廣東省揭陽(yáng)市第三中學(xué)人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-332獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用教案

揭陽(yáng)第三中學(xué)教案表課題3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用課型新授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和初步應(yīng)用，能對(duì)兩個(gè)分類變量是否有關(guān)做出明確的判斷。明確對(duì)兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想具體步驟，會(huì)對(duì)具體問(wèn)題作出獨(dú)立性檢驗(yàn)。過(guò)程與方法：在本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)使學(xué)生從具體問(wèn)題中認(rèn)識(shí)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的作用及必要性，樹(shù)立學(xué)好本節(jié)知識(shí)的信心，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)三維柱形圖和二維柱形圖，并認(rèn)識(shí)它們的基本作用和存在的不足，從而為學(xué)習(xí)下面作好鋪墊，進(jìn)而介紹K的平方的計(jì)算公式和K的平方的觀測(cè)值R的求法，以及它們的實(shí)際意義。從中得出判斷“X與Y有關(guān)系”的一般步驟及利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較準(zhǔn)確地給出這種判斷的可靠程度的具體做法和可信程度的大小。最后介紹了獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的綜合運(yùn)用。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，首先讓學(xué)生了解對(duì)兩個(gè)分類博變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性和作用，并引導(dǎo)學(xué)生注意比較與觀測(cè)值之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而引導(dǎo)學(xué)生去探索新知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生全面的觀點(diǎn)和辨證地分析問(wèn)題，不為假想所迷惑，尋求問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。加強(qiáng)與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，從對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析中學(xué)會(huì)利用圖形分析、解決問(wèn)題及用具體的數(shù)量來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)用圖形、數(shù)據(jù)來(lái)正確描述兩個(gè)變量的關(guān)系。明確數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用和實(shí)際價(jià)值。教學(xué)中，應(yīng)多給學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立探究、合作交流的機(jī)會(huì)。養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度及實(shí)事求是的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的科學(xué)世界觀，并會(huì)用所學(xué)到的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想；獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟。教學(xué)難點(diǎn)；1、理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想；2、了解隨機(jī)變量K2的含義；3、獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟。教具準(zhǔn)備多媒體、實(shí)物投影儀課時(shí)安排3教學(xué)過(guò)程與教學(xué)內(nèi)容教學(xué)方法、教學(xué)手段與學(xué)法、學(xué)情教學(xué)過(guò)程：對(duì)于性別變量，其取值為男和女兩種．這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．在現(xiàn)實(shí)生活中，分類變量是大量存在的，例如是否吸煙，宗教信仰，國(guó)籍，等等．在日常生活中，我們常常關(guān)心兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系．例如，吸煙與患肺癌是否有關(guān)系？性別對(duì)于是否喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等．為調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）表37吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965那么吸煙是否對(duì)患肺癌有影響嗎？像表3一7這樣列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．由吸煙情況和患肺癌情況的列聯(lián)表可以粗略估計(jì)出：在不吸煙者中，有0.54％患有肺癌；在吸煙者中，有2.28％患有肺癌．因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異．與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關(guān)數(shù)據(jù)的總體狀況．圖3.2一1是列聯(lián)表的三維柱形圖，從中能清晰地看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小．圖3.2一2是疊在一起的二維條形圖，其中淺色條高表示不患肺癌的人數(shù)，深色條高表示患肺癌的人數(shù)．從圖中可以看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例．為了更清晰地表達(dá)這個(gè)特征，我們還可用如下的等高條形圖表示兩種情況下患肺癌的比例．如圖3.2一3所示，在等高條形圖中，淺色的條高表示不患肺癌的百分比；深色的條高表示患肺癌的百分比．通過(guò)分析數(shù)據(jù)和圖形，我們得到的直觀印象是“吸煙和患肺癌有關(guān)”．那么我們是否能夠以一定的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”呢？為了回答上述問(wèn)題，我們先假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系．用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于PAB）=P(A）+P(B).把表3一7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：表38吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d在表3一8中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)．由于頻率近似于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有,其中為樣本容量，(a+b+c+d)≈(a+b)(a+c),即ad≈bc.因此，|adbc|越小，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；|adbc|越大，說(shuō)明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)．為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量(1)其中為樣本容量．若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”，則K“應(yīng)該很?。鶕?jù)表3一7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K“的觀測(cè)值為,這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過(guò)研究后發(fā)現(xiàn)，在H0成立的情況下，.