遼寧省2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

遼寧省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

檢測(cè)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

八八人幺=周|2_司<1]B-[x\a<x<a+3).N<x<5)n.n

i.已知集合1111>,5兀若一兀則。一()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再根據(jù)并集得出參數(shù)的值.

【詳解】因?yàn)?=(1,3),2。8=(1,5),又因?yàn)?=(a,a+3),

所以。+3=5,即a=2.

故選：C.

2.如圖，在V45c中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，AD=3GD)則用向量方，k表示數(shù)為()

BDC

mm2^11111:1LUUiULD2^

A.BG=——AB+-ACB.BG=——AB+-AC

3333

tun201111UL?uun21X111UL?

C.BG=—AB——ACD.BG^-AB+-AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的線性運(yùn)算求解即可.

__.2__-

【詳解】AD=3GD，故=

則瑟=成+*=函+2詼=函+2*1（益+宿=二次

332、/33

故選：A

3.在等比數(shù)列｛叫中，記其前〃項(xiàng)和為%已知的=-％+2%,則各的值為（）

A.2B,17C.2或8D.2或17

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得4=1或4=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得%/=—

整理得/+q_2=0,

解得q=1或q=-2.

邑=也=2

當(dāng)4=1時(shí),

S44al

q(q8_i)

q-i

當(dāng)q=—2時(shí)，|=q4+l=17.

4T/—i

q—i

所以善

的值為2或17.

故選：D.

4.每年10月1日國(guó)慶節(jié)，根據(jù)氣象統(tǒng)計(jì)資料，這一天吹南風(fēng)的概率為25%,下雨的概率為20%,吹南風(fēng)

或下雨的概率為35%,則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（）

A.5%B.10%C.15%D.45%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式直接得出結(jié)論.

【詳解】由題知，既吹南風(fēng)又下雨的概率為25%+20%-35%=10%.

故選:B

5.若直線/：y=Ax+3-左與曲線c：y=J1二7恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

44343

A.—,+?9B.C.D.

33；2352

【答案】B

【解析】

【分析】先得到直線過(guò)定點(diǎn)尸（1,3）,作出直線/與曲線C,由圖求出直線/過(guò)點(diǎn)幺（-1,0）時(shí)的斜率和直線/

與曲線C相切時(shí)的斜率即可樹(shù)形結(jié)合得解.

【詳解】由＞=依+3-左=左（》一1）+3可知直線/過(guò)定點(diǎn)尸（1,3）,

曲線C:y=JI一兩邊平方得/+/=1（＞20）,

所以曲線C是以（0,0）為圓心，半徑為1且位于直線x軸上方的半圓,

3

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)2（-1,0）時(shí)，直線/與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，止匕時(shí)0=-k+3-左n左=],

,、\i-k\

當(dāng)直線/與曲線C相切時(shí)，直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)，圓心（0,0）到直線/的距離4=方充=1,兩邊平方

4

解得左=§，

43

所以結(jié)合圖形可知直線/與曲線C恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則一〈左＜一.

32

故選：B.

6.已知/(x)=sin|ox+烏+0”0>0,閘(烏為偶函數(shù),g(x)=sin(0X+。），則下列結(jié)論不正確的

32

是()

71

A.展不

若g(x)的最小正周期為3兀，則0=g

B.

C.若g(x)在區(qū)間(o,7l)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則①的取值范圍為

D.，則。的最小值為2

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)/(x)是偶函數(shù)求。判斷A選項(xiàng)；根據(jù)最小正周期公式計(jì)算可以判斷B選項(xiàng)；據(jù)有且僅有

3個(gè)最值點(diǎn)求范圍判斷C選項(xiàng)；據(jù)函數(shù)值求參數(shù)范圍結(jié)合給定范圍求最值可以判斷D選項(xiàng).

