平面向量、復(fù)數(shù)與不等式-2020-2024年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編（解析版）

專集09率面向量、要核星系等式

?

5年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1平面向1.平面向量問(wèn)題以基礎(chǔ)性為主，突

2020-2024：5年五考：向量的運(yùn)算；垂直及平行

量出向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算，特

的向量表示；向量的坐標(biāo)；向量模的運(yùn)算

（5年幾考）別是線性運(yùn)算、夾角計(jì)算、數(shù)量積

2020-2024：5年五考：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；復(fù)數(shù)的考查較多，模的計(jì)算、向量的垂直與

考點(diǎn)2復(fù)數(shù)

坐標(biāo)運(yùn)算；共軟復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算；復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的平行也經(jīng)常出現(xiàn)見(jiàn),向量的綜合問(wèn)

（5年幾考）

運(yùn)算；復(fù)數(shù)的幾何意義題間隔考查.平面向量重點(diǎn)突出其

工具功能.向量備考應(yīng)重視基礎(chǔ)知

識(shí)，要求考生熟練掌握基本技能。

2.復(fù)數(shù)主要以課程學(xué)習(xí)情境為主，

每年一題，以考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

為主，偶爾與其他知識(shí)交匯、難度較

小,考查代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)，主要涉及

2020-2024:5年一考：基本不等式的應(yīng)用；不等考查的概念有:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、共

考點(diǎn)3不等式

式的性質(zhì)轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意

義等，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)

算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

3.不等式的性質(zhì)和基本不等式這

部分內(nèi)容主要以選擇題或填空題

的形式出現(xiàn)見(jiàn)，這類題目主要考查

邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01平面向量

1.（2024?北泉-圖考真題）設(shè)a,B是向量,貝廣,+行｝但-5）=0"是"￡=一分或％=石”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

K祥解I根據(jù)向量數(shù)量積分析可知,+可?（1-5）=0等價(jià)于同=忖，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳析】因?yàn)?+孫卜-5）=矯-廬=0,可得/=片，即同=忖，

可知（苕+4"5）=0等價(jià)于同=跖

若1萬(wàn)或可得同明，即伍+力（”5）=0,可知必要性成立；

若伍+4（萬(wàn)一5）=0,即同=忖，無(wú)法得出IB或￡=工，

例如益=（1,0）石=（0,1）,滿足同=瓦但Z4且力與，可知充分性不成立；

綜上所述，"W+4（"5）=0"是"心另且Z/工"的必要不充分條件.

故選：B.

2.（2022?北京?高考真題）在AABC中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為AABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則麗?麗的取值范圍是（）

A.[—5,3]B.[—3,5]C.[—6,4]D.[~4,6]

【答案】D

K祥解』依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（cos&sin。），表示出麗，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則C（0,0）,4（3,0）,3（0,4）,

設(shè)P(cos0,sin6),0e[0,,

所以R4=(3-cosa-sin。),PB=(-cos6*,4-sin61),

所以JR4?尸3=(-cos6)x(3-cos6)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos2(9-3cos^-4sin^+sin20

=l-3cos8-4sine

=1—5sin(0+9),其中sin0="|,cos夕=1，

因?yàn)?14sin(9+e)41,所以TWl-5sin(e+°)W6,即麗?麗e[T,6]；

故選：D

3.(2023,北京?高考真題)已知向量灑力滿足日+石=(2,3),萬(wàn)-5=(-2,1),則|《『一|方『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

K祥解R利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳析】向量苕石滿足4+5=(2,3),萬(wàn)一5=(-2,1),

所以1212TBi2=(￡+B).([B)=2x(_2)+3xl=_L

故選：B

4.（2021?北京?高考真題）已知向量扇51在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為

1，則

(a+b)-c=；a-b=■

【答案】03

K祥解》根據(jù)坐標(biāo)求出苕+B,再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.

【詳析】以萬(wàn),5交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則乙=(2,1)出=(2,-1),1=(0,1),

日+B=(4,0),「.(萬(wàn)+B)?乙=4x0+0xl=0,

.,.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案為：0；3.

—.1-.—,.

5.(2020?北京?高考真題)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足A尸=5(A3+AC),貝IJ|P0|=；

PBPD=?

【答案】非-1

K祥解』以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD所在直線分別為兄、V軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)P的坐標(biāo),

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得忸耳以及麗.兩的值.

