遼寧聯(lián)盟2024年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

遼寧名校聯(lián)盟2024年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含

答案

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期聯(lián)盟試卷（一）

八年級(jí)數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.請(qǐng)準(zhǔn)備好必要的答題工具在答題卡上作答，在試卷上作答無(wú)效.

2.本試卷共三大題，23小題，滿分120分.考試時(shí)間120分鐘.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)

中，軸對(duì)稱圖形是（）

2.如圖，用一條寬相等的足夠長(zhǎng)的紙條，打一個(gè)結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2

所示的正五邊形ABCDE,其中/BAE的度數(shù)是（）

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（-6,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（-6,-2）B.（6,2）C.（2,-6）D.（6,-2）

4.如圖，在△ABC和QDEE中，ZA=ZD,AC=DF,要使得△ABC空,還需要補(bǔ)充一個(gè)

條件，則下列錯(cuò)誤的條件是（）

A.BF=CEB.AC//DFC.NB=NED.AB=DE

5.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm、2cm,則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

第1頁(yè)/共7頁(yè)

A.7cmB.9cm

C.12cm或者9cmD.12cm

6.小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，0A與地面垂直，兩腳在地面上用

力一蹬，媽媽在距地面1m高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她.若媽媽與爸爸到。4的水平

距離3D、CE分別為1.4m和1.8m,ZBOC=90°.爸爸在C處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是

D.1.4m

7.如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)。為44,的中點(diǎn)，只要量出49的

長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D,兩點(diǎn)之間線段最短

8.如圖，在△ABC中，=62°,NC=34。，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于工AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

2

兩弧相交AC的兩側(cè)于點(diǎn)N,作直線A/N,交3c于點(diǎn)D,連接AD,則NA4D的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C,40°D,35°

第2頁(yè)/共7頁(yè)

9.元旦聯(lián)歡會(huì)上，3名同學(xué)分別站在DABC三個(gè)頂點(diǎn)的位置上.游戲時(shí)，要求在他們中間放一個(gè)凳子,

該先坐到凳子上誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放置的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃诳贏BC的（）

A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C,三邊中線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

2

10.如圖，3。是NA3C的平分線，DEJ.AB于E,S^ABC=36cm,AB=18cm,BC=12cm,則DE

的長(zhǎng)為（）

3612

A.2cmB.—cmC.——cmD.3cm

135

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.如圖，ZVIBC中，AB=AC=4,P是5c上任意一點(diǎn)，過(guò)P作尸于。，PE1AB于E,若

S^BC=12,則PE+PD=

12.小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在NAO3上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為尸，邊。4與其中一把

直尺邊緣的交點(diǎn)為C,點(diǎn)C、尸在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5,則OC的長(zhǎng)度是.

13.如圖，在RdABC與RdDCB中，已知/A=/D=90。，請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不添加字母和輔助線）,

使RfaABC2你添加的條件是.

第3頁(yè)/共7頁(yè)

AD

14.如圖，亮亮想測(cè)量某湖A,B兩點(diǎn)之間的距離，他選取了可以直接到達(dá)點(diǎn)A,2的一點(diǎn)C,連接

CA,CB,并作5?！ˋC,截取5。=AC,連接CD,他說(shuō)，根據(jù)三角形全等的判定定理，可得

△ABC^ADCB,所以48=C。，他用到三角形全等的判定定理是

15.如圖，在等邊△ABC中，2尸是AC上中線且3R=4,點(diǎn)。在線段8尸上，連接AD,在AD的右側(cè)

作等邊△ADE,連接ER,則AE+EE的最小值為

三、解答題（本題共8小題，共75分）

16.如圖，點(diǎn)3、E、C、P在同一直線上，ZA=ZD=90°,BE=CF,AC=DF.求證:

NB=ZDEF.

17.學(xué)習(xí)完《利用三角形全等測(cè)距離》后，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)就“測(cè)量河兩岸A、2兩點(diǎn)間距離”這一問(wèn)

題，設(shè)計(jì)了如下方案.