【詳解】/(x)=singx+'+03>0,忸|<3J為偶函數(shù),

lTTITJTIT

則—(p——Fku,左￡Z,|(f\<一.(p=1,A選項(xiàng)正確；

3226

2兀2

若g(x)的最小正周期為3兀，由g(x)=sin(?x+0)則7=——=3兀,「.。=一，B選項(xiàng)正確;

CD3

XG(O,7l),^x+—G(工，/兀+巴)

666

若g(%)在區(qū)間(0,兀)上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，

E5兀兀，7兀7,103TH丁也

則<初IH<,—V刃<,C選項(xiàng)正確;

_.7C7171-、717C27r-

則G—十———F27kji或co—+——---F2k7ji,無(wú)￡Z,

463463

2

則@=—+8左或〃>=2+8左，左wZ,

3

又因?yàn)?>o,則。的最小值為2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

3

故選:D.

7.已知(x——的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為—1280,貝巾=()

A.-2B.2C.-V2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理并分類(lèi)討論，即可求解.

【詳解】由題意，[x—q]的通項(xiàng)公式為=Q26T(—4)―6一2、

令6—2尸=0,則r=3,

7

令6-2/=-1,則尸=一不符合題意，

2

所以(x—l)[x—的常數(shù)項(xiàng)為—C：23(—4)3=—1280,

解得a=-2.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=log2X-機(jī)―+X,若不等式/(x)>0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是()

A3+log23^3+log233

"-9—JB.~954

、F3+log233]33+log23

L94)8；-9—)

【答案】C

【解析】

【分析】不等式/(x)>0可化為1<嶺婦，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)=g叱的單調(diào)性，作函數(shù)

XX

h(x)=mx-l,g(x)=理場(chǎng)的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求機(jī)的取值范圍.

X

【詳解】函數(shù)/(》)=1。82%一鵬2+X的定義域?yàn)?0,+(?)，

不等式/(x)>0化為：

X

令〃(x)=〃x-1,g(x)=log2.-xlog,e-log2x

^w=-——三—k^eTog2了，

故函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,當(dāng)x=l時(shí)，g(x)=0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<0,

當(dāng)Xf+00時(shí),g(x)f0,當(dāng)x>0,且x.0時(shí),g(x)-?-00,

畫(huà)出g(x)及〃(x)的大致圖象如下,

10g2X

因?yàn)椴坏仁?(x)>0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解,

故正整數(shù)解為1,2.

W(2)<g⑵

2，解得以火

故<即《*二.

["3"g⑶'logj394

3m-i>一三一

3

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)

2

i+i+p+...+i2023

9.已知復(fù)數(shù)2=—,則下列結(jié)論正確的是()

1+i

1-i1-i_l+i

A.z=-----B.z=--C.z=---

222

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用i+i2+i3+j4=0對(duì)分子化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，可求共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模依次判斷即

可得出結(jié)果.

i,〃=4k+1

—1,〃=4左+2

234

【詳解】因?yàn)槎?.A.,左￡Z,所以i+i+i+i=0，

一1,〃=4上+3

1,”=4左

23423

??2?3?2023505(i+i+i+i)+i+i+ii+p+p_i

1+1+1+…+111.

所以Z=-----------------------------------------F—1，

1+i1+i1+i1+i(l+i)(l-i)22

所以A正確，B錯(cuò)誤,

D正確.

故選：ACD

10.“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn),

使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)V48C的三個(gè)內(nèi)角均

小于120。時(shí)，使得44。8=/80。=/。。4=120°的點(diǎn)0即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)V45C有一個(gè)內(nèi)角大于或等

于120。時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）

A,正三角形的的費(fèi)馬點(diǎn)是正三角形的中心

UUULIUUUI

B.若P為V4SC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA+PB+PC=。，則V48c一定為正三角形

C.若V4SC三邊長(zhǎng)分別為1,6,2,則該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為J7

JT

D.V48C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZA=-,bc=2,若點(diǎn)P為V48C的費(fèi)馬點(diǎn)，

2

________巧

財(cái)PA.PB+PB-PC+PC?PA=―匚?

