=(l-2)2+422=522-22+1=5^2-1^|+|,

因為0W4W1,則—工＜2—所以，＜—,

555L5J25

所以，CP-OP=5[A--]+-ef-,41,

I5[5」

故選：BD.

8.答案：BD

解析

AM=AB+BC+CM=AB+AD+^CD+Cq")

=AB+AD--AB+-AA=-AB+AD+-AA,

22’22'

即2加'=麗+2亞+相\故A錯誤、B正確；

AQ=AA^+A^Q=AA^+^A^C=AA^+^A^+D^q+Qc")

=A\+^[AD+AB-AA^=^AB+^AD+^A\,

即5醺=通+拓+4題，故C錯誤,D正確.

故選:BD.

生42y/5

9.答案：=-

解析：如圖，以底面中心。為原點建立空間直角坐標系。町2,則0(0,0,。)，

A(l,l,0),3(-1,1,0),「(。，。⑵成平面以臺的方程為加+為+0+0=。5,B,C,

A+B+D=0,

DeR,A2+B2+C2^0),分別將A,B,尸的坐標代入，得＜-A+3+。=0,解得

2C+D=0,

A=o,B=-D,C=-1D,所以一四一gr>z+r>=0,即2y+z—2=0,所以

J|2x0+0-2|2A/5

10.答案：叵

C_._、2

解析：Q=(l,0,-2),點p到直線/的距離為Q2_華^=日

1I|"|J

故答案為:0.

11.答案：3

解析：AC=(-2,-1,3),AB=(0-2,1),則fW卜內(nèi)，

AC-AB5憶

\AD\-

所以|CD|=yl\ACf-\ADf=V14-5=3,

故答案為：3

12.答案：(1)證明見解析

⑵巫

5

解析：(1)證明：因為四邊形A3CD是菱形，所以AD//BC,

又ADU平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBIIDM,。河仁平面PBC,PBu平面P3C,所以。腹〃平面P3C.

yLADC\DM=D,AD,DMu平面ADM,

所以平面AD暇〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MA3N與PC必有交點，且該交點為N,使AMHBN.

(2)以。為原點，DC,DM所在直線分別為y,z軸，過點。在平面ABCD內(nèi)作垂直

于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為四邊形A3CD是菱形，DB=AB,所以NZMB=60。，

XAB=DM=\,PB=2,PB,平面A3CD,

所以C(O,1,O)，fif—,-,oLA|—,--,0I，M(0,0,l),pf—,-,2

\22J\222J2\J

設(shè)平面AMP的法向量為/w=(x,y,z).

m?AM-0,

則有《

m-MP=0,

fV31

(%,y,z)?

即<

(611

(x,y,z)-TT1

取z=—l,則雁=(0,2,—1).

設(shè)平面MPC的法向量為〃=(a,b,c),

則有"■MP^O,

n-MC=Q,

即Ja也c)?口/I,=0,取a=_G則〃=(_國,1).

(a,b,c>(0,1,—1)=0,

-Gx0+lx2-1x1_1

則cos〈風(fēng)n)=----

\m\\n\氐6-5

所以二面角A-MP-C的正弦值為on

13.答案:(1)2；

(2)1;

3

(3)10.

解析：(1)因為底面ABC。為矩形，

所以AD〃BC,BCLDC，

因為尸。_L底面ABCD,BCu底面ABCD,

所以PDL8C，

又PDnDC=￡>,PD,DCu平面PDC,

所以BC_L平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以BCLPC，

因為AD//5C，

所以NPBC為直線A。與PB所成的角，

^<AD,BP>=NPBC，

設(shè)AB=x（x>0），

則PC=V%2+42=Jf+16,PB=6+42+42=&+32,

在RtAPBC中sinZPBC=—=>

PB&+32

X|A3XBP|=8A/5,

所以4&2+32.?'+16=8君,

Jf+32

解得了=2或x=-2（舍去），

所以AB=2；

（2）法一：在平面ABCD內(nèi)過點。作￡）尸_1_5￡交5E的延長線于點E連接「況

因為PD,底面ABCD,BFu底面ABCD,

所以PDLBF，

又。尸，BF,DFC\PD=D,DF,PDu平面PDF,

所以M_L平面PDF，

又PRu平面PDF,

所以族尸，

所以/p/Z）為二面角P—EB—￡）的平面角，

因為E為AD的中點，

所以DR=2sin：=0,PR=742+（72