課題測(cè)量河兩岸42兩點(diǎn)間距離

測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等

第4頁(yè)/共7頁(yè)

18.如圖，ZSABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(1,1),8(4,2),C(3,4).

(1)請(qǐng)寫(xiě)出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△431G的各頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)畫(huà)出△A3C關(guān)于丁軸對(duì)稱的△4刀夕2；

(3)在x軸上求作一點(diǎn)尸，使點(diǎn)尸到A、2兩點(diǎn)的距離和最小，請(qǐng)標(biāo)出尸點(diǎn)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

19.圖1是一個(gè)平分角的儀器，其中=OE,FD=FE.

第5頁(yè)/共7頁(yè)

(1)如圖2,將儀器放置在AABC上，使點(diǎn)。與頂點(diǎn)A重合，D,E分別在邊48AC上，沿A尸畫(huà)一

條射線AP,交BC于點(diǎn)P.AP是N5AC的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

(2)如圖3,在(1)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作PQLA3于點(diǎn)。，若尸。=6,AC=9,ZSABC的面積是

60,求A3的長(zhǎng).

20.如圖，△ABC中，ZA<60°,AB=AC,。是△ABC外一點(diǎn)，ZACD=ZABD=60°,用等式表示線段

BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

RC.

21.已知：如圖，AC/7BD,請(qǐng)先作圖再解決問(wèn)題.

(1)利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡.(不要求寫(xiě)作法)

①作BE平分NABD交AC于點(diǎn)E；

②在BA的延長(zhǎng)線上截取AF=BA,連接EF；

(2)判斷ABEF的形狀，并說(shuō)明理由.

AC

B/D

22.已知：在△ABC中，。是3c的中點(diǎn).

DC

【問(wèn)題解決】

(1)如圖1,若A3=6,AC=4,求AD的取值范圍.

小明的做法是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)使=連接BE,證明△AC。之△MB。，小明判定全等的

依據(jù)為：.

第6頁(yè)/共7頁(yè)

【類比探究】

(2)如圖2,在的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)M,ABAC=ZBCA,CM=AB,求證：AM=2AD.

【變式遷移】

(3)如圖3,NBA"=NM4C=90。，AB=AM,AC=AN,試探究線段AD與MN的關(guān)系，并證

明.

23.在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)、數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三

角形構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.通過(guò)資料查詢，他們得知這種模型稱為

“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：

【模型探究】

已知，在AABC中，AB=BC,點(diǎn)尸是AABC外部一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作射線AE.

(1)如圖1,若△A3C是等邊三角形，AE經(jīng)過(guò)NR4c內(nèi)部，ZBPA=60°,求證：ZAPC=60°.

小寧的做法是：在AE上截取8。=8尸，構(gòu)造“手拉手模型”，得出結(jié)論.

請(qǐng)你幫助小寧完成證明:

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,已知/B4C=NB24=30°.當(dāng)AE經(jīng)過(guò)NB4C內(nèi)，求NAPC的度數(shù).

【拓展提高】

(3)如圖3,已知/84。=/8尸4=30°.當(dāng)AE在AC下方，求NAPC的度數(shù).

B

圖2

第7頁(yè)/共7頁(yè)

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期聯(lián)盟試卷（一）

八年級(jí)數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.請(qǐng)準(zhǔn)備好必要的答題工具在答題卡上作答，在試卷上作答無(wú)效.

2.本試卷共三大題，23小題，滿分120分.考試時(shí)間120分鐘.