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】對(duì)A,根據(jù)正三角形中心的性質(zhì)結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)定義易判斷；對(duì)B,取48的中點(diǎn)。，由

秒+方+定=?？傻命c(diǎn)尸是V48c的重心，再結(jié)合條件可得點(diǎn)尸是V48C的中心，得證；對(duì)C,利

用三角形旋轉(zhuǎn)，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)定義，構(gòu)造正三角形轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)求解；對(duì)D,由向量數(shù)量積定義，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)

定義和三角形等面積法列式求解.

【詳解】對(duì)于A,如圖。是正三角形48c的中心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)易得

ZAOB=ZAOC=ZBOC=120°，所以點(diǎn)。是正三角形48c的費(fèi)馬點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B,如圖，取48的中點(diǎn)。，則再+而=2而，因?yàn)楦?方+京=6,

ULA1IULLN

所以尸C=-20。，所以C,P,。三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P是V45C的重心，

又點(diǎn)P是YABC的費(fèi)馬點(diǎn),則NAPB=ZAPC=ZBPC=120°，

則N4PZ)==60°，又AD=BD,易得PA=PB,同理可得PC=P5,

所以尸N=尸8=PC所以點(diǎn)尸是V/5c的外心，所以點(diǎn)尸是V48c的中心，

即V4BC是正三角形.故B正確；

對(duì)于C,如圖，在Rt^ZBC中，AB=1,8C=G，AC=2,NNC5=30°，

點(diǎn)。是RtZkABC的費(fèi)馬點(diǎn)，將ACCM繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CEQ，

易證ACOE,A/CD是正三角形，

則OC=OE,OA=DE,CD=AC,且點(diǎn)瓦。,瓦。共線，

所以N8CD=90。，所以AD=yjBC2+CD2=J(+22=77-

5iOA+OB+OC=DE+OE+OB=DB=

即該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離之和為近.故c正確;

對(duì)于D,由費(fèi)馬點(diǎn)定義可得N4P5=NAPC=NAPC=120°，

設(shè)尸Z=x,PB=y,PC=z,x.y.z>0,

可得L廣電+Lz.也+1z.也」x2

由S'ABC~S'PAB+‘VPAB+S'PAB'

2-2222-22

整理得xy+yz+xz=，

所以蘇.而+方.正+卮.再=++

1/\14-\/32-\/3+6c*jt、口

=—（XV+yz+xz]=—x----=------,故D錯(cuò)厭.

2、'233

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，解答D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于利用三角形等面積法求

中4G

出盯+yz+xz=§-

11.在四面體ABCD中，棱AB的長(zhǎng)為4,ABLBD,CDVBD,BD=CD=2,若該四面體的體積為

述，則（）

3

7T

A.異面直線AB與CD所成角的大小為一

3

B.AC的長(zhǎng)可以為2Jd

C.點(diǎn)D到平面ABC的距離為2叵

7

D.當(dāng)二面角8C-。是鈍角時(shí)，其正切值為-指

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)等體積法可結(jié)合三角形的面積公式可得sinNCQ￡=X上，即可由異面直線的角的定義求解

2

A,根據(jù)余弦定理即可求解B,根據(jù)等體積法即可求解C,根據(jù)二面角的幾何法，結(jié)合同角關(guān)系即可求解

D.

【詳解】在平面45。內(nèi)過(guò)。作。E8,且ED=4B,

由于48LAD,故四邊形4aDE為矩形，

CD1BD,DELBD,BD[}DE=C,CDu平面CDS,QEu平面CDS,故AD1平面C￡>￡,

故VC-ABD=VC-EDA=VB-CDE=-S^CDE'BD=S^CDEX2=~~'