【詳析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為X、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、￡>(0,2),

則點(diǎn)尸（2,1）,.?.麗=（一2,1）,麗=（0,-1）,

因此，附="可+(=布,pg.pD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案為：非;-1.

【『點(diǎn)石成金』】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)是解答的關(guān)

鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)02復(fù)數(shù)

7

6.（2024?北樂(lè)考真題）已知：=—1—i,貝!Jz=（）.

1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

K祥解R直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.

【詳析】由題意得z=i（—l—i）=l—i.

故選：c.

7.（2023?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,若），貝心的共輾復(fù)數(shù)乞=（）

A.1+瘋B.1-V3i

C.—1+>/3iD.-1—\/3i

【答案】D

（祥解》根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)Z,然后利用共軌復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【詳析】Z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（_1,百），根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+畬，

由共軻復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-73i.

故選：D

8.（2022?北京?高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足i.z=3-4i,則忖=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

（祥解》利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出Z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【詳析】由題意有Z=7=0]:[；T）=_4_3i,故|z|=J（-4）,（一3）2=5.

故選：B.

9.（2021?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=2,貝ljz=（）

A.-1-iB.—1+iC.i-iD.1+i

【答案】D

K祥解》由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

2_2(l+f)2(l+z)t|

【詳析】由題意可得:1-i(l-z)(l+z)2'

故選：D.

10.（2020?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）,貝!J〉z(mì)=（）.

A.l+2zB.—2+iC.1—2zD.-2—i

【答案】B

(祥解I先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.

【詳析】由題意得z=l+2i,iz=i-2.

故選：B.

【『點(diǎn)石成金』】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)03不等式

11.(2024?北京?高考真題)已知(國(guó),%),(%,%)是函數(shù)>=2”的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝U()

B.log2

【答案】B

(祥解』根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳析】由題意不妨設(shè)不<馬，因?yàn)楹瘮?shù)>=2,是增函數(shù)，所以0<2'<2?,即0</<%,

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得-〉,2為?巧2=2,即乂±叢>22>0,

22

畫(huà)+%2

根據(jù)函數(shù)y=logzX是增函數(shù)，所以log2七衛(wèi)>logz2丁=七三，故B正確，A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如％=0,%2=1，則％=1,%=2,

可得1。82七匹=1。82|40,1),gpiog2^±^<l=x1+x2,故D錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如西=-1,9=-2,則

10

nTWlog2=§2j=log23-3e(-2,-1),即log?>一3=%+%,故c錯(cuò)誤，

2o2

故選：B.

1年模擬?精選?？碱}

1.(2024?北京西城?三模)在復(fù)平面，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則占=()

C.1-D.1+i

【答案】B

K祥解工由題可得z=l-i,再由復(fù)數(shù)除法法則即可求解.

【詳析】Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),所以z=l-i,

故選：B.

2.（2019?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）向量扇瓦｝在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若向量幾1+5與*共線，則實(shí)數(shù)2=

【答案】D

（祥解》先由圖得出用圓B表示E的式子，再根據(jù)向量共線的充要條件求之即得.

【詳析】根據(jù)網(wǎng)格圖中的商,反｝的大小與方向，易于得至IJZ=2￡+B，

由向量彳@+6與C共線，可得X萬(wàn)+b=fc=f（2a+6）,解得：，=l,4=2r=2.

故選：D.

3.（2024?北京順義?三模）設(shè)羽yNl,o>l,b>l.若q*=7/=3,a+b=2\/3,則一+一最大值為（）

xy

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】C

K祥解』先利用指、對(duì)數(shù)的關(guān)系利用a,b表示蒼y,再利用基本不等式求最大值.

【詳析】四憶>21,<7>1,b>l,ax=by=3,

,c1,c1

0x=loga3=-----,y=log,3=-

log3alog3b

11,,,,,,(a+b^,202,

0m-+-=loga+logZ>=log<7Z?<log——=log(--)=1,

xy3333I2J32

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=g,x=V=2時(shí)取等號(hào).

回一+一的最大值為1.

xy

故選：c.

4.（23-24高一下?浙江杭州,期中）若i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=三，則N=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

【答案】D

K祥解不首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求共聊復(fù)數(shù).

【詳析】z=i±i=O±ih=zl±i=i_i,貝壯=i+i.

11-1

故選：D

5.(2024?黑龍江?二模)已知忖=5,^=(-1,2),Z在后上的投影向量為碗=(-2,4),則向量￡與石夾角余弦

值為()

A.—B.—C.-

555

【答案】A

K祥解》根據(jù)投影向量公式可求向量Z與B夾角余弦值.