第一部分選擇題（共30分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）

1.第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)將于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)

中，軸對(duì)稱圖形是（

【答案】B

【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意;

B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.如圖，用一條寬相等的足夠長(zhǎng)的紙條，打一個(gè)結(jié),如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2

所示的正五邊形A3CDE,其中的度數(shù)是（）

D.135

【答案】B

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和=形-2）x180。=540。,

ZBAE=54^0-°-=108°,

5

第1頁(yè)/共19頁(yè)

故選：B.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸（-6,2）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（-6,-2）B.（6,2）C.（2,-6）D.（6,-2）

【答案】A

【詳解】解：點(diǎn)尸（-6,2）關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（-6,-2）,

故選A.

4.如圖，在△A3C和口。EE中，ZA=ZD,AC=DF,要使得△ABC咨△￡>￡/,還需要補(bǔ)充一個(gè)

條件，則下列錯(cuò)誤的條件是（）

A.BF=CEB.AC/IDFC.NB=NED.AB=DE

【答案】A

【詳解】解：：在和ODEE中，已有NA=ZD,AC=DE,

要使△ABC=ADEF,只需增加一組對(duì)應(yīng)邊相等或?qū)?yīng)角即可，

即需增加的條件是A5=DE,NACB=NDFE,NB=NE

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)A符合，

故選擇：A.

5.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm、2cm,則該等腰三角形的周長(zhǎng)是（）

A.7cmB.9cm

C.12cm或者9cmD.12cm

【答案】D

【詳解】若2cm為腰長(zhǎng)，5cm為底邊長(zhǎng)，

：2+2=4<5,不能組成三角形，

二不合題意，舍去；

若2cm為底邊長(zhǎng)，5cm為腰長(zhǎng)，

則此三角形的周長(zhǎng)為：2+5+5=12cm.

故選D.

6.小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，0A與地面垂直，兩腳在地面上用

第2頁(yè)/共19頁(yè)

力一蹬，媽媽在距地面1m高的8處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她.若媽媽與爸爸到0A的水平

距離3D、CE分別為1.4m和L8m,ZB0C=90°.爸爸在C處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是

A.ImB.1.6mC.1.8mD.1.4m

【答案】D

【詳解】解：?.?NBOC=90°,

r.AB0D+ACOE=9Q°,

■：ABDO=90°,ZCEO=9Q0,

ZBOD+ZOBD=9Q°,NCOE+NOCE=90。,

ZCOE=ZOBD,ZB0D=Z0CE,

又?：OB=CO,

:D0BD^C0E（AAS）,

0E=BD=1.4m,0D=CE=1.8m,

AE=0A-0E=0D+DA-0E=1.8m+lm-1.4m=1.4m.

故選：D.

7.如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑AB的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)。為AA'、的中點(diǎn)，只要量出4夕的

長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑AB的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（）

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

D.兩點(diǎn)之間線段最短

【答案】A

第3頁(yè)/共19頁(yè)

【詳解】解：??.點(diǎn)。為AA'、55'的中點(diǎn),

0A=0A',OB=OB'，

由對(duì)頂角相等得NA03=ZA'OB',

在和△A08中，

0A=0A'

<ZAOB=ZA'OB',

OB=OB'

:.AAOB^AA'OB'（SAS）,

AB=AB'，

即只要量出A'B'的長(zhǎng)度，就可以知道該零件內(nèi)徑A5的長(zhǎng)度，

故選：A.

8.如圖，在AABC中，ZB=62°,NC=34。，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于工AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

2

兩弧相交AC的兩側(cè)于點(diǎn)M,N,作直線MN,交3c于點(diǎn)D,連接AD,則NA4D的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

【答案】A

【詳解】解：根據(jù)作圖可知，垂直平分AC,

AD=CD,

：.ADAC=ZC=34°,

ABAC=180°-Z5-ZC=84°,

：.ABAD=ABAC-ADAC=84°-34°=50°,故A正確.

故選：A.