(2)(2）式說(shuō)明，在H0成立的情況下，的觀測(cè)值超過(guò)6.635的概率非常小，近似為0.01，是一個(gè)小概率事件．現(xiàn)在的觀測(cè)值≈56.632，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”．但這種判斷會(huì)犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)超過(guò)0.01，即我們有99％的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”.在上述過(guò)程中，實(shí)際上是借助于隨機(jī)變量的觀測(cè)值建立了一個(gè)判斷H0是否成立的規(guī)則：如果≥6.635，就判斷H0不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷H0成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系．在該規(guī)則下，把結(jié)論“H0成立”錯(cuò)判成“H0不成立”的概率不會(huì)超過(guò),即有99％的把握認(rèn)為從不成立．上面解決問(wèn)題的想法類似于反證法．要確認(rèn)是否能以給定的可信程度認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即H0:“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”成立．在該假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量應(yīng)該很小．如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的的觀測(cè)值k很大，則在一定可信程度上說(shuō)明H0不成立，即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì)H0的充分證據(jù)．怎樣判斷的觀測(cè)值k是大還是小呢？這僅需確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為的觀測(cè)值k大．此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”.我們稱這樣的為一個(gè)判斷規(guī)則的臨界值．按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒(méi)有關(guān)系”錯(cuò)誤地判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為.在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)．上面這種利用隨機(jī)變量來(lái)確定是否能以一定把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)．利用上面結(jié)論，你能從列表的三維柱形圖中看出兩個(gè)變量是否相關(guān)嗎？一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛｝和｛｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：表3一92×2列聯(lián)表總計(jì)總計(jì)若要推斷的論述為Hl:X與Y有關(guān)系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl成立的可能性：1．通過(guò)三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．①在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上的兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大．②在二維條形圖中，可以估計(jì)滿足條件X=的個(gè)體中具有Y=的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X=的個(gè)體中具有Y=，的個(gè)體所占的比例.“兩個(gè)比例的值相差越大，Hl成立的可能性就越大．2．可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題需要的可信程度確定臨界值；②利用公式（1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值;③如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說(shuō)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)．在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過(guò)下表確定臨界值：表3一100.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0721.3232.7063.8415.0246.63510.828（四）、舉例：例1．在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂．(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系．(2)能夠以99％的把握認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)系嗎？為什么？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：(1)相應(yīng)的三維柱形圖如圖3.2一4所示．比較來(lái)說(shuō)，底面副對(duì)角線上兩個(gè)柱體高度的乘積要大一些，可以在某種程度上認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”.(2)根據(jù)列聯(lián)表3一11中的數(shù)據(jù)，得到≈16.373>6.因此有99％的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”.例2．為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：表3一12性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300由表中數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值．能夠以95％的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？請(qǐng)?jiān)敿?xì)闡明得出結(jié)論的依據(jù)．解：可以有約95％以上的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”．作出這種判斷的依據(jù)是獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，具體過(guò)程如下：分別用a,b,c,d表示樣本中喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學(xué)課的女生人數(shù)．如果性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課有關(guān)系，則男生中喜歡數(shù)學(xué)課的比例與女生中喜歡數(shù)學(xué)課的人數(shù)比例應(yīng)該相差很多，即應(yīng)很大．將上式等號(hào)右邊的式子乘以常數(shù)因子,然后平方得,其中．因此越大，“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立的可能性越大．另一方面，在假設(shè)“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間沒(méi)有關(guān)系”的前提下，事件A={≥3.841｝的概率為P(≥3.841)≈0.05,因此事件A是一個(gè)小概率事件．而由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測(cè)值k=4.514，即小概率事件A發(fā)生．因此應(yīng)該斷定“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯(cuò)的可能性約為5%．所以，約有95％的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”.補(bǔ)充例題1：打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？患心臟病未患心臟病合計(jì)每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計(jì)5415791633解：略。補(bǔ)充例題2：對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過(guò)心