S△LrnDF匕=-2CDDE-sinZCDE=-2x2x4sinZCDE=4sinZCDE

故%ABD=~SrnPx2=-x4sinZCDEx2=—，因此sin/CDE=立，

C-ABD3ACUZI332

由于NC￡)￡e(O7),所以NCQE=q或整，

7T

由于NCDE為異面直線4B與CD所成角或其補(bǔ)角，故異面直線48與CD所成角的大小為一，A正確，

3

當(dāng)NCDE=g時(shí)，CE=dCD?+DE2—2co.DE.cosNCDE=,+4?—2x2x4xg]=23,

由于8。1平面CDE,AE//BD,；.4E上平面CDE,CEu平面CDE,故Z￡，C￡,

此時(shí)AC="爐+幺爐=4挺

5

當(dāng)NCQ￡=工時(shí)，CE7CD2+DE?-2CD-DE-cosNCDE=j2?+4?—2x2x4><L=2百,

3\2

由于8D工平面CDE,4E〃8￡),.?.ZE,平面CDE,CEu平面CDE,故NELCE,止匕時(shí)

AC=^CE2+AE2=4，故B錯(cuò)誤，

由于8C=\lCD2+BD2=2V2,4B=4,

當(dāng)NC=4夜時(shí)，cosABAC=16+31-!-=,故sin/5NC=恒，

2x4x4近88

SARC=-AB-AC-sinZBAC=-x4x4y[2x^-=241,

"BC228

當(dāng)NC=4時(shí)，cosABAC=+=y>故sinN8/C=——

2x4x444

S=-AB-ACsinZBAC=247,

△TAIDRGC2"

4G

故點(diǎn)D到平面ABC的距離為d=~—=己叵=口包,c正確,

1<S.BC7

3Q&ABC

當(dāng)NC=4時(shí)，Z8=ZC=4,CZ)=8Z)=2,取8c中點(diǎn)為0,連接0/,。。,

則ZAOD即為二面角N—8C—。的平面角,

OD=^BC=^CD2+BD2=^2，AO=^AB^OB2=V14

1A+2-(BD2+AD2^14±22=—正＜o(jì),故nn。。為鈍角,符合題意，此

所以cosNZOD=

2x714x722xV14xV27

sinZAODrr

時(shí)tanNAOD=------------=—V6

cosZAOD

4G

當(dāng)ZC=4,由于點(diǎn)A到平面BDC的距離為"=丁二一=^-=273

_CS&BDC

33BDC

設(shè)A在平面BDC的投影為〃，則AH=2日故HD=^AD2-HA2=2正，HC=y）AC2-AH2=26，

因此點(diǎn)。為以。，。為圓心，以半徑為2J5,2亞為半徑的圓的交點(diǎn),

顯然交點(diǎn)位于8C,同。的一側(cè)，故此時(shí)二面角Z-5C-。為銳角，不符合要求，故D正確,

故選：ACD

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

ab

12.已知a,beR+,4a+6=l,則----的最大值是_________.

a+b

【答案】-

9

【解析】

【分析】先求出工+工的最小值，再將4化為7萬(wàn)，即可求得答案.

aba+b-+7

ab

【詳解】因?yàn)閍/eR+,4〃+6=1,

11(11"7、U64。u。

—+—=—+—(4。+6)=5+—+—>5+2.

ab\ab)'7ab

b4Q11

當(dāng)且僅當(dāng)一=丁，結(jié)合4a+6=l,即。=:力二彳時(shí)等號(hào)成立，

ab63

ab11

------=-------<—abI

所以a+b11-9,即一r的最大值是一，

—+ya+b9

ab

故答案為：—

9

13.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫(huà)空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的

曲率等于2兀與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多

面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體（四個(gè)

TT

面都是等邊三角形圍成的幾何體）在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是一，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲

3

兀

率為2?！?x—=兀，故其總曲率為4兀.我們把平面四邊形48。外的點(diǎn)尸連接頂點(diǎn)A、B、C、。構(gòu)

3

成的幾何體稱(chēng)為四棱錐，根據(jù)曲率的定義，四棱錐的總曲率為.

【答案】4兀

【解析】

【分析】根據(jù)曲率的定義求解即可.

【詳解】由定義可得多面體的總曲率=2兀x頂點(diǎn)數(shù)一各面內(nèi)角和，

因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，

所以任意四棱錐的總曲率為2兀x5-（兀x4+2兀*1）=4兀.