9.元旦聯(lián)歡會(huì)上，3名同學(xué)分別站在口ABC三個(gè)頂點(diǎn)的位置上.游戲時(shí)，要求在他們中間放一個(gè)凳子,

該先坐到凳子上誰(shuí)獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放置的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇魽BC的（）

A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三邊中線的交點(diǎn)D.三邊上高的交點(diǎn)

第4頁(yè)/共19頁(yè)

【答案】A

【詳解】解：：口ABC的垂直平分線的交點(diǎn)到口ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

，凳子應(yīng)放置的最適當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí)在口ABC的三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

故選：A.

2

10.如圖，3。是NA3C的平分線，DEJ.AB于E,S^ABC=36cm,AB=18cm,BC=12cm,則DE

的長(zhǎng)為（）

A.2cmC.—cmD.3cm

5

【答案】C

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作。E1BC于尸,

；3。是NA3C的平分線，DE1AB,

；?DE=DF,

VAB=18cm,BC=12cm,

SaABC=-xlWE+|x12.DF=36,

即;x18D￡+1x12DE=36,

解得DE=二(cm).

故選：C.

第二部分非選擇題（共90分）

二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）

11.如圖，ZSABC中，A3=AC=4,尸是3c上任意一點(diǎn)，過(guò)P作尸DLAC于。，尸于E,若

第5頁(yè)/共19頁(yè)

^△ABC=12,則PE+PD=

【答案】6

【詳解】解：連接AP,

?..「￡>，4。于￡>,PE工AB于E,SAABC=12,

：.-ABxPE+-ACxPD=-x4xPE+-x4xPD=2(PE+PD}=12,

2222v'

：.PE+PD=6.

故答案為：6.

12.小明將兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺如圖放置在NAO3上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為尸，邊。4與其中一把

直尺邊緣的交點(diǎn)為C,點(diǎn)C、尸在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5,則0C的長(zhǎng)度是.

【答案】3cm

【詳解】解：過(guò)尸作PNLOB于N,

第6頁(yè)/共19頁(yè)

由題意得：PM=PN,PC//OB,PMLOA,

PO平分NAOB,

ZCOP=ZNOP,

PC//OB,

ZCPO=NNOP,

ZCOP=ZCPO,

0C=PC,

；C、P在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5,

PC=5-2=3（cm）,

的長(zhǎng)度是3cm.

故答案為：3cm.

13.如圖，在RfAABC與RtZiDCB中,已知/A=/D=90。，請(qǐng)你添加一個(gè)條件（不添加字母和輔助線）,

使RdABC2RdDCB,你添加的條件是.

【答案】AB=DC

【詳解】解：添加條件是AB=CD

理由是：'：ZA=ZD=90,AB=CD,BC=BC,

：.RtAABC^Rt/\DCB（HL）,

故答案為：AB=CD.

14.如圖，亮亮想測(cè)量某湖A,8兩點(diǎn)之間的距離，他選取了可以直接到達(dá)點(diǎn)A,8的一點(diǎn)C,連接

CA,CB,并作5?！ˋC,截取5。=AC,連接CD,他說(shuō)，根據(jù)三角形全等的判定定理，可得

△ABC注ADCB,所以AB=CD,他用到三角形全等的判定定理是.

第7頁(yè)/共19頁(yè)

【答案】SAS

【詳解】解：

ZACB=NDBC,

在△ACB與△DBC中，

AC=BD

<ZACB=ZBDC,

BC=CB

.-.△ACB^ADBC(SAS),

AB=CD,

故答案為：SAS.

15.如圖，在等邊AABC中，8月是AC上中線且3R=4,點(diǎn)D在線段2尸上，連接AD,在AD的右側(cè)

作等邊△ADE,連接ER,則AE+EE的最小值為.

【詳解】解：?.?□ABC、△ADE都是等邊三角形，

AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

ZBAD=ZCAE,

:□BAD藥CAE(SAS),

ZABD=ZACE,

AF=CF,

ZABD=ZCBD=NACE=30°,

點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)(NACE=30°),

作點(diǎn)A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)M,連接FM交CE于E',

此時(shí)AE'+E'F的值最小，即AE'+E'F=ME'+E'F=FM,

第8頁(yè)/共19頁(yè)

?/CA=CM,ZACM=2ZACE=60°,

:DACM是等邊三角形，

?.?□ABC是等邊三角形，

:DACM^OACB(AAS),

BF=FM=4,

即：AE+EE的最小值是4,

故答案為：4.

