廣東省揭陽市第三中學人教A版高中數(shù)學選修2-332獨立性檢驗的基本思想及其初步應用教案

揭陽第三中學教案表課題3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應用課型新授課教學目標知識與技能：通過本節(jié)知識的學習，了解獨立性檢驗的基本思想和初步應用，能對兩個分類變量是否有關做出明確的判斷。明確對兩個分類變量的獨立性檢驗的基本思想具體步驟，會對具體問題作出獨立性檢驗。過程與方法：在本節(jié)知識的學習中，應使學生從具體問題中認識進行獨立性檢驗的作用及必要性，樹立學好本節(jié)知識的信心，在此基礎上學習三維柱形圖和二維柱形圖，并認識它們的基本作用和存在的不足，從而為學習下面作好鋪墊，進而介紹K的平方的計算公式和K的平方的觀測值R的求法，以及它們的實際意義。從中得出判斷“X與Y有關系”的一般步驟及利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并能較準確地給出這種判斷的可靠程度的具體做法和可信程度的大小。最后介紹了獨立性檢驗思想的綜合運用。情感、態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)知識的學習，首先讓學生了解對兩個分類博變量進行獨立性檢驗的必要性和作用，并引導學生注意比較與觀測值之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而引導學生去探索新知識，培養(yǎng)學生全面的觀點和辨證地分析問題，不為假想所迷惑，尋求問題的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的良好的數(shù)學品質(zhì)。加強與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，從對實際問題的分析中學會利用圖形分析、解決問題及用具體的數(shù)量來衡量兩個變量之間的聯(lián)系，學習用圖形、數(shù)據(jù)來正確描述兩個變量的關系。明確數(shù)學在現(xiàn)實生活中的重要作用和實際價值。教學中，應多給學生提供自主學習、獨立探究、合作交流的機會。養(yǎng)成嚴謹?shù)膶W習態(tài)度及實事求是的分析問題、解決問題的科學世界觀，并會用所學到的知識來解決實際問題。重點難點教學重點：理解獨立性檢驗的基本思想；獨立性檢驗的步驟。教學難點；1、理解獨立性檢驗的基本思想；2、了解隨機變量K2的含義；3、獨立性檢驗的步驟。教具準備多媒體、實物投影儀課時安排3教學過程與教學內(nèi)容教學方法、教學手段與學法、學情教學過程：對于性別變量，其取值為男和女兩種．這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．在現(xiàn)實生活中，分類變量是大量存在的，例如是否吸煙，宗教信仰，國籍，等等．在日常生活中，我們常常關心兩個分類變量之間是否有關系．例如，吸煙與患肺癌是否有關系？性別對于是否喜歡數(shù)學課程有影響？等等．為調(diào)查吸煙是否對肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）表37吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965那么吸煙是否對患肺癌有影響嗎？像表3一7這樣列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．由吸煙情況和患肺癌情況的列聯(lián)表可以粗略估計出：在不吸煙者中，有0.54％患有肺癌；在吸煙者中，有2.28％患有肺癌．因此，直觀上可以得到結(jié)論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異．與表格相比，三維柱形圖和二維條形圖能更直觀地反映出相關數(shù)據(jù)的總體狀況．圖3.2一1是列聯(lián)表的三維柱形圖，從中能清晰地看出各個頻數(shù)的相對大?。畧D3.2一2是疊在一起的二維條形圖，其中淺色條高表示不患肺癌的人數(shù)，深色條高表示患肺癌的人數(shù)．從圖中可以看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不吸煙者中患肺癌的比例．為了更清晰地表達這個特征，我們還可用如下的等高條形圖表示兩種情況下患肺癌的比例．如圖3.2一3所示，在等高條形圖中，淺色的條高表示不患肺癌的百分比；深色的條高表示患肺癌的百分比．通過分析數(shù)據(jù)和圖形，我們得到的直觀印象是“吸煙和患肺癌有關”．那么我們是否能夠以一定的把握認為“吸煙與患肺癌有關”呢？為了回答上述問題，我們先假設H0：吸煙與患肺癌沒有關系．用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關系”獨立”，即假設H0等價于PAB）=P(A）+P(B).把表3一7中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：表38吸煙與肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d在表3一8中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)．由于頻率近似于概率，所以在H0成立的條件下應該有,其中為樣本容量，(a+b+c+d)≈(a+b)(a+c),即ad≈bc.因此，|adbc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；|adbc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強．為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上面的分析，我們構(gòu)造一個隨機變量(1)其中為樣本容量．若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關系”，則K“應該很?。鶕?jù)表3一7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得到K“的觀測值為,這個值到底能告訴我們什么呢？統(tǒng)計學家經(jīng)過研究后發(fā)現(xiàn)，在H0成立的情況下，.(2)(2）式說明，在H0成立的情況下，的觀測值超過6.635的概率非常小，近似為0.01，是一個小概率事件．現(xiàn)在的觀測值≈56.632，遠遠大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關系”．但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.01，即我們有99％的把握認為“吸煙與患肺癌有關系”.在上述過程中，實際上是借助于隨機變量的觀測值建立了一個判斷H0是否成立的規(guī)則：如果≥6.635，就判斷H0不成立，即認為吸煙與患肺癌有關系；否則，就判斷H0成立，即認為吸煙與患肺癌沒有關系．在該規(guī)則下，把結(jié)論“H0成立”錯判成“H0不成立”的概率不會超過,即有99％的把握認為從不成立．