故答案為：4兀.

22

14.過(guò)雙曲線4-1（。>01>0）的上焦點(diǎn)與，作其中一條漸近線的垂線，垂足為〃，直線耳〃與

ab~

雙曲線的上、下兩支分別交于M,N,若彷=3加，則雙曲線的離心率e=.

【答案】75

【解析】

【分析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為月，|冏4=/,|N"|=3/,由題意結(jié)合雙曲線定義可依次求出陽(yáng)〃|、

|。叫、陽(yáng)"I、閨N|、EM和接著分別在Rt△片。H、△片和△片N4中結(jié)合余弦定理

求出cos/。片M,進(jìn)而建立等量關(guān)系式求出"從而求得6=2。，進(jìn)而由離心率公式即可得解.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為鳥(niǎo)，由題片（0,。），雙曲線的一條漸近線方程為y=-fx即ax+力=0,

b

??\bc\\bc\??

過(guò)該漸近線作垂線，則由題閨/==\OF,\=c,

+b~yjc-

^\HM\=t,則由題|NH|=3L陽(yáng)=閨N|=b+3f,

所以|7^7V|—b-\-3t—2a,=—/+2〃，

市W『+年月12T月w『_伍一）2+（2°y一伍7+2a）2

在中，cosZOF^M=②,

2怛MM可2伍-,）（2c）

忸必+忸g|2-1|2_（/,+3?）2+（2c）2-（b+3t-2a）2

在△片N6中，cosZOF{M=③,

2忸MM可2伍+37）（2c）

（b-tX+（2cY-（b-t+2aYb.ab

由①②得1—1―—一--------乙—9,化簡(jiǎn)解得/二

2（6-r）（2c）a+b

b

由①③得化簡(jiǎn)解得/=

2（ZJ+3?）（2C）

故答案為：4s.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：依據(jù)題意設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為月，|〃〃|=八則結(jié)合雙曲線定義可得Rt△大。〃、

AF'MF2和△片N居的邊長(zhǎng)均是已知的，接著結(jié)合余弦定理均可求出三個(gè)三角形的公共角NOF］M的余弦

值cos/O^M,從而可建立等量關(guān)系式依次求出f和6=2a,進(jìn)而由離心率公式得解.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟）

15.設(shè)S〃為數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和，滿足S“=l—

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）記7；=S；+S；+…+S；,求北.

【答案】（1）an=

【解析】

【分析】（1）應(yīng)用5“-5恒=4,再結(jié)合等比數(shù)列定義及通項(xiàng)公式計(jì)算即可；

（2）先化簡(jiǎn)得出S；=l-（g）〃T+（；）",再應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，滿足S〃=l一%,

當(dāng)〃22時(shí)，可得=1—an_x,

a”1

兩式相減得a”一〃“，即2Q〃=Q〃T，所以----二5，

an-\幺

令〃=1,可得E=1-q=q,解得q=；,

所以數(shù)列｛aj構(gòu)成首項(xiàng)為:，公比為g的等比數(shù)列，

所以｛aj的通項(xiàng)公式為%=|-（1）"-1=（1）".

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知%=（］）",可得S"=i—（］）"，

所以出=口-（；）"『=1-2?（1）?+（；產(chǎn)=i-（1r+（5,

2221；山—(；)"]3n-5

]_

貝iK=s；+s；+…+即=。+1+…+i)——一

1--1--33

24

16.如圖，正四棱臺(tái)48co—EFG4■中,EG=2NC=4,〃N上為上下底面中心的連線，且與側(cè)面

6

所成的角的正切值為注.

2

(1)求點(diǎn)A到平面M/G的距離;

(2)求二面角￡——G的余弦值.