16.如圖，點(diǎn)B、E、C、尸在同一直線上，ZA=ZD=90°,BE=CF,AC=DF.求證:

NB=ZDEF.

BBCP

【答案】見(jiàn)解析

【詳解】證明：：臺(tái)七二。咒,

ABE+EC=CF+EC,即3C=",

在RtAABC和RtADEF中，

AC=DF

BC=EF'

：.Rt/\ABC=Rt/\DEF(HL),

ZB=ZDEF.

17.學(xué)習(xí)完《利用三角形全等測(cè)距離》后，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)就“測(cè)量河兩岸A、B兩點(diǎn)間距離”這一問(wèn)

題，設(shè)計(jì)了如下方案.

課題測(cè)量河兩岸A、2兩點(diǎn)間距離

第9頁(yè)/共19頁(yè)

測(cè)量工具測(cè)量角度的儀器，皮尺等

A_______________

二3三三三三三

測(cè)量方案

本意圖

CDL

①在點(diǎn)2所在河岸同側(cè)的平地上取點(diǎn)C和點(diǎn)。，使得點(diǎn)A、B、C在一

條直線上，且CD=BC；

測(cè)量步驟②測(cè)得ZDCB=100°,ZADC=65°；

③在CD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使得NBEC=15°；

④測(cè)得DE的長(zhǎng)度為30米.

請(qǐng)你根據(jù)以上方案求出A、8兩點(diǎn)間的距離A3.

【答案】A、8兩點(diǎn)間的距離A3為30米

【詳解】解：NDCB=100。,NADC=65。,

ACAD=180°-ZDCB-ZADC=15°.

ZE=15°,

ZCAD=ZE.

在△DCA和口5?！曛?，

ZCAD=ZE

<ZACD=ZECB

CD=BC

ADCA也ABCE(AAS),

/.AC=EC.

???BC=CD,

:.AC—BC=CE—CD,

AB=DE=30米，

即A、B兩點(diǎn)間的距離AB為30米.

18.如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為8(4,2),C(3,4).

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(I)請(qǐng)寫(xiě)出AABC關(guān)于X軸對(duì)稱的△A與G的各頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)畫(huà)出△A3C關(guān)于y軸對(duì)稱的與G；

(3)在X軸上求作一點(diǎn)尸，使點(diǎn)P到A、8兩點(diǎn)的距離和最小，請(qǐng)標(biāo)出尸點(diǎn)，并直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

【答案】⑴點(diǎn)4(1，-1),4(4,一2),q(3,-4)

(2)見(jiàn)解析(3)(2,0)

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?□A5C與AA4G關(guān)于％軸對(duì)稱，

.?.點(diǎn)A(L-i),4(4,一2),q(3,-4).

【小問(wèn)2詳解】

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0).

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故答案為：（2,0）.

19.圖1是一個(gè)平分角的儀器，其中=OE,FD=FE.

（1）如圖2,將儀器放置在AABC上，使點(diǎn)。與頂點(diǎn)A重合，D,E分別在邊ABAC上，沿AF畫(huà)一

條射線AP,交BC于點(diǎn)P.AP是NR4c的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

（2）如圖3,在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作A3于點(diǎn)Q,若尸。=6,AC=9,的面積是

60,求A3的長(zhǎng).

【答案】（1）AP是NA4c的平分線，理由見(jiàn)解析

（2）AB=11

【解析】

【小問(wèn)1詳解】

解：AP是NA4c的平分線

AD=AE

理由如下：在和△AEE中，＜AF=AF,

DF=EF

AADF^AAEF（SSS）

ZDAF=ZEAF,

AP平分NB4C.