上面解決問題的想法類似于反證法．要確認是否能以給定的可信程度認為“兩個分類變量有關系”，首先假設該結(jié)論不成立，即H0:“兩個分類變量沒有關系”成立．在該假設下我們所構(gòu)造的隨機變量應該很小．如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的的觀測值k很大，則在一定可信程度上說明H0不成立，即在一定可信程度上認為“兩個分類變量有關系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對H0的充分證據(jù)．怎樣判斷的觀測值k是大還是小呢？這僅需確定一個正數(shù)，當時就認為的觀測值k大．此時相應于的判斷規(guī)則為：如果，就認為“兩個分類變量之間有關系”；否則就認為“兩個分類變量之間沒有關系”.我們稱這樣的為一個判斷規(guī)則的臨界值．按照上述規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關系”錯誤地判斷為“兩個分類變量之間有關系”的概率為.在實際應用中，我們把解釋為有的把握認為“兩個分類變量之間有關系”；把解釋為不能以的把握認為“兩個分類變量之間有關系”，或者樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“兩個分類變量之間有關系”的充分證據(jù)．上面這種利用隨機變量來確定是否能以一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．利用上面結(jié)論，你能從列表的三維柱形圖中看出兩個變量是否相關嗎？一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛｝和｛｝,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2×2列聯(lián)表）為：表3一92×2列聯(lián)表總計總計若要推斷的論述為Hl:X與Y有關系，可以按如下步驟判斷結(jié)論Hl成立的可能性：1．通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關系，但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度．①在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大．②在二維條形圖中，可以估計滿足條件X=的個體中具有Y=的個體所占的比例，也可以估計滿足條件X=的個體中具有Y=，的個體所占的比例.“兩個比例的值相差越大，Hl成立的可能性就越大．2．可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：①根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值；②利用公式（1)，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機變量的觀測值;③如果，就以的把握認為“X與Y有關系”；否則就說樣本觀測數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關系”的充分證據(jù)．在實際應用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：表3一100.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0721.3232.7063.8415.0246.63510.828（四）、舉例：例1．在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂，而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂．(1)利用圖形判斷禿頂與患心臟病是否有關系．(2)能夠以99％的把握認為禿頂與患心臟病有關系嗎？為什么？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：(1)相應的三維柱形圖如圖3.2一4所示．比較來說，底面副對角線上兩個柱體高度的乘積要大一些，可以在某種程度上認為“禿頂與患心臟病有關”.(2)根據(jù)列聯(lián)表3一11中的數(shù)據(jù)，得到≈16.373>6.因此有99％的把握認為“禿頂與患心臟病有關”.例2．為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系,在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下列聯(lián)表：表3一12性別與喜歡數(shù)學課程列聯(lián)表喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計男3785122女35143178總計72228300由表中數(shù)據(jù)計算得的觀測值．能夠以95％的把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系嗎？請詳細闡明得出結(jié)論的依據(jù)．解：可以有約95％以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課之間有關系”．作出這種判斷的依據(jù)是獨立性檢驗的基本思想，具體過程如下：分別用a,b,c,d表示樣本中喜歡數(shù)學課的男生人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的男生人數(shù)、喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)、不喜歡數(shù)學課的女生人數(shù)．如果性別與是否喜歡數(shù)學課有關系，則男生中喜歡數(shù)學課的比例與女生中喜歡數(shù)學課的人數(shù)比例應該相差很多，即應很大．將上式等號右邊的式子乘以常數(shù)因子,然后平方得,其中．因此越大，“性別與喜歡數(shù)學課之間有關系”成立的可能性越大．另一方面，在假設“性別與喜歡數(shù)學課之間沒有關系”的前提下，事件A={≥3.841｝的概率為P(≥3.841)≈0.05,因此事件A是一個小概率事件．而由樣本數(shù)據(jù)計算得的觀測值k=4.514，即小概率事件A發(fā)生．因此應該斷定“性別與喜歡數(shù)學課之間有關系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為5%．所以，約有95％的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課之間有關系”.補充例題1：打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：每一晚都打鼾與患心臟病有關嗎？患心臟病未患心臟病合計每一晚都打鼾30224254不打鼾2413551379合計5415791633解：略。補充例題2：對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作過心