V6

【答案】(1)

~6~

⑵一:

【解析】

【分析】(1)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，利用點(diǎn)面距向量公式，可得答案;

(2)求得兩個(gè)平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，易知兒取兒以,MB兩兩垂直，分別以為x,y,2軸建立直角坐標(biāo)系，如下圖:

則幺(1,0,0),M(0,0,0),//(0,-2,1),G(-2,0,1),mW=(0,-2,1),W=(-2,0,1),

n-MH=—2y+z=0

設(shè)平面〃HG的法向量為=(x,y,z),則＜_.，令z=2,則x=l,y=l,

n?MG=—2x+z=0

所以平面MfG的一個(gè)法向量力=(1,1,2),取疝=(1,0,0),

\MA-n\1癡

點(diǎn)A到平面MHG的距離d=1,,1=,=—.

\n\Vl+1+46

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知E（2,O,1）,2（O,—2,1）,M（O,O,O）,G（_2,O,1）,

取版=（2,2,0）,施=（2,0,1）,麗=（-2,2,0）,標(biāo)=（-2,0,1）,

m,-HE=2x+2y.=0

設(shè)平面E7W的法向量能i=(xi，%,zj,貝卜——."，令X]=—1,貝（1%=1/2=2,

Wj-ME=2x1+2]=0

所以平面￡7￡攸的一個(gè)法向量而=(-1,1,2),

—..、m,-HG=-2x,+2y,=0

設(shè)平面HA/G的法向量機(jī)2=（》2，%，22），貝M二.一,一，令/=1，則M=1,4=2,

~m2-MG=-2x2+z2=0

所以平面￡8G的一個(gè)法向量點(diǎn)=(1,1,2),

-^2I—1+1+4|2

設(shè)二面角￡——G的大小為3,則cos。=1'=

風(fēng)?用1+1+43

17.某汽車(chē)公司最新研發(fā)了一款新能源汽車(chē)，并在出廠前對(duì)100輛汽車(chē)進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上

是指新能源汽車(chē)所裝載的燃料或電池所能夠提供給車(chē)行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得

到如下的頻率分布直方圖:

(I)估計(jì)這100輛汽車(chē)的單次最大續(xù)航里程的平均值三(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車(chē)測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽

車(chē)的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中日近似為樣本平均數(shù)萬(wàn)，◎近似為樣本標(biāo)

準(zhǔn)差S.

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車(chē)公司購(gòu)買(mǎi)了20輛該款新能源汽車(chē)，記Z表示這20輛新能源汽車(chē)中單次最大續(xù)

航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車(chē)輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(〃,b2),則尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2b<J<〃+2tr)=0.9545,尸(〃一3b<J<〃+3cr)=0.9973l.

（3）某汽車(chē)銷(xiāo)售公司為推廣此款新能源汽車(chē)，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車(chē)在x軸上從原點(diǎn)0出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都工，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車(chē)向右移動(dòng)一次，若擲出正面，則遙控車(chē)向移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，則遙控車(chē)

向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車(chē)移到點(diǎn)（59,0）（勝利大本營(yíng)）或點(diǎn)（60,0）（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)

束，若遙控車(chē)最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車(chē)優(yōu)惠券.設(shè)遙控車(chē)移到點(diǎn)（〃,0）的概率為

Pn[i<n<60）,試證明數(shù)列優(yōu)一匕1｝是等比數(shù)列（2<?<59）,求出數(shù)列｛5｝（1口V60）的通項(xiàng)公

式，并比較人9和累0的大小.

【答案】（1）300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

2_j_

36

（3）證明見(jiàn)解析,49>穌0

11

-+-

36

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得正確答案.

（2）（i）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求得正確答案.

（ii）根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得正確答案.

（3）根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法求得匕，利用差比較法比較巴9和Ko的大小?

【小問(wèn)1詳解】

x~205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小問(wèn)2詳解】

0954506827

(i)尸(250.25<X<399.5)=0.6827+---=0.8186.

(ii))服從二項(xiàng)分布5(20,0.8186)E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)3W“459時(shí)，Pn+*，尸"-Pnl=一；(巴一1一5—2)，

乙乙I'?I

{5—5_1}(2<〃<59)是以;為首項(xiàng)，―；為公比的等比數(shù)列，

々—4i=；,g](2W〃W59).