【詳析】￡在石上的投影向量為|2卜命|看，故講=(-2,4),

a-b

而后=(一1,2),故喬=2

忖

,5cos(a,b)/\

故r---}=_=2即ancos(a,b]=----

V5'/5

故選：A.

6.(2024?北京通州?三模)已知。>0,b>0,貝JC+》2>2"是"a+Z?>2"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

K祥解力舉出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.

【詳析】不妨設(shè)。=1.51=0.4,止匕時(shí)滿足/+〃=2.25+0.16>2,

但不滿足a+Z?>2,充分性不成立，

a+b>2兩邊平方得4+2ab+b2>4,由基本不等式得2成>Wa?+6?,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立，

^a2+b2>4-2ab>4-(a2+b2),解得"+從>2,必要性成立，

故>2"是"a+b>2"的必要不充分條件.

故選：B

7.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)若zi=z+i,則z?彳=()

A.yB.1C.2D.4

【答案】A

K祥解》借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軟復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可得.

1i(i+l)1-i1-i1+i_1

【詳析】z二---=z?z=-----

i-1(i-l)(i+l)V2~Y~2

故選：A.

8.（2024?北京海淀?二模）在中，/C=],CA=C3=2&,點(diǎn)尸滿足存=2百+（1-彳）屈，且

CPAB=4,則2=（）

1133

A.B.-C.D.—

4444

【答案】B

k祥解》用而，目表示福，根據(jù)C??屈=0,結(jié)合已知條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算律，求解即可.

【詳析】由題可知，CACB=0,

^CP-AB=[/ICA+（1-2）CB]-（CB-CA）=-/1|CA|2+（1-A）|C^2=-8A+8（l-2）=-16A+8,

故一16/1+8=4,解得2=—.

4

故選：B.

9.（2024?北京海淀?二模）設(shè)S.a>b,則（）

C.sin（a-6）<a-。D.3a>2b

【答案】C

K祥解》舉反例即可求解ABD,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證五11X<了,工?0,+?>）即可判斷仁

【詳析】對(duì)于A,取。=21=一1,貝|2=一=>:=一2,故A錯(cuò)誤，

a2b

ha

對(duì)于B,a=l,b=-l,貝Ij—+7=2,故B錯(cuò)誤，

ab

對(duì)于C,由于y=sinx—%(%>0),y'=cosx-l<0,故丁=sinx-x在(0,+e)單調(diào)遞減，故sinx—x<0,因止匕

sinx<x,x^(0,+00),

由于a>〃，所以〃一/?>0,故sin(a-Z?)va—Z?,C正確，

對(duì)于D,。=-3*=-4,則3"=工<2憶4，故D錯(cuò)誤，

2716

故選：C

10.(2024?北京通州?二模)在梯形48。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,則荏.衣=()

A.4^B.8C.12D.8A/3

【答案】C

（祥解》作出圖形，結(jié)合圖形和已知，由向量數(shù)量積的定義求出即可.

【詳析】

如圖，取A8的中點(diǎn)E,則AE//DC,S.AE=DC=2,

所以四邊形AECD為平行四邊形，

則AD=EC=BE=3C=2,所以ACEB為正三角形，

過(guò)C作CB1AS于尸，

貝ljAF=3,

所以荏.*=|荏<05/042=1詞J網(wǎng)=4x3=12.

故選：C.

11.（2024?北京通州?二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）,則§=（）

A.-1+iB.-2+2iC.1-iD.2-2i

【答案】A

K祥解》由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出結(jié)果即可.

【詳析】由題意可得z=l-i,

2i2i2i(l+i)

所以丁匚T(lT)(l+i)=j=T"'

故選：A.

12.（2024?北京房山?一模）已知a,A,C￡R,則下列命題為假命題的是（）

A.若a>b,則a+c>b+cB.若a>6>0,則a。，〉。。，

a+cb+c

,八cn,.bb+c

C.若a>b,貝1JI<D.右a>力>0,c>0,貝|一>----

Iaa+c

【答案】D

K祥解了根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)嘉函數(shù)單調(diào)性可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；利

用作差法即可判斷D.