【小問(wèn)2詳解】

解：VAP平分ZBAC,PQJ-AB,

：.△APC的高等于PQ,

VPQ=6.

S^APC=6x9+2=27,

?^AABP=^AABC-^AAPC=33

AB=2sAABP+PQ=33x2+6=11.

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20.如圖，AABC中，ZA<60°,AB=AC,。是△ABC外一點(diǎn)，ZACD=ZABD=60°,用等式表示線段

BD、CD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】AC=BD+CD,證明見(jiàn)解析

【詳解】AC=BD+CD.

證明：如圖，延長(zhǎng)3。至E,使=連接AE,CE.

:DABE是等腰三角形.

?:NABD=60°，

.?□A3E是等邊三角形.

:.AE=AB=BE，ZAEB=600.

?/AB=AC,

AE=BE=AC.

ZACE=ZAEC.

???ZACD=60°-

ZACD=ZAEB.

NACE-ZACD=ZAEC-ZAEB.

即ZECD=ZCED.

CD=DE.

BE=BD+DE=BD+CD.

AC=BD+CD.

21.已知：如圖，AC〃:BD,請(qǐng)先作圖再解決問(wèn)題.

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（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡.（不要求寫(xiě)作法）

①作BE平分NABD交AC于點(diǎn)E；

②在BA的延長(zhǎng)線上截取AF=BA,連接EF；

（2）判斷aBEF的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；（2）Z\BEF是直角三角形；證明見(jiàn)解析.

【詳解】解：⑴①如圖，點(diǎn)E即為所求；

②如圖，AF,EF即為所求；

ZABE=ZEBD.

VAC/7BD,

ZEBD=ZAEB,

.\ZABE=ZAEB,

.*.AE=AB.

VAB=AF

；.AE=AF,

.\ZAFE=ZAEF,

*/ZABE+ZAEB+ZAFE+ZAEF=180°

.\ZAEB+ZAEF=90°

即ZBEF=90°

...△BEF是直角三角形.

22.已知：在△ABC中，。是5c的中點(diǎn).

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圖1圖2圖3

【問(wèn)題解決】

（1）如圖1,若A3=6,AC=4,求AD的取值范圍.

小明的做法是：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)M,使=連接BE,證明△AC。注，小明判定全等的

依據(jù)為:

【類比探究】

(2)如圖2,在3c的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)M,ZBAC=ZBCA,CM=AB,求證：AM=2AD.

【變式遷移】

(3)如圖3,ZBAM=NM4C=90°,AB=AM,AC=AN,試探究線段AD與MN的關(guān)系，并證

明.

【答案】（1）SAS-,（2）見(jiàn)解析；（3）MN=2AD,MNLAD,證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）解：???。是3c的中點(diǎn),

BD=CD,

?；BD=CD,ZADC=ZMDB,MD=AD,

：.HADC^MDB（SAS）,其中判定全等的依據(jù)為SAS,

故答案為：SAS；

（2）解：延長(zhǎng)AD到E,使AO=DE,連接BE,

?.?。是3c的中點(diǎn),

CD=BD,

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在△ADC和LEDB中

DC=DB

<ZADC=ZEDB,

DA=DE

.?△ADC咨AEDB(SAS),

BE=AC,ZBCA=ZEBD,

ABAC=ZBCA,ZACM=ZABC+ABAC,NEBA=ZEBD+NABD,

ZACM=NEBA,

在△ACM和中，

AC=EB

<ZACM=NEBA,

CM=BA

:.AACM^AEBA(SAS),

AM=AE=2AD.

(3)解：MN=2AD,MN±AD,

證明如下：

如圖，在AD的延長(zhǎng)線上截取￡>W=A。，連接

則AH=2AD,

?.?。是3c的中點(diǎn),

CD=BD,

.-.△CDH^ABDA(SAS),

CH