P2~PX~P2—Qi(2<ZZ<59).

累加得：

Ui/」門(mén)

4[2)21(1V111r1Y8

=2^n8=i+6\d'

Pn-P^———.~--(2V〃V59),4

1+136V2J

2

g—gU,1<?<59

:.p—<

."11IM

—H-,77=60

〔36⑴

11f1V81((iY8>|

???—]于圖4-0J>0,二與>取.

注：比較己9和兄。的另一個(gè)過(guò)程：己9>|-1=-

5，%=i-4<5<4,

X+1

18.已知函數(shù)/(X)=「一.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若不等式d/(》)+。111》21恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(3)已知直線/是曲線y=/(x)在點(diǎn)?,/?))處的切線，求證：當(dāng)f>1時(shí)，直線/與曲線y=/(x)相交

于點(diǎn)卜,/(§))，其中s<f.

【答案】(1)極大值為1,沒(méi)有極小值

(2)[-e,0]

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)性和極值;

(2)根據(jù)題意可得x+alnx?O恒成立，構(gòu)建g(x)=x+alnx,x>0,分類(lèi)討論。的符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)求

最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解；

(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得當(dāng)，>1時(shí)，方程山+與―廠+'+1=0有小于/的解,構(gòu)建

exee

A(x)=—+--r+Z+1,其中/>1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)分析證明.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可知：/(x)的定義域?yàn)镽,且/'(%)=三，

e

令/'(X)=0時(shí)，x=0,

則X，f(x),/(X)的關(guān)系為

X(-°0,o)0(0,+co)

f(x)+0—

/(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以，當(dāng)x=0時(shí)，/(X)取到極大值為1,沒(méi)有極小值.

【小問(wèn)2詳解】

若exf(x)+alnx>l,即x+alnx20恒成立，

設(shè)g(x)=x+alnx,x>0,則g<x)=1+@=火工,

xx

①當(dāng)。=0時(shí)，則g(x)=x>0恒成立，符合題意；

②當(dāng)口〉0時(shí)，則g'(x"0,可知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因?yàn)間e"=e0-1<0,所以x+alnx20不恒成立；

③當(dāng)a<0時(shí)，x,g'(x),g(x)的關(guān)系為

X(0,-4)-Q(-a,+“)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

可知g(x)的最小值為g(x)min=—a+aln(-a),則一a+aln(-a)20,

因?yàn)?。?,貝！j1—In(-a)20,解得—efa＜0；

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍是卜e,0].

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)?(x)=W，/'(x)=三，則/?)=＜，k==

eeee

即切點(diǎn)坐標(biāo)為切線/斜率為左=g,

可得"的方程為＞一/=9(、一')’即

/+%+1

y=—^+

ee’—x+1tx〃+，+l

聯(lián)立方程可rZ得B----+—----------=0,

x+1exe'e’

y=-

ex

由題可知：當(dāng)，＞1時(shí)，方程葉1+與一:+'+1=0有小于/的解,

exee

設(shè)==1+￡—二±|±1,其中x</,/>1且〃(7)=0,則l(x)=g+(,

設(shè)E(x)=〃'(x),則

e

因?yàn)?>1,X,k(x),F(x)的關(guān)系為

X(E)1(M)

尸(X)—0+

-1t

F(x)單調(diào)遞減一+~'單調(diào)遞增

ee

可知F(x)的最小值E(x)min=E(l)<E?)=0,且尸(一1)=e+?！?,

e

可知王oe(-1,1),使E(Xo)=O,

當(dāng)xe(-e,Xo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,即h'(x)>0；

當(dāng)xe(x()/)時(shí)，F(xiàn)(x)<0,即h'(x)<0；

可知h(x)在(一。,玉))內(nèi)單調(diào)遞增；在(％/)內(nèi)單調(diào)遞減,

可知h(x)的最大值MHmax=〃(%)〉M')=°，且〃(―1)=-<0，

可知h(x)存在小于/的零點(diǎn)，

所以當(dāng)，>1時(shí)，直線/與曲線y=f