【詳析】對(duì)于A,因?yàn)?>〃，所以a+c>〃+c,故A結(jié)論正確;

對(duì)于B,當(dāng)a>8>0時(shí)，因?yàn)槟缓瘮?shù)y=在（0,+力）上單調(diào)遞增，所以“乜〉*。故B結(jié)論正確;

對(duì)于C,因?yàn)槿?，所以a+c>b+c,

a+cb+c

而函數(shù)y=1為減函數(shù)，所以1I<1故C結(jié)論正確;

bb+cb(a+c)—Q(b+c)c(b—a)

對(duì)于D,

aa+c〃(Q+C)4(Q+C)

因?yàn)閍>〃>0,c>0,所以（:（人一々乂0,3（〃+0））0,

CCH.bb+cc{b-a)bb+c

所以々一二；=而3<°'所以7故D結(jié)論錯(cuò)誤.

故選：D.

13.（2024?北京房山?一模）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)Z=（M-i）?（3+i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是（）

1]_

A.-3B.3C.——D.

33

【答案】C

K祥解》先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再根據(jù)純虛數(shù)的定義即可得解.

【詳析】r=(m—i)?(3+i)=3m+l+(m—3)i,

因?yàn)閺?fù)數(shù)z=（帆-i）?（3+i）是純虛數(shù),

3機(jī)+1=0解得7W=-g.

所以

"1一3w0

故選：C.

14.（2024?北京海淀?一模）已知向量2,4滿足|闔=2石=（2,0）,S.\a+b\=2,則〈?！?（）

5兀

D.—

6

【答案】C

（祥解』將|￡+B|=2兩邊同時(shí)平方，將條件帶入計(jì)算即可.

【詳析】由已知l,=2，W=2,

rr、2rrrrrr

所以z+=a2+2b-a+b2=4+2x2x2xcos〈〃,b〉+4=4,

得cos〈a,B〉=—g,又〈心歷￡[0,兀],

所以&,歷=胃.

故選：c.

15.（15-16高二下?新疆哈密?期末）若復(fù)數(shù)z滿足力=l+i,貝1的共軌復(fù)數(shù)是（）

A.-1-iB.1+iC,-1+iD.1-i

【答案】B

K祥解』根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z即可求解結(jié)果.

【詳析】解：復(fù)數(shù)z滿足力曰+i,所以z=^="li=土=IT.

11-1

所以Z的共輒復(fù)數(shù)是1+i.

故選：B.

16.(2024?北京朝陽(yáng)?一模)在AABC中，AB=AC=2,BC=2A/L點(diǎn)尸在線段上.當(dāng)麗.而取得最小

值時(shí)，PA=()

A.BB.也C.』D.1

2244

【答案】B

K祥解》首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示數(shù)量積，并求最小值，求得西的坐標(biāo)，即可求解.

【詳析】如圖，以8c所在直線為x軸，以8c的垂直平分線建立y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

由AB=AC=2,BC=1^3,則OA=,2?-(石丫=1,

所以4(0,1),網(wǎng)-石,0),C(V3,0),設(shè)尸(x,0),

則麗而=卜百-尤,0),

則PA.PB=_彳.卜道_了)=X?+6彳=［丁+^^,

當(dāng)一爭(zhēng)寸,

西?麗取得最小值,

故選:B

17.(2。24?北京朝陽(yáng)?一模)復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位十()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

K祥解工利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化解復(fù)數(shù)，并結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【詳析】復(fù)數(shù)而i=尋i(譏3-i)號(hào)=l+可3i，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(〔163而AJ，為第一象限的點(diǎn)?

故選：A

18.(2022?北京豐臺(tái)?三模)"1BC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,則荏與砂的夾角大小為若

\BD\=1,CE=EA,則而.而的最小值為.

o/2?

【答案】120/—-3-73

（祥解1根據(jù)平面向量夾角的定義直接得出結(jié)果；根據(jù)題意可知E為AC的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)

算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得AD.BE=-3+y/3cos<BD,BE>,結(jié)合平面向量夾角的范圍即可得出結(jié)果.

【詳析】由題意知，如圖，

由AABC為等比三角形，得8=60°,

所以<麗能>=120°；

因?yàn)椤?麗，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

umn1uuniuur

則B'BA+'BC,5LAD=AB+Bb，

所以而.屁=（題+而）?（g麗+；交）

=--\ABf+-ABBC+-BDBA+-BI5BC

?222

=--x4+-x2x2cosl20°+-Bl5（BA+BC）

222

=-3+BDBE=-3+^Bl5^BE\cos<BD,BE>,

=-3+^3cos<BD,BE>,

又〈麗，曲>e[0,180°],所以cos<麗，屜〉血n=—1，

所以（而?函.=-3-6

故答案為：120°；-3-6

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